文档文本内容
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考情概览：解读近年命题思路和内容要求，统计真题考查情况。
2024 年真题研析：分析命题特点，探寻常考要点，真题分类精讲。
近年真题精选：分类精选近年真题，把握命题趋势。
必备知识速记：归纳串联解题必备知识，总结易错易混点。
名校模拟探源：精选适量名校模拟题，发掘高考命题之源。
命题解读
考向
考查统计
本类试题主要考查各种功能关系及能
量守恒的应用。经常与动量知识相互
综合。与动量综合时，常以碰撞、板
块模型出现。要求体会守恒观念对认
识物理规律的重要性。
考向一 功能关系的应用
2024·浙江1 月，3
2023·浙江1 月，4
2021·北京卷，20
考向二 机械能守恒的应用
2024·湖北卷，14
2024·湖南卷，15
2024·江苏卷，8
2024·全国甲卷，4
2023·湖南卷，15
考向三 能量守恒定律的应用
2024·河北卷，16
2023·辽宁卷，13
2023·全国乙卷，8
2022·山东卷，2
考向四 摩擦生热问题
2024·湖北卷，10
2023·湖南卷，18
2023·辽宁卷，15
考向五 实验：验证机械能守恒定律及各
种功能关系
2023·福建卷，12
2022·广东卷，11
2021·海南卷，15
2021·河北卷，12
2021·浙江卷，17
命题分析
2024 年高考各卷区物理试题均考查了功能关系、能量守恒。预测2025 年高考会继续大力考查这部分
内容。各种题型均可出现。
试题精讲
考向一 功能关系的应用
1
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1. （2024 年1 月浙江卷第3 题）如图所示，质量为m 的足球从水平地面上位置1 被踢出后落在位置3，在
空中达到最高点2 的高度为h，则足球（ ）
A. 从1 到2 动能减少
B. 从1 到2 重力势能增加
C. 从2 到3 动能增加
D. 从2 到3 机械能不变
【答案】B
【解析】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从从1 到2 重力势能
增加
，则1 到2 动能减少量大于
，A 错误，B 正确；
CD．从2 到3 由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于
，选项CD 错
误。
故选B。
考向二 机械能守恒的应用
2. （2024 年湖北卷第14 题）如图所示，水平传送带以5m/s 的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距
离为
。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为
、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2kg 的小球，
小球与传送带上表面平齐但不接触。在O 点右侧的P 点固定一钉子，P 点与O 点等高。将质量为0.1kg 的
小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度
大小为
、方向水平向左。小球碰后绕O 点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P 点向上
运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小
。
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
（3）若小球运动到P 点正上方，绳子不松弛，求P 点到O 点的最小距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）根据题意，小物块在传送带上，由牛顿第二定律有
解得
2
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由运动学公式可得，小物块与传送带共速时运动的距离为
可知，小物块运动到传送带右端前与传送带共速，即小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小等于传
送带的速度大小
。
（2）小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，小物块与小球组成的系统动量守恒，以向右为正方
向，由动量守恒定律有
其中
，
解得
小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能为
解得
（3）若小球运动到P 点正上方，绳子恰好不松弛，设此时P 点到O 点的距离为
，小球在P 点正上方的
速度为
，在P 点正上方，由牛顿第二定律有
小球从
点正下方到P 点正上方过程中，由机械能守恒定律有
联立解得
即P 点到O 点的最小距离为
。
3. （2024 年湖南卷第15 题）如图，半径为R 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A
和B（mA>mB）。初始时小球A 以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B 发生碰撞。不计小球与
圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小；
（2）若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量
比
。
3
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（3）若小球A 与B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e 倍
（0<e<1） ，求第1 次碰撞到第2n+1 次碰撞之间小球B 通过的路程。
【答案】（1）
，
；（2）
或
；
（3）
【解析】（1）有题意可知A、B 系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，则根据动量守恒
有
可得
碰撞后根据牛顿第二定律有
可得
（2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有
联立解得
，
因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图
4
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①若第二次碰撞发生在图中的b 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程之比为
，则有
联立解得
由于两质量均为正数，故k1=0，即
对第二次碰撞，设A、B 碰撞后
速度大小分别为
，
，则同样有
联立解得
，
，故第三次碰撞发生在b 点、第四次碰撞发生在c 点，以此类推，满足题意。
②若第二次碰撞发生在图中的c 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程之比为
；所以
联立可得
因为两质量均为正数，故k2=0，即
根据①的分析可证
，
，满足题意。
5
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综上可知
或
。
（3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为
，第一次碰后与第二次相碰
前B 球比A 球多运动一圈，即B 球相对A 球运动一圈，有
第一次碰撞动量守恒有
且
联立解得
B 球运动的路程
第二次碰撞的相对速度大小为
第二次碰撞有
且
联立可得
所以B 球运动的路程
一共碰了2n 次，有
6
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4. （2024·江苏卷·第8 题）在水平面上有一个U 形滑板A，A 的上表面有一个静止的物体B，左侧用轻弹
簧连接在滑板A 的左侧，右侧用一根细绳连接在滑板B 的右侧，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑，
剪断细绳后，则（ ）
A. 弹簧原长时物体动量最大
B. 压缩最短时物体动能最大
C. 系统动量变大
D. 系统机械能变大
【答案】A
【解析】对整个系统分析可知合外力为0，A 和B 组成的系统动量守恒，得
设弹簧的初始弹性势能为
，整个系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒，当弹簧原长时得
联立得
故可知弹簧原长时物体速度最大，此时动量最大，动能最大。
故选A。
5. （2024 年全国甲卷第4 题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m 的小环套在大圆环上，
小环从静止开始由大圆环顶端经Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中
对大圆环的作用力大小（ ）
A. 在Q 点最大
B. 在Q 点最小
C. 先减小后增大
D. 先增大后减小
【答案】C
【解析】方法一（分析法）：设大圆环半径为
，小环在大圆环上某处（
点）与圆环的作用力恰好为零，
如图所示
7
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设图中夹角为
，从大圆环顶端到
点过程，根据机械能守恒定律
在
点，根据牛顿第二定律
联立解得
从大圆环顶端到
点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，
所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从
点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环
对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二（数学法）：设大圆环半径为
，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角
为
，根据机械能守恒定律
在该处根据牛顿第二定律
联立可得
则大圆环对小环作用力的大小
根据数学知识可知
的大小在
时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用
力大小先减小后增大。
故选C。
