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2024 版新课标高中物理模型与方法
专题10 碰撞与类碰撞模型
目录
【模型一】弹性碰撞模型.................................................................................................................................. 1
【模型二】非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型............................................................................................15
【模型三】碰撞模型三原则............................................................................................................................ 23
【模型四】 小球—曲面模型..........................................................................................................................27
【模型五】 小球—弹簧模型..........................................................................................................................37
【模型六】 子弹打木块模型..........................................................................................................................48
【模型七】 滑块木板模型.............................................................................................................................. 57
【模型一】弹性碰撞模型
1． 弹性碰撞
发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度为v1，
v2，碰后速度分别为v1
ˊ，v2
ˊ，则有：
m1v1+m2v2=m1v1
ˊ+m2v2
ˊ (1)
m1v1
2+
m2v2
2=
m1v1
ˊ2+
m2v2
ˊ 2 (2)
联立（1）、（2）解得：
v1
ˊ=
2
m1v1+m2v2
m1+m2
−v1
，v2
ˊ=
2
m1v1+m2v2
m1+m2
−v2
.
特殊情况： 若m1=m2 ，v1
ˊ= v2 ，v2
ˊ= v1 .
2． “动静相碰型”弹性碰撞的结论
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小
球发生正面弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
解得：v1′＝，v2′＝
结论：(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1(质量相等，速度交换)
(2)当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′(大碰小，一起跑)
m2
m1
v2ˊ
v1ˊ
v2
v1
1
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(3)当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0(小碰大，要反弹)
(4)当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1(极大碰极小，大不变，小加倍)
(5)当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变)
【模型演练1】.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，用不可伸长的轻绳将质量为
的小球悬挂在O 点，
绳长
，轻绳处于水平拉直状态。现将小球由静止释放，下摆至最低点与静止在A 点的小物块发生
碰撞，碰后小球向左摆的最大高度
，小物块沿水平地面滑到B 点停止运动。已知小物块质量为
，
小物块与水平地面间的动摩擦因数
，A 点到B 点的距离
，重力加速度
，则下列
说法正确的是（ ）
A．小球与小物块质量之比
B．小球与小物块碰后小物块速率
C．小球与小物块碰撞是弹性碰撞
D．小球与小物块碰撞过程中有机械能损失
【答案】BC
【详解】B．根据牛顿第二定律
可知小物块的加速度
根据匀变速运动公式
解得小球与小物块碰后小物块速率
B 正确；
A．设小球碰撞前的速度为
，碰撞后的速度为
，根据动能定理
2
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解得
以向右为正方向，根据动量守恒定律
解得
A 错误；
CD．碰撞前动能
碰撞后动能
碰撞前后动能相等，所以小球与小物块碰撞是弹性碰撞，无机械能损失，C 正确，D 错误。
故选BC。
【模型演练2】（2023·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）如图为“子母球”表演的示意图，弹性小
球A 和B 叠放在一起，从距地面高度为h 处自由落下，h 远大于两小球直径，小球B 的质量是A 质量的3
倍。假设所有的碰撞都是弹性碰撞，且都发生在竖直方向，不考虑空气阻力，则下列判断中错误的是（
）
3
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A．下落过程中两个小球之间没有相互作用力
B．A 与B 第一次碰后小球B 的速度为零
C．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度是2h
D．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度是4h
【答案】C
【详解】A．球B 与地面碰撞前，对AB 整体，由牛顿第二定律得
（mA+mB）g＝（mA+mB）a
解得
a＝g
设下落过程中两个小球之间的弹力为T，对B 球，由牛顿第二定律得
mBg+T＝mBa
解得
T＝0
故A 不符合题意；
B．根据机械能守恒定律可得
（mA+mB）gh＝
（mA+mB）
解得球A、B 与地面碰撞前瞬间的速度大小为
v0＝
B 球碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，选A 与B 碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后
A、B 速度大小分别为vA、vB，选向上方向为正方向，由动量守恒定律得
mBv0﹣mAv0＝mAvA+mBvB
由机械能守恒定律得
（mA+mB）v0
2＝
mAvA
2+
mBvB
2
由题可知
mB＝3mA
联立解得
vA＝
vB＝0
4
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故B 不符合题意；
CD．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度为
故C 符合题意，D 不符合题意。
故选C。
【模型演练3】（2023·天津·模拟预测）保龄球运动既可以锻炼身体，又可以缓解心理压力，而且老少咸宜，
广受大众的喜爱。某同学设想了如下过程来模拟一次保龄球的投掷、运行、撞击的训练过程．如图所示，
将一质量为
的保龄球从A 点开始由静止向前掷出，球沿曲线运动，脱手后，在B 点以
的速度切入水平球道。球做直线运动经
时间后在C 点与质量为
的球瓶发生正碰。已知在A 点
时保龄球的下沿距离球道表面的高度为
，保龄球在球道上运动时受到的阻力恒为重力的
倍，
g 取
，忽略空气阻力，忽略保龄球的滚动，球与球瓶的碰撞时间极短，碰撞中没有能量损失，球与
球瓶均可看成质点。求：
（1）运动员在掷球过程中对保龄球做的功
；
（2）在撞上球瓶前的瞬间，保龄球的速度
的大小；
（3）碰撞后，球瓶的速度
的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）运动员在掷球过程中，根据动能定理可得
解得运动员对保龄球做的功为
（2）保龄球从B 到C 的过程，根据动量定理可得
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解得在撞上球瓶前的瞬间，保龄球的速度大小为
（3）球与球瓶的碰撞时间极短，碰撞中没有能量损失，可知碰撞过程满足动量守恒和机械能守恒，则有
联立解得碰撞后，球瓶的速度大小为
【模型演练4】．（2023 春·北京海淀·高三统考阶段练习）质量为m1的A 球从高度为H 处由静止开始沿曲
面下滑，与静止在水平面上质量为m2的B 球发生正碰，两球大小相同，碰撞时间极短，碰撞过程中没有动
能损失。不计一切摩擦，重力加速度为g。
（1）根据动能定理和重力做功与重力势能的关系，证明A 球沿曲面下滑过程机械能守恒；
