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专题07 抛体运动模型
目录
【平抛运动模型的构建及规律】........................................................................................................................1
【三类常见的斜面平抛模型】...........................................................................................................................11
【半圆模型的平抛运动】...................................................................................................................................23
【平抛与圆相切模型】.......................................................................................................................................29
【台阶平抛运动模型】.......................................................................................................................................33
【体育生活中平抛运动的临界模型】..............................................................................................................35
【对着竖直墙壁的平抛模型】..........................................................................................................................40
【斜抛运动模型】...............................................................................................................................................47
【平抛运动模型的构建及规律】
1、平抛运动的条件和性质
（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度
。
（2）性质：加速度恒定
，竖直向下，是匀变速曲线运动。
2、平抛运动的规律
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动，
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
y= g
2v0
2 x2
合速度：大小：v=√vx
2+v y
2
即
，
方向：v 与水平方向夹角为
，即
a=tan−1( gt
v0
)
合位移：大小：S=√x2+ y2
即
，
方向：S 与水平方向夹角为
，即
θ=tan−1( gt
2v0
)
1
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一个关系：tan α=2tanθ ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相
同，速度的方向要陡一些。如图所示:
3、对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间
由竖直方向上的自由落体运动
y=1
2 gt 2
可以得到时间
t=√
2 y
g
可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或
者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程
y= g
2v0
2 x2
可以写出其水平射程
x=v0√
2 y
g
可见，在g 一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速
度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）正在高空水平匀速飞行的飞机，每隔1 s 释放一个小球，先后共释放5 个，
不计空气阻力，则（ ）
A．这5 个小球在空中排成一条倾斜直线
B．这5 个小球在空中处在同一抛物线上
C．在空中，第1、2 两个球间的距离保持不变
D．相邻两球的落地点间距相等
【答案】D
【详解】ABD.释放的每个小球都做平抛运动，水平方向的速度与飞机的飞行速度相等，所以这5 个小球在
空中排成一条竖直直线，由于释放时间间隔相等，则相邻小球落地点间距相等，选项AB 错误，D 正确；
C.竖直方向5 个小球均为自由落体运动，由于第2 个球释放时第1 个小球的速度已经为
2
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v0＝gt＝10 m/s
故之后经时间t，两小球间距为
Δh＝（v0t＋1
2gt2）－1
2gt2＝v0t
故两小球间距逐渐增大，选项C 错误。
故选D。
2．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s 的速度水平冲出平台，恰好跨越长
的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取
，则两平台的高度
差h 为（ ）
A．0.5m
B．5m
C．10m
D．20m
【答案】B
【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向
水平方向
其中
、
解得
故选B。
3．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，
在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水
口的速度大小为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则
落到桶底A 点时
解得
故选C。
4．（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的
谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为
，且轨迹交于
点，抛
出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为
和
，其中
方向水平，
方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷
粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
4
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A．谷粒1 的加速度小于谷粒2 的加速度
B．谷粒2 在最高点的速度小于
C．两谷粒从
到
的运动时间相等
D．两谷粒从
到
的平均速度相等
【答案】B
【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1 的加速度等于谷粒2
的加速度，A 错误；
C．谷粒2 做斜向上抛运动，谷粒1 做平抛运动，均从O 点运动到P 点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2
做竖直上抛运动，谷粒1 做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2 运动时间较长，C 错误；
B．谷粒2 做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。
与谷粒1 比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2 水平方向上的速度较小即最高点的速度小于
，
B 正确；
D．两谷粒从O 点运动到P 点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1 的平均速度大于谷
粒2 的平均速度，D 错误。
故选B。
5.（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面
的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，
h 远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间t；
（2）水从管口排出时的速度大小
；
（3）管口单位时间内流出水的体积Q。
5
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向
解得水从管口到水面的运动时间
（2）由平抛运动规律得，水平方向
解得水从管口排出时的速度大小
（3）管口单位时间内流出水的体积
6．（2023·全国·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗
称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大
于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h 处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？