考向三 能量守恒定律的应用
6. （2024 年河北卷第16 题）如图，三块厚度相同、质量相等的木板A、B、C（上表面均粗糙）并排静止
在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于A 木板左端。已知三块木板质量均为
A 木板长度为
8
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，机器人质量为
，重力加速度g 取
，忽略空气阻力。
（1）机器人从A 木板左端走到A 木板右端时，求A、B 木板间的水平距离。
（2）机器人走到A 木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从A 木板右端跳到B 木板左端，求起跳
过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值。
（3）若机器人以做功最少的方式跳到B 木板左端后立刻与B 木板相对静止，随即相对B 木板连续不停地3
次等间距跳到B 木板右端，此时B 木板恰好追上A 木板。求该时刻A、C 两木板间距与B 木板长度的关系。
【答案】（1）
；（2）90J，2；（3）
【解析】（1）机器人从A 木板左端走到A 木板右端，机器人与A 木板组成的系统动量守恒，设机器人质
量为M，三个木板质量为m，根据人船模型得
同时有
解得A、B 木板间的水平距离
（2）设机器人起跳的速度大小为
，方向与水平方向的夹角为
，从A 木板右端跳到B 木板左端时间为
t，根据斜抛运动规律得
联立解得
机器人跳离A 的过程，系统水平方向动量守恒
根据能量守恒可得机器人做的功为
联立得
9
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根据数学知识可得当
时，即
时，W 取最小值，代入数值得此时
（3）根据
可得
，根据
得
分析可知A 木板以该速度向左匀速运动，机器人跳离A 木板到与B 木板相对静止的过程中，机器人与BC
木板组成的系统在水平方向动量守恒，得
解得
该过程A 木板向左运动的距离为
机器人连续3 次等间距跳到B 木板右端，整个过程机器人和B 木板组成的系统水平方向动量守恒，设每次
起跳机器人的水平速度大小为
，B 木板的速度大小为
，机器人每次跳跃的时间为
，取向右为正方
向，得
①
每次跳跃时机器人和B 木板的相对位移为
，可得
②
机器人到B 木板右端时，B 木板恰好追上A 木板，从机器人跳到B 左端到跳到B 右端的过程中，AB 木板
的位移差为
可得
③
联立①②③解得
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故A、C 两木板间距为
解得
考向四 摩擦生热问题
7. （2024 年湖北卷第10 题）（多选）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L 的木块，
质量为m 的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f 与射入初速度大小
成正比，即
（k 为已知常数）。改变子弹的初速度大小
，若木块获得的速度最大，则
（ ）
A. 子弹的初速度大小为
B. 子弹在木块中运动的时间为
C. 木块和子弹损失的总动能为
D. 木块在加速过程中运动的距离为
【答案】AD
【解析】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分别为
，则有
子弹和木块相互作用过程中合力都为
，因此子弹和物块的加速度分别为
由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为
11
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联立上式可得
因此木块的速度最大即
取极值即可，该函数在
到无穷单调递减，
因此当
木块的速度最大，A 正确；
B．则子弹穿过木块时木块
速度为
由运动学公式
可得
故B 错误；
C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即
故C 错误；
D．木块加速过程运动的距离为
故D 正确。
故选AD。
考向一 功能关系的应用
1、（2023 年1 月浙江卷第4 题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游
客从跳台下落直到最低点过程中( )
A.弹性势能减小
B.重力势能减小
C.机械能保持不变
D.绳一绷紧动能就开始减小
答案：B
12
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解析：游客从跳台下落直到最低点过程中，游客的重力做正功，重力势能减小，B 正确；橡皮绳绷紧后形
变量一直增大，弹性势能一直增大，A 错误；橡皮绳绷紧后的过程，橡皮绳的弹力做负功，因此游客的机
械能减小，C 错误；绳绷紧后游客先加速后减速，因此游客的动能先增大后减小，D 错误。
2. （2021 年北京卷第20 题）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效
“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为
，人站立时摆长为
。不计空气阻力，重力加速度大小为
g。
（1）如果摆长为
，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T 的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a.人蹲在踏板上从最大摆角
开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角
为
。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明
。
b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角
后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，
求在最低点“摆球”增加的动能
应满足的条件。
【答案】（1）
；（2）a.见解析；b.
【解析】（1）根据牛顿运动定律
解得
（2）a.设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v1、v2，根据功能关系得
已知v1 = v2，得
因为
，得
所以
b.设“摆球”由最大摆角
摆至最低点时动能为
，根据功能关系得
13
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“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为
,根据牛顿运动定律得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得
得
考向二 机械能守恒的应用
3. （2023 年湖南卷第15 题）如图，质量为
的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的
光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为
和
，长轴水平，短轴竖直．质量为
的小球，初始时刻从椭
圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于
地面的直角坐标系
，椭圆长轴位于
轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为
。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽
速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系
中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若
，求小球下降
高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用
及
表示）。
【答案】（1 ）
，
；（2 ）
；（3 ）
【解析】（1）小球运动到最低点的时候小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正
小球运动到最低点的过程中系统机械能守恒
联立解得
14
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因水平方向在任何时候都动量守恒即
两边同时乘t 可得
且由几何关系可知
联立得
（2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为
时，此时凹槽水平向右运动的位移为
，
根据上式有
则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为
整理得
（
）
（3）将
代入小球的轨迹方程化简可得
即此时小球的轨迹为以
为圆心，b 为半径的圆，则当小球下降的高度为
时有如图
15
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此时可知速度和水平方向的的夹角为
，小球下降
的过程中，系统水平方向动量守恒
系统机械能守恒
联立得
4. （2023 年全国甲卷第1 题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程
中（ ）
A. 机械能一直增加
B. 加速度保持不变
C. 速度大小保持不变
D. 被推出后瞬间动能最大
【答案】B
【解析】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A 错误；
B．铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B 正确；
CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变
大，则动能越来越大，CD 错误。
故选B。
5.（2023 年全国甲卷第11 题） 如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m 的
小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与
弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；
垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度
大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
16
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得小球离开桌面时速度大小
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为
，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得
，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
6. （2022 年全国乙卷第3 题）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P 点由
静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A. 它滑过的弧长
B. 它下降的高度
C. 它到P 点的距离
D. 它与P 点的连线扫过的面积
【答案】C
【解析】如图所示
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设圆环下降的高度为
，圆环的半径为
，它到P 点的距离为
，根据机械能守恒定律得
由几何关系可得
联立可得
可得
故C 正确，ABD 错误。
故选C。
7. （2022 年全国乙卷第12 题）如图（a），一质量为m 的物块A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：
物块B 向A 运动，
时与弹簧接触，到
时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B 的
图像如图
（b）所示。已知从
到
时间内，物块A 运动的距离为
。A、B 分离后，A 滑上粗糙斜面，
然后滑下，与一直在水平面上运动的B 再次碰撞，之后A 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜
面倾角为
，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A 与斜面间的动摩擦因数。
18
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时
、
速度相等，即
时刻，根据动量
守恒定律
根据能量守恒定律
联立解得
（2）解法一：同一时刻弹簧对
、B 的弹力大小相等，根据牛顿第二定律
可知同一时刻
则同一时刻
、
的的瞬时速度分别为
，
根据位移等速度在时间上的累积可得
，
又
解得
第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
19
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解法二：B 接触弹簧后，压缩弹簧的过程中，A、B 动量守恒，有
对方程两边同时乘以时间
，有
0-t0之间，根据位移等速度在时间上的累积，可得
将
代入可得
则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
（3）物块A 第二次到达斜面
最高点与第一次相同，说明物块A 第二次与B 分离后速度大小仍为
，
方向水平向右，设物块A 第一次滑下斜面的速度大小为
，设向左为正方向，根据动量守恒定律可得
根据能量守恒定律可得
联立解得
方法一：设在斜面上滑行的长度为
，上滑过程，根据动能定理可得
下滑过程，根据动能定理可得
联立解得
方法二：根据牛顿第二定律，可以分别计算出滑块A 上滑和下滑时的加速度，
，
上滑时末速度为0，下滑时初速度为0，由匀变速直线运动的位移速度关系可得
，
联立可解得
20
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8. （2021 年全国乙卷第1 题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一
端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢
底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统
（ ）
A. 动量守恒，机械能守恒
B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒
D. 动量不守恒，机械能不守恒
【答案】B
【解析】因为滑块与车厢水平底板间有摩擦，且撤去推力后滑块在车厢底板上有相对滑动，即摩擦力做功，
而水平地面是光滑的；以小车、弹簧和滑块组成的系统，根据动量守恒和机械能守恒的条件可知撤去推力
后该系统动量守恒，机械能不守恒。
故选B。
9. （2021 年海南卷第2 题）水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如
图所示，滑梯顶端到末端的高度
，末端到水面的高度
。取重力加速度
，
将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为
，根据机械能守恒定律可知
解得
从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据
可知落水时间为
水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为
21
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故选A。
10. （2021 年浙江卷第21 题）如图所示，水平地面上有一高
的水平台面，台面上竖直放置倾角
的粗糙直轨道
、水平光滑直轨道
、四分之一圆周光滑细圆管道
和半圆形光滑轨道
，它们平滑连接，其中管道
的半径
、圆心在
点，轨道
的半径
、圆心
在
点，
、D、
和F 点均处在同一水平线上。小滑块从轨道
上距台面高为h 的P 点静止下滑，
与静止在轨道
上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道
、轨道
从F 点竖直向下运动，
与正下方固定在直杆上的三棱柱G 碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q 点，
已知小滑块与轨道
间的动摩擦因数
，
，
。
（1）若小滑块的初始高度
，求小滑块到达B 点时速度
的大小；
（2）若小球能完成整个运动过程，求h 的最小值
；
（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G 的位置上下可调，求落地点Q 与F 点的水平距离x 的最大值
。
【答案】（1）4m/s；（2）
；（3）0.8m
【解析】（1）小滑块在
轨道上运动
代入数据解得
（2）小球沿
轨道运动，在最高点可得
22
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从C 点到E 点由机械能守恒可得
解得
，
小滑块与小球碰撞后动量守恒，机械能守恒，因此有
，
解得
，
结合(1)问可得
解得h 的最小值
（3）设F 点到G 点的距离为y，小球从E 点到G 点的运动，由动能定理
由平抛运动可得
，
联立可得水平距离为
由数学知识可得当
取最大，最大值为
考向三 能量守恒定律的应用
11. （2023 年辽宁卷第13 题）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该
飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v₁=80m/s 时离开水面，该过程滑行距离
L=1600m、汲水质量m=1.0×10⁴kg。离开水面后，飞机攀升高度h=100m 时速度达到v₂=100m/s，之后保持
水平匀速飞 行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g=10m/s²。求：
（1）飞机在水面滑行阶段的加速度a 的大小及滑行时间t；
23
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（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）飞机做从静止开始做匀加速直线运动，平均速度为
，则
解得飞机滑行的时间为
飞机滑行的加速度为
（2）飞机从水面至
处，水的机械能包含水的动能和重力势能，则机械能变化量为
12. （2023 年全国乙卷第8 题）（多选）如图，一质量为M、长为l 的木板静止在光滑水平桌面上，另一
质量为m 的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大
小为f，当物块从木板右端离开时（ ）
A. 木板的动能一定等于fl
B. 木板的动能一定小于fl
C. 物块的动能一定大于
D. 物块的动能一定小于
【答案】BD
【解析】设物块离开木板时的速度为
，此时木板的速度为
，由题意可知
设物块的对地位移为
，木板的对地位移为
CD．根据能量守恒定律可得
整理可得
24
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D 正确，C 错误；
AB．因摩擦产生
摩擦热
根据运动学公式
因为
可得
则
所以
B 正确，A 错误。
故选BD。
13. （2022 年山东卷第2 题）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，
发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火
的过程中（ ）
A. 火箭的加速度为零时，动能最大
B. 高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C. 高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D. 高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
【答案】A
25
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【解析】A．火箭从发射仓发射出来，受竖直向下的重力、竖直向下的空气阻力和竖直向上的高压气体的