（2）两球发生第一次碰撞后各自的速度大小vA、vB；
（3）为了能发生第二次碰撞，两球质量m1、m2间应满足什么条件？
【答案】（1）见解析；（2）
；
；（3）m2>3m1
【详解】（1）A 球沿曲面下滑过程只有重力做功，根据动能定理
WG＝Ek2－Ek1
根据重力与重力势能关系
WG＝Ep1－Ep2
由以上两式得
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2
即
Ek2+Ep2＝Ek1+Ep1
（2）A 下滑过程机械能守恒
6
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得
A、B 碰撞过程系统动量守恒，机械能守恒
得
（3）为了能发生第二次碰撞，第一次碰后A 应反向，且A 的速度大于B 的速度，因此应有
m2－m1>2m1
得
m2>3m1
【模型演练5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，半径为
的光滑半圆弧轨道固定在竖直
面内，水平面与圆弧轨道最低点A 相切，AB 垂直水平面。质量为
的物块a 放在水平面上的P 点，质
量为
的物块b 放在水平面上的Q 点，
，
，C 为PQ 的中点，给物块b 一个水平向右的
恒定推力，当物块通过C 点后的某位置撤去恒力，此后物块b 与a 发生弹性碰撞，a 进入圆弧轨道后从B
点飞出，恰好落在Q 点，两物块大小不计，与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取
，求
（结果可带分式或根号）：
（1）b 与a 碰撞后一瞬间，物块a 的速度大小；
（2）作用在物块b 上推力的大小范围。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）a 进入圆弧轨道后从B 点飞出，恰好落在Q 点，设物块a 在B 点的速度大小为
；物块a 在
空中做平抛运动，则有
，
联立解得
，
设碰撞后一瞬间，物块a 的速度大小为
，物块a 从碰撞后到B 的过程，根据动能定理可得
解得碰撞后一瞬间，物块a 的速度大小为
（2）设物块b 碰撞前瞬间速度为
，碰撞后瞬间速度为
，碰撞过程根据动量守恒和机械能守恒可得
解得
，
设推力的作用距离为
，物块b 从Q 点到P 点碰撞前过程，根据动能定理可得
根据题意有
联立解得作用在物块b 上推力的大小范围为
【模型演练6】．（2023·四川·模拟预测）如图，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小
滑块A 和B 分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A 无初速度释放，A 与B 发生弹性碰撞。已知A
的质量mA=2kg，B 的质量mB=1kg，圆弧轨道的半径R=0.8m，圆弧轨道光滑，A 和B 与桌面之间的动摩擦
因数均为μ=0.4，取重力加速度g=10m/s2。求：
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（1） A 滑到圆弧轨道正中间位置时对轨道的压力大小；
（2）碰撞后瞬间A 和B 的速度大小；
（3）最终A 和B 静止时的距离L。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）A 从初始位置下滑到圆弧正中间位置时，由机械能守恒定律
由牛顿第二定律
解得
由牛顿第三定律可知A 滑到圆弧轨道正中间位置时对轨道的压力大小
（2）对A、B 组成的系统，因为是弹性碰撞，在碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒
解得
，
（3）A 和B 在桌面上做匀减速直线运动，由运动学公式可得
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所以最终A 和B 静止时的距离
【模型演练7】．（2023·黑龙江大庆·高三铁人中学阶段练习）如图所示，一足够长的光滑斜面固定在水平
地面上，斜面倾角为
，斜面底端固定一垂直于斜面的挡板P，将小物块A、B（可视为质点）从斜面上距
离挡板P 为
和
（
）的位置同时由静止释放，已知小物块A、B 的质量分别为m、2m，重力加速度
大小为g，所有碰撞均为弹性碰撞，忽略碰撞时间和空气阻力。求：
（1）B 第一次与挡板碰撞时A 的速度大小；
（2）B 在第一次上升过程中就能与A 相碰，求
的取值范围；
（3）在（2）情形下，要使A 第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求
应满足的条件。
【答案】（1）
；（2）1<k<5；（3）
【详解】（1）由题意可知，因为斜面光滑，所以A、B 释放后沿斜面做匀加速运动的加速度大小均为
①
又因为A、B 同时释放，所以在B 第一次与挡板碰撞时，A 下滑的距离为L，设此时A 的速度大小为v0，
根据机械能守恒定律有
②
解得
③
（2）设物块B 与P 第一次碰撞后再经过时间t 与物块A 能够相碰，根据运动学公式可得t 时间内A、B 运
动的距离分别为
④
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⑤
相碰时根据位移关系有
⑥
A、B 相碰必须发生在B 到达最高点前，因此有
⑦
联立③~⑦式可得
⑧
所以若B 在第一次上升过程中就能与A 相碰，则k 的取值范围为
1<k<5 ⑨
（3）规定沿斜面向上为正方向，设碰撞前瞬间A、B 的速度大小分别为v1、v2，碰撞后的速度分别为
、
，根据动量守恒和能量守恒有
⑩
⑪
联立⑩
解得
⑪
⑫
（因为A 的质量小于B 的质量，所以碰后一定反弹，则另一解
舍去）
若要使A 第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，则须满足
⑬
联立
解得
⑫⑬
⑭
根据运动学规律有
⑮
11
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⑯
联立
解得
⑭⑮⑯
⑰
联立③④⑤⑥
解得
⑰
⑱
所以在（2）情形下，若要使A 第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，
应满足的条件是
⑲
【模型演练8】．（2023·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）如图所示，可视为质点的小球
A、B 在同一竖直线上间距
，小球B 距地面的高度
，两小球在外力的作用下处于静止状态。
现同时由静止释放小球A、B，小球B 与地面发生碰撞后反弹，之后小球A 与B 发生碰撞。已知小球A 的
质量
，小球B 的质量
，重力加速度
，所有的碰撞均无机械能损失，不计
碰撞时间。求：
（1）从释放小球A、B 到两球第一次相撞所经过的时间；
（2）小球A 第一次上升到最大高度时到地面的距离。
【答案】（1）0.6s；（2）5.45m
【详解】（1）小球B 落地时，A、B 两球的速度大小由
得
从释放两小球到小球B 第一次落地所用的时间
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小球B 反弹后，相对小球A 做匀速运动
（方法二：小球B 反弹后第一次与小球A 碰前小球B 所经过的位移大小
小球B 反弹后第一次与小球A 碰前小球A 所经过的位移大小
则
联立解得
）
从释放小球A、B 到两球第一次相撞所经过的时间
（2）两球相撞前瞬间的速度
两球相碰时距地面的高度
两球碰撞时动量守恒，取竖直向上为正方向
解得
小球A 第一次碰后上升的最大高度
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小球A 第一次上升到最大高度时到地面的距离
【模型演练9】．（2023·辽宁丹东·高三东港市第一中学阶段练习）如图所示，质量分别为mA、mB的两个
弹性小球A、B 静止在地面上方，B 球距地面的高度h=1.8 m，A 球在B 球的正上方，距地面的高度H=4.2
m。同时将两球释放，经过一段时间后两球发生第一次弹性正撞。所有碰撞时间忽略不计，已知mB=3mA，
重力加速度g=10 m/s2，忽略空气阻力和球的大小及所有碰撞中的动能损失。求：
（1）第一次碰撞点距地面的高度；
（2）第一次碰后A 球上升的最大距离。
【答案】（1）1.0m；（2）5m
【详解】（1）设释放后
时刻B 球落地，有
可得
A 球落地瞬间，B 球速度与A 球速度大小相等，均为
此时A 球距离地面
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设B 球反弹后再经过
时间相遇，有
解得
相遇点距地面的高度为
（2）A、B 碰撞前瞬间，A 球的速度为
B 球的速度大小
A、B 碰撞过程动量守恒，机械能守恒，规定竖直向上为正方向，有
联立得
碰后A 球上升的最大距离为
【模型二】非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型
1.非弹性碰撞
介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。
根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1
ˊ+m2v2
ˊ (1)
损失动能ΔEk，根据机械能守恒定律可得： ½m1v1
2+ ½ m2v2
2=
m1v1
ˊ2+
m2v2
