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专题05 抛体模型的运动学问题与功能动量
目录
一．平抛运动的运动描述..........................................................................................................................................1
二．平抛与斜面、台阶、圆问题.............................................................................................................................. 2
三．平抛的临界问题..................................................................................................................................................3
四．平抛运动与功能动量..........................................................................................................................................5
五、平抛运动的轨迹..................................................................................................................................................5
一．平抛运动的运动描述
1． 平抛运动中的物理量
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
时间为明线，角度为暗线。
2．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由
知，运动时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h 共同决定。
3．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt 内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。
4.平抛运动常用三种解法
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出
；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出
；
α
θ
v0
v
x
h
1
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②推论法：若已知h、x，可求出
；
③动能定理法：若已知h、v0，动能定理：
，可求出
。
5． 重要推论的两种表述
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻速度的反向延长线一定通过此时
水平位移的中点，如图甲中A 点和B 点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水
平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙
所示。
二．平抛与斜面、台阶、圆问题
1． 斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，y＝gt2，
tan θ＝，可求得t＝。
2． 斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛
初速度大
小如何，落到斜面速度方向相同。
3． 与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
4． 垂直撞斜面平抛运动的时间的计算
5． 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
6． 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
x
H-y
H
)θ
v0
)α
)α
θ(
v0
2
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7． 台阶平抛运动问题
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
示意图
8． 半圆模型的平抛运动时间的计算
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t 或v0。
9． 平抛与圆相切问题
10．半圆模型平抛运动的推论
从半圆端点平抛，落在圆面时的速度不可能垂直圆面。根据推论速度的反向延长线交于水平位移的中点，
则不可能过圆心，也就不可能垂直圆面。
三．平抛的临界问题
1．平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
v1=s1√
g
2(h1−h2)
出界的临界速度
v2=(s1+s2)√
g
2h1
2．既擦网又压线的双临界问题
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ
θ
)θ
v0
v1
s1
h2
s2
v2
h1
s1
h2
s2
h1
3
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根据
h=1
2 g(
s
v0)
2
，可得比值：
h1−h2
h1
=
s
12
(s1+s2)2
