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专题03 功能与动量
目录
01.题型综述
02.解题攻略
题组01 功、功率和动量冲量的综合..................................................................................................... 1
题组02 碰撞模型及其拓展.....................................................................................................................11
题组03 传送带与板块模型.....................................................................................................................16
题组04 弹簧类模型................................................................................................................................. 27
03.高考练场
“能量与动量”的观念是高中物理的重要物理观念，也是暨力与运动后研究物理现象、解决物理问题
的重要思想方法。“能量动量”的观念，其核心是动能定理、机械能守恒定律、动量守恒定律。其中功、
能、动量、冲量是基本概念。灵活“能量动量”解决复杂的直线运动、曲线运动打击、碰撞等是高中生的
关键能力。甚至，后面的电磁学领域依然要用到“能量与动量”的观念。因此，本专题是高考的必考点、
常考点、热考点。
题组01 功、功率和动量冲量的综合
【提分秘籍】
1.计算功和功率时应注意的问题
(1)计算功时，要注意分析受力情况和能量转化情况，分清是恒力做功，还是变力做功，恒力做功一般用功
的公式或动能定理求解，变力做功用动能定理、转化法或图象法求解。
(2)用图象法求外力做功时应注意横轴和纵轴分别表示的物理意义，若横轴表示位移，纵轴表示力，则可用
图线与横轴围成的面积表示功，例如下图甲、乙、丙所示(丙图中图线为圆弧)，力做的功分别为W1＝
F1x1、W2＝F2x2、W3＝F3x3。
热点题型·选择题攻略
1
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(3)计算功率时，要明确是求瞬时功率，还是平均功率，若求瞬时功率，应明确是哪一时刻或哪个位置的瞬
时功率，若求平均功率应明确是哪段时间内的平均功率；应注意区分公式P＝和公式P＝Fvcosθ 的适用范
围，P＝计算的是平均功率，P＝Fvcosθ 侧重于对瞬时功率的计算。
2．冲量的三种计算方法
(1)公式法：I＝Ft 适用于求恒力的冲量．
(2)动量定理法：适用于求变力的冲量或F、t 未知的情况．
(3)图象法：用F－t 图线与时间轴围成的面积可求变力的冲量．若F－t 成线性关系，也可直接用平均力求
变力的冲量．
3．动量定理
(1)公式：FΔt＝mv′－mv
(2)应用技巧
①研究对象可以是单一物体，也可以是物体系统．
②表达式是矢量式，需要规定正方向．
③匀变速直线运动，如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理比用牛顿第二定律求解更简捷．
④在变加速运动中F 为Δt 时间内的平均冲力．
⑤电磁感应问题中，利用动量定理可以求解时间、电荷量或导体棒的位移．
4．在日常的生活与生产中，常涉及流体的连续相互作用问题，用常规的方法很难解决，若构建柱体微元
模型，然后用动量定理分析，则可使问题迎刃而解。解答时一般是选择一段时间内作用在某物体上的流体
为研究对象。
【典例剖析】
【例1-1】（24-25 高三上·四川南充·阶段练习）我国新能源汽车发展迅猛，已成为全球最大的新能源汽车
产销国。质量为
的某新能源汽车在水平路面上以恒定加速度启动，其
图像如图所示，其中
段和
段为直线。已知汽车动力系统的额定功率为
，汽车所受阻力大小恒为
，图中
均为
已知量，下列说法正确的是（ ）
2
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A．汽车
段运动过程阻力做的功
B．
时刻汽车的功率达到额定功率
C．汽车速度为
时的功率为
D．汽车
段前进的路程
【答案】B
【详解】A．由图可知，汽车最大速度为
，当汽车达到最大速度后由
可知
0~t1时间内汽车做匀加速运动，由图像可得位移
汽车
段运动过程阻力做的功
故A 错误；
B．0~t1时间内汽车做匀加速运动，则有
汽车速度增大过程中，牵引力不变，功率增大，速度达到最大时，功率达到额定功率，故B 正确；
C．0~t1内牵引力F 不变，t1时刻
汽车速度为
时
故C 错误；
D．t1~t2内由动能定理得
解得
3
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故D 错误；
故选B。
【例1-2】．如图所示，同一高度处有4 个质量相同且可视为质点的小球，现使小球A 做自由落体运动，小
球B 做平抛运动，小球C 做竖直上抛运动，小球D 做竖直下抛运动，且小球B、C、D 抛出时的初速度大小
相同，不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中（ ）
A．重力对4 个小球做的功相同
B．重力对4 个小球做功的平均功率相等
C．落地前瞬间，重力对4 个小球的瞬时功率大小关系为
D．重力对4 个小球做功的平均功率大小关系为
【答案】AC
【详解】A．4 个质量相同的小球从同一高度抛出到落地的过程中，重力做功为
故重力对4 个小球做的功相同，故A 正确；
BD．小球A 做自由落体运动，小球B 做平抛运动，小球C 做竖直上抛运动，小球D 做竖直下抛运动，小球
从同一高度抛出到落地，运动时间关系为
重力对4 个小球做功的平均功率为
可得重力对4 个小球做功的平均功率大小关系为
故BD 错误；
C．落地前瞬间，4 个小球竖直方向有
，
，
4 个小球竖直方向的速度关系为
落地前瞬间，重力对4 个小球的瞬时功率
4
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落地前瞬间，重力对4 个小球的瞬时功率大小关系为
故C 正确。
故选AC。
【例1-3】（2024·陕西安康·一模）某双层立体泊车装置如图所示。欲将静止在1 号车位的轿车移至4 号车
位，需先通过1 号车位下方的移动板托举着轿车耗时8s 竖直抬升2m 至3 号车位，再耗时12s 水平右移3m
停至4 号车位。若轿车的质量为
，则下列说法正确的是（ ）
A．水平右移过程中，移动板对轿车的支持力的冲量为0
B．竖直抬升过程中，移动板对轿车的支持力做的功为
C．竖直抬升过程中，轿车的机械能守恒
D．整个过程中，移动板对轿车做功的功率为
【答案】BD
【详解】A．水平右移过程中，移动板对轿车的支持力的冲量为
不为零，故A 错误；
B．竖直抬升过程中，移动板对轿车的支持力做的功为
故B 正确；
C．竖直抬升过程中，除重力外支持力做正功，轿车的机械能增加，不守恒，故C 错误；