（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【答案】
【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得落到水面上时的竖直速度
6
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由题意可知
即
石子抛出速度的最小值为
。
7.如图所示，
轴在水平地面上，
轴在竖直方向，图中画出了从
轴上不同位置沿
轴正向水平抛出的
三个小球
、
和的运动轨迹。小球
从
抛出，落在
处；小球
、均从
抛出，分
别落在
和
处。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．
和的初速度相同 B．
和的运动时间相同
C．
的初速度是的2 倍 D．
的运动时间是
的2 倍
【答案】BC
【解析】BD．a、b 和c 小球竖直方向下落高度分别为2L、L、L，由
可得它们运动时间分别为
故B 正确，D 错误；AC．a、b 和c 小球水平方向位
7
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移分别为2L、2L、L，由
可得它们初速度分别为
故A 错误，C 正确。故选BC。
8.如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B 为其运动轨迹上的两点。小球经过A 点时，
速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B 点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气
阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 ( )
A．小球通过B 点的速度为12 m/s
B．小球的抛出速度为5 m/s
C．小球从A 点运动到B 点的时间为1 s
D．A、B 之间的距离为6 m
【答案】 C
【解析】 由平抛运动规律知v0＝vAsin 60°，v0＝vBsin 30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，选项A、B 错误；
竖直速度vAy＝vAcos 60°，vBy＝vBcos 30°，vBy＝vAy＋gt，解得t＝1 s，选项C 正确；由v－v＝2gy，x＝v0t，s
＝，解得s＝5 m，选项D 错误。
9．（2025·安徽·一模）如图所示，一小球从O 点水平抛出后途经A、B 两点的轨迹，已知小球从O 到A 的
时间等于从A 到B 的时间，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球从O 到B 的位移是从O 到A 位移的4 倍
B．小球在B 点速度的大小是A 点速度大小的2 倍
C．小球从O 到B 速度的变化量是从O 到A 速度的变化量的2 倍
D．小球在B 点速度与水平方向的夹角是A 点速度与水平方向的夹角的2 倍
【答案】C
8
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【详解】A．小球做平抛运动，可得
，
，
，
可知
，
根据小球的位移
可知小球从O 到B 的位移不是从O 到A 位移的4 倍。故A 错误；
B．依题意，小球竖直方向做自由落体运动，有
，
由小球运动的速度
可知小球在B 点速度的大小不是A 点速度大小的2 倍。故B 错误；
C．小球速度的变化量
可知
故C 正确；
D．速度偏转角的正切值
可知
故D 错误。
故选C。
10.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示，某物体做平抛运动的一部分轨迹。每小格的边长表示物体的速
度大小为10m/s，各点所标的带箭头的线段长短表示速度的大小。重力加速度的大小取
。则该物体
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从A 点运动到B 点的时间是（ ）
A．1s
B．3s
C．4s
D．5s
【答案】B
【详解】又图可知物体在A 点和B 点的竖直分速度分别为
，
则物体从A 点运动到B 点的时间为
故选B。
11．（2024·江苏南通·模拟预测）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v 做匀速直线运动，沿途连续漏
出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙
漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g，在已有沙子落地后，下列
说法正确的是（ ）
A．沙子在空中形成的几何图形是一条抛物线
B．不同时刻下落的两粒沙子之间的竖直间距保持不变
C．沙子落到地面时与沙漏的水平距离为
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D．在空中运动的沙子的总质量为
【答案】D
【详解】A．由于沙子下落时，沙子与沙漏均具有水平向右的初速度v，所以漏出的沙子在水平方向上均与
沙漏以相同的速度向右移动，因此沙子在空中形成的几何图形是一条直线。故A 错误；
B．下落的沙子在竖直方向做自由落体运动，下落时间间隔为
的两粒沙子竖直间距为
可知二者间距随下落时间的增加而增加。故B 错误；
C．因为沙子与沙漏在水平方向上以相同的速度v 运动，所以沙子落地与沙漏的水平距离为0。故C 错误；
D．从第一粒沙子漏出开始到这粒筛子刚落地，这一过程中在竖直方向上，有
这一过程的时间为
由于单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，则这一过程中落下的沙子总质量
故D 正确。
故选D。
【三类常见的斜面平抛模型】
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论
)α
)α
θ(
v0
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根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相
同。
3.与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
【构建模型】如图所示，从倾角为θ 的斜面上的A 点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B
点，不计空气阻力．
法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x 轴，垂直于斜面方向为y 轴，建立坐标系，如图(a)所示
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为
ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝.
(2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，
A、B 间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v 的切线反向延长与v0交点为此时横坐
标的中点P，
则tan θ＝＝，
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
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t＝.
(2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1 3∶，所以＝4y＝，A、B 间距离s＝＝.
法三：(1)设物体运动到C 点离斜面最远，所用时间为t，将v 分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan θ＝
＝，得t＝.
(2)设由A 到B 所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得
tan θ＝，y＝xtan θ
①
y＝gt′2
②
x＝v0t′
③
由①②③式得：t′＝
而x＝v0t′＝，
因此A、B 间的距离s＝＝.
类型二：垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题
x
H-y
H
)θ
v0
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过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B 点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
1．用如图a 所示的圆弧一斜面装置研究平抛运动，每次将质量为m 的小球从半径为R 的四分之一圆弧形
轨道不同位置静止释放，并在弧形轨道最低点水平部分处装有压力传感器测出小球对轨道压力的大小F。
已知斜面与水平地面之间的夹角
，实验时获得小球在斜面上的不同水平射程x，最后作出了如图b
所示的
图像，g 取10m/s2，则由图可求得圆弧轨道的半径R 为（ ）
A．1.0m
B．0.50m
C．0.25m
D．0.125m
【答案】B
【详解】由图可知，当
时，小球的速度是0 时，即小球静止时，小球对轨道的压力是
，结合牛
顿第三定律有
解得
设小球水平抛出时的速度为
，由牛顿运动定律得
θ
)θ
v0
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由平抛运动规律和几何关系有，小球的水平射程
小球的竖直位移为
由几何关系有
联立解得
结合图像有
解得
故选B。
2.如图所示，小球从斜面底端A 点正上方h 高处，以某一速度正对倾角为θ 的斜面水平抛出时，小球到达
斜面的位移最小(重力加速度为g)，则( )
A．小球平抛的初速度v0＝sin θ
B．小球平抛的初速度v0＝sin θ
C．飞行时间t＝cos θ
D．飞行时间t＝
【答案】AC.