ˊ 2 + ΔEk. (2)
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2． 完全非弹性碰撞
碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：
m1v1+m2v2=(m1+m2)v 共 （1）
完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：
ΔEk= ½m1v1
2+ ½ m2v2
2- ½(m1+m2)v 共2. （2）
联立（1）、（2）解得：v 共 =
m1v1+m2v2
m1+m2
；ΔEk=
1
2
m1m2
m1+m2
(v1−v2)2
【模型演练1】(2020·全国三卷15 题)甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与
乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为1 kg，则碰撞过程两
物块损失的机械能为( )
A．3 J
B．4 J
C．5 J
D．6 J
【答案】A
【解析】。根据图像，碰撞前甲、乙的速度分别为v 甲＝5.0 m/s，v 乙＝1.0 m/s，碰撞后甲、乙的速度分别
为v 甲′＝－1.0 m/s，v 乙′＝2.0 m/s。碰撞过程中由动量守恒定律得m 甲v 甲＋m 乙v 乙＝m 甲v 甲′＋
m 乙v 乙′，碰撞过程损失的机械能ΔE＝m 甲v 甲2＋m 乙v 乙2－m 甲v 甲′2－m 乙v 乙′2，联立以上各
式解得ΔE＝3 J。
【模型演练2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）一般情况下，竖直下落的球形雨滴其收尾速度与雨滴的半
径成正比。某下雨天，无风时，半径分别为
、
的球形雨滴在同一竖直线上匀速下落，下落过程
中两雨滴迅速融合为一雨滴。已知半径为
的雨滴匀速下落时的速度大小为v，动能为
，设两雨滴刚
融合为一雨滴时的速度大小为
，两雨滴融合过程中损失的动能为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】AB．竖直下落的球形雨滴其收尾速度与雨滴的半径成正比，则半径为
的雨滴速度
m2
m1
v 共
v2
v1
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设半径为
的雨滴的质量为m，根据
可知半径为
的雨滴质量
雨滴匀速下落，合外力为零，则两雨滴刚融合为一雨滴的过程动量守恒有
解得
选项A 错误，B 正确；
CD．半径为
的雨滴的动能
半径为
的雨滴动能
融合后雨滴的动能
所以两雨滴融合过程中损失的动能为
选项C 错误，D 正确。
故选BD。
【模型演练3】（2023·江苏南京·高三金陵中学阶段练习）a、b 两个物体以相同的动能E 沿光滑水平面上
的同一条直线相向运动，a 物体质量是b 物体质量的4 倍。它们发生碰撞过程中，a、b 两个物体组成的系
统的动能损失不可能是（ ）
A．1.85E
B．1.65E
C．1.25E
D．0
【答案】A
【详解】设b 的质量为m，则a 的质量为4m，两物体的动能E 相等，即
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则
碰撞过程两球组成的系统动量守恒，以a 的初速度方向为正方向，如果碰撞为完全非弹性碰撞，由动量守
恒定律得
解得
系统损失的动能
已知
解得
如果碰撞为完全弹性碰撞，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得
系统损失的动能
又
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解得
则损失的动能为
故A 正确。
故选A。
【模型演练4】．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校阶段练习）冰壶比赛是2022 年北京冬
奥会的比赛项目。蓝壶（实心圆）以动能
碰撞静止的红壶（与蓝壶材料相同，质量相等）（空心圆），
某兴趣小组将碰撞前后两壶的位置标记如图所示，A、B 分别为碰前瞬间蓝壶、红壶所在位置，C、D 分别
为碰撞后蓝壶、红壶停止的位置。则由图可得碰撞过程中损失的动能约为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】ABCD．假设方格边长为x，则碰撞后，由动能定理可得
，
可知碰撞后红壶的动能时蓝壶的4 倍，则
得
假设碰撞后
，
，则碰撞过程中由动量守恒可得
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得
由题意知
可知碰撞后
，
所以碰撞过程中损失的动能约为
故C 正确，ABD 错误。
故选C。
【模型演练5】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在距水平地面高h=0. 80m 的水平桌面右端的边缘
放置一个质量m=1.60kg 的木块B，桌面的左端有一质量M=2.0kg 的木块A，以v0=4.0m/s 的初速度向木块
B 滑动，经过时间t=0.80s 与B 发生碰撞，碰后两木块都落到水平地面上，木块B 离开桌面后落到水平地面
上的D 点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且D 点到桌面边缘的水平距离x=0.60m，木
块A 与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度g 取10m/s2，求：
（1）两木块碰撞前瞬间木块A 的速度大小vA；
（2）木块B 离开桌面时的速度大小vB；
（3）碰撞过程中损失的机械能ΔE。
【答案】（1）
；（2）
；（3）1.56J
【详解】（1）对木块A 从桌面的左端到与B 碰撞前，由动量定理
解得两木块碰撞前瞬间木块A 的速度大小
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（2）木块B 离开桌面后做平抛运动，由水平方向匀速直线运动得
竖直方向上自由落体运动得
解得木块B 离开桌面时的速度大小
（3）木块A、B 碰撞过程动量守恒，设木块A 碰撞后的速度为
，则
解得
碰撞过程中损失的机械能
【模型演练6】．（2023·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考模拟预测）如图所示，动摩擦因数为μ
的粗糙的水平轨道AC 右端与一光滑竖直半圆轨道相连，半圆轨道半径为R，半圆轨道最低点为C，最高点
为D。在半圆轨道最低点放置小物块N，在水平轨道左端A 点放置小物块M，两物块的质量均为m，AC 间
距离为L。现对物块M 施加水平外力使其向右运动，拉力的功率恒为P，拉力作用一段时间撤掉（此时物
块还没到C 点），M、N 两物块碰撞后合为一个整体，沿圆弧运动到D 点时对轨道的压力恰好等于整体重
力。M、N 都视为质点。重力加速度为g，求：
（1）两物块碰撞前后损失的机械能
。
（2）拉力作用的时间t。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）在D 点，根据牛顿第二定律可得
又
解得
从C 点到D 点过程，根据动能定理可得
解得
碰撞过程根据动量守恒可得
解得
两物块碰撞前后损失的机械能为
（2）物块M 从A 到C 过程，由动能定理得
解得
【模型演练7】（2023·广东茂名·统考模拟预测）在交通事故现场勘查中，刹车痕迹是事故责任认定的一项
重要依据。在平直的公路上，一辆汽车正以108km/h 的速度匀速行驶，司机突然发现正前方不远处一辆货
车正以36km/h 的速度匀速行驶，汽车司机立即刹车以8
的加速度做匀减速运动，结果还是撞上了货车，
22
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撞后瞬间两车速度相等。撞后汽车立即以7.5
的加速度做减速运动直至停下来，汽车从开始刹车到最
终停止运动，整个过程在地上留下的刹车痕迹长46.25m；撞后货车也立即以2.5
的加速度向前减速运
动，滑行45m 后停下。已知货车质量为1.6t，两车碰撞时间极短可忽略不计，求：
（1）碰撞后瞬间货车的速度大小；
（2）汽车的司机发现货车时，两车之间的距离；
（3）两车碰撞过程中损失的机械能。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）碰撞后，货车做匀减速直线运动，根据题意可知
，
，根据匀变速运
动规律有
代入数据解得
（2）碰撞后瞬间，汽车的速度
，做匀减速直线运动
，根据匀变速运动规
律有
代入数据解得
设汽车刹车后碰撞前的位移为
，位移关系为
可得
汽车刹车后碰撞前做匀减速直线运动，初速度
，
，碰前瞬间速度为
，碰前时
间为t，根据匀变速运动规律有
23
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代入数据解得
根据速度时间关系，有
代入数据解得
货车碰撞前做匀速直线运动，时间也为t，设位移为
代入数据解得
汽车的司机发现货车时，两车之间的距离
代入数据解得
（3）两车碰撞过程满足系统动量守恒定律
代入数据解得
设碰撞损失的动能为
，则有
代入数据解得
【模型三】碰撞模型三原则
(1)动量守恒：即p1＋p2＝p1′＋p2′.
(2)动能不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋.