3．撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x 和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间
，则竖直速度为v=gt、高度为
.
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
5． 平抛的相遇问题
平抛与自由落体
平抛与竖直上抛
平抛与平抛
平抛与匀速
x:l=vt;
y:空中相遇t<√
2h
g
联立得
l
v <√
2h
g
x:s=v1t;
y:½gt2+v2t-½gt2=H,
t=H/v2
联立得H/v2=s/t
球1 比球2 先抛
t1>t2、v1<v2；
球3、4 同时抛
t1=t2、v3>v4；
x:l=(v1-t2)t;
y:t=√
2H
g
6． 斜抛运动
水平方向——匀速直线运动
；
竖直方向——竖直上抛运动
①一分为二:从最高点分为两个平抛运动
②逆向思维
四．平抛运动与功能动量
1.做平抛运动的物体：
2.做平抛运动的物体重力的瞬时功率：
v2
v1
v3
v4
y
v0
o
θ
vx
vy
x
v0cosθ
vx
x
x/2
xv0
x
v0
4
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3.做平抛运动的物体重力的平均功率：
4.做平抛运动的物体：
5.做平抛运动的物体动量变化率恒定：
6.做平抛运动的物体处于完全失重状态；只有重力做功机械能守恒。
五、平抛运动的轨迹
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x 及竖直位移y，就可求出初速度v0，因x＝v0t，y＝gt2，
故v0＝x 。
2.平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B 间及B、C 间的水平距离相等，由平抛运动的规
律可知，A、B 间与B、C 间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝，所以初速度v0
＝＝x 。
【模型演练1】（2023·山西·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳
地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水
面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h 处水平抛出，抛出速度的
最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【答案】
【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得落到水面上时的竖直速度
由题意可知
5
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即
石子抛出速度的最小值为
。
【模型演练2】（2023 上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，竖直面内有一正方形区
域，其
边和
边水平。一小球
自
点由静止释放，从
点以速率
穿出区域。现将
等若干个
小球自
点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从
边上除
两点以外的各处
穿出
边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为
。
（1）求该正方形区域的边长
；
（2）小球
是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为
的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入
正方形区域时速度的大小
；
（3）小球
穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为
，求小球穿出正方形区域时速度
的大小
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）静止释放的小球
从
点以速率
穿出正方形区域，因
沿竖直方向，由几何关系可知
6
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解得
（2）由题意水平抛出的穿出时速度最大的小球
，应由
点穿出，由运动学公式及几何关系
解得
（3）由题意水平抛出的小球应由
边的中点穿出，由运动学公式及几何关系得
解得
【模型演练3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对
实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚线）
之间的距离为H，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O 点将质
量为m 的小球以一定的初速度竖直上抛，从M 点离开风洞区域，经过最高点Q 后小球再次从N 点返回风
洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P 处，NP 与水平方向的夹角为37°，
，
，重力加速度大小为g。求；
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（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP 的最大高度；
（3）OP 的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球再次从N 点返回风洞区域后做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，受力
情况如图所示
根据平行四边形定则和几何知识知
解得
