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热点 04 平抛及圆周中的临界问题、轻绳轻杆模型
1.命题情境源自生产生活中的与力的作用下沿抛体运动和圆周运动相关的情境，对生活生产中力
和直线有关的问题平衡问题，要能从情境中抽象出物理模型，正确画受力分析图，运动过程示意
图，正确利用牛顿第二定律、运动学公式、动能定理、动量定理、动量守恒定律等解决问题。
2.命题中既有单个物体多过程问题又有多个物体多过程问题，考查重点在受力分析和运动过程分
析，能选择合适的物理规律解决实际问题。
3.命题较高的考查了运算能力和综合分析问题的能力。
一、平抛运动的二级结论
(1)做平抛运动的物体在任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
则tan α＝。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，其速度与水平方向的夹角α的正切值，是
位移与水平方向的夹角θ的正切值的2倍，即tan α＝2tan θ。
(3)若物体在斜面上平抛又落到斜面上，则其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正
切值。
(4)若平抛物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等
于斜面倾角的正切值。
(5)平抛运动问题要构建好两类模型，一类是常规平抛运动模型，注意分解方法，应用匀
变速运动的规律；另一类是平抛斜面结合模型，要灵活应用斜面倾角，分解速度或位移，构
建几何关系。
平抛运动中的临界问题
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
二、斜上抛运动
1．斜上抛运动的飞行时间、射高、射程：
(1)在最高点时：v＝0，由④式得到t＝⑤
y
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由③式得飞行时间t ＝⑥
总
(2)将⑤式代入③式得物体的射高：H ＝⑦
m
(3)将⑥式代入①式得物体的射程：x ＝
m
注意：当θ＝45°时，射程x 最大。即初速度v 大小一定时，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
m 0
2．逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动过程，可以逆向看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，还可
根据对称性求解有关问题。
三、圆周运动
1．水平面内的圆周运动的“临界”分析
(1)绳的临界：张力F ＝0
T
(2)接触面滑动临界：F＝f
m
(3)接触面分离临界：F ＝0
N
2．竖直面内的圆周运动(轻绳模型和轻杆模型)
轻绳模型 轻杆模型
图示
重力，弹力F 向下或等于零，mg 重力，弹力F 向下、向上或等于
弹 弹
在最高点受力
＋F ＝m 零，mg±F ＝m
弹 弹
F ＝0，mg＝m，v＝，即在最高点 v＝0，mg＝F ，在最高点速度可为
弹 弹
恰好过最高点
速度不能为零 零
关联 应用动能定理或机械能守恒定律将初、末状态联系起来列方程求解
抓“两点”“一联”把握解题关键点
①“两点”
②“一联”（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2023·江苏南京·统考二模）如图所示，倾角为 的足够长斜面，现从斜面上O点与斜面成 角（
），以速度 、 分别抛出小球P、Q，小球P、Q刚要落在斜面上A、B两点时的速度分别 、
，设O、A间的距离为 ，O、B间的距离为 ，不计空气阻力，当 取不同值时下列说法正确的是（
）
A． 一定等于
B． 方向与斜面的夹角一定小于 方向与斜面的夹角
C．P、Q在空中飞行的时间可能相等
D． 可能大于
【答案】A
【解析】将初速度分解在垂直斜面反向和平行斜面方向，垂直斜面方向
平行斜面方向
垂直斜面的加速度
平行斜面的加速度
C．在空中飞行的时间
所以P、Q在空中飞行的时间之比为 ，故C错误；
D．小球的位移
结合可得
故D错误；
B．速度与斜面的夹角的正切值
结合
可知 方向与斜面的夹角一定等于 方向与斜面的夹角，故B错误；
A．结合B选项分析，速度方向相同，垂直斜面和平行斜面的速度之比均为 ，根据速度的合成可知 一
定等于 ，故A正确。
故选A。
2．（2020·浙江·统考一模）如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙
黄豆从另一吸管末端M点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆
的运动轨迹。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，且 长度等于 的长度，不计黄
豆的空气阻力，可将黄豆看成质点，则（ ）
A．乙黄豆相对于M点上升的最大高度为 长度一半
B．甲黄豆在P点速度与乙黄豆在最高点的速度相等
C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍
D．两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍
【答案】B
【解析】A．对甲黄豆竖直方向有
对乙黄豆在从M点运动至最高点的过程中，由逆向思维得上升的最大高度为所以乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度的 ，故A错误；
B．设甲黄豆做平抛运动的时间为t,那么乙黄豆做斜抛运动的时间也为t。设 ，甲黄豆在P点
的速度为 ，乙黄豆到达最高点的速度为 。
对甲黄豆水平方向有
对乙黄豆从M点运动至N点水平方向有
联立解得
即甲黄豆在P点速度与乙黄豆在最高点的速度相等，故B正确；
C．对甲黄豆到N点时，在竖直方向上有
结合
得甲黄豆到达N点时的速度为
乙黄豆在M点的竖直方向分速度为
乙黄豆在N点的速度大小为
则
故C错误；
D．两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角正切值为
乙的速度与水平方向的夹角正切值为
所以两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍，两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的
夹角并非乙的两倍，故D错误。故选B。
3．（2022上·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图甲所示，挡板OA与水平面的夹角为 ，小球从O点