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(3)速度要合理
①若碰前两物体同向运动，则应有v 后>v 前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，
则应有v 前′≥v 后′。
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。
【其它方法①】临界法
弹性碰撞没有动能损失，完全非弹性碰撞动能损失最多，计算出这两种情况下的临界速度，那么其他碰撞
应该介于二者之间。[来源:学科网ZXXK]
【模型演练1】（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图所示，质量为m 的A 球以速度v0在光滑水
平面上运动，与原来静止的质量为4m 的B 球碰撞，碰撞后A 球以v=av0 （待定系数a<1）的速率弹回，并
与挡板P 发生完全弹性碰撞，若要使A 球能追上B 球再次相撞，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
<a≤
【答案】D
【详解】设碰后B 球的速度大小为v1，根据动量守恒定律有
①
根据碰撞过程中机械能不会增加，有
②
A 球与挡板P 发生完全弹性碰撞后速度大小不变，则若要使A 球能追上B 球再次相撞，应有
③
联立①②③解得a 的取值范围为
故选D。
【模型演练2】（2023·西藏拉萨·高三拉萨中学阶段练习）在光滑水平面上，一质量为m，速度大小为v 的
A 球与质量为3m 静止的B 球碰撞后，A 球的速度方向与碰撞前相反。则碰撞后B 球的速度大小可能是（
）
A．0
B．0.2v
C．0.4v
D．0.6v
【答案】C
25
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【详解】A、B 两球在碰撞的过程中合外力为零，满足动量守恒，设A、B 两球碰撞后的速度分别为v1、
v2，选碰撞前A 的速度v 方向为正方向，由动量守恒定律有
假设碰后A 球静止，即v1=0，可得
由题意知A 球被反弹，所以球B 的速度
AB 两球碰撞过程能量可能有损失，由能量关系有
联立方程，可得
则碰撞后B 球的速度大小可能是0.4v。
故选C。
【模型演练3】（2023·高三课时练习）两球A、B 在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，mA=1kg，
mB=1kg、vA=6m/s、vB=2m/s。当A 追上B 并发生碰撞后，两球A、B 速度的可能值是（ ）
A．vA′=1m/s，vB′=7m/s
B．vA′=2m/s，vB′=6m/s
C．vA′=4m/s，vB′=4m/s
D．vA′=5m/s，vB′=3m/s
【答案】BC
【详解】根据动量守恒定律可得
①
根据碰撞过程系统机械能不会增多可得
②
联立①②解得
③
④
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再根据碰撞能够发生可得
⑤
综上所述可知AD 不可能，BC 可能。故选BC。
【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）质量相等的A、B 两球在光滑水平面上，沿同一直线、同一
方向运动，A 球的动量pA=9kg·m/s，B 球的动量pB=3kg·m/s，当A 追上B 时发生碰撞，则碰后A、B 两球
的动量可能值是（ ）
A．pA′=6kg·m/s，pB′=6kg·m/s
B．pA′=4kg·m/s，pB′=6kg·m/s
C．pA′=－6kg·m/s，pB′=18kg·m/s
D．pA′=4kg·m/s，pB′=8kg·m/s
【答案】AD
【详解】A．设两球质量均为m，碰前总动量
p=pA＋pB=12kg·m/s
碰前总动能
Ek=
＋
=
若pA′=6kg·m/s，pB′=6kg·m/s，碰后总动量
p′=pA′＋pB′=12kg·m/s
碰后总动能
Ek′=
＋
=
故可能发生，选项A 正确；
B．若pA′=4kg·m/s，pB′=6kg·m/s，碰后
p′=pA′＋pB′≠p
故不可能，选项B 错误；
C．若pA′=－6kg·m/s，pB′=18kg·m/s，碰后
Ek′=
＋
故不可能，选项C 错误．
D．若pA′=4kg·m/s，pB′=8kg·m/s，碰后
p′=12kg·m/s=p
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则
Ek′=
＋
=
故可能，选项D 正确。
故选AD。
【模型演练5】．（2023·河南南阳·高三统考期中）在光滑水平直轨道上，A 球追上B 球发生碰撞，已知碰
前它们的动量分别为PA＝10kg·m/s，PB＝9kg·m/s，碰后B 球的动量变为PB'＝15kg·m/s，则两球的质量关系
可能是（ ）
A．mB＝mA
B．mB＝2mA
C．mB＝3mA
D．mB＝4mA
【答案】BC
【详解】A 球从后面追上B 球并发生碰撞，说明A 的速度大于B 的速度，则有
解得
碰撞过程系统动量守恒，以A 的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
代入数据解得
碰撞过程总动能不增加，则有
代入数据整理解得
碰撞后两球同向运动，甲的速度不大于乙的速度，则
代入数据整理得
综上所述可知
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故BC 正确、AD 错误。
故选BC。
【模型四】 小球—曲面模型
(1)小球上升至最高点时，小球的重力势能最大
水平方向动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v
能量守恒：m1v0
2＝(m1＋m2)v2＋m1gh
(相当于完全非弹性碰撞)
(2)小球返回曲面底端时
动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2
能量守恒：m1v0
2＝m1v1
2＋m2v2
2
(相当于弹性碰撞)
【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R=0.8m 的
光滑圆
弧斜劈B，斜劈的质量是M=3kg，底端与水平面相切，左边有质量是m=1kg 的小球A 以初速度v0=4m/s 从
切点C（是圆弧的最低点）冲上斜劈，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球A 不能从斜劈顶端冲出
B．小球A 能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈
C．小球A 冲上斜劈过程中经过最低点C 时对斜劈的压力大小是30N
D．小球A 从斜劈上返回最低点C 时速度大小为2m/s，方向向左
【答案】ACD
【详解】C．小球A 向右运动到斜劈最低点C 时，设此时斜劈对小球的支持力为
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代入数据得
N
小球A 对斜劈的压力也是30N，选项C 正确；
AB．假设小球能运动到斜劈顶端，此时小球和斜劈水平速度相等为
，小球竖直速度为
，水平方向动量
守恒
小球和斜劈系统机械能守恒
联立得
小球A 不能从斜劈顶端冲出，选项A 正确，B 错误；
D．当小球A 在斜劈上返回最低点C 时，设小球A 和斜劈的速度分别为
、
联立得
小球A 从斜劈上返回最低点C 时速度大小为2m/s，方向向左，选项D 正确。
故选ACD。
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，光滑水平面上有一质量为
、半径为R（R 足
够大）的
光滑圆弧曲面C，质量为M 的小球B 置于其底端，另一个小球A 质量为
，小球A 以
的速度向B 运动，并与B 发生弹性碰撞，不计一切摩擦，小球均可视为质点，则（ ）
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A．B 的最大速率为
B．B 运动到最高点时的速率为
C．B 能与A 再次发生碰撞
D．B 不能与A 再次发生碰撞
【答案】AD
【详解】A．A 与B 发生弹性碰撞，取水平向右为正方向，根据动量守恒和能量守恒得
解得
所以B 的最大速率为
，故A 正确；
B．B 冲上弧面上的最高点时，竖直速度减小到零、水平速度与弧面共速，设它们的共同速度为v，则由水
平方向动量守恒有
解得
故B 错误；
CD．从B 冲上C 然后又滑下的过程，设B、C 分离时的速度分别为
，由水平方向动量守恒有
由机械能守恒有
联立解得
由于
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所以二者不会再次发生碰撞，故C 错误，D 正确。
故选AD。
【模型演练3】（2023·浙江·高三专题练习）如图所示，在水平面上静置一质量
的滑块，滑块上
表面是一个半径
的四分之一圆弧，圆弧最低点A 与水平地面相切。现给质量
的小球一个大
小
的水平初速度，小球经B 点离开滑块时，随即撤去滑块。小球于C 点第一次着地，小球每次与
地面碰撞前后，水平速度保持不变，竖直速度大小减半，方向反向。A 点始终与地面接触，忽略小球通过
各轨道连接处的能量损失，不计一切摩擦和空气阻力，求
（1）小球刚运动到滑块最低点A 时，对滑块的压力；
（2）小球离开滑块后所能到达的最大高度；
（3）要使小球能水平进入接收器最低点P，P 与C 间的最小距离为多大。
【答案】（1）
，方向竖直向下；（2）
；（3）
【详解】（1）小球刚运动到滑块最低点A 时，对小球
得
由牛顿第三定律可知，小球对滑块的压力
方向竖直向下
（2）小球滑上滑块到运动至最高点的过程中，小球和滑块组成的系统水平方向动量守恒，设小球运动到
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最高点h 时，滑块和小球水平方向的速度大小相等，设为