（2）最高点的小球的速度沿水平方向，设该速度为v，则小球在M、N 点的水平方向速度也为v，设小球
在M、N 点竖直方向的速度大小为
，在 O 点的初速度为
。由O 到M 的时间为t，水平方向有
在P 点，水平方向有
竖直方向速度大小为
，则
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解得
在竖直方向上，小球在从O 点到P 点做上抛运动，竖直方向上速度相等，可得
由N 到P 小球做直线运动，则有
可得
最高点为Q 点，则在竖直方向上，由Q 到N，则
由N 到P 有
解得
QN 在竖直方向上有
NP 在竖直方向上有
可得
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小球运动过程中离风洞下边界OP 的最大高度
（3）水平方向由O 到M 有
由M 到 N 有
由N 到P 有
又
，
，解得
【模型演练4】（2024·湖北武汉·校联考模拟预测）“中国载人月球探测工程”计划在2030 年前实现中国
人首次登陆月球。设想在地球和月球上有两个倾角相同的山坡，简化为如图所示的足够长的倾角为θ 的斜
面。现分别从这两个山坡上以相同大小的速度v0水平抛出两个完全相同的小球，小球再次落到山坡上时速
度大小分别记为v1、v2，速度方向与坡面的夹角分别记为θ1、θ2。已知地球与月球表面重力加速度分别为
g、
，不计小球在地球上运动时的空气阻力，以下关系正确的是（ ）
A．θ2＞θ1
B．θ2＜θ1
C．v2＜v1
D．v2＝v1
【答案】D
【详解】AB．因为两个小球在相同大小的速度v0水平抛出，且都落到倾角为θ 的斜面，因此两个小球的位
移角是相同的都为θ，根据平抛的角度推论可知，速度角正切值是位移角正切值的两倍，因此两个球落地
时的速度角也相等，因此速度方向与坡面的夹角也相等，即
θ2=θ1
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AB 错误；
CD．根据位移角可知
解得
因此在竖直方向的速度为
竖直方向速度与加速度大小无关，因此合速度为
因此
v2＝v1
C 错误D 正确。
故选D。
1．（2024 上·江苏苏州·高三统考期末）如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次
抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P 点，
抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为
和
，其中
方向水平，
方向斜向上。忽略空气阻力，关于两
谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 （ ）
A．从O 到P 两谷粒的动量变化相同
B．从O 到P 两谷粒的动能变化相同
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C．从O 到P 两谷粒的运动时间相等
D．谷粒2 在最高点的速度小于
【答案】D
【详解】C．从O 到P 两谷粒在竖直方向的高度相等，令其为h，谷粒1 做平抛运动，则有
谷粒2 做斜坡运动，令其初速度与竖直方向夹角为
，则有
解得
，
可知
故C 错误；
A．根据动量定理有
，
由于两谷粒的质量关系不确定，则从O 到P 两谷粒的动量变化大小关系也不确定，故A 错误；
B．根据动能定理有
，
由于两谷粒的质量关系不确定，则从O 到P 两谷粒的动能变化大小关系也不确定，故B 错误；
D．谷粒2 做斜坡运动，水平方向上的分运动是匀速直线运动，则谷粒2 在最高点的速度为
，从O
到P 两谷粒的水平分位移相等，结合上述有
，
由于
则有
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即谷粒2 在最高点的速度小于
，故D 正确。
故选D。
2．（2024 上·江苏常州·高三统考期末）在海边的山坡高处的岸防炮，可以同时向两个方向投出弹丸，射击
海面上的不同目标。如图所示，在一次投射中，岸防炮以相同大小的初速度v0在同一竖直面内同时射出两
颗弹丸，速度方向与水平方向夹角均为θ，不计空气阻力。则（ ）
A．到达海面时两炮弹的速度大小相同方向不同
B．到达海面前两炮弹之间的距离越来越小
C．到达海面前两炮弹的相对速度越来越大
D．到达海面前两炮弹总在同一竖直线上
【答案】D
【详解】
A．如图所示，斜向上飞出的弹丸经过一段时间到达水平位置时与斜下抛速度方向相同，且在此时与斜下
抛高度相同，则落水时间相同，故到达海面时两炮弹的速度大小相同方向相同，A 错误；
B．由题知，初速度大小相等，与水平方向夹角相同，则水平分速度相同，所以始终保持同一竖直线上，
一个斜向上运动，一个斜向下运动，竖直方向位移方向相反，距离增大，如果高度较低，到达海面前两炮
弹之间的距离越来越大，B 错误；
C．到达海面前两炮弹的水平分相对速度为0，斜向上飞出的弹丸先减速，达到最高点后加速运动，竖直方
向相对速度先增大，后减小，C 错误；
D．由题知，初速度大小相等，与水平方向夹角相同，则水平分速度相同，所以始终保持同一竖直线上，
D 正确。
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故选D。
3．（2024 上·河北保定·高三统考期末）将弹性小球以某初速度从O 点水平抛出，与地面发生弹性碰撞
（碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变），反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直
挡板的顶端。已知O 点高度为1.25m，与挡板的水平距离为6.5m，挡板高度为0.8m，
，不计空
气阻力的影响。下列说法中正确的是（ ）
A．小球水平方向的速率为5m/s
B．小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30°
C．小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1