D．整个过程中，移动板对轿车做功的功率
故D 正确。
故选BD。
【例1-4】（2025 高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，滑块P 静止在光滑水平面上，P 上侧的光滑圆弧
面与水平地面相切，将小滑块Q（可视为质点）从光滑圆弧面上距离水平地面高度为h 处由静止释放，经
时间t 后Q 滑离P，滑块Q 和P 质量均为m。则Q 沿P 下滑过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．P 对Q 的支持力对Q 不做功
B．P 对Q 的支持力对Q 做的功为
C．P 对Q 的支持力的冲量大小为
D．P 对Q 的支持力的冲量大小为
【答案】BD
【详解】A．因物块P 会滑动，因此P 对Q 的支持力不与Q 的速度方向垂直，做功不为零，故A 错误；
B．Q 下滑过程中P、Q 组成的系统机械能守恒，水平方向动量守恒，设分离时P、Q 的速率分别为
、
，
可得
，
解得
对Q，据动能定理可得
解得
故B 正确；
CD．根据动量定理可得如图所示的矢量关系
其中
，
可得
6
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解得
故D 正确，C 错误。
故选BD。
【变式演练】
【变式1-1】（24-25 高三上·云南德宏·开学考试）用一小型电动机竖直向上提升质量为m 的重物，电动机
的输出功率恒定，重物向上加速运动的
图像如图所示，
为上升过程的最大速度。重力加速度为g，
加速上升过程中，重力的冲量大小为I，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．重物加速上升的时间为
B．重物加速上升过程中吊索对重物拉力的冲量大小等于
C．重物加速上升过程中吊索对重物所做的功为
D．当重物速度为
时，重物加速度大小等于2g
【答案】BC
【详解】A．根据
解得
故A 错误；
B．重物加速上升过程中，取竖直向上为正方向，由动量定理可得
解得
故B 正确；
C．重物加速上升过程中吊索对重物所做的功为
又
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联立，解得
故C 正确；
D．当重物速度为
时，吊索对重物拉力
由牛顿第二定律
解得
故D 错误。
故选BC。
【变式1-2】．质量皆为m 的甲、乙两人分别站在质量为M 的小船的船头和船尾，随船以速度v0在水面上
向左运动（不计阻力）。两人同时以对地的速率ν 水平跳出，其中甲沿船前进的方向跳出，乙沿相反方向
跳出，则（ ）
A．乙对船做的功较多
B．船对乙的冲量较大
C．船速不变
D．船速增大
【答案】ABD
【详解】B．根据动量定理可知，船对甲的冲量为
船对乙的冲量为
可知船对乙的冲量较大，故B 正确；
ACD．根据水平方向动量守恒可知
可知
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则船速增大，根据动能定理可知乙对船的作用力做功较多，故C 错误，AD 正确；
故选ABD。
【变式1-3】．如图所示，质量为1kg 的木块（视为质点）被水平向左的力F 压在竖直墙壁上，其压力
F=kx（k 为常数，x 为木块位移），木块从离地面高度5m 处静止释放，到达地面时速度恰减为0。若木块
与墙面之间的动摩擦因数0.2，重力加速度大小为
，则（ ）
A．k=4
B．k=20
C．木块下滑过程中，在x=1.25m 处速度最大，且最大值为5m/s
D．木块下滑过程中，在x=2.50m 处速度最大，且最大值为10m/s
【答案】B
【详解】AB．弹力随位移均匀变化，根据动能定理
得
A 错误，B 正确；
CD．当重力与摩擦力相等时，木块加速度为0，速度最大，即
得
根据动能定理
得
CD 错误。故选B。
【变式1-4】．已知雨滴下落过程中受到的阻力与雨滴下落速度成正比，可表示为f=kv。设雨滴从足够高处
由静止落下，则关于雨滴重力的瞬时功率PG、动能Ek、动量大小p、机械能E 与下落时间t 的关系图像中
可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据牛顿第二定律可得
可知随着雨滴速度增大，加速度减小，即雨滴做加速度减小的加速运动，最终雨滴做匀速运动。
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A．根据
可知，
与不成正比，即
图线不是过原点的直线，故A 错误；
B．雨滴的速度增加，根据
可知，动能一直增加，故B 错误；
C．根据
可知，动量p 与速度成正比，由于加速度减小，即动量增加变慢，
图线为斜率逐渐
减小，当雨滴加速度减小到零时，动量p 不变，故C 正确；
D．雨滴下落过程中，阻力做功的功率
，由于速度增大，阻力增大，克服阻力做功的功率逐渐
增大，雨滴的机械能减少的越来越快，故D 错误。
故选C。
【变式1-5】．将一小球竖直向上抛出，若小球运动过程中所受空气阻力大小恒定，以向下为正方向，小
球动量p 随时间t 变化的图像如图所示，若
时间内图像的斜率为
，
时间内图像的斜率为
，则
小球所受空气阻力的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据
可得
即动量对时间的变化率等于小球所受的合外力，可得
，
解得
故选D。
题组02 碰撞模型及其拓展
【提分秘籍】
1.抓住“一判断、三原则、三定律”速解碰撞类问题
(1)判断属于弹性碰撞模型还是完全非弹性碰撞模型。
(2)碰撞的“三原则”
①动量守恒原则，即碰撞前后两物体组成的系统满足动量守恒定律。
②动能不增加原则，即碰撞后系统的总动能不大于碰撞前系统的总动能。
③物理情境可行性原则，如果碰前两物体同向运动，碰撞前后面物体的速度大于前面物体的速度，碰撞后
原来在前面的物体速度必增大，且大于或等于原来在后面的物体的碰后速度(仅限碰撞前后后面物体速度方
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向不变的情况)。如果碰撞前两物体相向运动，则碰撞后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体
碰撞后速度均为零。
(3)合理选用三个定律
①如果物体间发生的是弹性碰撞，则一般是应用动量守恒定律和机械能守恒定律进行求解。
②如果物体间发生的不是弹性碰撞，则一般应用动量守恒定律和能量守恒定律(功能关系)进行求解。
2.三类碰撞
(1)弹性碰撞
动量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′.
机械能守恒：m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2.
(2)完全非弹性碰撞
动量守恒、末速度相同：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v′.
机械能损失最多，机械能的损失量为：
ΔE＝(m1v＋m2v)－(m1＋m2)v′2.
(3)非弹性碰撞
动量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′.