得
（3）设小球第一次着地前瞬间，竖直方向的速度大小设为
，初次着地后经t 时间，小球与地面发生第
次碰撞时与C 点的距离为x，则
解得
当
时
此时
即要使小球能水平进入接收器最低点P，P 与C 间的最小距离为
。
【模型演练4】（2023·河北·模拟预测）如图所示，A、B、C 的质量分别为
、
、
，轻弹簧的左端固定在挡板上，C 为半径
的
圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球
A 压缩弹簧（A 与弹簧不连接），当弹簧的弹性势能为
时由静止释放小球A，小球A 与弹簧分离
后与静止的小球B 发生正碰，小球B 到圆轨道底端的距离足够长，经过一段时间小球滑上圆轨道，一切摩
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擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取
。求：
（1）小球B 能达到的最大高度；
（2）通过计算分析，小球B 能否第二次进入圆轨道。
【答案】（1）
；（2）不能
【详解】（1）设碰前小球A 的速度为
，从释放小球A 到分离的过程，由能量守恒定律得
代入数据解得
A、B 碰撞的过程，A、B 组成的系统机械能守恒、动量守恒有
带入数据解得
，
小球与圆轨道在水平方向上共速时上升的高度最高，设共同的速度为
，小球与圆轨道组成的系统在水平
方向上动量守恒有
小球与圆轨道组成的系统能量守恒，有
代入数据解得
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，
（2）设小球与圆轨道分离时的速度分别
，由动量守恒定律和能量能守恒定律得
联立带入数据解得
，
球A 与球B 第一次碰后以
的速度向左运动，再次压缩弹簧，根据能量守恒定律，球A 与弹簧分
离后的速度大小为
，经过一段时间，球A 与球B 发生第二次碰撞，设碰后球A 和球B 的速度分
别为
、
，根据动量守恒定律和能量能守恒定律得
联立带入数据解得
，
因为
，所以小球B 无法第二次进入圆轨道。
【模型演练5】．（2023·福建·统考一模）如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量
M=0.10kg、半径R=0.20m 的四分之一光滑圆弧轨道CED（厚度不计）静置于水平地面上，圆弧轨道底端C
与水平面上的B 点平滑相接，O 为圆弧轨道圆心。用质量为m=0.20kg 的物块把弹簧的右端压缩到A 点由静
止释放（物块与弹簧不拴接），物块到达B 点时的速度为
。已知B 点左侧地面粗糙，物块与地面
之间的动摩擦因数为
，A、B 之间的距离为x=1m，B 点右侧地面光滑，g 取
。
（1）求物块在A 点时弹簧具有的弹性势能；
（2）求物块上升的最大高度；
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（3）使该物块质量变为
，仍由A 点静止释放，物块离开圆弧轨道D 点时受到一垂直纸面向里的
瞬时冲量
，并同时利用锁定装置让圆弧轨道瞬间停下，求物块离开轨道后运动轨迹的最高点到
D 点的距离。
【答案】（1）
；（2）h=0.15m；（3）
【详解】（1）设弹簧的弹性势能为
，物块从A 到B 的过程由动能定理得
代入数据得
（2）物块和圆弧轨道相互作用的过程水平方向动量守恒，机械能守恒，则
解得
h=0.15m
（3）设质量为
的物块到达B 点时的速度为
，物块从A 到B 的过程由动能定理得
物块到达D 点时在水平方向上与M 共速
解得
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设物块到达D 点时在竖直方向上的速度为
，由机械能守恒定律得
⑧
解得
物块飞出后在竖直方向上做匀减速运动，设从D 点飞出到最高点所用时间为t
当物块上升到D 点时受到一个垂直于纸面的冲量，设获得的速度为
，由
以物块飞出时D 点所在的位置为坐标原点，以水平向右为x 轴，竖直向上为y 轴，垂直于纸面向里为z 轴，
则在时间t 内各方向的位移分别为
则最高点到D 点的距离
代入数据得
【模型演练6】．（2023·内蒙古乌兰察布·高三校考阶段练习）如图所示，质量为
的四分之一光滑圆槽
位于光滑的水平面上，圆槽与水平面相切于
点。质量为
的小球从
点以初速度
沿水平面向右运动。
若圆槽固定，小球恰能运动到圆槽的点。重力加速度为
，不计空气阻力。求：
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（1）圆槽的半径；
（2）若圆槽不固定，小球上升的最大高度。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）若圆槽固定，根据机械能守恒定律有
解得
（2）若圆槽不固定，设小球上升到最大高度时小球和圆槽共同速度为，系统水平方向动量守恒得
同时系统机械能守恒可得
联立解得
【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在水平面上依次放置小物块A 以及曲面劈B，其
中A 的质量为m=1kg，曲面劈B 的质量M=3kg，曲面劈B 的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B 足够高，
所有的摩擦均不考虑。现给A 一个正对B 曲面的初速度，使A 冲上曲面劈。若曲面劈B 固定在地面上，则
物块A 能够达到的最大高度为H1，随后物块A 从曲面劈B 上滑离时的速度为v1；若将曲面劈B 自由放置
在地面上，则物块A 能够达到的最大高度为H2，随后物块A 从曲面劈B 上滑离时的速度为v2。求：
（1）H1与H2的比值；
（2）v1与v2的比值。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】若曲面劈B 固定在地面上，根据机械能守恒定律得
若曲面劈B 固定在地面上，设共同速度为v，根据动量守恒定律得
根据机械能守恒定律得
解得
（2）若曲面劈B 固定在地面上，随后物块A 从曲面劈B 上滑离时的速度为
若将曲面劈B 自由放置在地面上，根据动量守恒定律得
根据机械能守恒定律得
解得
【模型五】 小球—弹簧模型
(1)两小球速度相同时，弹簧最短，弹性势能最大
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动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v
能量守恒：m1v0
2＝(m1＋m2)v2＋Epm
(相当于完全非弹性碰撞)
(2)弹簧恢复原长时：
动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2
能量守恒：m1v0
2＝m1v1
2＋m2v2
2
(相当于完全弹性碰撞)
【模型演练1】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考二模）如图甲，质量分别为mA和mB的A、B 两小球用轻质
弹簧连接置于光滑水平面上，初始时刻两小球被分别锁定，此时弹簧处于压缩状态。t=0 时刻解除A 球锁
定，t=t1时刻解除B 球锁定，A、B 两球运动的a-t 图像如图乙所示，S1表示0 到t1时间内A 的a-t 图线与坐
标轴所围面积大小，S2、S3分别表示t1到t2时间内A、B 的a-t 图线与坐标轴所围面积大小。下列说法正确
的是（ ）
A．t1时刻后A、B 系统的总动量大小始终为mAS1 B．
C．
D．t2时刻，弹簧伸长量大于0 时刻的压缩量
【答案】AB
【详解】A．a-t 图像的面积等于这段时间的速度变化量大小，t=0 时刻解除A 球锁定，t=t1时刻解除B 球锁
定，说明t1时刻只有A 球具有速度，设此时A 球的速度为v1，则有
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t1时刻后A、B 组成的系统满足动量守恒，故总动量等于t1时刻A 球的动量，则有
故A 正确；
B．由图像可知t1时刻A 球的加速度为0，则此时弹簧弹力等于0，即弹簧处于原长状态，t2时刻两球的加
速度都达到最大，说明此时弹簧的弹力最大，弹簧的伸长量最大，即t2时刻两球具有相同的速度，设t2时
刻A、B 两球的速度为v2，从t1到t2过程，A 球的速度变化量大小为
B 球的速度变化量大小为
从t1到t2过程，A、B 组成的系统满足动量守恒，则有
可得
联立可得
故B 正确；
C．t=0 到t1时刻，A 球速度变化量大小为
从t1到t2过程，A 球的速度变化量大小为
从t1到t2过程，B 球的速度变化量大小为
联立可得
故C 错误；
D．从t=0 到t2时刻，A、B、弹簧组成的系统满足机械能守恒，则有
说明t=0 时刻弹簧的弹性势能大于t2时刻弹簧的弹性势能，即t=0 时刻弹簧的压缩量大于t2时刻弹簧的伸长
量，故D 错误。
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故选AB。
【模型演练2】．（2023·安徽黄山·统考三模）如图所示，光滑水平面上质量为2M 的物体A 以速度v 向右
匀速滑动，质量为M 的B 物体左端与轻质弹簧连接并静止在光滑水平面上，在物体A 与弹簧接触后，以下
判断正确的是（ ）
A．在物体A 与弹簧接触过程中，弹簧对A 的弹力冲量大小为
B．在物体A 与弹簧接触过程中，弹簧对B 的弹力做功的功率一直增大
C．从A 与弹簧接触到A、B 相距最近的过程中，弹簧对A、B 做功的代数和为0
D．从A 与弹簧接触到A、B 相距最近的过程中，最大弹性势能为
【答案】AD
【详解】A．根据动量守恒定律得
根据机械能守恒定律得
解得
根据动量定理得
解得
A 正确；
B．在物体A 与弹簧接触到弹簧最短的过程中，弹簧的弹力和B 的速度都增大，弹簧对B 的弹力做功的功
42
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率增大；在弹簧接近原长时，B 的速度接近