推力作用，且推力大小不断减小，刚开始向上的时候高压气体的推力大于向下的重力和空气阻力之和，故
火箭向上做加速度减小的加速运动，当向上的高压气体的推力等于向下的重力和空气阻力之和时，火箭的
加速度为零，速度最大，接着向上的高压气体的推力小于向下的重力和空气阻力之和时，火箭接着向上做
加速度增大的减速运动，直至速度为零，故当火箭的加速度为零时，速度最大，动能最大，故A 正确；
B．根据能量守恒定律，可知高压气体释放
能量转化为火箭的动能、火箭的重力势能和内能，故B 错误；
C．根据动量定理，可知合力冲量等于火箭动量的增加量，故C 错误；
D．根据功能关系，可知高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭机械能的增加量，故D 错误。
故选A。
考向四 摩擦生热问题
14. （2023 年海南卷第18 题）如图所示，有一固定的光滑
圆弧轨道，半径
，一质量为
的小滑块B 从轨道顶端滑下，在其冲上长木板C 左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，
已知
，B、C 间动摩擦因数
，C 与地面间的动摩擦因数
，C 右端有一个挡板，C
长为
。
求：
（1）
滑到
的底端时对
的压力是多大？
（2）若
未与
右端挡板碰撞，当
与地面保持相对静止时，
间因摩擦产生的热量是多少？
（3）在
时，B 与C 右端挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求
从滑上
到最终停止所
用的时间。
【答案】（1）30N；（2）1.6J；（3）
【解析】（1）滑块下滑到轨道底部，有
解得
在底部，根据牛顿第二定律
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解得
由牛顿第三定律可知B 对A 的压力是
。
（2）当B 滑上C 后，对B 分析，受摩擦力力向左，根据牛顿第二定律得
解得加速度向左为
对C 分析，受B 向右的摩擦力
和地面向左的摩擦力
根据牛顿第二定律
解得其加速度向左为
由运动学位移与速度关系公式
，得B 向右运动的距离
C 向右运动距离
由功能关系可知，B、C 间摩擦产生的热量
可得
（3）由上问可知，若B 还末与C 上挡板碰撞，C 先停下，用时为
，有
解得
B 的位移为
则此刻的相对位移为
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此时
由
，一定是C 停下之后，B 才与C 上挡板碰撞。设再经
时间B 与C 挡板碰撞，有
解得
碰撞时B 速度为
碰撞时由动量守恒可得
解得碰撞后B、C 速度为
之后二者一起减速，根据牛顿第二定律得
后再经
后停下，则有
故
从滑上
到最终停止所用的时间总时间
15. （2023 年辽宁卷第15 题）如图，质量m1= 1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定
一劲度系数k = 20N/m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg 的小物块以水平向右的速度
滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ
= 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x 的关系
为
。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。
（1）求木板刚接触弹簧时速度
的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1；
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小；
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（3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0 所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次
相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。
【答案】（1）1m/s；0.125m；（2）0.25m；
；（3）
【解析】（1）由于地面光滑，则m1、m2组成的系统动量守恒，则有
m2v0= (m1＋m2)v1
代入数据有
v1= 1m/s
对m1受力分析有
则木板运动前右端距弹簧左端的距离有
v1
2= 2a1x1
代入数据解得
x1= 0.125m
（2）木板与弹簧接触以后，对m1、m2组成的系统有
kx = (m1＋m2)a 共
对m2有
a2= μg = 1m/s2
当a 共 = a2时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量
x2= 0.25m
对m1、m2组成的系统列动能定理有
代入数据有
（3）木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板即m1的加速度大于木块m2的
加速度，则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时，则说明此时m1的速度大小为v2，共用时
2t0，且m2一直受滑动摩擦力作用，则对m2有
－μm2g∙2t0= m2v3－m2v2
解得
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则对于m1、m2组成的系统有
U = Wf
联立有
考向五 实验：验证机械能守恒定律及各种功能关系
16. （2023 年福建卷第12 题）某小组用图（a）所示的实验装置探究斜面倾角是否对动摩擦因数产生影响。
所用器材有：绒布木板、滑块、挡光片、米尺、游标卡尺、光电门、倾角调节仪等。实验过程如下：
（1）将绒布平铺并固定在木板上，然后将光电门A、B 固定在木板上。用米尺测量A、B 间距离L；
（2）用游标卡尺测量挡光片宽度d，示数如图（b）所示。该挡光片宽度
_________
（3）调节并记录木板与水平面的夹角
，让装有挡光片的滑块从木板顶端下滑。记录挡光片依次经过光
电门A 和B 的挡光时间
和
，求得挡光片经过光电门时滑块的速度大小
和
。某次测得
，则
_________
（结果保留3 位有效数字）
（4）推导滑块与绒布间动摩擦因数
的表达式，可得
_________（用L、
、
、
和重力加速度大
小g 表示），利用所得实验数据计算出
值；
（5）改变
进行多次实验，获得与
对应的
，并在坐标纸上作出
关系图像，如图（c）所示；
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（6）根据上述实验，在误差允许范围内，可以得到的结论为_________。
【答案】 ①. 5.25 ②. 1.00 ③.
④. 斜面倾角对动摩擦因数没有影响
【解析】（2）[1]该挡光片宽度
d=5mm+5×0.05mm=5.25mm
（3）[2]根据时间极短的平均速度近似等于瞬时速度，挡光片经过光电门A 的速度
（4）[3]挡光片依次经过光电门A 和B，由动能定理可得
解得
（5）[4]根据图像可知，动摩擦因数并不随角度的变化而发生变化，所以可以得到的结论为斜面倾角对动
摩擦因数没有影响。
17. （2022 年广东卷第11 题）某实验小组为测量小球从某一高度释放，与某种橡胶材料碰撞导致的机械能
损失，设计了如图（a）所示的装置，实验过程如下：
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（1）让小球从某一高度由静止释放，与水平放置
橡胶材料碰撞后竖直反弹。调节光电门位置，使小球
从光电门正上方释放后，在下落和反弹过程中均可通过光电门。
（2）用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图（b）所示，小球直径
__________
。
（3）测量时，应__________（选填“A”或“B”，其中A 为“先释放小球，后接通数字计时器”，B 为
“先接通数字计时器，后释放小球”）。记录小球第一次和第二次通过光电门的遮光时间
和
。
（4）计算小球通过光电门的速度，已知小球的质量为m，可得小球与橡胶材料碰撞导致的机械能损失
__________（用字母m、d、
和
表示）。
（5）若适当调高光电门的高度，将会__________（选填“增大”或“减小”）因空气阻力引起的测量误
差。
【答案】①. 7.884##7.882##7.883##7.885##7.886 ②. B ③.
④. 增大
【解析】（2）[1]依题意，小球的直径为
（3）[2]在测量时，因小球下落时间很短，如果先释放小球，有可能会出现时间记录不完整，所以应先接
通数字计时器，再释放小球，故选B。
（4）[3]依题意，小球向下、向上先后通过光电门时的速度分别为v1、v2，则有
则小球与硅胶材料碰撞过程中机械能的损失量为
（5）[4]若调高光电门的高度，较调整之前小球会经历较大的空中距离，所以将会增大因空气阻力引起的
测量误差。
18. （2021 年海南卷第15 题）为了验证物体沿光滑斜面下滑的过程中机械能守恒，某学习小组用如图所示
的气垫导轨装置（包括导轨、气源、光电门、滑块、遮光条、数字毫秒计）进行实验。此外可使用的实验
器材还有：天平、游标卡尺、刻度尺。
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（1）某同学设计了如下的实验步骤，其中不必要的步骤是___________；
①在导轨上选择两个适当的位置A、B 安装光电门Ⅰ、Ⅱ，并连接数字毫秒计；
②用天平测量滑块和遮光条的总质量m；
③用游标卡尺测量遮光条的宽度d；
④通过导轨上的标尺测出A、B 之间的距离l；
⑤调整好气垫导轨的倾斜状态；
⑥将滑块从光电门Ⅰ左侧某处，由静止开始释放，从数字毫秒计读出滑块通过光电门Ⅰ、Ⅱ的时间
、
；
⑦用刻度尺分别测量A、B 点到水平桌面
高度
、
；
⑧改变气垫导轨倾斜程度，重复步骤⑤⑥⑦，完成多次测量。
（2）用游标卡尺测量遮光条的宽度d 时，游标卡尺的示数如图所示，则
___________
；某次实验
中，测得
，则滑块通过光电门Ⅰ的瞬时速度
___________
（保留3 位有效数字）；
（3）在误差允许范围内，若
___________（用上述必要的实验步骤直接测量的物理量符号表示，
已知重力加速度为g），则认为滑块下滑过程中机械能守恒；
（4）写出两点产生误差的主要原因：___________。
【答案】①. ②④ ②.