D．小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.4s
【答案】A
【详解】A．反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端，则从O 点抛出到反弹上升
到最高点所用时间为
从最高点下降经过竖直挡板的顶端所用时间为
则小球水平方向的速率为
故A 正确；
B．小球第一次落地时竖直方向分速度为
则小球第一次落地时速度与水平方向的夹角满足
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解得
故B 错误；
C．小球经过挡板上端时，竖直方向分速度为
则速度与水平方向夹角的正切值为
故C 错误；
D．小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为
故D 错误。
故选A。
4．（2024 上·北京昌平·高三统考期末）一小球做平抛运动，小球的速度大小v、加速度大小a、动能Ek和
机械能E 随时间t 的变化关系图像如图所示，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A．平抛运动的水平速度不变，竖直速度随时间增加而增加，则速度大小随时间增加而增加，则
选项A 错误；
B．平抛运动的加速度恒定为g，不随时间变化，选项B 错误；
C．平抛物体的动能
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则Ek随时间不是线性关系，选项C 错误；
D．平抛物体的机械能守恒，则E-t 图像是平行于t 轴的直线，选项D 正确。
故选D。
5．（2024·广东惠州·统考三模）图（a）为某景区的蛙口喷泉，两次喷出水的轨迹A、B 如图（b）所示，
最大高度相同，轨迹A 的落点M 恰好在轨迹B 最高点的正下方，不计空气阻力，对轨迹A、B 的说法正确
的是（ ）
A．水滴在空中运动的时间不相同
B．水滴的初速度大小相等
C．水滴在最高点速度均为0
D．质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同
【答案】D
【详解】A．取其中一个质量为m 的水滴进行分析，水滴做斜抛运动，根据对称性，可以将其运动看为左
右两个对称的平抛运动，令最大高度为h，利用逆向思维，则有
解得
由于最大高度相同，则水滴在空中运动的时间相同，故A 错误；
B．水滴竖直方向做竖直上抛运动，令初速度与始终方向夹角为
，利用逆向思维，则有
解得
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根据上述，运动时间相等，由图（b）可知，轨迹A 的初速度与竖直方向夹角小于轨迹B 的初速度与竖直
方向夹角，可知，轨迹A 的初速度小于轨迹B 的初速度，故B 错误；
C．水滴在水平方向上做匀速直线运动，可知，水滴在最高点速度为
，结合上述可知，轨迹A 在最高
点的速度小于轨迹B 在最高点的速度，均不为0，故C 错误；
D．水滴做斜抛运动，仅仅受到重力作用，根据动量定理有
水滴运动时间相等，可知，质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同，故D 正确。
故选D。
6．（2023 上·广东茂名·高三统考阶段练习）在足球场上罚任意球时，防守运动员会在球门与罚球点之间站
成一堵“人墙”，以增加防守面积，防守运动员会在足球踢出瞬间高高跃起，以增加防守高度。如图所示，
虚线是某次射门时足球的运动轨迹，足球恰好擦着横梁下沿进入球门，忽略空气阻力和足球的旋转，下列
说法正确的是（ ）
A．足球上升到最高点时的速度为0
B．足球下降过程中重力的功率一直在增大
C．足球在飞行过程中机械能先减小后增大
D．只要防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，就一定能“拦截”到足球
【答案】B
【详解】A．足球做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，故足球在最高点时的速度不为0，故A 错误；
B．足球在下降过程中，重力的瞬时功率
一直在增大，故B 正确；
C．由于忽略空气阻力，只有重力做功，故飞行过程中足球的机械能守恒，故C 错误；
D．即使防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，若起跳时机不对，仍然无法拦截到足球，故D 错误。
故选B。
7.（2024·河南郑州·统考一模）如图所示，正方体框架
的底面
处于水平地面上。
从顶点A 沿不同方向水平抛出小球（可视为质点），不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是
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（ ）
A．落点在
上的小球，落在
点时平抛的初速度最大
B．落点在
内的小球，落在
点的运动时间最长
C．落点在
上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是
D．落点在
上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同
【答案】C
【详解】A．小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有
水平位移为
落点在
上的小球，水平位移相同，则落在
点时运动时间最大，平抛的初速度最小，故A 错误；
B．落点在
内的小球，运动竖直位移相同，时间相同，故B 错误；
C．落点在
上的小球，运动时间相同，水平位移最小和最大比值为
所以平抛初速度的最小值与最大值之比是
，故C 正确；
D．落点在
上的小球，运动时间相同，则竖直分速度
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相同，落地时重力的瞬时功率
均相同，故D 错误。