机械能有损失，机械能的损失量为：
ΔE＝(m1v＋m2v)－(m1v1′2＋m2v2′2)．
【典例剖析】
【例2-1】（2025·江苏淮安·一模）如图所示，光滑轨道固定在水平地面上，质量均为m、相距很近的A、B
两小球静置于轨道水平部分。将质量为M 的小球C 从轨道圆弧部分的某高度处由静止释放，设所有碰撞均
为弹性碰撞，下列说法正确的是（ ）
A．若
，C 与A 仅碰撞一次
B．若
，A 与B 仅碰撞一次
C．若
，C 与A 可碰撞两次
D．若
，A 与B 可碰撞两次
【答案】B
【详解】AB．质量为M 的小球C 从轨道圆弧部分由静止释放滑至底端的过程
取水平向右为正方向，C 与A 弹性碰撞,有
解得
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，
A 与B 弹性碰撞，A 与B 质量相等，同理可得碰后A 与B 速度交换，即A 停下，B 以
向右运动，若
，
则
，C 返回冲上曲面后再次与静止的A 弹性碰撞，同理可解得
，
易知
，
，A 与B 仅碰撞一次，C 与A 碰撞两次，故A 错误，B 正确；
C．若
，C 与A 弹性碰撞，碰后
，
之后A 与B 弹性碰撞，碰后A 与B 速度交换，即A 停下，B 以
向右运动，C 与A 仅碰撞一次，故C 错
误；
D．若
，C 与A 弹性碰撞，碰后
，
易知
，
，之后A 与B 弹性碰撞，碰后A 与B 速度交换，即A 停下，B 以
向右运动，接着C 再
次与A 弹性碰撞，碰后
，
易知
，
，A 与B 仅碰撞一次，C 与A 碰撞两次，故D 错误。故选B。
【例2-2】．（2025 高三下·江苏南京·阶段练习）α 粒子
以一定的初速度与静止的氧原子核
发生
正碰。此过程中，α 粒子的动量p 随时间t 变化的部分图像如图所示，
时刻图线的切线斜率最大。则（
）
A．
时刻
的动量为
B．
时刻α 粒子的加速度达到最大
C．
时刻
的动能达到最大
D．
时刻系统的电势能最大
【答案】A
【详解】A．由题意可知，由α 粒子的动量p 随时间t 变化的部分图像可知，在
时刻，α 粒子的动量为
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，
时刻动量为
，由于α 粒子与氧原子核正碰，又α 粒子与氧原子核组成的系统动量守恒，由此可得
在t1时刻
的动量为
，A 正确；
B．
时刻图线的切线斜率最大，说明此时α 粒子的动量的变化率最大，由动量计算公式
可知，说
明此时α 粒子的速度的变化率最大，即加速度最大，因此
时刻α 粒子的加速度不是最大，B 错误；
C．
时刻α 粒子的动量是零，即速度是零，
时刻后α 粒子的动量是负值，由系统动量守恒可知，
时刻
之后
的动量达到最大，速度达到最大，则动能达到最大，C 错误；
D．由B 选项分析可知，
时刻α 粒子的加速度最大，此时受的电场力最大，则
受的电场力也最大，α
粒子与氧原子核的距离最近，此时系统的电势能最大，因此
时刻系统的电势能不是最大，D 错误。
故选A。
【例2-3】．如图甲所示，光滑水平面上有a、b 两个小球，a 球向b 球运动并与b 球发生正碰后粘合在一
起共同运动，其碰前和碰后的st 图像如图乙所示。已知ma=5kg，若b 球的质量为mb，两球因碰撞而损失
的机械能为ΔE，则（ ）
A．mb=1kg
B．mb=2kg
C．ΔE=10J
D．ΔE=35J
【答案】A
【详解】AB．由于st 图像的斜率表示速度，所以碰撞前a 球的速度为
b 球的速度为0，碰撞后a、b 两球的共同速度为
取碰撞前a 球的速度方向为正方向，根据动量守恒定律得
代入数据解得
故A 正确，B 错误；
CD．碰撞过程中系统损失的机械能为
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故CD 错误。
故选A。
【变式演练】
【变式2-1】一质量为
的小球A 以初速度
与正前方另一小球B 发生碰撞，碰撞过程A、B 两球的
图
像如图所示。已知地面光滑，则下列说法正确的是（ ）
A．图线P 反映的是碰撞过程中A 球的
图像
B．B 球的质量可表示为
C．一定存在
D．碰撞过程中A、B 两球的最大弹性势能为
【答案】ABD
【详解】A．A 与B 碰撞过程，对A、B 进行受力分析可知，A 球受力方向和速度方向相反，A 的速度应减小，
则P 反映的是A 球的情况，A 正确；
B．由动量守恒定律有
得
B 正确；
C．由弹性碰撞有
得
，
知
则发生弹性碰撞才有
，C 错误；
D．AB 碰撞过程中速度相等时两球有最大弹性势能，则有
解得
D 正确。故选ABD。
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【变式2-2】如图所示，水平面内有两个光滑平行导轨，导轨足够长，其间距为
。质量分别为
、
的
环A、B 套在导轨上，两环之间连接一轻弹簧，轻弹簧原长
。开始时弹簧与杆垂直，两环均静止。某时
刻，给环B 一水平向右的瞬时速度，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 和弹簧组成的系统满足动量不守恒、机械能守恒
B．若A 的速度为
，B 的速度为
C．若A 的速度为
，弹簧与导轨之间的夹角为
D．若弹簧恢复原长时，环B 速度为水平向右的
，则初始状态时弹簧的弹性势能
【答案】BCD
【详解】A．平行导轨光滑，对A、B 和弹簧组成的系统分析，所受的合外力为0，因此系统动量守恒，系
统除系统内弹簧的弹力，没有其他力做功，系统机械能守恒，故A 错误；
B．对A、B 和弹簧组成的系统分析，取向右为正方向，由动量守恒定律
解得
故B 正确；
C．由B 选项分析可知，若
，则
设弹簧初始弹性势能为
，A 的速度为
时的弹性势能为
，根据机械能守恒可得
可得
开始时弹簧长度为
，而原长为
，故弹簧压缩了
，弹性势能为
，而弹簧伸长后弹性势能与初始弹
性势能相等，故伸长量也为
，此时弹簧长度为
故弹簧与导轨间夹角为
，故C 正确；
D．开始时，弹簧长度为
，而原长为
，故弹簧压缩了
，弹性势能记为
，弹簧恢复原长时，环B
速度为水平向右的
，根据动量守恒可得
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解得
即A 的速度大小为
，方向向左，由能量守恒得
解得
故D 正确。故选BCD。
题组03 传送带与板块模型
【提分秘籍】
1.传送带问题的分析步骤与方法
2.划痕长度与摩擦生热的计算
若只有一个相对运动过程，划痕长度等于相对位移的大小；若有两个相对滑动过程，两过程相对位移方向
相同时，划痕长度求和，相对位移方向不同时，划痕以长的为准。全过程产生的热量Q＝Ffs 相对(s 相对是相
对路程，即相对位移绝对值的和)。
3.滑块和木板组成的系统所受的合外力为零时，优先选用动量守恒定律解题；若地面不光滑或受其他外力
时，需选用动力学观点解题。
4.滑块与木板达到相同速度时应注意摩擦力的大小和方向是否发生变化。
5.应注意区分滑块、木板各自的相对地面的位移和它们的相对位移。用运动学公式或动能定理列式时位移
指相对地面的位移，求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)。
【典例剖析】
【例3-1】（24-25 高三上·河南南阳·期中）如图甲所示，倾角为37°的传送带在电动机带动下沿顺时针方向
匀速转动，将一质量m=5kg 的货物（可视为质点）轻放到传送带底端A，货物运动的速度v 随时间t 变化的
图像如图乙所示，t=10s 时货物到达传送带顶端B，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，货物从A 端运动到
B 端的过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．货物受到的摩擦力大小始终为32N
B．货物受到的摩擦力做的功为160J
C．货物受到的合力做的功为460J
D．因为传送货物，电动机对传送带多做功620J
【答案】D
【详解】A．速度时间图像斜率表示加速度，图乙可知，前5s 内货物加速运动，物体受到重力mg、滑动摩
擦力
和支持力F N，由牛顿第二定律得
其中加速度为
联立以上解得
匀速后，平衡条件可知，静摩擦力
等于沿斜面向下的重量分力，即
故A 错误；
B．速度时间图像与横轴围成的面积表示位移，故前5s 和后5s 位移分别为
，
故货物从A 端运动到B 端的过程中，货物受到的摩擦力做的功为
代入数据得
故B 错误；
C．图像可知货物到B 端时速度v=5m/s，所以货物从A 端运动到B 端的过程中，由动能定理可知，货物受
到的合力做的功为
故C 错误；
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D．图像可知传送带速度为2m/s，由能量守恒可知，因为传送货物，电动机对传送带多做功
其中s1、s2分别为
，
联立得
故D 正确。
故选 D。
【例3-2】如图所示，一质量M=8.0 kg 的长方形木板B 放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m=2.0kg