，而弹簧的弹力几乎等于零，弹簧对B 的弹力做功的功率
几乎等于零，所以在物体A 与弹簧接触过程中，弹簧对B 的弹力做功的功率先增大后减小，B 错误；
CD．根据动量守恒定律得
解得
弹簧对A、B 做功分别为
弹簧对A、B 做功的代数和为
最大弹性势能为
C 错误，D 正确。
故选AD。
【模型演练3】．（2023·河北·高三学业考试）如图甲所示，物块A、B 静止在光滑水平地面上，中间用一
轻质弹簧连接，初始时弹簧处于原长，给A 一水平向右的瞬时速度
，之后两物块的速度随时间变化的图
像如图乙所示，已知弹簧始终处于弹性限度内，
、
时刻弹簧的弹性势能分别为
、
，则下列说
法正确的是（ ）
A．A、B 的质量之比为
43
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B．
时刻B 的速度为
C．
时刻弹簧的弹性势能为
D．
时刻A、B 的速率之比为
【答案】BC
【详解】A．根据图乙可知
时刻两物块速度相等，根据动量守恒定律有
解得
A 错误；
B．根据图乙可知
时刻A 的速度为零，则根据动量守恒定律有
又
可得
时刻B 的速度为
B 正确；
C．从
时间内，根据能量守恒可得
从
时间内，根据能量守恒可得
联立解得
44
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C 正确；
D．
时刻，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
结合以上分析联立解得
，
或
，
结合图乙可知第二种结果不符合题意，则
时刻A、B 的速率之比为
D 错误。
故选BC。
【模型演练4】．（2023·湖南郴州·统考三模）如图所示，质量为
的物块P 与物块Q（质量未知）之间拴
接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P 物体一瞬时初速度，并把此时记为0
时刻，规定向右为正方向，0~2t0内P、Q 物块运动的
图像如图所示，已知
时刻P、Q 的加速度最大，
其中轴下方部分的面积大小为，则（ ）
A．物体Q 的质量为
B．
时刻Q 物体的速度大小为
C．
时刻弹簧的弹性势能为
45
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D．
时间内弹簧对P 物体做功为零
【答案】BCD
【详解】A．
时间内Q 所受弹力方向向左，P 所受弹力方向始终向右；
时刻，P、Q 所受弹力最大
且大小相等，由牛顿第二定律可得
解得物体Q 的质量为
故A 错误；
B．根据
图像与横轴围成的面积表示速度变化量，可知
时间内，Q 物体的速度变化量大小为
则
时刻Q 物体的速度大小为
，故B 正确；
C．
时刻两物体具体相同的速度，根据对称性可知，
时刻P、Q 物体的速度大小为
设物体P 的初速度为
，根据动量守恒可得
解得
设
时刻弹簧的弹性势能为
，根据能量守恒可得
联立解得
46
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故C 正确；
D．设
时刻P 物体的速度为
；根据动量守恒可得
解得
可知
时刻P 物体的速度大小等于
时刻P 物体的速度大小，则
时刻P 物体的动能等于
时刻P 物体
的动能，故
时间内弹簧对P 物体做功为零，故D 正确。
故选BCD。
【模型演练5】（2023·湖北·模拟预测）如图，质量均为
的物块A、B 用轻弹簧相连，放在光滑水
平面上，B 与竖直墙面紧靠。另一个质量为
的物块C 以某一初速度向A 运动，C 与A 碰撞后粘在一起
不再分开，它们共同向右运动并压缩弹簧，弹簧储存的最大弹性势能为6.0J，最后弹簧又弹开，A、B、C
一边振动一边向左运动。那么下列说法错误的是（ ）
A．从C 触到A，到B 离开墙面这一过程，系统的动量不守恒，机械能损失
B．B 离开墙面以后的运动过程中，B 的最大速度为
C．C 的初动能为9J
D．B 离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为1.5J
【答案】B
【详解】AC．从C 触到A，到B 离开墙面这一过程，C 与A 碰撞后粘在一起不再分开，是非弹性碰撞，机
械能有损失，C、A 共同向右运动并压缩弹簧过程中，B 受到墙面的作用力，系统的动量不守恒；设C 的
初速度为v0，初动能为
，对C 与A 碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得
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C、A 向右压缩弹簧的过程，由机械能守恒得
得
初动能为
联立解得
，
，
机械能损为
AC 正确；
B．当B 刚离开墙壁时C、A 的速度大小等于v1，方向向左。当弹簧由拉伸第二次恢复原长时B 的速度最
大，取向左为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得
，
解得B 的最大速度为
B 错误；
D．B 离开墙面后，当三个物体的速度相同时弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律和
机械能守恒定律得
，
联立解得B 离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为
D 正确。
本题选择错误的，故选B。
48
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【模型演练6】（2023·湖南·模拟预测）如图所示，轻弹簧连接着两个质量均为
的小球2、3，静止
于光滑水平桌面上。另一个质量为
的小球1 以速度
撞向小球2，
的方向沿着两小球2
和3 连线方向，已知小球之间的碰撞为弹性碰撞且球1 与球2 之间不会发生二次碰撞，求：
（1）第一次碰撞刚结束时三个小球的速度分别是多少？
（2）经计算可知，在小球1 和2 发生第一次碰撞后的1.57s，弹簧第一次压缩到最短，求此时弹簧的弹性
势能。
（3）在小球1 和2 发生第一次碰撞后的1.57s 内，小球3 的位移为5.7m。求此时小球1 和小球2 之间的距
离。
【答案】（1）
，
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）对小球1 和小球2 组成的系统，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
，
解得
，
此时小球3 还没有反应过来，其速度为0。
（2）碰撞后，小球2 和小球3 组成的系统动量守恒，则有
解得
小球2 和小球3 及弹簧组成的系统机械能守恒，则有
解得
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（3）根据题意可知，发生第一次碰撞后的
，小球2 和小球3 达到共速，根据小球的运动情况画出两
小球的
图像，如图所示
在运动过程中两小球的加速度大小始终相等，可知两条图线上下对称，根据
图像的面积代表物体的位
移可以得出小球2 的位移为
而在此段时间内小球1 一直保持匀速直线运动，故小球1 的位移为
故
时小球1、2 之间的距离为
【模型演练7】．（2023·江西景德镇·统考三模）如图甲所示，物块A、B 的质量分别是
和
，用轻弹簧拴接两物块放在光滑的水平地面上，物块B 的右侧与竖直墙面接触。另有一物块C 从
时刻起，以一定的速度向右运动，在
时与物块
相碰，并立即与
粘在一起不再分开，物块C 的
图像如图乙所示。
（1）物块C 的质量
；
（2）物块B 离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能；
（3）物块B 离开墙壁后，物块B 的最大速度值。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题图乙知，
与
碰前速度为
，碰后速度为
与
碰撞过程动量
守恒，以
的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
解得
（2）当
与
速度为0 时，弹性势能最大
（3）物块
离开墙壁后，系统动量守恒、机械能守恒，物块
的最大速度时，弹簧处于原长，则
解得
故物块
离开墙壁后，物块
的最大速度为
【模型六】 子弹打木块模型
子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的
木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。
设质量为
的子弹以初速度
射向静止在光滑水平面上的质量为
的木块，并留在木块中不再射出，子
弹钻入木块深度为
。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。
v0
s1
s2 d
51
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要点诠释：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：mv 0=(M +m)v ……①
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为
，设子弹、木块的
位移大小分别为
、
，如图所示，显然有
对子弹用动能定理：
−f⋅s1=1
2 mv 2−1
2 mv 0
2
……②
对木块用动能定理：
f⋅s2=1
2 Mv 2
……③
①、②相减得：
f⋅d=1
2 mv 0
2−1
2
(M +m)v2=
Mm
2(M +m) v0
2
……④
对子弹用动量定理：−f⋅t=mv −mv 0
……⑤
对木块用动量定理：f⋅t=Mv
……⑥
点评：这个式子的物理意义是：
恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该
等于系统内能的增加；可见f⋅d=Q ，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），