故选C。
8．（2023 上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）如图所示为某名运动员保持固定姿势欲
骑车飞跃宽度d=2 m 的壕沟AB。已知两沟沿的高度差h=0.4 m，g 取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正
确的是（ ）
A．运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大
B．运动员离开A 点时的速度越大，在空中运动的时间越长
C．运动员在空中飞行的过程中，动量变化量的方向斜向右下方
D．运动员离开A 点时的速度大于5 m/s 就能安全越过壕沟
【答案】A
【详解】A．运动员在空中飞行的过程为平抛运动，竖直方向做自由落体落体运动，而自由落体运动任意
时刻的速度
则重力在任意时刻的功率
可知，运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大，故A 正确；
B．根据平抛运动在竖直方向做自由落体运动，则有
由运动的独立性与等时性可知，其在空中运动的时间由下落高度决定，与初速度大小无关，故B 错误；
C．平抛运动速度的变化量
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其方向竖直向下，根据
可知动量变化量的方向同样竖直向下，故C 错误；
D．根据平抛运动的研究规律，设运动员恰好越过壕沟的初速度为，则在竖直方向有
在水平方向有
代入数据解得
可知，运动员离开A 点时的速度大于
就能安全越过壕沟，故D 错误。
故选A。
9．（2023 上·广西·高三校联考阶段练习）“投壶”是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏。如图所示，
若将投壶用的箭（质量均相等）视为质点，投壶时箭距壶口的高度为，与壶边缘的最近水平距离为
，
壶的口径为
。若将箭的运动视为平抛运动，假设箭都投入壶中，重力加速度为
，则（ ）
A．若箭的初速度为
，则
B．箭落入壶中前瞬间重力的功率不相同
C．箭投入壶中时，最大速度与最小速度之比为
D．箭从抛出到刚落入壶的整个过程中动量的变化量都相同
【答案】D
【详解】A．根据平抛运动
，
当箭恰好从壶的左边缘落入时，有
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当箭恰好从壶的右边缘落入时，有
所以
故A 错误；
B．箭落入壶中前瞬间重力的功率为
所以箭落入壶中前瞬间重力的功率相同，故B 错误；
C．箭投入壶中时，最大速度与最小速度之比为
故C 错误；
D．根据动量定理可知，箭从抛出到刚落入壶的整个过程中动量的变化量等于重力的冲量，而由于箭做平
抛运动的高度相同，所以运动时间相同，因此重力的冲量相同，则箭从抛出到刚落入壶的整个过程中动量
的变化量都相同，故D 正确。
故选D。
10.（2023·湖北·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内建立xOy 坐标，质量为m 的小球以某一速度从O
点出发后，受到一平行于y 轴方向的恒力作用，恰好通过A 点，已知小球通过A 点的速度大小为v0，方向
沿x 轴正方向，且OA 连线与Ox 轴的夹角为30°，则（ ）
A．恒力的方向一定沿y 轴正方向
B．恒力在这一过程中所做的功为
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C．恒力在这一过程中的冲量大小为
D．小球从O 点出发时的动能为
【答案】C
【详解】A．小球受到恒力作用做匀变速曲线运动，利用逆向思维法，小球做类平抛运动。由此可判断恒
力方向一定沿y 轴负方向，故A 错误；
D．由几何关系可得
所以小球经过坐标原点时，沿y 轴方向的分速度为
沿x 轴方向的速度仍为v0，小球从O 点出发时的动能为
故D 错误；
B．恒力在这一过程中所做的功为
故B 错误；
C．恒力在这一过程中的冲量大小
故C 正确。
故选C。
11.（多选）（2024 上·河南南阳·高三校联考阶段练习）消防车从同一点M 分别以不同的初速度沿与水平方
向成30°和60°的夹角喷出甲、乙两水柱，两水柱经过空间同一点N，M、N 两点在同一水平线上，如图所
示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
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A．甲、乙水柱喷出时的初速度大小之比为1 2∶
B．甲、乙水柱从M 点运动到N 点的时间之比为
∶1
C．甲、乙水柱上升的最大高度之比1 3∶
D．甲、乙水柱从M 点运动到N 点过程平均速度之比为
∶1
【答案】CD
【详解】A．水平方向
竖直方向
解得
因水平射程相同，则甲、乙水柱喷出时的初速度大小之比为
选项A 错误；
B．根据
可知甲、乙水柱从M 点运动到N 点的时间之比为
选项B 错误；
C．根据
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可知，甲、乙水柱上升的最大高度之比
选项C 正确；
D．根据
则甲、乙水柱从M 点运动到N 点过程平均速度之比为
选项D 正确。
故选CD。
12．（多选）（2023 上·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图所示，质量相同的两个小球A、B 分别
从3L 和L 的高度水平抛出后落地，A、B 的水平位移大小分别为L 和2L，忽略空气阻力，则下列说法正确
的是（ ）
A．A、B 的飞行时间之比为3 1∶
B．A、B 的初速度大小之比为
C．A、B 落地时重力的瞬时功率之比为
D．A、B 从抛出到落地过程中重力的平均功率之比为
【答案】CD
【详解】A．平抛运动竖直方向上做自由落体运动，则有
，
解得
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故A 错误；
B．平抛运动水平方向做匀速直线运动，则有