【解析】：过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
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当小球落在斜面上的B 点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
3.如图所示，从固定斜面顶端A 处水平抛出一个小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B 点。当把小球
的初速度变为原来的两倍后，依然从顶端A 处水平抛出，小球落在斜面上的C 点，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．小球做平抛运动落在B 点的时间是落在C 点时间的
D．小球做平抛运动落在B 点的时间是落在C 点时间的
【答案】C
【详解】设小球的初速度为，斜面的倾角为
，竖直方向上有
水平方向上有
根据几何关系
联立可得
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说明小球的飞行时间与初速度成正比，所以
即
根据
可得小球做平抛运动落在B 点的时间是落在C 点时间的
。
故选C。
4．（2024·四川眉山·模拟预测）如图所示，将一质量为m 的小球从地面上方A 点向左水平抛出时，小球落
在地面上B 点；将该小球以大小相同的初速度向右水平抛出时，小球落在地面上C 点，且落地时速度方向
竖直向下，虚线AB、AC 为小球抛出点与两落点的连线，已知
，小球抛出后始终受到水平向左的
恒定风力作用，重力加速度为g ，则小球所受水平风力的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设A 点到地面的高度为h，小球受水平风力作用产生的加速度为a，方向向左，从A 点向左和向右
抛出时落地的时间相同，设为t，则从A 到B，
从A 到C
其中
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联立解得
则小球所受水平风力的大小为
故选A。
5．（2024·江西·模拟预测）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以
的速度水平
向右飞行，经过倾角为45°的斜面底端O 点正上方的A 点时，释放了一个小球，结果小球打在斜面上的C
点。已知A 点与O 点的距离
，无人机的飞行速度不变，空气阻力忽略不计，重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．增大
，小球落到斜面的速度方向不变
B．小球打在C 点时，无人机恰好飞到斜面上的B 点
C．小球打在C 点前瞬间的速率为22m/s
D．小球从A 点运动到C 点用时2s
【答案】D
【详解】A.增大
，则下落时间减小，根据
可知小球落到斜面时的竖直速度减小，根据
则小球落到斜面时的速度方向改变，故A 错误；
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B．小球的运动轨迹如图所示
小球的水平速度与无人机的速度相等，小球打在C 点时，飞机刚好在C 点正上方F 点，故B 错误；
D．设小球从A 点到C 点的运动时间为t，则
由几何关系可知
解得
故D 正确；
C．小球打在C 点前瞬间的速率
故C 错误。
故选D。
6.（2024·河南·模拟预测）无人机的应用日益广泛。如图所示，某次表演中一架无人机正对山坡匀加速水平
飞行，加速度大小为10m/s2，山坡倾角为45°。无人机先后释放两颗相同的小球，两小球均落到山坡上，
重力加速度为g＝10m/s2，不考虑小球所受空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．两颗小球可能都垂直落在山坡上
B．两颗小球同时落在山坡上
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C．两颗小球不会同时落在山坡上
D．两颗小球落到山坡上的动能可能相等
【答案】BD
【详解】BD．设扔下第一个小球时，飞机的速度大小为
，此时到山坡的竖直高度为
，则水平匀速直线，
位移为
竖直方向
因为山坡倾角为
，则
即
设从仍第一个小球开始计时，经过时间
后扔下第二个小球，在
时刻第二个小球落到山坡上，则第二个
小球的初速度为
水平方向
竖直方向
其中
化简得
所以
故B 正确，C 错误；
A．两球运动时间相同，第二个小球水平方向运动水平位移长，即水平分速度大；竖直方向运动位移小，
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即竖直分速度小，所以两小球落到山坡末速度方向一定不同，故A 错误；
D．两球运动时间相同，第二个小球水平方向运动水平位移长，即水平分速度大；竖直方向运动位移小，
即竖直分速度小，则两球的合速度大小可能相同，即两球的动能可能相同，故D 正确。
故选BD。
7.（2024·四川德阳·模拟预测）为了采集某行星岩石内部的物质样品，先将岩石用行星探测车运往高处，然
后水平抛出，让岩石重重地砸在行星表面，这样就可以将坚硬的岩石撞碎，进而采集到岩石内部的物质样
品，如图所示，O 点为斜坡底端，现将一块质量为m=1kg 的岩石从O 点正上方高度为
处以初速度
为
水平抛出，岩石垂直打在倾角为
的斜坡上，由于斜坡并不完全平滑，岩石沿竖直方
向向上反弹，上升的最大高度为
，求：
（1）该行星表面的重力加速度大小；
（2）若岩石与斜坡在接触过程中相互作用的时间为0.1s，则接触过程中岩石所受到平均合外力的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球从抛出到垂直打在斜坡过程，根据平抛运动规律有
，
垂直打在斜坡时，有
根据几何关系有
联立解得
，
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（2）小球垂直打在斜坡时的竖直分速度大小为
根据题意可知，岩石与斜坡在接触过程后水平速度减为0，竖直速度变为竖直向上，大小为
，根据题意
有
解得
则岩石与斜坡在接触过程中，水平方向根据动量定理可得
解得
竖直方向根据动量定理可得
解得
则接触过程中岩石对小球的平均作用力大小为
则接触过程中岩石所受到平均合外力的大小为
。
8．（2024·河南三门峡·一模）如图所示，倾角为
的光滑斜面AB 固定在水平面上，现将一弹力球从
斜面的顶端A 点以
的初速度水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B 点。若弹力球与斜面
碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A 点水平
抛出时的速度大小，使弹力球与斜面碰撞1 次后仍能落到B 点，已知重力加速度g 取
，不计空气阻力。求调整后弹力球水平抛出的速度大小。
22
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【答案】
【详解】弹力球做平抛运动，竖直方向有
水平方向有
解得斜面的长度
将平抛运动分解为沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动，设调整后弹力球水平抛出
时的速度大小沿垂直斜面方向的分速度大小为
沿斜面方向的分速度大小为
垂直斜面方向的加速度大小为
沿斜面方向的加速度大小为
弹力球每次从斜面离开到再次落回斜面的过程中用时为
沿斜面方向有
解得
23
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【半圆模型的平抛运动】
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t 或v0。
1.（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为R，A 点与球心O 等高，小球两次从A 点以不同的速率
沿AO 方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B 点和C 点，速度偏转角分别为
和
，不计空气
阻力。则小球（ ）
A．运动时间
B．两次运动速度变化
C．在C 点的速度方向可能与球面垂直
D．
【答案】D
【详解】A．根据
则运动时间
故A 错误；
B．根据
两次运动速度变化
故B 错误；
24
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C．若在C 点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平
位移的中点，显然不符合，故C 错误；
D．速度偏转角分别为
和
，位移偏转角分别为
和
，水平位移分别为
、
，有
可得
如图
可知
所以
故D 正确。
故选D。
2.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为
，在
轴上有一点P，坐标为（0，6m）。从P 点
将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空气阻力）（ ）
25
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A．（3m，3m）
B．（2m，4m）
C．（1m，1m）
D．（1m，2m）
【答案】C
【详解】小球做平抛运动，水平方向有
竖直方向有
球第一次打在曲面上的坐标为
，有
解得
，
，
故球第一次打在曲面上的坐标为（1m，1m）。
故C 正确。
3.如图所示，半径为5m 的四分之一圆弧ABC 固定在水平地面上，O 为圆心。在圆心O 右侧同一水平线上
某点处，水平向左抛出一个小球，小球可视为质点，恰好垂直击中圆弧上的D 点，D 点到水平地面的高度
为2m，g 取10 m/s2，则小球的抛出速度是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【详解】小球在竖直方向做自由落体运动，则竖直分速度
vy=
m/s=2
m/s
垂直击中D 点，速度反向延长线过圆心，如下图所示
根据几何关系，有
sin θ=
解得
θ=37°
则在D 点，分解速度可得
v0=
m/s
故选C。