③.
④.
⑤. 滑块在下滑过程
中受到空气阻力作用，产生误差；遮光条宽度不够窄，测量速度不准确，产生误差
【解析】（1）[1]滑块沿光滑的斜面下滑过程机械能守恒，需要通过光电门测量通过滑块运动的速度
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滑块下滑过程中机械能守恒，减少的重力势能转化为动能
整理化简得
所以测量滑块和遮光条得总质量
不必要，②满足题目要求，测量
、
之间的距离不必要，④满足题
目要求。
故选②④。
（2）[2]游标卡尺的读数为
[3]滑块通过光电门的速度
（3）[4]根据（1）问可知
在误差允许的范围内，满足该等式可认滑块下滑过程中机械能守恒。
（4）[5]滑块在下滑过程中受到空气阻力作用，产生误差；遮光条宽度不够窄，测量速度不准确，产生误
差。
19. （2021 年河北卷第12 题）某同学利用图1 中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系，所用器材
有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、
的钩码若干、光电门2 个、数字计时器、带遮光条的滑块（质量
为
，其上可放钩码）、刻度尺，当地重力加速度为
，实验操作步骤如下：
①安装器材，调整两个光电门距离为
，轻细绳下端悬挂4 个钩码，如图1 所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度；
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③保持最下端悬挂4 个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步
骤；
④完成5 次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量M、系统（包含滑块、滑块所载钩码和轻
细绳悬挂钩码）总动能的增加量
及系统总机械能的减少量
，结果如下表所示：
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.582
0.490
0.392
0.294
0.195
0.393
0.490
0.686
0.785
回答下列问题：
（1）实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为______J（保留三位有效数字）；
（2）步骤④中的数据所缺数据为______；
（3）若M 为横轴，
为纵轴，选择合适的标度，在图2 中绘出
图像______；
若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做功，则物块与木板之间的摩擦因数为______（保留两位有效数
字）
【答案】 ①. 0.980 ②. 0.588 ③.
④.
0.40（0.38~0.42）
【解析】（1）[1]四个钩码重力势能的减少量为
（2）[2]对滑块和钩码构成的系统，由能量守恒定律可知
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其中系统减少的重力势能为
系统增加
动能为
系统减少的机械能为
，则代入数据可得表格中减少的机械能为
（3）[3]根据表格数据描点得
的图像为
[4]根据做功关系可知
则
图像的斜率为
解得动摩擦因数为
（0.38~0.42）
20. （2021 年浙江卷第17 题）在“验证机械能守恒定律”实验中，小王用如图1 所示的装置，让重物从静
止开始下落，打出一条清晰的纸带，其中的一部分如图2 所示。O 点是打下的第一个点，A、B、C 和D 为
另外4 个连续打下的点。
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①为了减小实验误差，对体积和形状相同的重物，实验时选择密度大的理由是___________。
②已知交流电频率为
，重物质量为
，当地重力加速度
，则从O 点到C 点，重物
的重力势能变化量的绝对值
___________J、C 点的动能
___________J（计算结果均保留3 位
有效数字）。比较
与
的大小，出现这一结果的原因可能是___________。
A.工作电压偏高 B.存在空气阻力和摩擦力 C.接通电源前释放了纸带
【答案】 ①. 阻力与重力之比更小（或其它合理解释） ②. 0.547 ③. 0.588 ④. C
【解析】①[1]在验证机械能守恒实验时阻力越小越好，因此密度大的阻力与重力之比更小
②[2]由图中可知OC 之间的距离为
，因此机械能的减少量为
[3]匀变速运动时间中点的速度等于这段时间的平均速度，因此
因此动能的增加量为
[4]工作电压偏高不会影响实验的误差，存在摩擦力会使重力势能的减少量大于动能的增加量，只有提前释
放了纸带，纸带的初速度不为零，下落到同一位置的速度偏大才会导致动能的增加量大于重力势能的减少
量。
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一、机械能守恒的判断
1．重力做功与重力势能的关系
(1)重力做功的特点
①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
②重力做功不引起物体机械能的变化．
(2)重力势能
①表达式：Ep＝mgh.
②重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面
的选取无关．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大．即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
2．弹性势能
(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大．即W＝－ΔEp.
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
(2)表达式：mgh1＋mv1
2＝mgh2＋mv2
2.
4．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数
和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转
化，则机械能守恒．
二、单物体机械能守恒问题
1．表达式
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
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三、解决多物体系统机械能守恒的注意点
1、对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气
阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
2、注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3、列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
四、功能关系的理解和应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的．
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对
应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．常见的功能关系
能量
功能关系
表达式
势能
重力做的功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做的功等于弹性势能减少量
静电力做的功等于电势能减少量
分子力做的功等于分子势能减少量
动能
合外力做的功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝mv2－mv0
2
机械能
除重力和弹力之外的其他力做的功等
于机械能变化量
W 其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和
的绝对值等于产生的内能
Q＝Ff·x 相对
电能
克服安培力做的功等于电能增加量
W 电能＝E2－E1＝ΔE
五、两种摩擦力做功特点的比较
类型
比较
静摩擦力做功
滑动摩擦力做功
不同点
能量的转化
只有机械能从一个物体
(1)一部分机械能从一个物体转
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转移到另一个物体，而
没有机械能转化为其他
形式的能
移到另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，
此部分能量就是系统机械能的
损失量
一对摩擦力
的总功
一对静摩擦力所做功的
代数和总等于零
一对滑动摩擦力做功的代数和
总是负值，总功W＝－Ffs 相
对，即发生相对滑动时产生的
热量
相同点
做功情况
两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以
不做功
六、能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的
物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
七、验证机械能守恒定律
1．实验原理