的小木块A。给A 和B 以大小均为5.0m/s、方向相反的初速度，使A 开始向左运动，B 开始向右运动，A 始
终没有滑离B 板，A、B 之间的动摩擦因数是0.5，重力加速度g 取10m/s2。则在整个过程中，下列说法不
正确的是（ ）
A．小木块A 的速度减为零时，长木板B 的速度大小为3.75m/s
B．小木块A 的速度方向一直向左，不可能为零
C．小木块A 与长木板B 共速时速度大小为3m/s
D．长木板的长度可能为10m
【答案】B
【详解】B．取水平向右为正方向，取根据动量守恒定律可得
解得
故A 正确不符合题意；
BC．由于系统总动量方向向右，则小木块A 先向左减速至零，后向右加速，最终与木板以共同速度向右匀
速，设共速速度为
，根据动量守恒定律可得
解得
故B 错误符合题意，C 正确不符合题意；
D．小木块与木板共速时，根据能量关系有
解得
18
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由于A 始终没有滑离B 板，则木板长度必须大于或等于8m，故长木板的长度可能为10m，故D 正确不符
合题意。
故选B。
【变式演练】
【变式3-1】（2025 高三上·山东青岛·期中）如图所示，一倾斜传送带与水平面成
角，以v=10m/s
的速度顺时针运行，A、B 两端相距l=40m。现每隔1s 把质量m=1kg 的工件（视为质点）轻放在传送带上
的A 端，当每个工件离开B 端时恰好在A 端放上一个工件，每个工件与传送带间的动摩擦因数均为
，
g 取10
，下列说法正确的是（ ）
A．传送带上始终有7 个工件
B．两个工件间的最小距离为2.5m
C．满载时与空载时相比，电机对传送带的牵引力增大了30N
D．若传送带上只有一个工件，将其从A 点运送到B 点传送带需要多消耗电能400J
【答案】D
【详解】A．工件在传送带上加速过程，由牛顿第二定律可得
代入数据可得
工件加速过程所用的时间
工件加速过程的位移大小
工件匀速过程所用的时间
每隔1s 把工件放到传送带上，所以匀加速过程放了4 个，匀速过程放了2 个，共6 个，故A 错误；
B．由于每隔1s 放一个工件，传送带的速度是10m/s，而每个工件的运动情况都相同，最终工件相对于传
送带静止时，相邻的两个工件之间的距离一定是10m；相对于后一个工件来说，前一个工件刚刚加速运动
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1s 时，与后一工件间距离最小，可得传送带上两个工件间的最小距离
故B 错误；
C．满载时增加的牵引力为6 个工件所受的摩擦力之和
故C 错误；
D．若传送带上只有一个工件，将其从A 点运送到B 点，加速阶段克服摩擦力做功为
根据能量守恒，若传送带上只有一个工件，将其从A 点运送到B 点传送带需要多消耗电能
故D 正确。
故选D。
【变式3-2】（2025 高三上·山东·阶段练习）2024 年9 月，全国首座全自动化渔业码头正式启用，传送带是
码头自动化搬运系统不可缺少的组成部分。如图甲所示，倾角为
的倾斜传送带沿顺时针方向转动，
传送带的速度v 随时间t 的变化图像如图乙所示。
时刻将质量为
的货物轻放在传送带底端，已
知货物和传送带间动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，传送带足够长，取重力加速度
，
，
。0 15s
∼
过程中货物和传送带由于摩擦产生的热量为（ ）
A．64J
B．60J
C．32J
D．30J
【答案】C
【详解】货物向上做匀加速直线运动最大的加速度为
传送带的加速度为
所以在
两者相对静止一起向上运动，
传送带的加速度为
从10s 开始货物相对传送带向下滑动，货物位移为
20
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传送带位移为
0 15s
∼
过程中货物和传送带由于摩擦产生的热量为
故选C。
【变式3-3】（如图所示，与水平面成θ 角的传送带，在电动机的带动下以恒定的速率v 顺时针运行。现将
质量为m 的小物块从传送带下端A 点无初速度地放到传送带上，经时间t1物块与传送带达到共同速度，再
经时间t2物块到达传送带的上端B 点，已知A、B 间的距离为L，重力加速度为g，则在物块从A 运动到B
的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．在t1时间内摩擦力对物块做的功等于
mv2
B．在t1时间内物块和传送带间因摩擦而产生的内能小于物块机械能的增加量
C．在
时间内传送带对物块做的功等于mgLsinθ＋
mv2
D．在
时间内因运送物块，电动机至少多消耗mgLsinθ＋mv2的电能
【答案】C
【详解】A．由动能定理可知，在t1时间内摩擦力和重力对物块做的功之和等于
，重力做负功，故在
t1时间内摩擦力对物块做的功大于
mv2，故A 错误；
B．在t1时间内，物块相对传送带的位移
则物块和传送带间因摩擦而产生的内能为
物块机械能的增加量等于摩擦力做的功，即
即在t1时间内物块和传送带间因摩擦而产生的内能等于物块机械能的增加量，故B 错误；
C．由功能关系可知，在
时间内传送带对物块做的功等于物块机械能的增加量，即
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故C 正确；
D．在t1时间内因运送物块，电动机至少多消耗的电能
由选项B 可知
则在t1时间内因运送物块电动机至少多消耗
的电能；在t2时间内因运送物块电动机至少多
消耗mgL2sinθ 的电能；则在
时间内因运送物块，电动机至少多消耗的电能为
故D 错误。
故选C。
【变式3-4】（2024·四川宜宾·二模）如图甲为皮带输送机简化模型图，皮带输送机倾角
，顺时针匀
速转动，在输送带下端A 点无初速放入货物。货物从下端A 点运动到上端B 点的过程中，其机械能E 与位
移s 的关系图像（以A 位置所在水平面为零势能面）如图乙所示。货物视为质点，质量
，重力加
速度
，
，
。下列说法正确的是（ ）
A．货物与输送带间的动摩擦因数为0.825
B．输送带A、B 两端点间的距离为8m
C．货物从下端A 点运动到上端B 点的时间为9s
D．皮带输送机因运送该货物而多消耗的能量为585J
【答案】C
【详解】A．由题图可知，货物从开始运动到与传送带相对静止可知
对货物有
解得
22
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故A 项错误；
B．由图像可知，物块沿传送带向上运动0.5m 后与传送带相对静止，此后物块的动能不变，重力势能增加，
有
解得
则传送带两端点之间的距离为
故B 项错误；
C．加速阶段的加速度大小为a，有
加速阶段时间为
，有
传送带速度为
设匀速阶段时间为
，有
所以总时间为
故C 项正确；
D．由能量守恒，其多消耗的能量为
解得
故D 项错误。
故选C。
【变式3-5】（2024 高三上·辽宁·期末）如图所示，质量为1kg 的薄木板B 放在水平地面上，O 点在木板右
端的正上方，高度为3.6m，长为3.6m 的轻绳一端系于O 点，另一端系一质量为2kg、可视为质点的物块
A。将轻绳拉至与竖直方向成60°角，由静止释放物块A，物块A 到达最低点时轻绳断裂，物块A 滑上木板
B 后恰好能到达木板B 的左端。已知木板B 的长度为3m，木板B 沿地面先匀加速、后匀减速，运动的最大
距离为2m，取重力加速度大小
，下列说法正确的是（ ）
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A．物块A 与木板B 间的动摩擦因数为0.4
B．木板B 与地面间的动摩擦因数为0.1
C．木板B 与地面间因摩擦产生的热量为10J
D．物块A 与木板B 间因摩擦产生的热量为20J
【答案】A
【详解】AB．设轻绳的长度为
，轻绳断裂时物块
的速度大小为
，则有
解得
轻绳断裂后两者运动的
图像如图所示，设木板B 的长度为
，木板B 沿地面运动的最大距离为，物块
与木板B 间的动摩擦因数为
，木板B 与地面间的动摩擦因数为
，根据图中的面积关系有
（以
为底边的三角形，高等于
，而
等于图像斜率的绝对值，等于加速度的绝对值，其它三
角形类似可算出面积）
解得
故A 正确，B 错误；
24
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C．木板B 与地面间因摩擦产生的热量为
故C 错误；
D．物块
与木板B 间因摩擦产生的热量为
故D 错误。
故选A。
【变式3-6】（2024 高三上·山东·阶段练习）如图所示，质量为M 长为l 的长木板静止于粗糙水平面上，
时，质量为m 的物块（可视为质点）以初速度
从左端滑到长木板上，在运动过程中物块刚好未从木
板右端滑落，已知物块与木板间的摩擦因数为
。下列说法正确的是（ ）
A．物块滑到木板最右端的速度为
B．小物块减少的动能等于木板增加的动能和木板与物块之间产生的内能之和
C．木板的动能一定小于
D．木板的动能一定大于
【答案】C
【详解】A．物块刚好未从木板右端滑落，则物块到木板右端时，恰好有共同速度，如果物块与木板组成
的系统动量守恒，则
解得