，
结合上述解得
故B 错误；
C．A、B 落地时竖直分速度分别为
，
令落地速度与竖直方向夹角分别为
，
，则A、B 落地时重力的瞬时功率分别为
，
结合上述解得
故C 正确；
D．A、B 从抛出到落地过程中重力的平均功率分别为
，
结合上述解得
故D 正确。
故选CD。
13．（多选）（2024 上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）云顶滑雪公园位于张家口市境内，这里
年平均气温只有
，积雪时间长达150 天，2022 年冬奥会单板、自由式滑雪比赛在这里成功举行，随
着冬季的来临这里成为了小朋友滑雪的天堂。如图所示为滑雪场地的简易图，小朋友由O 点静止下滑，从
A 点沿水平方向离开轨道，经过一段时间落在倾角为
的斜坡上的D 点，假设小朋友可视为质点，且空气
的阻力可忽略。小朋友由A 到D 的过程，下列说法正确的是（ ）
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A．在任意相等时间内，小朋友动量的变化量相等
B．在下落任意相同的高度，小朋友动量的变化量相等
C．小朋友落在D 点时速度与水平方向夹角的正切值等于
D．若从O 点下方静止下滑，则小朋友落在BC 段时速度与水平方向的夹角增大
【答案】AD
【详解】A．小朋友由A 到D 的过程做平抛运动，由动量定理可知
相同时间内，小朋友动量的变化量相等，故A 正确；
B．由于竖直方向小朋友做自由落体运动，则下落任意相同的高度，所用的时间越来越少，由
可知小朋友下落相同的高度，小朋友动量的变化量逐渐减小，故B 错误；
C．由平抛运动的推论：速度与水平夹角的正切值为位移与水平夹角正切值的两倍，连接AD 两点，如下图
所示
假设AD 与水平方向的夹角为
，所以小朋友落在D 点时速度与水平方向夹角的正切值等于
，
故C 错误；
D．若从O 点下方静止下滑，则小朋友离开A 点时的速度减小，小朋友的落地点一定在D 点的上侧，落地
点与A 点的连线与水平方向的夹角增大，即位移的夹角增大，所以小朋友落在BC 段时速度与水平方向的
夹角也增大，故D 正确。
故选AD。
14．（多选）（2023 上·云南楚雄·高三云南省楚雄东兴中学校考阶段练习）将一质量为
的小球水平抛
出，其运动轨迹上有A、B、C 三点，如图所示。其中A 为抛出点，小球从A 到B 和B 到C 所用时间均为
，
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且位移大小之比为
，忽略空气阻力，重力加速度g 取
。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A 到C 动量变化量大小为
B．小球从A 到C 重力的平均功率为
C．小球平抛的初速度大小为
D．小球在B 点的动量大小为
【答案】BC
【详解】A．小球从A 到C，速度变化量
由动量定理有
选项A 错误；
B．小球从A 到C，下落的高度
重力的平均功率为
选项B 正确；
C．
的高度差为
的高度差为
的长度为
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的长度为
由题意知
解得
选项C 正确；
D．小球在B 点时的速度大小
则小球在B 点的动量大小为
选项D 错误。
故选BC。
15．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）如图所示的坐标系，x 轴水平向右，质量为m=0.5kg 的小球从坐标原
点O 处，以初速度
斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力
的作用，风力与
的夹角为30°，风力与x 轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球的加速度大小为10m/s2
B．加速度与初速度
的夹角为60°
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C．小球做类斜抛运动
D．当小球运动到x 轴上的P 点（图中未标出），则小球在P 点的横坐标为
【答案】AD
【详解】A．由题意可知，风力与重力的夹角为120°，由于
即风力与重力大小相等，根据矢量合成规律，可知合力与重力等大，则小球的加速度大小为10m/s2，故A
正确；
B．由几何关系可知，合力与初速度
方向垂直，即加速度方向与初速度
的夹角为90°，故B 错误；
C．根据上述可知，加速度a 与初速度
方向垂直，则小球做类平抛运动，故C 错误；
D．设P 点的横坐标为x，把x 分别沿着
和垂直
分解，则有
，
由类平抛运动的规律可得
，
解得
，
故D 正确。
故选AD。
16.（2024·福建泉州·统考二模）在2023 年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58m 的成
绩成功卫冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试不同质昼和不同夹角的抛球感觉。如图，在某次训
练中运动员将质量
的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小
，方向与水平夹角
，铅球离开手时离水平地面的高度
。取重力加速度
，
，
，
不计空气阻力。求铅球：
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（1）离开手瞬间的水平分速度大小
和竖直分速度大小
；
（2）上升到最高点的时间t 和离地面的最大高度H；
（3）落地前瞬间的动能
。
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）初速度
的水平分速度大小
可得
初速度
的竖直分速度大小
可得
（2）竖直方向由速度与时间的关系可得铅球上升到最高点的时间
解得
设铅球从抛出点上升到最高点的距离为
，则根据竖直方向的运动有
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则铅球离地的最大高度