通过实验，求出做自由落体运动物体的重力势能的减少量和对应过程动能的增加量，在实验误差允许范围
内，若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律．
2．实验器材
打点计时器、交变电源、纸带、复写纸、重物、刻度尺、铁架台(带铁夹)、导线．
3．实验过程
(1)安装器材：将打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连．
(2)打纸带
(3)选纸带：从打出的几条纸带中选出一条点迹清晰的纸带．
(4)进行数据处理并验证．
4．数据处理
40
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(1)求瞬时速度
(2)验证守恒
方案一：利用起始点和第n 点计算
方案二：任取两点计算
方案三：图像法
5．注意事项
(1)打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力．
(2)重物应选用质量大、体积小、密度大的．
(3)应先接通电源，让打点计时器正常工作，后松开纸带让重物下落．
(4)测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用vn＝，不能用vn＝或vn＝gt 来计算．
(5)此实验中不需要测量重物的质量．
1. （2024·安徽安庆·三模）（多选）如图所示，半径为R 的竖直半圆轨道BCD 与光滑水平轨道AB 平滑连
接于B 点，水平面上固定一轻质弹簧，压缩弹簧储存的弹性势能可以发射质量为m 的小滑块，已知重力加
速度g，则下列说法正确的（ ）
A. 若半圆轨道也是光滑的，弹簧弹性势能为
，则小滑块恰能到达D 点
B. 若半圆轨道也是光滑的，小滑块恰能到达D 点，则在C 点对轨道的压力为
C. 若半圆轨道也是光滑的，弹簧弹性势能为
，则小滑块运动过程中距B 点最大竖直高度为
D. 若弹簧弹性势能为
，小滑块到达D 点对轨道压力为
，则小滑块在半圆轨道上克服摩擦力做的
功为
【答案】BC
【解析】A．小滑块恰能到达D 点，有
解得
根据机械能守恒定律，有
41
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解得
即，滑块若恰好到达D 点，弹性势能为
，故A 错误；
B．小滑块恰能到达D 点，有
解得
根据机械能守恒定律，有
解得
根据牛顿第二定律，有
解得
根据牛顿第三定律，可知对轨道
压力为
，故B 正确；
C．由于小滑块的初动能为
，可知小滑块可以冲过C 点不能到达D 点就离开圆弧轨道，设小滑块离
开轨道的位置E 与圆心的连线与水平方向夹角为
，E 距B 点的竖直高度为
，根据机械能守恒有
根据牛顿第二定律，有
根据几何关系有
联立可得
42
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滑块从E 点离开轨道后还能上升的最大高度为
小滑块运动过程中距B 点最大竖直高度为
故C 正确；
D．若小滑块到达D 点对轨道压力为
，有
解得
根据能量守恒定律，有
可得小滑块在半圆轨道上克服摩擦力做的功为
故D 错误。
故选BC。
2. （2024·安徽安庆·三模）如图所示，光滑水平地面上有一固定的光滑圆弧轨道AB，轨道上A 点切线沿水
平方向，忽略A 点距地面的高度，轨道右侧有质量
的静止薄木板，上表面与A 点平齐。一质量
的小滑块（可视为质点）以初速度
从右端滑上薄木板，重力加速度大小为
，小滑块与薄木板之间的动摩擦因数为
。
（1）若薄木板左端与A 点距离d 足够长，薄木板长度
，薄木板与轨道A 端碰后立即静止，求小
滑块离开薄木板运动到轨道上A 点时的速度
；
（2）在（1）中，小滑块继续沿圆弧轨道AB 运动至B 点沿切线方向飞出，最后落回水平地面，不计空气
阻力，B 点与地面间的高度差
保持不变，圆弧AB 对应的圆心角
可调，求小滑块的最大水平射
程
及对应的圆心角
；
（3）若薄木板长度L 足够长，薄木板与轨道A 端碰后立即以原速率弹回，调节初始状态薄木板左端与A
点距离d，使得薄木板与轨道A 端只能碰撞2 次，求d 应满足的条件。
43
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【解析】（1）因薄木板左端与B 点距离d 足够大，小滑块与薄木板共速后才和轨道AB 发生碰撞，设共同
速度为
，根据动量守恒定律，有
解得
设此过程中小滑块相对薄木板滑动的位移为x，对滑块、薄木板系统由功能关系，有
解得
薄木板与轨道AB 碰后立即静止，小滑块继续作匀减速运动，直到运动到轨道上的A 点，有
解得
（2）小滑块由A 点到B 点的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律，有
解得
设小滑块落地的速度大小为v，落地速度方向与水平方向夹角为
，根据机械能守恒定律知
画出速度矢量关系如图所示
44
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设从B 点飞出到落至地面所用时间为t，则小滑块水平位移为
由几何关系可知，矢量三角形的面积为
由此可知，当矢量三角形面积最大时，水平位移最大。
解得
此时满足条件
即
，
（3）当小滑块与薄木板第1 次共速时恰好和轨道AB 发生碰撞，碰后小滑块与薄木板同时减速为零，此情
形下薄木板和轨道AB 恰好碰1 次。
小滑块与薄木板加速度相等
当小滑块与薄木板第2 次共速时恰好和轨道AB 发生碰撞，碰后小滑块与薄木板同时减速为零，此情形下
薄木板和轨道AB 恰好碰2 次。
从开始到第一次碰撞的时间
薄木板和轨道AB 碰撞时的速度
考虑小滑块的运动
45
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联立解得
综上可知d 应满足的条件为
3. （2024·皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟·三模）如图所示，足够长粗糙斜面的倾角为37°，斜面顶端B
与一段光滑的圆弧轨道AB 相切于B 点，圆弧AB 的轨道半径为
，对应的圆心角为53°，在B 点放
置一质量为3kg 的小物块乙，乙刚好不沿斜面下滑。某时刻把质量为1kg 的小物块甲从A 点由静止释放，
甲、乙在B 点发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后经过
的时间甲、乙又发生第二次碰撞。已知甲与斜
面之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g 取10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，
cos37°=0.8，求：
（1）滑块甲与乙发生第一次碰撞前瞬间的速度大小；
（2）滑块甲、乙第一次碰撞过程乙对甲的冲量；
（3）滑块甲与乙发生第二次碰撞前甲、乙之间的最大距离。
【答案】（1）
；（2）
，方向沿斜面向上；（3）
【解析】（1）设物块甲与乙第一次碰撞前瞬间的速度大小为
，根据几何关系，甲从A 到B 竖直方向下
落的距离
根据动能定理有
解得
46
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（2）设第一次碰撞后瞬间物块甲、乙的速度分别为v1、v2，根据动量守恒定律与机械能守恒定律有
解得
，
乙对甲的冲量等于甲动量的变化
方向沿斜面向上（无此描述亦不扣分）
（3）碰后甲以-3m/s 的速度反弹，设甲从B 点滑上圆弧再回到B 点的时间为t1，此时甲、乙之间的距离最
大在t1时间内乙以v2=3m/s 速度匀速运动的距离
甲返回B 点后甲的加速度
设甲从返回B 点到追上乙的时间为t2，对于甲追乙的过程
根据题意
解得
，
第二次碰撞前甲、乙之间的最大距离
4. （2024·北京市海淀区·三模）两组同学做“验证机械能守恒定律”实验。
（1）甲组同学采用如图甲所示的实验装置。
47
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①对于该实验，下列操作中对减小实验误差有利的是___________。
A．重物选用质量和密度较大的金属锤
B．打点计时器的两限位孔在同一竖直面内上下对正
C．精确测量出重物的质量
D．先释放重物，再接通电源后
②在一次实验中，质量m 的重物自由下落，在纸带上打出一系列的点，如图丙所示。在纸带上选取三个连
续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O 的距离分别为
、
、
。已知纸带相邻两个点之间时间间
隔为△t。从打O 点到打B 点的过程中，重物的动能增加量
___________；设这一过程中物体的重力
势能减小量为
，则应该有大小关系
___________
（填“大于”、“等于”或“小于”），这是因为
_____________。
③根据学过的匀变速直线运动的规律，利用图乙中的纸带，论证说明AC 段的平均速度是否可以代替AC 段
时间中点B 的瞬时速度。____
（2）乙组同学采用如图丙所示的实验装置。实验前，将气垫导轨调至水平，用天平称出托盘和砝码的总
质量m，测出挡光条的宽度为d，并将滑块移到图示位置，测出挡光条到光电门的距离为l。释放滑块，读
出挡光条通过光电门的挡光时间为t。多次改变光电门的位置，每次均令滑块自同一点开始滑动，测量相
应的l 与t 值。
为验证机械能守恒定律，请写出该组同学还需要测量哪个物理量以及各物理量应满足的关系式。____
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【答案】 ①. AB##BA ②.