由于水平面粗糙，木板受水平面的摩擦力，所以物块与木板组成的系统动量不守恒，故物块滑到木板最右
端的速度不为
，故A 错误；
BD．由能量守恒定律可知小物块减少的动能等于木板增加的动能、木板与物块之间产生的内能以及水平面
与木板之间产生的内能之和，木板与物块之间产生的内能
木板的动能一定小于
，故BD 错误；
C．设物块运动的位移大小
，木板运动的位移大小
，物块与木板共同速度
，物块与木板因摩擦产生
的热量
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由于
故
对木板由动能定理得
则
故C 正确。
故选C。
题组04 弹簧类模型
【提分秘籍】
1.储能原件-----轻弹簧模型
①同一根弹簧弹性势能的大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等
②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统：弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；
弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)
2.动量能量下的弹簧模型
26
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【典例剖析】
【例4-1】（2025 高三上·辽宁大连·期中）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，质量为m 的小球从A
点自由下落，至B 点时开始压缩弹簧，小球下落的最低位置为C 点。以B 点为坐标原点O，沿竖直向下建
立x 轴，小球从B 到C 过程中的加速度一位移图像如图乙所示，重力加速度为g。在小球从B 运动到C 的
过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球在B 点时的速度最大
B．小球的机械能守恒
C．图像与x 轴所包围的两部分面积大小相等
D．小球在C 点时所受的弹力大于2mg
【答案】D
【详解】A．小球在B 点时弹簧的弹力为零，只受重力，要继续向下加速，所以小球在B 点时的速度不是
最大，当弹簧对小球的弹力与小球的重力大小相等、方向相反时，即小球合力为零时，速度最大，此位置
在BC 之间，故A 错误；
B．在小球从B 运动到C 的过程中，弹簧弹力对小球一直做负功，故小球的机械能要减小，故B 错误；
C．设在D 点时，弹簧弹力等于小球重力，此时小球动能最大为
，设B 点速度为vB，设BD 过程平均加
速度和位移分别为
、
，由动能定理得
设DC 过程平均加速度和位移分别为
、
，由动能定理得
故
不等于
根据
图像与x 轴围成的两部分面积大小等于
，故图像与x 轴所包围的两部分面积大小不相等，故C
错误；
D．若小球从B 点由静止释放，到达最低点时，由对称性，最低点加速度向上且大小为g，由牛顿第二定律
得
解得
27
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但由于小球从A 点自由下落，故小球在C 点时，压缩量比上述情况更大，故小球在C 点时所受的弹力大于
2mg，故D 正确。
故选D 。
【例4-2】（2025 高三上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，A、B 和C 是光滑水平面上的三个大小相同的小
球，A、B 球的质量为m，C 球质量为
，其中B、C 两小球用不计质量的轻质弹簧连接后静止在水平面上。
现A 球以速度
沿B、C 两球球心的连线向B 球运动，碰后A、B 两球粘在一起。对A、B、C 及弹簧组成的
系统，下列说法正确的是（ ）
A．三球速度相等时，弹簧一定处于压缩状态
B．弹簧的最大弹性势能等于
C．三球速度相等后，速度将保持不变
D．当弹簧第一次从压缩状态恢复到原长时，C 的瞬时速度大小为
【答案】D
【详解】AC．三球速度第一次相等时，弹簧处于压缩状态，此后，C 球继续加速，A、B 球作为整体继续减
速，当弹簧恢复原长时C 球的速度比A、B 整体的速度大，弹簧继续伸长，当三球速度再次相等时，弹簧
处于拉伸状态，故A、C 错误；
B．三球速度相等时弹簧的弹性势能最大，设最大弹性势能为
，A、B 两球碰撞瞬间由动量守恒得
从开始到三球速度相等过程中，由三球组成的系统动量守恒得
从A、B 两球碰撞结束到三球速度相等过程，根据机械能守恒定律有
求得
故C 错误；
D．A、B 两球碰撞瞬间由动量守恒得
求得
28
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A、B 两球的总质量与C 球质量相等，从A、B 两球碰撞结束到弹簧第一次恢复为原长的过程中，相当于
A、B 两球作为整体与C 球发生了一次弹性碰撞，所以二者发生速度交换，所以当弹簧第一次从压缩状态恢
复到原长时，C 球的瞬时速度大小为
，故D 正确。
故选D。
【例4-3】（2025 高三上·安徽·阶段练习）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m 的圆环相连，
圆环套在倾斜的粗糙固定杆上，杆与水平面之间的夹角为α，圆环在A 处时弹簧竖直且处于原长。将圆环
从A 处静止释放，到达C 处时速度为零。若圆环在C 处获得沿杆向上的速度v，恰好能回到A。已知
，B 是AC 的中点，弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g，则（ ）
A．下滑过程中，环的加速度逐渐减小
B．下滑过程中，环与杆摩擦产生的热量为
C．从C 到A 过程，弹簧对环做功为
D．环经过B 时，上滑的速度小于下滑的速度
【答案】C
【详解】A．环由A 到C，初速度和末速度均为0，可知环先加速后减速。圆环所受弹簧的弹力逐渐增大，
弹簧一直处于伸长状态。并且，弹簧弹力方向越来越靠近斜杆，分析圆环的受力可知，其合力先沿着斜杆
向下，再沿着斜杆向上，且合力的大小先减小后增大，所以圆环的加速度先减小后增大，故A 错误；
B．环由A 到C，有
环由C 到A，有
解得
29
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故B 错误，C 正确；
D．由功能关系可知，圆环由A 下滑至B，有
圆环由B 上滑至A，有
则
即环经过B 时，上滑的速度大于下滑的速度，故D 错误。
故选C。
【变式演练】
【变式4-1】(多选)如图甲所示，质量为m 的物块P 与长木板Q 之间有一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，
P 与弹簧拴接，Q 与弹簧接触但不拴接，Q 的上表面粗糙。t＝0 时，物块P 以初速度v0向左运动，0～2t0时
间内物块P 与长木板Q 的a－t 图像如图乙所示，2t0时刻，把质量为m 的物块M 静止放在Q 的最左端，图
中未画出，M 最终未从Q 上滑出，则( )
A．长木板Q 的质量为m
B．t0时刻弹簧的弹性势能为mv0
2
C．M 和Q 之间因摩擦产生的热量为mv0
2
D．弹簧可以和Q 发生二次作用
【答案】 AC
【解析】 t0时刻，P、Q 所受弹力最大且大小相等，由牛顿第二定律可得＝＝，＝a0
则Q 的质量为m，故A 正确；
t0时刻，弹簧压缩到最短，P 和Q 速度相等，根据动量守恒定律有mPv0＝(mP＋mQ)v
根据能量守恒定律可得最大弹性势能为ΔEp＝mPv0
2－(mP＋mQ)v2＝mv0
2，故B 错误；
0～2t0时间内，根据动量守恒定律有mPv0＝mPv1＋mQv2
根据机械能守恒定律有mPv0
2＝mPv1
2＋mQv2
2，联立解得v2＝v0，v1＝v0
2t0时刻，Q 和弹簧分离，M 和Q 之间动量守恒，有mQv2＝(mQ＋mM)v′
30
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解得v′＝v0
产生的热量为Q＝mQv2
2－(mQ＋mM)v′2＝mv0
2，故C 正确；
由上分析可知M 和Q 共速时v′＝v0>v1
弹簧不能和Q 发生二次作用，故D 错误。
【变式4-2】（2024·陕西榆林·一模）如图所示，三个物块A、B、C 的质量分别为
、
和
，且
，其中
置于水平地面上，在A、B 之间连接一轻弹簧，B 与C 之间用轻绳连接，轻绳绕过固定的
轻滑轮。开始时用手托住物块C 使轻绳刚好在竖直方向上伸直，轻弹簧也处于竖直方向，放手后使物块C
从静止开始下落，当C 的速度减为0 时，物块A 恰好脱离地面但不继续上升。不计空气阻力和滑轮的摩擦，
在物块C 向下落的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．
B．物块B 的加速度先减小再增大
C．物块B 和弹簧组成的系统机械能一直增大
D．轻绳上的拉力先增大后减小
【答案】D
【详解】A．开始时，A、B、C 静止，设弹簧压缩量为
，有
当C 的速度减为0 时，物块A 恰好脱离地面但不继续上升，此时弹簧拉力为
，有
因为
所以
形变量大小相同，则弹簧弹性势能相同，设物体C 下落距离为