4.（2024·全国·模拟预测）如图所示，水平地面上有一半径为5m 的半球形曲面，球心A 点正下方2m 的P
处有一喷泉沿水平方向喷出水流，设水流垂直落到半球形曲面上，喷口横截面积为
，重力加速度
，水的密度为
，
，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．水流初速度的大小为
B．任意相等时间内水流的速度变化量一定相等
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C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为1m
D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为
【答案】BC
【详解】A．依题意，水流做平抛运动，设垂直落到半球形曲面上时速度与水平方向夹角为
，如图所示
可得
由几何关系，可得
，
联立解得
，
故A 错误；
B．根据
可知任意相等时间内水流的速度变化量一定相等，故B 正确；
C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为
故C 正确；
D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为
又
28
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联立解得
故D 错误。
故选BC。
5.（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，AB 为竖直放置的半圆环ACB 的水平直径，O 为半圆环圆心，C 为环
上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A 点和B 点以初速度
和
水平相向抛出，初速度
为
的小球落到a 点所用时间为
，初速度为
的小球落到b 点所用时间为
，a 点高度大于b 点高度，不
计空气阻力。则下列判断正确的是（ ）
A．两小球的初速度一定有
B．两小球落到圆环上所用的时间满足
C．不论
和
满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
D．若两小球同时水平抛出，不论
和
满足什么关系，两小球都能在空中相遇
【答案】BC
【详解】AB. 根据
，因为b 下落高度大，所以b 平抛运动的时间长，即有
水平位移
由图中b 的水平位移小，所以b 球的初速度小于a 球的初速度，即
，故A 错误，B 正确；
C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有
29
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可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交
点在圆心，但不是水平位移的中点，故C 正确；
D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示
故D 错误。
故选BC。
【平抛与圆相切模型】
1.如图所示，OAB 为四分之一圆柱体的竖直截面，半径为R，在B 点上方的C 点水平抛出一个小球，小球
轨迹恰好在D 点与圆柱体相切，OD 与OB 的夹角为53°，则C 点到B 点的距离为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝
0.6)( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由题意知，小球通过D 点时速度与圆柱体相切，则有
vy＝v0tan 53°
小球从C 到D，水平方向有
Rsin 53°＝v0t
竖直方向上有y＝t
联立解得y＝R
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根据几何关系得，C 点到B 点的距离
yCB＝y－R(1－cos 53°)＝R
故B 正确，A、C、D 错误．
2.如图所示，P 是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B 点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置
的凹槽的圆弧轨迹的左端A 点沿圆弧切线方向进入轨道，O 是圆弧的圆心，θ1是OA 与竖直方向的夹角，θ2
是BA 与竖直方向的夹角，则( )
A.＝2
B.＝2
C.tan θ1tan θ2＝2
D.＝2
【答案】 C
【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动.由题知，速度
方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan
θ1tan θ2＝2，所以选C.
3.如图，一半径为R 的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O 竖直高度为
的A 点
以水平初速度
向右抛出一个质量为m 的小球，一段时间后，小球落在圆环上的B 点（图中未画出）；当
大小不同时，小球的落点B 也不同．重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确
的是（ ）
A．当
大小不同时，小球从A 点运动到B 点的时间可能相同
B．当
时，小球可以经过O 点
C．当
时，A、B 两点位于一条直径上
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D．当
时，小球从A 到B 的运动过程中速度变化量最大
【答案】ACD
【详解】A．当
大小不同时，小球的落点B 可能位于同一水平面上，所以运动时间可能相同，故A 正确；
B．运动过程中经过O 点，满足
解得
故B 错误；
C．A、B 两点位于一条直径上，满足
解得
故C 正确；
D．当B 点位于O 点正下方时，满足
解得
此时小球运动的时间最长，则由
可知此时速度变化量最大，故D 正确。
32
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故选ACD。
4.如图所示，竖直平面内有一光滑管道口径很小的圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等
高。一质量m＝0.8 kg 可看做质点的小球从平台边缘的A 处平抛，恰能沿圆弧轨道上P 点的切线方向进入
轨道内侧，轨道半径OP 与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g 取10 m/s2。试求：
(1)小球从A 点开始平抛运动到P 点所需的时间t；
(2)小球从A 点水平抛出的速度大小v0和A 点到圆弧轨道入射点P 之间的水平距离l；
(3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小；
(4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q 时对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出弹力的大小。
【答案】 (1)0.4 s (2)3 m/s 1.2 m (3) m/s (4)外壁 6.4 N
【解析】 (1)从A 到P 过程中，小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，
有R＋Rcos 53°＝gt2，
解得t＝0.4 s。
(2)根据分运动公式，有vy＝gt，tan 53°＝，
解得v0＝3 m/s，
在水平方向上，有l＝v0t，解得l＝1.2 m。
(3)从A 到圆弧轨道最低点，根据机械能守恒定律，有
mv＝2mgR＋mv，
解得v1＝ m/s。
(4)小球从A 到达Q 时，根据机械能守恒定律可知
vQ＝v0＝3 m/s；
在Q 点，根据牛顿第二定律，有
FN＋mg＝m，得FN＝6.4 N
根据牛顿第三定律可得
小球对外壁有弹力FN′＝FN＝6.4 N。
【台阶平抛运动模型】
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
33
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示意图
1.如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1 级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3
级台阶的紧靠右边缘处．已知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3 s，每级台阶的宽度和高度
均为18 cm.小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的，取g＝10
m/s2，则小球( )
A．第一次落点与小球抛出点间的水平距离为0.144 m
B．第一次落点与小球抛出点间的竖直距离为0.72 m
C．抛出时的初速度为1.0 m/s
D．会与第5 级台阶相撞
【答案】 A
【解析】 设第一次落在第1 级台阶时，竖直方向的速度为vy1，水平方向的速度为v0，由于第一、二次与
台阶相撞的时间间隔为Δt＝0.3 s，所以v0＝ m/s＝1.2 m/s，选项C 错误；在竖直方向上，小球做匀变速直
线运动，以向下为正方向，有－vy1Δt＋g(Δt)2＝2×0.18 m，即vy1＝1.2 m/s(与第1 级台阶碰撞前在空中平抛
的时间为0.12 s)，设第一次从抛出到落地过程下落高度为h，有vy1
2＝2gh，解得h＝0.072 m，水平位移x＝
1.2×0.12 m＝0.144 m，选项A 正确，B 错误；设落到第3 级台阶时竖直方向的速度为vy3，vy3＝－vy1＋gΔt＝
2.7 m/s.假设小球可以到达第5 台阶右边缘处，第3 台阶与第5 台阶的竖直高度为0.36 m，两边缘处水平距
离为0.36 m，即x′＝v0t＝0.36 m，解得t＝0.3 s，小球离开第3 台阶后再运动0.3 s 到达第5 台阶，竖直位移
y′＝－t＋gt2＝0.247 5 m＜0.36 m，所以小球不能到达第5 台阶，D 选项错误.