（3）铅球从抛出到落地的过程中，由机械能守恒定律有
解得
17．（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m
的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，
与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相
等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加
速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
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（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为
，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得
，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
18．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪
仪每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。
图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3 个影像，所标出的两个线段的长度
和
之比为3：7。重力加速度大小取
，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【答案】
【详解】频闪仪每隔0.05s 发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3 个影像，故相邻两球的时间间隔为
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设抛出瞬间小球的速度为
，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为
、
，根
据平抛运动位移公式有
令
，则有
已标注的线段
、
分别为
则有
整理得
故在抛出瞬间小球的速度大小为
19．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，将一质量为0.2kg 可视为质点的小球从离水平地面3.2m 高的
P 点水平向右击出，测得第一次落点A 与P 点的水平距离为2.4m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高
度为1.8m，第一次落点A 与第二次落点B 之间的距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）小球被击出时的速度大小；
（2）小球第一次与地面接触过程中所受合外力的冲量大小。
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【答案】（1）3m/s；（2）
【详解】（1）设小球刚被击出时的速度大小为v0，小球被击出到第一次落地前瞬间，根据平抛运动的规
律可得
解得
（2）小球第一次落地前瞬间，在竖直方向的速度大小为
设小球第一次落地被反弹后运动到最高点的时间为t2，此过程中小球在竖直方向的分运动是匀减速直线运
动，则
小球第一次被反弹后瞬间沿竖直方向的速度大小为
规定竖直向上为正方向，则小球在竖直方向的合外力的冲量为
设小球第一次被反弹后瞬间沿水平方向的速度大小为vx，则
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规定水平向右为正方向，则小球在水平方向的合外力的冲量为
小球第一次与地面碰撞过程中合外力的冲量大小为
解得
20．（2023 上·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，
一个质量为m 的小球在O 点以水平初速度v0抛出，恰好能沿水平方向运动到P 点，O、P 间的距离为L，
将风力调大，小球仍由O 点以水平初速度v0抛出，结果恰好经过P 点正上方的Q 点，P，Q 间的距离为
，重力加速度为g，求：
（1）调节后的风力大小；
（2）小球运动到Q 点时的速度大小和方向。
【答案】（1）
；（2）
；方向斜向右上，与水平方向的夹角为45°
【详解】（1）开始时小球从O 点运动到P 点所用时间
，增大后的风力设为F，则
解得
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（2）设小球到Q 点时速度大小为v，沿竖直方向的分速度
因此
方向斜向右上，与水平方向的夹角为45°。
21．（2023·山东·高三专题练习）在光滑水平桌面内建一个直角坐标系如图所示，一个质量为m 的小球放
在第二象限的A 点，给小球沿x 轴正方向的初速度v0，同时对小球施加沿y 轴负方向的恒力F 作用，当小
球运动到原点O 时，速度方向与x 轴正方向的夹角为45°，此时突然将力F 方向变为沿x 轴负方向，大小不
变，一段时间后小球经过y 轴上的B 点。
（1）A 点的坐标；
（2）B 点的坐标。
【答案】(1)(
，
)；(2)(0，
)
【详解】小球从A 到O 做类平抛运动，在O 点时由速度偏角公式可得
其中
联立解得
，
沿x 轴位移为
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沿y 轴位移为
故A 点的坐标为(
，
)。
(2)小球从O 到B 过程，做斜抛运动，沿x 轴先减速为零后反向加速，由对称性可知，运动时间为
O、B 距离为
联立解得
故B 点的坐标为(0，
)。
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