,则B 上升
，初态和末态的动能都为零，
动能变化量为零，弹性势能变化量也为零，根据能量守恒，系统重力势能变化量也为零，即C 物体减少的
重力势能等于B 物体增加的重力势能
31
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得
故A 正确，不符合题意；
B．最开始，物块B 受向下的重力、弹簧弹力、和向上的绳子拉力，其中重力和弹簧弹力平衡，所受合力
为拉力，向上运动过程中，弹力增大，合力减小，加速度减小，直到弹簧恢复原长时，合力为零，加速度
为零，速度达到最大，然后弹簧弹力和重力之和大于绳子拉力，合力变为向下，物体减速，弹力增大，合
力增大，加速度增大，直至减速为零，故B 正确，不符合题意；
C．绳子拉力对物块B 和弹簧组成的系统一直做正功，物块B 和弹簧组成的系统机械能一直增大，故C 正确，
不符合题意；
D．物块C 的加速度先向上减小再向下增大，分析C，最开始，加速度减小
弹簧恢复原长以后，加速度增大
轻绳上的拉力一直增大，故D 错误，符合题意；
故选D。
【变式4-3】．（2025 高三上·辽宁锦州·阶段练习）如图甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固
定一轻质弹簧，将质量为
的物块从斜面顶端由静止释放，物块运动到最低点的过程中，其加速度
随位移变化的规律如图乙所示，取重力加速度为
，则（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．斜面的倾角为
C．物块的最大动能为
D．弹簧的最大弹性势能为
【答案】C
【详解】B．由题意，根据图乙可知在
时，物块的加速度大小为
，根据牛顿第二定律
有
求得
32
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可知斜面倾角
故B 错误；
AD．当物块运动到
处时，根据能量守恒定律可知，此时弹簧的弹性势能最大，有
求得
故AD 错误；
C．当物块的加速度为零时，此时物块的速度最大，动能最大，设此时物块的位移为
，则有
联立代入相关已知数据，求得
故C 正确。
故选C。
【变式4-3】．（2024·陕西·模拟预测）质量为
的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。
平衡时，弹簧的压缩量为
，如图所示，一物块从钢板正上方距离为
的处自由落下，与钢板碰撞后一
起向下运动（不粘连）。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为
，弹簧的弹性势能
为弹簧的劲度系数，
为弹簧的形变量），碰撞时间极短，下列说法正确的是（ ）
A．碰后物块与钢板一起做简谐运动，振幅为
B．物块与钢板在返回
点前已经分离
C．运动过程中弹簧的最大弹性势能为
D．物块与钢板碰撞过程中损失的机械能为
33
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【答案】C
【详解】A.对物块，根据动能定理有
解得
设
表示质量为
的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度，因碰撞时间极短，动量守恒，取
方向
为正，由动量守恒定律得
解得
由能量守恒得
根据平衡条件可得
联立解得
当物块与钢板受力平衡时，为平衡位置，有
解得
所以振幅
故A 错误；
B.物块与钢板在返回
点前弹簧一直被压缩，弹力竖直向上，整体加速度小于重力加速度，若已经分离，
则物块的加速度等于重力加速度，则此后物块的速度将小于钢板的速度，与实际不符，所以物块与钢板在
返回
点前不可能分离，故B 错误；
C.当物块与钢板运动到最低点时，弹簧的弹性势能最大
故C 正确；
D.物块与钢板碰撞过程中损失的机械能
34
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故D 错误。
故选C。
【变式4-4】如图甲所示，物块A、B 的质量均为2 kg，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B 右
侧与竖直墙壁接触但不黏连。物块C 从t＝0 时以一定速度向右运动，在t＝4 s 时与物块A 相碰，并立即与
物块A 黏在一起不再分开，物块C 的v－t 图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．物块C 的质量为2 kg
B．物块B 离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为40.5 J
C．4～12 s 的时间内，墙壁对物块B 的冲量大小为0
D．物块B 离开墙壁后，物块B 的最大速度大小为3.6 m/s
【答案】 D
【解析】 由题图乙知，C 与A 碰前速度为v1＝9 m/s，碰后速度为v2＝3 m/s，C 与A 碰撞过程动量守恒，
以C 的初速度方向为正方向，由动量守恒定律有
mCv1＝(mA＋mC)v2
解得mC＝1 kg，故A 错误；
A、C 黏在一起速度变为0 时，弹簧的弹性势能最大，为Ep＝(mA＋mC)v2
2＝13.5 J，故B 错误；
由题图乙知，12 s 末A 和C 的速度为v3＝－3 m/s，4～12 s 时间内墙壁对物体B 的冲量大小等于弹簧对物
体B 的冲量大小，也等于弹簧对A 和C 整体的冲量大小，则墙对B 的冲量为I＝(mA＋mC)v3－(mA＋mC)v2
解得I＝－18 N·s，负号表示方向向左，故C 错误；
物块B 刚离开墙壁时，A、C 向左运动的速度大小为3 m/s，物块B 离开墙壁后，系统动量守恒、机械能守
恒，当弹簧再次恢复原长时，物体B 的速度最大，则有
(mA＋mC)|v3|＝(mA＋mC)v4＋mBvB
(mA＋mC)|v3|2＝(mA＋mC)v4
2＋mBvB
2
代入数据解得vB＝3.6 m/s
物块B 的最大速度为3.6 m/s，故D 正确。
一、单选题
1．（2024·贵州·高考真题）质量为
的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x 轴零点。
现给物块施加一沿x 轴正方向的水平力F，其大小随位置x 变化的关系如图所示，则物块运动到
处，
35
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F 做功的瞬时功率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据图像可知物块运动到
处，F 做的总功为
该过程根据动能定理得
解得物块运动到
处时的速度为
故此时F 做功的瞬时功率为
故选A。
2．（2024·浙江·高考真题）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为
，喷水速度约为10m/s，水的
密度为
kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W
B．20W
C．100W
D．200W
【答案】C
【详解】设
时间内从喷头流出的水的质量为
喷头喷水的功率等于
时间内喷出的水的动能增加量，即
联立解得
故选C。
3．（2024·北京·高考真题）将小球竖直向上抛出，小球从抛出到落回原处的过程中，若所受空气阻力大小
与速度大小成正比，则下列说法正确的是（ ）
A．上升和下落两过程的时间相等
B．上升和下落两过程损失的机械能相等
C．上升过程合力的冲量大于下落过程合力的冲量
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D．上升过程的加速度始终小于下落过程的加速度
【答案】C
【详解】D．小球上升过程中受到向下的空气阻力，下落过程中受到向上的空气阻力，由牛顿第二定律可
知上升过程所受合力（加速度）总大于下落过程所受合力（加速度），D 错误；
C．小球运动的整个过程中，空气阻力做负功，由动能定理可知小球落回原处时的速度小于抛出时的速度，
所以上升过程中小球动量变化的大小大于下落过程中动量变化的大小，由动量定理可知，上升过程合力的
冲量大于下落过程合力的冲量，C 正确；
A．上升与下落经过同一位置时的速度，上升时更大，所以上升过程中平均速度大于下落过程中的平均速
度，所以上升过程所用时间小于下落过程所用时间，A 错误；
B．经同一位置，上升过程中所受空气阻力大于下落过程所受阻力，由功能关系可知，上升过程机械能损
失大于下落过程机械能损失，B 错误。
故选C。
4．（2024·北京·高考真题）如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道BC 在B 点平滑连接。
一小物体将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。
下列说法正确的是（ ）
A．物体在C 点所受合力为零
B．物体在C 点的速度为零
C．物体在C 点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点的动能
【答案】C