2.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，甲同学爬上山坡底端C 点处的一棵树，从树上Q 点正对着山坡
水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A 点水平抛出一
个小石块，石块也能落在P 点。已知山坡长度
，山坡与水平地面间夹角为
，重力加速度为
g，空气阻力不计，
，
，则（ ）
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ
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A．甲同学抛出的小石块初速度大小为
B．甲同学抛出的小石块初速度大小为
C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
【答案】AD
【详解】设甲抛出小石子的初速度为v0，Q 点相对于P 点的竖直高度为H，则
甲抛出的小石块落在P 点时竖直方向的速度
甲抛出小石块的水平位移
联立可得
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对乙同学
解得
甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
选项BC 错误，AD 正确。
故选
AD。
3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s2，欲打
在第四台阶上，则v 的取值范围是( )
A． m/s＜v≤2 m/s B．2 m/s＜v≤3.5 m/s
C． m/s＜v＜ m/s D．2 m/s＜v＜ m/s
【答案】A.
【解析】：根据平抛运动规律有：x＝vt，y＝gt2，若打在第3 台阶与第4 台阶边沿，则根据几何关系有：vt
＝gt2，得v＝gt，如果落到第四台阶上，有：3×0.4＜gt2≤4×0.4，代入v＝gt，得 m/s＜v ≤2 m/s，A 正确．
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【体育生活中平抛运动的临界模型】
1． 平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
v1=s1√
g
2(h1−h2)
出界的临界速度
v2=(s1+s2)√
g
2h1
2． 既擦网又压线的双临界问题
根据
h=1
2 g(
s
v0)
2
，可得比值：
h1−h2
h1
=
s
12
( s1+s2)2
1．（2025·湖南永州·一模）2024 年8 月3 日，中国选手郑钦文在巴黎奥运会网球女单决赛中战胜克罗地亚
选手维基奇夺冠，为中国网球赢得史上首枚女单奥运金牌。如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在
点
直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上
点高度为
的
点水平击出，落点为
。乙击球瞬间，
甲同时沿直线
奔跑，恰好在球落地时赶到
点。已知
，网球和运动员甲均可视
为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设甲此次奔跑的平均加速度大小为
，当地重力加速度大小为
，对甲有
v1
s1
h2
s2
v2
h1
s1
h2
s2
h1
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对网球有
联立可得
故选A。
2．（2024·河北·模拟预测）如图所示，某同学在练习“擦板投篮”时，篮球恰好在轨迹最高点击中篮板上
的A 点，A 点与篮球被抛出时球心的高度差为1.8m，球经篮板反弹后进入篮筐，当篮球球心与篮筐中心的
连线垂直篮板时，球离开篮板的距离是30cm。已知篮球与篮板碰撞后，平行于篮板方向的速度分量大小不
变，垂直于篮板方向的速度分量大小变为碰前的一半。已知篮板上的O1点与A 点在同一水平线上，O2点
是篮筐中心在篮板上的投影，O1点在O2点正上方，且O1A=40cm，O1O2=20cm，不计篮球与板碰撞时的形
变与碰撞时间，忽略空气的阻力和篮球的旋转，已知重力加速度g=10m/s2，则该同学投篮时，篮球离开手
时的速度大小是（ ）
A．7m/s
B．8m/s
C．9m/s
D．10m/s
【答案】A
【详解】篮球与篮板碰撞后，有
解得
，
，
所以碰前的速度大小为
，
38
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碰前在竖直方向有
所以
所以篮球抛出时的速度大小为
故选A。
3．（2024·辽宁鞍山·一模）如图1 为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿
平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2 为对应的俯视图，其中L1=12m，
L2=9m。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场
的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力，重力加速度g=10m/s2）（ ）
A．
B．15m/s
C．
D．
【答案】A
【详解】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如答图所示，网球
从A 点发出后落在C 点。网球从A 点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有
解得
若网球恰不触网，则有
解得
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网球在水平方向上做匀速直线运动，即
因
与
为相似三角形，则有
因
、
，可得
则发球机有效发球时发出网球的最小速率为
故选A。
4.（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P 是一个微粒源，
能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h 的探测屏
竖直放置，离P 点的水平距离
为L，上端A 与P 点的高度差也为h。
(1)若打在探测屏A、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系；
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(2)若在界线OA 以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的
倍的恒定外力（图中未画出），某一微
粒恰好能沿直线打在B 处，求L 与h 的关系。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设打在A 点的微粒的初速度为
，则有
，
可得
同理可得打在B 点的微粒的初速度为
打在A 和B 两点的动能一样，根据动能定理可得
则有
联立可得L 与h 的关系为
（2）若在界线OA 以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的
倍的恒定外力，微粒恰好能沿直线打
在B 处，则微粒在界线OA 以下受到的合力与水平方向的夹角满足
可得
微粒进入界线OA 前做平抛运动，根据平抛规律结合几何关系可得
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，
又
联立可得L 与h 的关系为
【对着竖直墙壁的平抛模型】
1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d 相同，t＝.
2.撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x 和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2.