等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里
应该用路程，而不是用位移）。
由上式不难求得平均阻力的大小：
f =
Mmv 0
2
2(M +m)d
至于木块前进的距离
，可以由以上②、③相比得出：
s2=
m
M +m d
从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运
动，位移与平均速度成正比：
s2+d
s2
=(v0+v)/2
v/2
= v0+v
v
,∴d
s2
= v0
v = M +m
m
, s2=
m
M +m d
52
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一般情况下M >>m ，所以s2<<d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。
这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类
型，全过程动能的损失量可用公式：
ΔEk=
Mm
2(M +m) v0
2
④
当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量
仍然守恒，系统动能损失仍然是
（这里的
为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不
相等，所以不能再用④式计算
的大小。
【模型演练1】（2021 届辽宁省沈阳实验中学高三模拟）质量为m 的子弹以某一初速度v0击中静止在光滑
水平地面上质量为M 的木块，并陷入木块一定深度后与木块相对静止，甲、乙两图表示了这一过程开始和
结束时子弹和木块可能的相对位置，设木块对子弹的阻力大小恒定，下列说法正确的是（ ）
A．M 越大，子弹射入木块的时间越短
B．M 越大，子弹射入木块的深度越深
C．无论m、M、v0的大小如何，都只可能是甲图所示的情形
D．若v0较小，则可能是甲图所示情形；若v0较大，则可能是乙图所示情形
【答案】BC
【解析】
A．由动量守恒定律
则对木块由动量定理
解得
53
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则M 越大，则t 越大，选项A 错误；
B．由能量关系
解得
则M 越大，则d 越大，选项B 正确；
CD．对木块由动能定理
解得
则
则
d>x
即无论m、M、v0的大小如何，都只可能是甲图所示的情形，选项C 正确，D 错误。
故选BC。
【模型演练2】（2023·陕西西安·校考三模）如图所示，质量为m 的长木板B 放在光滑的水平面上，质量
为
的木块A 放在长木板的左端，一颗质量为
的子弹以速度v0射入木块并留在木块中，当木块滑离
木板时速度为
，木块在木板上滑行的时间为t，则下列说法错误的是（ ）
A．木块获得的最大速度为
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B．木块滑离木板时，木板获得的速度大小为
C．木块在木板上滑动时，木块与木板之间的滑动摩擦力大小为
D．因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差
【答案】B
【详解】A．对子弹和木块A 组成的系统，根据动量守恒定律
解得
此后木块A 与子弹一起做减速运动，则此时木块的速度最大，选项A 正确；
B．木块滑离木板时，对木板和木块包括子弹系统
解得
选项B 错误；
C．对木板，由动量定理：
解得
选项C 正确；
D．由能量守恒定律可知，木块在木板上滑动时，因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少
的动能与木板增加的动能之差，选项D 正确。
本题选错误的，故选B。
【模型演练3】（2021 届福建省福州高三模拟）矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其
放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 水平射向滑块．若射击下层，子弹刚好不射出；若射击上
层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示．则上述两种情况相比较( )
55
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A．子弹的末速度大小相等
B．系统产生的热量一样多
C．子弹对滑块做的功不相同
D．子弹和滑块间的水平作用力一样大
【答案】AB
【解析】根据动量守恒，两次最终子弹与木块的速度相等，A 正确；根据能量守恒可知，初状态子弹簧动
能相同，末状态两木块与子弹的动能也相同，因此损失的动能都转化成了热量相等，B 正确，子弹对滑块
做的功等于滑块末状态的动能，两次相等，因此做功相等，C 错误，产生的热量
，由于产生的
热量相等，而相对位移
不同，因此子弹和滑块间的水平作用力大小不同，D 错误。
【模型演练4】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）用同种材料制成的质量均为M=0.1kg 的n 个长
度不同的滑块等间距的静止放在光滑水平面上，依次编号为1、2、3…。质量为m=0.1kg 的子弹（视为质
点）以水平初速度v0=100m/s 依次击穿这些滑块后最终停留在第n 个滑块中。测量发现，子弹穿过编号为1
的滑块后，该滑块的速度变为v=15m/s，且子弹穿过每个滑块所用的时间都相等。已知子弹穿过滑块时受
到的水平阻力f=15N 并保持恒定，且在子弹与第n 个滑块共速前，各滑块均未发生碰撞。不考虑子弹在竖
直方向上的受力和运动，滑块不翻转，不计空气阻力。求：
（1）穿过1 滑块过程中系统损失的机械能；
（2）n 值；
（3）滑块间距d 的最小值。
【答案】（1）127.5J；（2）6；（3）
【详解】（1）子弹击穿第1 个滑块
解得
56
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损失的机械能
解得
（2）子弹穿出每个滑块过程中减少的速度
子弹可穿出的滑块的数量
（
为取整符号）故
（3）子弹穿第1 个滑块过程中，对滑块有
解得
易知，d 的最小值应在第4 个与第5 个滑块之间的间距、第5 个与第6 个滑块之间的间距当中取较大的。
①若d 的最小值取第4 个与第5 个滑块之间的间距：子弹穿第4 个滑块过程中：
对前4 个滑块和子弹有
解得
第4 个滑块加速运动的距离
解得
子弹穿出第4 个滑块后到穿出第5 个滑块过程中，子弹运动的时间
第5 个滑块加速运动的距离
57
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第4 个滑块恰好追上第5 个滑块
联立解得
②若d 的最小值取第5 个与第6 个滑块之间的间距：易知，子弹穿出第5 个滑块时的速率
子弹与第6 个滑块共速的过程中
解得共同的速率
第6 个滑块加速时间
第5 个滑块恰在子弹与第6 个滑块共速时追上第6 个滑块
联立解得
要保证子弹与第n 个滑块共速前，各滑块均未发生碰撞，则
【模型演练5】．（2023 秋·山东青岛·高三统考期末）如图，质量M＝2kg 的木板A 静止在光滑的水平面上，
其右端与固定的弹性挡板P 相距x，一根长L＝0.8m 的轻质细线，一端与质量mB＝0.9kg 的滑块B（可视为
质点）相连，细线一端固定在O 点，水平拉直细线并由静止释放，当滑块B 到达最低点时，被一颗水平飞
来的小钢珠C 以v0＝44m/s 的速度击中（留在了B 内），被击中后的滑块B 恰好将细线拉断，之后滑上木
板A。已知小钢珠的质量mC＝0.1kg，A、B 之间动摩擦因数μ＝0.2，木板A 足够长，滑块B 不会滑离木板，
木板与挡板P 碰撞时无机械能损失，不计空气阻力，重力加速度为g＝10m/s2。求：
（1）细线能承受的最大拉力；
（2）若x＝2m，木板A 与挡板P 的碰撞次数；
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（3）若x＝2m，最终B 与A 左端之间距离；
（4）若木板A 与挡板发生了8 次碰撞，x 满足的条件。
【答案】（1）90N；（2）1；（3）16m；（4）
【详解】（1）设滑块B 与小钢珠碰撞前的瞬时速度为
，碰撞后的瞬时速度为
，轻绳承受最大拉力为
T，根据机械能守恒定律可得
解得
规定向右为正方向，根据守恒定律有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
T=90N
（2）只发生一次碰撞时，有
滑块在A 上时，由动量守恒
由动能定理
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解得
若x＝2m，木板A 与挡板P 的刚好碰撞1 次；
（3）由（2）可知
之后，AB 最终静止，AB 之间相对运动为x′，有
解得
若x＝2m，最终B 与A 左端之间距离为16m；
（4）若木板A 与挡板发生了8 次碰撞，A 发生的位移为15x，每次用时均为t，有
A 每次到档板处
结合
可得碰撞8 次时
碰撞7 次时
则x 满足的条件
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【模型七】 滑块木板模型
示意图
木板初速度为零
木板有初速度，板块反向
v-t 图
【模型演练1】（2023·山西阳泉·统考三模）如图（A）所示，长方形木板放在光滑的水平地面上，在其右
端放置一可视为质点的小木块，现给长方形木板一个大小为
，方向水平向右的初速度，最后小木块刚好
没有滑离长方形木板；如图（B）所示，与上面相同的长方形木板静止放置在光滑的水平面上，在其左端
地面上固定一个四分之一光滑圆弧槽，圆弧槽的下端与木板的上表面相平，现让相同的小木块从圆弧槽的
最高点由静止开始滑下，最后小木块也是刚好没有滑离长方形木板．已知小木块与长方形木板间的动摩擦