【详解】AB．物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆
轨道的半径为r，由牛顿第二定律得
解得物体在C 点的速度
AB 错误；
C．由牛顿第二定律得
解得物体在C 点的向心加速度
37
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C 正确；
D．由能量守恒定律知，物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点时的动能和重力势能之和，D 错误。
故选C。
5．（2024·安徽·高考真题）某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h 的粗糙斜坡
顶端由静止下滑，至底端时速度为v．已知人与滑板的总质量为m，可视为质点．重力加速度大小为g，不
计空气阻力．则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】人在下滑的过程中，由动能定理可得
可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为
故选D。
6．（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为m 的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板
通过一根原长为l 的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d（d<l）。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，
弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E=
kx2（x 为绳的伸长量）。现用水平力F 缓慢拉动乙所坐木板，
直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k 保持不变，最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F 所做的功等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有
解得弹性绳的伸长量
则此时弹性绳的弹性势能为
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从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为
则由功能关系可知该过程F 所做的功
故选B。
7．（2024·宁夏四川·高考真题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m 的小环套在大圆环上，
小环从静止开始由大圆环顶端经Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中
对大圆环的作用力大小（ ）
A．在Q 点最大
B．在Q 点最小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】C
【详解】方法一（分析法）：设大圆环半径为
，小环在大圆环上某处（
点）与圆环的作用力恰好为零，
如图所示
设图中夹角为
，从大圆环顶端到
点过程，根据机械能守恒定律
在
点，根据牛顿第二定律
联立解得
从大圆环顶端到
点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，
所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从
点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环
对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
39
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方法二（数学法）：设大圆环半径为
，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角
为
，根据机械能守恒定律
在该处根据牛顿第二定律
联立可得
则大圆环对小环作用力的大小
根据数学知识可知
的大小在
时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用
力大小先减小后增大。
故选C。
8．（2024·江苏·高考真题）如图所示，在水平面上有一个U 形滑板A，A 的上表面有一个静止的物体B，左
侧用轻弹簧连接在滑板A 的左端，右侧用一根细绳连接在滑板A 的右端，开始时弹簧处于拉伸状态，各表
面均光滑，剪断细绳后，则（ ）
A．弹簧恢复原长时时A 动量最大
B．弹簧压缩最短时A 动量最大
C．整个系统动量变大
D．整个系统机械能变大
【答案】A
【详解】对整个系统分析可知合外力为0，A 和B 组成的系统动量守恒，得
设弹簧的初始弹性势能为
，整个系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒，当弹簧恢复原长时得
联立得
故可知弹簧恢复原长时滑板速度最大，此时动量最大，动能最大。对于系统来说动量一直为零，系统机械
能不变。
40
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故选A。
9．（2023·河北·高考真题）某科研团队通过传感器收集并分析运动数据，为跳高运动员的技术动作改进提
供参考。图为跳高运动员在起跳过程中，其单位质量受到地面的竖直方向支持力随时间变化关系曲线。图
像中
至
内，曲线下方的面积与阴影部分的面积相等。已知该运动员的质量为
，重力加速
度g 取
。下列说法正确的是（ ）
A．起跳过程中运动员的最大加速度约为
B．起跳后运动员重心上升的平均速度大小约为
C．起跳后运动员重心上升的最大高度约为
D．起跳过程中运动员所受合力的冲量大小约为
【答案】C
【详解】A．由图像可知，运动员受到的最大支持力约为
根据牛顿第二定律可知，起跳过程中运动员的最大加速度约为
故A 错误；
BCD．根据
图像可知，起跳过程中支持力的冲量为
起跳过程中运动员所受合力的冲量大小约为
根据动量定理可得
解得起跳离开地面瞬间的速度为
则起跳后运动员重心上升的平均速度为
41
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起跳后运动员重心上升的最大高度为
故BD 错误，C 正确。
故选C。
10．（2024·重庆·高考真题）活检针可用于活体组织取样，如图所示。取样时，活检针的针芯和针鞘被瞬
间弹出后仅受阻力。针鞘质量为m，针鞘在软组织中运动距离d1后进入目标组织，继续运动d2后停下来。
若两段运动中针翘鞘整体受到阻力均视为恒力。大小分别为F1、F2，则针鞘（ ）
A．被弹出时速度大小为
B．到达目标组织表面时的动能为F1d1
C．运动d2过程中，阻力做功为(F1＋F2)d2
D．运动d2的过程中动量变化量大小为
【答案】A
【详解】A．根据动能定理有
解得
故A 正确；
B．针鞘到达目标组织表面后，继续前进d2减速至零，有
Ek = F2d2
故B 错误；
C．针鞘运动d2的过程中，克服阻力做功为F2d2，故C 错误；
D．针鞘运动d2的过程中，动量变化量大小
故D 错误。
42
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故选A。
二、多选题
11．（2024·广西·高考真题）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M 和N。M 水平向右运动，速度
大小为v。M 与静置于平台边缘的N 发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻力，则碰撞后，N
在（ ）
A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
【答案】BC
【详解】由于两小球碰撞过程中机械能守恒，可知两小球碰撞过程是弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒
可知
由于两小球质量相等，故碰撞后两小球交换速度，即
，
碰后小球N 做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，即水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v；
在竖直方向上做自由落体运动，即竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动。
故选BC。
12．（2024·宁夏四川·高考真题）蹦床运动中，体重为
的运动员在
时刚好落到蹦床上，对蹦床作
用力大小F 与时间t 的关系如图所示。假设运动过程中运动员身体始终保持竖直，在其不与蹦床接触时蹦