3.撞墙平抛运动的推论
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
5.如图所示，网球发球机水平放置在距地面某高度处，正对着竖直墙面发射网球，两次发射网球分别在墙
上留下A、B 两点印迹．测得＝.OP 为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则下列说法正确的是( )
A．两球发射的初速度vOA∶vOB＝1 2∶
B．两球碰到墙面前运动的时间tA∶tB＝1 2∶
x
v0
x/2
xv0
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C．两球碰到墙面时的动量可能相同
D．两球碰到墙面时的动能可能相等
【答案】 D
【解析】 设＝＝h，忽略空气阻力，则两球做平抛运动，竖直方向：h＝gtA
2，2h＝gtB
2，整理可得：tA∶tB＝
1∶，水平方向为匀速运动，而且水平位移大小相等，则x＝vOAtA，x＝vOBtB，整理可得：vOA∶vOB＝∶1，故
A、B 错误；动量为矢量，由题图可知，两球与墙碰撞时速度方向不相同，故两球碰到墙面时的动量不可
能相同，故C 错误；设两球的质量相等，均为m，从抛出到与墙碰撞，根据动能定理有：mgh＝EkA－
mvOA
2，2mgh＝EkB－mvOB
2，整理可得：EkA＝mgh＋mvOA
2，EkB＝2mgh＋mvOB
2，由于m、h 以及初速度的大小
等具体数据未知，可能存在EkA＝EkB，故D 正确．
6.如图所示是网球发球机，某次室内训练时从距地面一定的高度向竖直墙面发射完全相同的网球。假定网
球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度方向与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑网球在空
中受到的阻力，则( )
A.两次发射的初速度之比为3 1∶
B.碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶
C.下降高度之比为1 3∶
D.碰到墙面时动能之比为3 1∶
【答案】 BC
【解析】 由题知，两次平抛运动的水平位移相同，设为x，根据平抛运动规律有＝tan θ，y＝gt2，联立得
t＝，当θ＝30°时，t1＝，当θ＝60°时，t2＝，故两次运动的时间之比为＝＝，根据x＝v0t，得＝＝，根据y
＝gt2，得＝＝，第一次平抛的合速度为v1＝，第二次平抛的合速度为v2＝，故碰到墙面时动能之比＝＝，
又v01＝＝，v02＝＝，vy1＝gt1＝，vy2＝gt2＝，代入得＝1，故A、D 错误，B、C 正确。
7.如图所示，将一小球从水平面MN 上方A 点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上
的P 点，若将小球从与A 点等高的B 点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N 点，不计
空气阻力，下列选项中正确的是( )
A．v1>v2
B．v1<v2
C．t1>t2
D．t1＝t2
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【答案】 A
【解析】 小球在竖直方向上为自由落体运动，则根据t＝可知，t1<t2；在水平方向上为匀速直线运动，根
据v＝，因x1>x2，则v1>v2，故选A.
8.(多选)从竖直墙的前方A 处，沿AO 方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知
Oa＝ab＝bc，则a、b、c 三颗弹丸(不计空气阻力)( )
A．初速度大小之比是∶∶
B．初速度大小之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
【答案】 AC
【解析】 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因
为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1 2 3
∶∶，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t 可得va∶vb∶vc＝
1∶∶＝∶∶，故选项A 正确，B 错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C
正确，D 错误．
【平抛的相遇模型】
平抛与自由落体
平抛与竖直上抛
平抛与平抛
平抛与匀速
x:l=vt;
y:空中相遇t<√
2h
g
联立得
l
v <√
2h
g
x:s=v1t;
y:½gt2+v2t-½gt2=H,
t=H/v2
联立得H/v2=s/t
球1 比球2 先抛
t1>t2、v1<v2；
球3、4 同时抛
t1=t2、v3>v4；
x:l=(v1-t2)t;
y:t=√
2H
g
1.如图所示，A、B 两小球分别从距地面高度为h、2h 处以速度vA、vB水平抛出，均落在水平面上CD 间的
中点P，它们在空中运动的时间分别为tA、tB.不计空气阻力，下列结论正确的是( )
A．tA∶tB＝1
∶
B．tA∶tB＝1 2∶
C．vA∶vB＝1
∶
D．vA∶vB＝1 2∶
v2
v1
v3
v4
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【答案】 A
【解析】 竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，得t＝，故tA∶tB＝∶＝1∶，A 正确，B 错误；水平方向做
匀速直线运动，根据x＝v0t 知，水平位移x 相等，则vA∶vB＝tB∶tA＝∶1，故C、D 错误．
2．（2025·广东·一模）如图所示，将a、b 两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上
的P 点，a 球抛出时的高度比b 球的高。P 点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力，与b 球相比，
a 球（ ）
A．初速度较大
B．速度变化率较大
C．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小
D．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
【答案】D
【详解】A．两个小球都做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由
得
则
小球水平方向都做匀速直线运动，由
由题意x 相等，又
，则知
故A 错误。
B．根据
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则知速度变化率相同，故B 错误。
CD．落地时速度
落地时速度方向与其初速度方向的夹角正切
则知a 的h 大，
小，
大，落地时速度方向与其初速度方向的夹角大，故C 错误，D 正确。
故选D。
3.如图所示，A、B 两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下落高度为9 m 时，在空中相遇．若两球的抛
出速度都变为原来的3 倍，不计空气阻力，则自抛出到它们在空中相遇时，两球下落的高度为( )
A．6 m B．3 m C．3 m D．1 m
【答案】 D
【解析】 两球同时抛出，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，始终在同一水平面
上，设两球抛出点之间的距离为l，自抛出到相遇所用时间为t，根据l＝vAt＋vBt 以及l 不变知，当两球的抛
出速度都变为原来的3 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为，根据h＝gt2，H＝g()2，得：H＝＝1 m，故
选D.
