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2．2.2 公式法
0.
∵a＝3，b＝5，c＝－2，
1．理解一元二次方程求根公式的推导 ∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，
过程； ∴x＝＝，
2．会用公式法解一元二次方程；(重点) ∴x＝，x＝－2.
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3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二 (2)∵a＝2，b＝3，c＝3，
次方程根的情况及相关应用．(难点) ∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－
15＜0，
∴原方程没有实数根．
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，
一、情境导入 ∴x＝＝，
如果这个一元二次方程是一般形式 ax2 ∴x＝x＝1.
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＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法求出它 方法总结：用公式法解一元二次方程时，
们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 首先应将其变形为一般形式，然后确定公式
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－ 中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”
4ac≥0，试推导它的两个根x＝，x＝. 比较，最后利用求根公式求出方程的根(或
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二、合作探究 说明其没有实数根)．
探究点一：求根公式 探究点三：根的判别式
方程3x2－8＝7x化为一般形式是 【类型一】 用根的判别式判断一元二次
__________，其中 a＝________，b＝ 方程根的情况
________，c＝________，方程的根为 已知一元二次方程x2＋x＝1，下
____________． 列判断正确的是( )
解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝ A．该方程有两个相等的实数根
0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac B．该方程有两个不相等的实数根
＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式 C．该方程无实数根
可得x＝. D．该方程根的情况不确定
故答案为：3x2－7x－8＝0，3，－7，－ 解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2
8，. －4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有
方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 两个不相等的实数根，故选B.
0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的， 方法总结：判断一元二次方程根的情况
只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可 的方法：利用根的判别式判断一元二次方程
求得方程的根． 根的情况时，要先把方程转化为一般形式
探究点二：用公式法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方
用公式法解下列方程： 程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，
(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝ 方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，
0； 方程无实数根．
(3)x2－2x＋1＝0. 【类型二】 根据方程根的情况确定字母
解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝ 的取值范围
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若关于x的一元二次方程kx2－2x ＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，
－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值 与假设矛盾．
范围是( ) ∴不存在这样的非负整数，使原方程有
A．k>－1 B．k>－1且k≠0 两个不相等的实数根．
C．k<1 D．k<1且k≠0 易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率
解析：由根的判别式知，方程有两个不 地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而
相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次 忽略了m2≠0这一隐含条件，因此解题过程
项系数不为0，即解得k>－1且k≠0，故选 中务必细心警惕．
B. 三、板书设计
易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次
方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能
等于0这一条件，本题容易误选A.
【类型三】 利用根的判别式判断三角形 经历从用配方法解数字系数的一元二
的形状 次方程到解字母系数的一元二次方程，探索
已知a，b，c分别是△ABC的三边 求根公式，认识配方法是理解公式的基础．
长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2 通过对公式的推导，认识一元二次方程的求
＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实 根公式适用于所有的一元二次方程．体会数
数根，请判断△ABC的形状． 式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确
解：将原方程转化为一般形式，得(b＋ 定性．提高学生的运算能力，并养成良好的
c)x2－2ax＋(c－b)m＝0. 运算习惯．
∵原方程有两个相等的实数根，
∴(－2a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，
即4m(a2＋b2－c2)＝0.
又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2
＝c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为
直角三角形．
方法总结：利用根的判别式判断三角形
形状的方法：根据一元二次方程根的情况，
利用判别式得到关于一元二次方程系数的
等式或不等式，再结合其他条件解题．
【类型四】 利用根的判别式解存在性问
题
是否存在这样的非负整数m，使
关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1
＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求
出m的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在，理由如下：
假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不
相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解
得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.
而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x
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