床水平。忽略空气阻力，重力加速度大小取
。下列说法正确的是（ ）
A．
时，运动员的重力势能最大
B．
时，运动员的速度大小为
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C．
时，运动员恰好运动到最大高度处
D．运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为
【答案】BD
【详解】A．根据牛顿第三定律结合题图可知
时，蹦床对运动员的弹力最大，蹦床的形变量最大，
此时运动员处于最低点，运动员的重力势能最小，故A 错误；
BC．根据题图可知运动员从
离开蹦床到
再次落到蹦床上经历的时间为
，根据竖直上抛运
动的对称性可知，运动员上升时间为1s，则在
时，运动员恰好运动到最大高度处，
时运动
员的速度大小
故B 正确，C 错误；
D．同理可知运动员落到蹦床时的速度大小为
，以竖直向上为正方向，根据动量定理
其中
代入数据可得
根据牛顿第三定律可知运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为
，故D 正确。
故选BD。
13．（2023·湖北·高考真题）如图所示，原长为l 的轻质弹簧，一端固定在O 点，另一端与一质量为m 的
小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5。杆上M、N 两点与O 点的距离
均为l，P 点到O 点的距离为
，OP 与杆垂直。当小球置于杆上P 点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。小球以某一初速度从M 点向下运动到N 点，在此过程中，弹簧始
终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在P 点下方
处的加速度大小为
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C．从M 点到N 点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D．从M 点到P 点和从P 点到N 点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
【答案】AD
【详解】A．小球在P 点受力平衡，则有
，
，
联立解得
A 正确；
C．在PM 之间任取一点A，令AO 与MN 之间的夹角为
，则此时弹簧的弹力为
小球受到的摩擦力为
化简得
在MP 之间增大在PN 减变小，即摩擦力先变大后变小，C 错误；
D．根据对称性可知在任意关于P 点对称的点摩擦力大小相等，因此由对称性可知M 到P 和P 到N 摩擦力
做功大小相等；D 正确；
B．小球运动到P 点下方
时
，此时摩擦力大小为
由牛顿第二定律
联立解得
B 错误。
故选AD。
14．（2023·全国·高考真题）如图，一质量为M、长为l 的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m 的小
物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物
块从木板右端离开时（ ）
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A．木板的动能一定等于fl
B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于
D．物块的动能一定小于
【答案】BD
【详解】设物块离开木板时的速度为
，此时木板的速度为
，由题意可知
设物块的对地位移为
，木板的对地位移为
CD．根据能量守恒定律可得
整理可得
D 正确，C 错误；
AB．因摩擦产生的摩擦热
根据运动学公式
因为
可得
则
所以
B 正确，A 错误。
故选BD。
15．（2023·全国·高考真题）使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的N 极正对着乙
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的S 极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等。现同时释放甲和乙，在它们相互接
近过程中的任一时刻（ ）
A．甲的速度大小比乙的大
B．甲的动量大小比乙的小
C．甲的动量大小与乙的相等
D．甲和乙的动量之和不为零
【答案】BD
【详解】对甲、乙两条形磁铁分别做受力分析，如图所示
A．根据牛顿第二定律有
由于
m 甲 > m 乙
所以
a 甲 < a 乙
由于两物体运动时间相同，且同时由静止释放，可得
v 甲 < v 乙
A 错误；
BCD．对于整个系统而言，由于μm 甲g > μm 乙g，合力方向向左，合冲量方向向左，所以合动量方向向左，
显然甲的动量大小比乙的小，BD 正确、C 错误。
故选BD。
16．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L 的木块，质量为m
的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f 与射入初速度大小
成正比，
即
（k 为已知常数）。改变子弹的初速度大小
，若木块获得的速度最大，则（ ）
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A．子弹的初速度大小为
B．子弹在木块中运动的时间为
C．木块和子弹损失的总动能为
D．木块在加速过程中运动的距离为
【答案】AD
【详解】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分别为
，则有
子弹和木块相互作用过程中合力都为
，因此子弹和物块的加速度分别为
由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为
联立上式可得
因此木块的速度最大即
取极值即可，该函数在
到无穷单调递减，因此
当
木块的速度最大，A 正确；
B．则子弹穿过木块时木块的速度为
由运动学公式
可得
故B 错误；
C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即
48
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故C 错误；
D．木块加速过程运动的距离为
故D 正确。
故选AD。
17．（2024·福建·高考真题）如图（a），水平地面上固定有一倾角为
的足够长光滑斜面，一质量为
的
滑块锁定在斜面上。
时解除锁定，同时对滑块施加沿斜面方向的拉力
，
随时间的变化关系如图
（b）所示，取沿斜面向下为正方向，重力加速度大小为
，则滑块（ ）
A．在
内一直沿斜面向下运动
B．在
内所受合外力的总冲量大小为零
C．在
时动量大小是在
时的一半
D．在
内的位移大小比在
内的小
【答案】AD
【详解】根据图像可知当
时，物块加速度为
方向沿斜面向下；当
时，物块加速度大小为
方向沿斜面向上，作出物块
内的
图像
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A．根据图像可知
，物体一直沿斜面向下运动，故A 正确；
B．根据图像可知
，物块的末速度不等于0，根据动量定理
故B 错误；
C．根据图像可知
时物块速度大于
时物块的速度，故
时动量不是
时的一半，故C 错误；
D．
图像与横轴围成的面积表示位移，故由图像可知
过程物体的位移小于
的位移，故
D 正确。
故选AD。
18．（2023·广东·高考真题）某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型．多个质量均为
的
滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力．开窗帘过程中，电机对滑块1 施加一个水平向右的恒力
，推动滑
块1 以
的速度与静止的滑块2 碰撞，碰撞时间为
，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为
．关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有（ ）
A．该过程动量守恒
B．滑块1 受到合外力的冲量大小为
C．滑块2 受到合外力的冲量大小为
D．滑块2 受到滑块1 的平均作用力大小为
【答案】BD
【详解】A．取向右为正方向，滑块1 和滑块2 组成的系统的初动量为
碰撞后的动量为
则滑块的碰撞过程动量不守恒，故A 错误；
B．对滑块1，取向右为正方向，则有
50
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负号表示方向水平向左，故B 正确；
C．对滑块2，取向右为正方向，则有
故C 错误；
D．对滑块2 根据动量定理有
解得
则滑块2 受到滑块1 的平均作用力大小为
，故D 正确。
故选BD。
51