的正上方高度为 的P点以水平速度 水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的
O点转动，改变挡板的倾角 ，小球平抛运动的初速度 也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂
直， 关系图像如图乙所示，重力加速度 ，下列说法正确的是（ ）
A．图乙的函数关系图像对应的方程式
B．图乙中 的数值
C．当图乙中 ， 的值为
D．当 ，图乙中 ，则平抛运动的时间为
【答案】C
【解析】A．设平抛运动的时间为t，如图所示
把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，由几何关系
解得
根据几何关系有
联立整理故A错误；
B．结合图乙 函数关系图像可得
故B错误；
C．由图乙可得 函数关系图像的斜率
又有
，
可得
故C正确；
D．当
，
根据
解得
根据
解得
故D错误。
故选C。
4．（2023·四川资阳·统考一模）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图
丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧
后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低
点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接
触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点。当该自行车在平直的道路上行驶时，下列说法中正确的是（ ）
A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
【答案】C
【解析】AB. 当气嘴灯运动到最低点时发光，此时车轮匀速转动的角速度最小，则有
得
故AB错误；
CD. 当气嘴灯运动到最高点时能发光，则
得
即要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 ，故C正确，D错误。
故选C。
二、多选题
5．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω
匀速转动（均未发生相对滑动）。物体A、B、C的质量分别为m、2m、3m，各接触面间的动摩擦因数都
为μ，物体B、C离转台中心的距离分别为5r，B、C与圆周运动的圆心共线。设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）A．
B．C相对转台的相对运动趋势为沿着切线方向
C．B对转台的静摩擦力最大可能是3μmg
D．当 时，A所受B的静摩擦力大小为
【答案】AD
【解析】AC．对任何一个物体，临界角速度为 ，则
判断出，C的临界角速度最小，代入数值
此时对A与B整体
故A正确，C错误；
B．C相对转台的相对运动趋势为背离圆心向外，故B错误；
D．当 时，对A
故D正确。
故选AD。
6．（2023上·四川绵阳·高三统考阶段练习）如图甲所示，质量为0.2kg的小球套在竖直固定的光滑圆环上，
并在圆环最高点保持静止。受到轻微扰动后，小球由静止开始沿着圆环运动，一段时间后，小球与圆心的
连线转过θ角度时，小球的速度大小为v，v2与cosθ的关系如乙图所示，g取 。则（ ）A．圆环半径为0.6m
B． 时，小球所受合力为4N
C．0≤θ≤π过程中， 圆环对小球的作用力一直增大
D．0≤θ≤π过程中，圆环对小球的作用力先减小后增大
【答案】AD
【解析】A.小球下滑过程由机械能守恒定律有
得
对比图线可知
得
故A正确；
B.θ= 时，小球的速度平方为12，此时是圆环对小球的弹力提供向心力，有
小球还受竖直向下的重力，所以小球所受合力为
故B错误；
CD. 时，有
可知随θ的增大，同时v也增大，所以N必须减小，
时，有可知随θ的增大，同时v也增大，所以N必须增大，所以0≤θ≤π过程中，圆环对小球的作用力先减小后增
大，故C错误，D正确。
故选AD。
三、解答题
7．（2022·山东枣庄·统考模拟预测）2022年2月8日，18岁的中国选手谷爱凌在北京冬奥会自由式滑雪女
子大跳台比赛中以绝对优势夺得金牌。比赛场地如图，可简化为如图所示的示意图。在比赛的空中阶段可
将运动员视为质点，运动员从倾角为α=30°的斜面顶端O点以v=20m/s的初速度飞出，初速度方向与斜面
0
的夹角为θ=60°，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，
C为过B点作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2。求：
（1）运动员从A点运动到B点的时间；
（2）O、C两点间的距离。
【答案】（1） ；（2）40m
【解析】（1）A为轨迹的最高点，说明运动员在A点速度方向水平向右，设O到A时间为t，由斜抛运动
1
规律，竖直方向上有
解得
t=1s
1
运动员从O到B过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，到B点时速度平行于斜面向下，
垂直斜面方向有
得则运动员从A点运动到B点的时间
（2）解法1：设运动员落在斜面的D点，由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到B与B到D所用时
间相等，平行斜面方向
，
，a=gsinα
2
小球在水平方向做匀速直线运动，C为OD中点，则
代入数据解得
解法2：小球在水平方向做匀速直线运动
由几何关系可得
解得
8．（2023下·山东潍坊·高三统考阶段练习）某水上滑梯的简化结构图如图所示。总质量为m的滑船（包括
游客），从图甲所示倾角 的光滑斜轨道上A点由静止开始下滑，到达B点时，进入一段与斜轨道相
切的半径 的光滑圆弧轨道BC，C点为与地面相切的圆弧轨道最低点，在C点时对轨道的压力为
1.8mg，之后轨道扭曲（D与BC不在同一个竖直面内），划船从D点沿切线方向滑上如图乙所示的足够大
光滑斜面abcd，速度方向与斜面水平底边ad成夹角 。已知斜面abcd与水平面成 角，最后
滑船由斜面水平底边ad上的E点进入水平接收平台，已知DE长 ，g取10 。求：
（1）A点距离地面高度H；
（2）滑船运动到D点的速度大小v 及从D点到E点的运动时间t。
D【答案】（1） ；（2） ，
【解析】（1）滑船从A点滑到C点时，由机械能守恒定律可知
在C点时由牛顿第二定律可得
解得
（2）滑船在斜面上做类平抛运动，在斜面上只受重力和斜面的支持力，则运动的加速度大小
沿斜面ab方向
沿斜面ad方向
以上三式联立得