4.如图所示，A、B 两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h 和h，将两球水平抛出后，两球落地时的
水平位移之比为1 2∶，则下列说法正确的是 ( )
A．A、B 两球的初速度之比为1 4∶
B．A、B 两球的初速度之比为1 2∶
C．若两球同时抛出，则落地的时间差为
D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1)
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【答案】 D
【解析】 由x＝v0t 和y＝gt2知v1＝＝，v2＝＝x，因此两球的初速度之比为1 2∶，A、B 项错误；若两球同
时抛出，则落地的时间差为－＝(－1)，C 项错误；若两球同时落地，则两球抛出的时间差也为(－1)，D 项
正确。
5.（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P 是一个微粒源，
能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h 的探测屏
竖直放置，离P 点的水平距离
为L，上端A 与P 点的高度差也为h。
(1)若打在探测屏A、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系；
(2)若在界线OA 以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的
倍的恒定外力（图中未画出），某一微
粒恰好能沿直线打在B 处，求L 与h 的关系。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设打在A 点的微粒的初速度为
，则有
，
可得
同理可得打在B 点的微粒的初速度为
打在A 和B 两点的动能一样，根据动能定理可得
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则有
联立可得L 与h 的关系为
（2）若在界线OA 以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的
倍的恒定外力，微粒恰好能沿直线打
在B 处，则微粒在界线OA 以下受到的合力与水平方向的夹角满足
可得
微粒进入界线OA 前做平抛运动，根据平抛规律结合几何关系可得
，
又
联立可得L 与h 的关系为
【斜抛运动模型】
1、运动规律
水平方向：不受外力，以vx=v0cosα 为初速度做匀速直线运动
水平位移x=v x t=v0cosαt ；
竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为v0 y=v0sinα ，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动
任意时刻的速度和位移分别是v y=v0 y−gt
y=v0 yt−1
2 gt 2
2、轨迹方程
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，是一条抛物线如图所示：
3、对斜抛运动的研究
（1）斜抛物体的飞行时间：
当物体落地时v y=−v0 y=−v0sinα ，由 v y=v0 y−gt 知，飞行时间
t=
2v0sinα
g
（2）斜抛物体的射程：
由轨迹方程
令y=0 得落回抛出高度时的水平射程是
x=
v0
2sin2α
g
两条结论：
①当抛射角α=450 时射程最远，
②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下
射程是相等的。
（3）斜上抛运动的射高：
斜上抛的物体达到最大高度时
=0，此时
Y
V0y V0
α
o V0x X
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代入
y=v0 yt−1
2 gt 2
即得到抛体所能达到的最大高度
ymax= v0
2sin2α
2g
可以看出，当α=900 时，射高最大
H= v0
2
2 g
1.学校运动会上，参加铅球项目的运动员，把5kg 的铅球以6m/s 的初速度从某一高度投掷出去，如图所示，
抛射角
，铅球落地速度与水平地面夹角53°，不计空气阻力，重力加速度g 取
，则铅球从抛
出到落地的时间是（ ）
A．0.5s
B．0.8s
C．1.0s
D．1.5s
【答案】C
【详解】把v0沿水平方向、竖直方向分解，在竖直方向，铅球以初速度
做竖直上抛运动，水平方向
以
做匀速直线运动，规定竖直向下为正方向，铅球落地时竖直方向的速度
铅球的落地速度v 与水平地面夹角
，则有
解得
t=1.0s
故选C。
2.（2024·福建·模拟预测）掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，某同学要参加掷铅
球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，
，sin53°=0.8，
cos53°=0.6）
（1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=10m/s，则铅球被推出的水平距离是
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多少米？
（2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从
离地高为H=1.8m 处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推
出铅球时铅球的速度大小仍为10m/s，则这次投掷的成绩为多少米？
【答案】（1）5.5m；（2）
【详解】（1）由平抛运动知识
铅球被推出的水平距离为
解得
（2）被推出的铅球在竖直方向做竖直上抛运动，则有
解得
，
（舍去）
铅球在水平方向做匀速直线运动
这次投掷的成绩为
3.狞猫弹跳力惊人，栖息在干燥的旷野和沙漠中，善于捕捉鸟类。一只狞猫以某一初速度斜向上与水平地
面成θ 角跳离地面，落地前其最大高度为h，最大水平位移为x。不考虑空气阻力。下列说法正确的是 (
)
A．保持起跳速度大小不变，增大θ 角，狞猫在空中的运动时间不变
B．保持起跳速度大小不变，增大θ 角，狞猫在空中的最大高度h 增大
C．保持起跳角度θ 不变，增大起跳速度，x 与h 的比值减小
D．保持起跳角度θ 不变，增大起跳速度，x 与h 的比值增大
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【答案】B
【解析】：狞猫做斜抛运动，在竖直方向有vy＝v0sin θ＝gt1，狞猫在空中的运动时间t＝2t1＝，保持起跳速
度大小不变，增大θ 角，狞猫在空中的运动时间增大，故A 错误；狞猫在空中的最大高度h＝gt＝，保持
起跳速度大小不变，增大θ 角，狞猫在空中的最大高度增大，故B 正确；狞猫最大水平位移为x＝vxt＝，
最大水平位移与最大高度的比值为＝；保持起跳角度θ 不变，增大起跳速度，x 与h 的比值不变，故C、D
错误。
4.某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计
空气阻力，下列说法正确的是( )
A．第1 次击中篮板时的速度小
B．两次击中篮板时的速度相等
C．球在空中运动过程第1 次速度变化快
D．球在空中运动过程第2 次速度变化快
【答案】A
【解析】：将篮球的运动反过来看，则篮球两次做平抛运动，由于第1 次平抛运动的高度更大，由h＝gt2
得t＝，所以第1 次运动的时间更长，由于两次的水平位移相等，则时间越长的水平初速度越小，故第1 次
击中篮板时的速度小，故A 正确，B 错误；球在空中运动过程速度变化快慢即为加速度，由于球只受重力
作用，加速度为重力加速度，则两次速度变化快慢相同，故C、D 错误。