因数为
，长方形木板的质量为小木块质量的3 倍，重力加速度为
，求：
（1）长方形木板的长度；
（2）圆弧槽轨道的半径；
（3）图（A）中小木块在长方形木板上的滑行时间与图（B）中小木块在长方形木板上的滑行时间之比。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对于题图（A），小木块、长方形木板组成的系统动量守恒，设二者的共同速度大小为
，
v0
v 共
v0
v 共
-v0
v1=0
v2
(m<M)
t
O
v
v0
t1
木板
木块
v 共
t
O
v
v0
t1
木块
木板
v 共
-v0
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木块的质量为
，则长方形木板的质量为
，规定木板的初速度方向为正方向，由动量守恒定律有
解得
设长方形木板的长度为
，由功能关系有
解得长方形木板的长度为
（2）设圆弧槽轨道的半径为，小木块刚滑上长方形木板时的速度大小为，由机械能守恒定律可得
对于题图（B），小木块、长方形木板组成的系统动量守恒，设二者的共同速度为
，由动量守恒定律可
得
由功能关系有
解得圆弧槽轨道的半径为
（3）对题图（A）中的小木块，规定小木块受到的摩擦力的方向为正方向，由动量定理有
解得小木块在木板上滑动的时间为
对题图（B）中的长方形木板，规律长方形木板受到的摩擦力方向为正方向，由动量定理有
解得
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题图（A）中的小木块在长方形木板上的滑行时间与题图（B）中的小木块在长方形木板上的滑行时间之比
为
【模型演练2】．（2023·陕西安康·统考模拟预测）如图1 所示，木板B 静止在光滑水平地面上，距木板B
右端x 处固定一个物体A。现有物块C 以
的速度冲上木板。已知木板B 的质量
，物块C
的质量
，物块C 从冲上木板到最终静止的
图像如图2 所示，物块C 始终未从木板上掉下来，
已知所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度g 取
。
（1）木板的长度至少是多少？
（2）物块A 距木板B 右端的最大距离？
（3）若
，A 距B 板右端的距离
，则木板B 运动的总路程是多少？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由图2 可知物块C 的最终速度为0，则木板B 的最终速度也为0，且其斜率等于物块的加速
度，得
由能量守恒定律可得
解得
（2）由
图像的斜率可得
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由牛顿第二定律
，
解得
，
由B、C 速度为0，可知B 一定与A 发生了碰撞，且碰撞次数越少，A 距B 板右端距离越大，因此A、B 只
碰撞1 次，x 最大，且B、A 碰撞前B、C 未共速；设B 与A 碰撞前B 的速度为
，C 的速度为
，根据碰
后
则有
即
解得
则
即A 距木块右端的最大距离为
。
（3）若
，
，则
，
则B 与A 碰撞前B、C 恰好共速，则
解得
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共同速度为
碰后B 的速度反向，设第2 次共速时间
，则
解得
第二次共速
所以
运动的位移
木板经过的总路程
【模型演练3】．（2023·湖南株洲·统考三模）如图，一平板车静止在光滑水平地面上，小物块A 和B 分
别从车的最左端和最右端同时开始相向运动，两物块在平板车上发生碰撞，最终都与平板车保持相对静止。
已知平板车的质量
，长度
，A、B 的质量均为
，A 的初速度大小为
，与
平板车之间的动摩擦因数
；B 的初速度大小为
，与平板车之间的动摩擦因数
，
A、B 均可视为质点，它们之间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度
取
，求：
（1）整个过程中，A、B 以及平板车组成的系统损失的机械能；
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（2）A、B 发生碰撞的位置与平板车最左端的距离；
（3）A、B 与车保持相对静止时，A、B 之间的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，设平板车最终的速度为，以A、B 以及平板车为系统，根据动量守恒定律有
解得
则系统损失的机械能为
解得
（2）根据题意，设开始运动时A、B 和平板车的加速度大小分别为
、
和a，根据牛顿第二定律有
设经
时间A、B 发生碰撞，则有
代入数据得
或
（舍去）
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A、B 发生碰撞的位置与平板车最左端的距离
解得
（3）设A、B 发生碰撞前瞬间，A、B 和平板车的速度分别为
、
和v，则有
A、B 质量相等，发生弹性碰撞后速度交换，则碰撞后有
碰后B 与平板车速度相等，分析可知此后B 与平板车始终保持相对静止。设此后A 与平板车的相对位移为
，则有
最终A、B 之间的距离
【模型演练4】．（2023 春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，质量均为
的两个小滑块A 和
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B，放在静止于光滑水平地面上的长木板C 上，木板的质量为
，A、B 与木板间的动摩擦因数分别
为
、
。
时刻A、B 两滑块开始向右滑动，初速度大小均为
。
时A、B
发生弹性碰撞，最终A、B 均未从木板C 上滑落。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小
。求：
（1）
时刻木板的加速度
；
（2）A、B 与木板C 间因摩擦产生总内能Q；
（3）开始运动时，两者之间的距离L。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对木板C，根据牛顿第二定律得
代入数据得
（2）由动量守恒定律得
根据能量守恒定律得
代入数据得
（3）对A 物体
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对B 物体
设经过时间
，BC 达共同速度
之后，BC 一起加速
当
时
代入数据得
【模型演练5】．（2023·江西南昌·校联考二模）如图所示，一质量为
的木板B 静止于光滑水平面上，
物块A 质量为
，停在木板B 的左端。质量为
的小球用长为
的轻绳悬挂在固定点O 上，将轻
绳向左拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A 发生弹性碰撞，碰后立即取走小球，
物块A 与小球均可视为质点，不计空气阻力，已知物块A 与木板B 之间的动摩擦因数
，重力加速
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度
。
（1）求碰撞过程中小球对物块A 的冲量大小；
（2）若木板长度为
，求物块A 的最终速度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球由静止摆至最低点过程，由机械能守恒
小球与物块A 发生弹性碰撞过程，由动量守恒和能量守恒可得
对物块A 运用动量定理
代入数据可得
（2）假设物块A 与木板B 达到共同速度，设相对位移为s，则由动量守恒和能量守恒得
联立解得
由于
，故物块A 从木板B 上滑下，设物块A 与木板B 最终速度分别为
和
，由动量守恒和能量守
恒得
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解得
【模型演练6】．（2023·高三课时练习）如图所示，一质量M = 3kg 的足够长木板B 静止在光滑水平面
上，B 的右侧有竖直墙壁，B 的右端与墙壁的距离L = 4m。现有一可视为质点的质量m = 1kg 的小物块
A，以v0 = 8m/s 的水平初速度从B 的左端滑上B，已知A、B 间的动摩擦因数μ = 0.2，B 与竖直墙壁的
碰撞时间极短，且碰撞时无能量损失。
（1）求B 与竖直墙壁碰撞前，A、B 组成的系统产生的内能；
（2）求从A 滑上B 到B 与墙壁碰撞所用的时间t；
（3）若B 的右端与墙壁的距离L 可以改变，并要求B 只与墙壁碰撞两次，则L 应该满足什么条件？
【答案】（1）24J；（2）3.5s；（3）
【详解】设A、B 达到的共同速度为v，根据动量守恒定律有
mv0 = (m＋M)v
解得
设这一过程中B 向右运动的位移为x1，根据动能定理有
解得
因x1 < L，A、B 达到共同速度后才与墙碰撞，对系统由能量守恒定律得
代入数据解得
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设从A 滑上B 到两者达到共同速度所用的时间为t1，则有
代入数据解得
两者达到共同速度后一起匀速运动，直到B 第一次与墙壁碰撞，设匀速运动所用时间为t2，
则
解得
所以从A 滑上B 到B 与墙壁碰撞所用的时间为
（3）要能碰撞两次，表明第一次碰撞前瞬间A、B 的速度大小不等。取水平向右为正方向，设B 与墙壁第
一次碰撞前瞬间A、B 的速度大小分别为v1、v2，根据动量守恒定律有
设B 与墙壁第二次碰撞前瞬间A、B 的速度大小分别为v3、v4，根据动量守恒定律有
若要B 与墙只发生两次碰撞，则第一次碰撞后系统总动量方向要向右，第二次碰撞后总动量方向不能向右，
所以有
根据B 往返运动的对称性知
，根据动能定理有
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联立以上各式，由
可得
由
可得
即L 应满足的条件是
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