③. 大于 ④. 见解析 ⑤. 见解析 ⑥. 见
解析
【解析】（1）[1]AB．选用密度较大的重锤的目的是减小空气阻力带来的相对误差，打点计时器的两限位
孔在同一竖直面内上下对正，是为了减少纸带与限位孔之间的摩擦，AB 正确；
C．本实验需要验证重力势能减少量与动能增加量之间的关系，这两个物理量都含有质量，所以可以消去，
故实验时不需要测量重物的质量，C 错误；
D．实验时为了合理利用纸带，要先打开电源，然后释放重物，D 错误。
故选AB
[2][3][4]根据平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度，可得打下B 点时重物的速度为
所以，从打O 点到打B 点的过程中，重物的动能增加量
这一过程中摩擦阻力和空气阻力做负功，使得机械能减小，所以物体的重力势能减小量
大于动能的增
加量
。
[5]根据匀变速直线运动的位移—时间关系可得这段时间的平均速度
根据匀变速运动得速度公式可知中间时刻的速度
所以
即匀变速直线运动中，某段时间的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度。
（2）[6]若机械能守恒，有
可得
则还需测量滑块和挡光条的总质量为M。
49
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需要验证
图线是否为一条过原点的直线，同时图线斜率是否等于
。
5. （2024·北京市海淀区·一模）如图所示， 一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A
和B，B 球的质量是 A 球的3 倍。用手托住B 球，使轻绳拉紧，A 球静止于地面。不计空气阻力、定滑
轮的质量及轮与轴间的摩擦，重力加速度为g。 由静止释放B 球，到B 球落地前的过程中，下列说法 正
确的是（ ）
A. A 球的加速度大小为2g
B. 拉力对A 球做的功等于A 球机械能的增加量
C. 重力对 B 球做的功等于B 球动能的增加量
D. B 球机械能的减少量大于A 球机械能的增加量
【答案】B
【解析】A．设A 球质量m，则B 球质量3m，绳子张力大小T，根据牛顿第二定律
解得
故A 错误；
B．拉力对A 球做正功，拉力对A 球做的功等于A 球机械能的增加量，故B 正确；
C．根据动能定理，重力与绳子拉力的合力对 B 球做的功等于B 球动能的增加量，故C 错误；
D．对A、B 整体，整体只有重力做功，机械能守恒，则B 球机械能的减少量等于A 球机械能的增加量，
故D 错误。
故选B。
6. （2024·福建省三明市·一模）如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率
运行，初速度大小为
的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A 处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块
在传送带上运动的v-t 图象（以地面为参考系）如图乙所示。已知
，物块和传送带间的动摩擦因数
为
，物块的质量为m。则（ ）
50
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A.
时刻，小物块离A 处的距离最大
B.
时间内，小物块的加速度方向先向右后向左
C.
时间内，因摩擦产生的热量为
D.
时间内，物块在传送带上留下的划痕为
【答案】C
【解析】A．初速度大小为
的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A 处滑上传送带，小物块在传
送带上运动的
图象可知，
时刻，小物块离A 处的距离达到最大，A 错误；
B．
时间内，小物块受到的摩擦力方向一直向右，所以小物块的加速度方向一直向右，B 错误；
CD．
时间内物体相对地面向左的位移
这段时间传送带向右的位移
因此物体相对传送带的位移
时间内物体相对地面向右的位移
这段时间传送带向右的位移
因此物体相对传送带的位移
时间内物块在传送带上留下的划痕为
51
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这段时间内，因此摩擦产生的热量
C 正确，D 错误。
故选C。
7. （2024·福建省三明市·一模）某同学用如图甲所示装置做“验证机械能守恒定律”的实验。质量均为M
的A、B 两个圆筒用绕过光滑定滑轮的细线连接，圆筒B 锁定在桌子的边缘，B 上装有质量不计的遮光条，
遮光条上方有与光电计时器连接的光电门，圆筒A 中装有10 个质量均为m 的砝码。已知重力加速度为g。
（1）实验前用游标卡尺测出遮光条的宽度，示数如图乙所示，则遮光条的宽度
_______mm。
（2）先测出遮光条到光电门的高度h，解除对圆筒B 的锁定，使圆筒B 由静止开始向上运动，通过光电门
时，遮光条的遮光时间为t，此时A、B 和10 个砝码具有的总动能为_________（用测得和已知的物理量表
示）；
（3）每一次将A 中的一个砝码取出后放在B 中，重复（2）的实验，测得遮光条每次遮光的时间为t，做
出
图像（其中n 为A 筒中砝码的个数，n 大于5），如果做出的是一条过原点的倾斜直线，则
图像的斜率为_________（用已知和测量的物理量表示），则机械能守恒定律得到验证。
【答案】（1）3.55
（2）
（3）
【解析】【小问1 详解】
20 分度游标卡尺的精确值为
，由图可知遮光条的宽度
【小问2 详解】
通过光电门时，遮光条的遮光时间为t，则此时速度大小为
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此时A、B 和10 个砝码具有的总动能为
【小问3 详解】
当A 筒中有
个砝码时，B 筒中有
个砝码，根据系统机械能守恒可得
整理可得
如果做出
图像是一条过原点的倾斜直线，则图像的斜率为
机械能守恒定律得到验证。
8. （2024·福建省三明市·一模）如图，固定在竖直面内的导轨PQR，由半径为r 的光滑半圆环和足够长水
平导轨组成，水平导轨上的N 点左侧光滑、右侧粗糙，半圆环与水平轨道在Q 点相切。一根自然长度恰为
r、劲度系数
的轻质弹性绳，一端固定在圆环的顶点P，另一端与一个穿在圆环上、质量为m 的
小球
相连。在水平轨道的Q、N 两点间依次套着质量均为2m 的b、c 两个小球，两小球大小相同。开始
时将小球
移到某一位置M，使弹性绳刚好处于原长且伸直状态，然后由静止释放小球a，当小球
在圆
环上达到最大速度时，弹性绳自动脱落。已知弹性绳的弹性势能
与其伸长量x 间满足
，各个
小球与导轨粗糙部分间的动摩擦因数均
，小球间的碰撞均为弹性碰撞，且碰撞时间极短，重力加速
度为g。求：
（1）释放小球
瞬间，圆环对小球
的作用力FN1大小；
（2）弹性绳自动脱落时，小球
沿圆环下滑的速率vm；