5.（2025·福建漳州·一模）篮球比赛中，一同学某次跳起投篮，出手点与篮板的水平距离为
，离地
面高度为
，篮球垂直打在竖直篮板上的位置离地面的高度为
。将篮球看成质点，忽略
空气阻力，
取
。求：
(1)篮球从出手到垂直打在篮板上的运动时间；
(2)出手时篮球速度的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）篮球从出手到垂直打在篮板上的逆过程可视为平抛运动，则
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解得
（2）由题意可知，水平初速度
竖直初速度
初速度
解得
6．（2024·山西晋中·模拟预测）自由式滑雪女子大跳台比赛场地可简化为如图所示的示意图，在比赛的空
中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为
的斜面顶端O 点以
的初速度飞出，初速度方向与斜面的
夹角为
，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A 为轨迹的最高点，B 为轨迹上离斜面最远的点，不计
空气阻力，取重力加速度大小
。求：
（1）运动员从O 点运动到A 点的时间；
（2）B 点与斜面之间的距离l。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）A 为轨迹的最高点，说明运动员在A 点速度方向水平向右，设O 到A 时间为
，由斜抛运动
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规律，竖直方向上有
得
（2）运动员从O 到B 过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，运动员到B 点时速度平
行于斜面向下，垂直斜面方向有
B 点与斜面之间的距离
7．（2024·山西晋中·二模）如图甲，为某学校举行定点投篮比赛的场景，某同学正在进行定点投篮，投出
的篮球在空中划出一道漂亮的弧线，穿网而过。如图乙，为篮球在空中运动轨迹，在篮球运动所在的竖直
平面内建立直角坐标系xOy，篮球从A 点投出，A、B、C、D 是篮球运动轨迹上的4 个点，C 点为篮球运动
的最高点，D 点是篮筐位置，A、B、D 点的坐标分别为（-2L，-3L）、（-L，0）、（L，0）。篮球质量为
m，重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计。求：
（1）C 点的纵坐标yC；
（2）该同学将篮球投出时，篮球的速度v。
【答案】（1）L；（2）
，速度与水平方向夹角的正切值为4
【详解】（1）篮球做斜抛运动，由图乙可知，从A 到B、B 到C、C 到D 的水平距离相等，水平方向分运
动为匀速直线运动，可知，相邻位置的运动时间相等，设为t，利用逆向思维则有
，
解得
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（2）设该同学在A 点将篮球抛出的水平分速度和竖直分速度分别为vx，和vy，则有
，
，
则篮球的速度
结合上述解得
设将篮球投出时，篮球的速度与水平方向夹角为
，则有
解得
8．（2024·湖北武汉·二模）在滑雪比赛中，某运动员从跳台上的A 点以速度
与水平方向成
角斜向上起跳，落在倾角
的斜坡上的B 点，着陆时速度方向与斜坡的夹角
，如图所
示。已知运动员和装备（均可视为质点）总质量
，着陆缓冲的时间
，着陆缓冲过程运动
员不反弹、沿斜坡方向的速度不变，重力加速度大小
，不计空气阻力，
，
，
，
。求：
（1）运动员在空中飞行的时间；
（2）运动员着陆缓冲过程受到的平均支持力大小。
【答案】（1）2.5s；（2）1152N
【详解】（1）运动员在空中做斜抛运动，根据抛体运动规律
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解得
（2）运动员着陆时，由动量定理
解得
9.学校篮球队组织篮球比赛，一同学作为球队的主力投手在三分线外起跳，球以与水平面夹角为θ
（cosθ=0.8）的仰角抛出，运动1s 后通过篮框中心入网，已知篮框距离水平地面的高度H=3.05m，篮球被
投出时，距离地面的高度h（未知）、与篮框中心点的水平距离d=7.20m，若将篮球视为质点，且忽略篮
球的旋转与空气阻力，重力加速度g=10m/s2。求：（答案可以用根号表示）
（1）篮球被投出时的初速度大小；
（2）篮球入网时的速度大小；
（3）篮球被投出时距离地面的高度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）篮球被投出后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，水平速度为
篮球被投出时的初速度大小为
（2）篮球入网时竖直方向的速度为
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篮球入网时的速度大小为
（3）篮球通过篮框中心时，竖直方向的位移为
篮球被投出时距离地面的高度为
10.某喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的大小和方向均可调节。该喷灌机的最大功率
为2000W，机械效率为80%，喷口的横截面积：
，水的密度
，重力加速度
，
，忽略喷头距离地面的高度及空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求
（1）喷灌机的最大喷水速度
（2）该喷灌机的最大喷灌面积
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）研究单位时间的能量转化
代入数据有
（2）设当喷灌头与地面夹角为
时对应射程为
，水在空中的运动时间为。
竖直方向有
水平方向有
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联立得
则当
且取最大值时，
有最大值
。
则最大喷灌面积为
11．（2024·广东·一模）如图，运动员练习单杠下杠：双手抓住单杠与肩同宽，伸展身体，其重心以单杠
为轴做圆周运动，重心通过单杠正上方A 点时速率
，转至
点时脱离单杠，重心经过最高点
，
最后落到地面，
点为落地时的重心位置。已知运动员的质量
，做圆周运动时其重心到单杠的距
离
；脱离单杠后运动员在空中上升与下降的时间之比为5：7，B、D 两点的高度差为
，重心在
点时速率
；g 取
，A、B、C、D 在同一竖直平面，忽略空气阻力，不考虑体能的消耗与
转化。求：
（1）运动员在A 点时，单杠对每只手的弹力大小和方向；
（2）C、D 两点间的水平距离；
（3）从A 点运动至B 点过程中合外力对运动员做的功。
【答案】（1）
，方向竖直向上；（2）
；（3）
【详解】（1）设单杠对每只手的弹力大小为
，方向竖直向上，则运动员在A 点时，由牛顿第二定律
代入数据解得
方向竖直向上。
（2）设运动员从
到
的时间为
，从
到
的时间为
，B、C 两点的高度差设为
，C、D 两点的高
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度差设为
。由合运动与分运动的关系可知，运动员从
到
的运动可看做是水平方向上的匀速直线运动
和竖直方向上的竖直上抛运动；从
到
的运动可看做是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由
落体运动，则
B、D 两点间的高度差
C、D 两点的水平距离为
联立解得C、D 两点间的水平距离为
（3）设运动员在
点时速度为
，则
又
，
运动员从A 到
点的过程中，根据动能定理可知
联立解得从A 点运动至B 点过程中合外力对运动员做的功为
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