（3）最终
两球间的距离
。
53
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【答案】（1）
；（2）
；（3）4.4r
【解析】（1）设释放小球a 瞬间，圆环对小球a 的作用力大小为FN1，有
解得
（2）方法一：设在弹性绳自动脱落前瞬间，弹性绳与竖直方向间夹角为
，此时小球a 的速率为
，此
时弹性绳弹力FT与球a 的重力的合力沿半径指向圆心O，a 球受力如图示。
由正弦定理得
由能量守恒得
解得
方法二：绳断瞬间夹角为
绳长
切向力相等
解得
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，
由能量守恒得
解得
（3）弹性绳自动脱落后，设小球a 到达Q 点时的速度为
，有
小球a 过Q 点后与小球b 发生第一次弹性碰撞，设a、b 碰撞后的速度分别为va1、vb1，由动量守恒定律和
能量守恒定律可知
解得
，
a、b 碰撞后，b 与c 发生弹性碰撞交换速度，所以c 球最终经过N 点的速度为
设c 球在水平粗糙导轨滑行距离为
，有
小球a 从圆环上返回后第二次与b 球碰撞，同理a、b 第二次碰撞后的速度分别为
、
设小球a 在水平粗糙导轨滑行距离为
，有
解得
9. （2024·甘肃省白银市靖远县·三模）（多选）如图甲所示，足够长的木板静置于水平地面上，木板左端
放置一可看成质点的物块。
时对物块施加一水平向右的恒定拉力F，在F 的作用下物块和木板发生相
对滑动，
时撤去F，物块恰好能到达木板右端，整个过程物块运动的
图像如图乙所示。已知木
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板的质量为0.5kg，物块与木板间、木板与地面间均有摩擦，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速
度大小
，下列说法正确的是（ ）
A. 木板的长度为3m
B. 物块的质量为0.8kg
C. 拉力F 对物块做的功为9.9J
D. 木板与地面间因摩擦产生的热量为3.3J
【答案】CD
【解析】A．木板在2.5s 时刻之前影子向右做匀加速直线运动，作出图像，如图所示
由图像可知2.5s 时两者共速，则木板在0~2.5s 内的加速度大小为
物块在0~2.0s 内的加速度大小
物块在2.0s~2.5s 内的加速度大小
两者在2.5s~3.0s 内的加速度大小
可得木板与地面间的动摩擦因数为0.2，物块与木板间的动摩擦因数为0.4，木板的长度为
故A 错误；
B．前2s 对木板有
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对物块有
解得
故B 错误；
C．前2s 拉力F 对物块做的功
故C 正确；
D．木板与地面间因摩擦产生的热量
故D 正确。
故选CD。
10. （2024·甘肃省白银市靖远县·三模）如图所示，固定的水平横杆距水平地面的高度
，长
的轻质细绳一端系在水平横杆上，另一端连接质量
的木块（可视为质点），质量
的子弹以
的速度水平射入木块并水平穿出，此后木块恰好能在竖直平面内做圆周运
动，忽略空气阻力，取重力加速度大小
，求：
（1）子弹射穿木块过程中产生的热量Q；
（2）子弹落地点与悬点O 的距离d。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设子弹穿出木块时的速度大小为
，木块的最大速度为
，最小速度为
，有
由能量关系
子弹射入木块过程动量守恒
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子弹射穿木块过程中产生的热量
解得
（2）设子弹穿出木块后做平抛运动的时间为t，则有
解得
11. （2024·广东多校联考·三模）生活中运送货物时常会用到传送带，可以很大程度上节省人力。传送带以
一定速率沿顺时针方向转动，AB 段倾角
，BC 段水平，
段的长度分别为
，
，示意图如图所示。将一个质量为
的货物轻放在A 端，货物与传送带
段
间的动摩擦因数均为
，货物经过B 处时不脱离传送带且速率不变，之后货物运动到C 点，货物可
视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取
，不计空气阻力，
，
。
（1）要使货物以最短的时间运动到C 点，求传送带的速度至少为多大？最短的时间为多少？
（2）若传送带速度为
，求货物被运送到C 点的过程中传送带与货物之间因摩擦产生的热量。
【答案】（1）2.6m/s，4.125 s；（2）154 J
【解析】（1）要使货物以最短时间到达C 点，货物在传送带上要一直加速，货物在AB 段，由牛顿第二定
律有
解得
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若货物在AB 段一直加速，有
解得
货物在B 点的速度
若货物在传送带BC 段上一直加速，由牛顿第二定律得
根据
解得
故要使货物以最短的时间运动到C 点，传送带的速度至少为
最短的运动时间为
（2）若传送带速度为
，则传送带和货物运动的
图像如图所示
由图可知在AB 段货物和传送带间的相对位移为
因摩擦产生的热量
在BC 段，货物和传送带相对运动的时间
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货物和传送带间的相对位移为
因摩擦产生的热量
整个过程货物与传送带因摩擦产生的总热量
12. （2024·广西南宁市、河池市等校联考·二模）某同学做“验证机械能守恒定律”的实验装置如图甲所示，
图乙为实验所得的一条纸带。选取纸带上打出的连续五个点A、B、C、D、E，测出A 点距起点O 的距离
为s0=19.00cm，点A、C 间的距离为s1=8.36cm，点C、E 间的距离为s2=9.88cm，测得重物的质量为
m=1kg，所用交流电源的频率为50Hz，当地重力加速度为g=9.8m/s2回答下列问题：
（1）下列实验操作和数据处理正确的是___________（填选项前的字母）。
A.图中两限位孔必须在同一竖直线上
B.实验前，手应提住纸带上端，使纸带竖直
C.实验时，先放开纸带，再接通打点计时器的电源
D.数据处理时，应选择纸带上距离较远的两点作为初、末位置
（2）选取O、C 两点为初、末位置验证机械能守恒定律，重物减少的重力势能是___________J，打下C 点
时重物的速度大小是___________m/s。（结果保留三位有效数字）
（3）实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是___________（填选项前的字母）。
A.利用公式v=gt 计算重物速度
B.利用公式
计算重物速度
C.存在空气阻力和摩擦阻力的影响
D.没有采用多次实验取平均值的方法
【答案】①. ABD ②. 2.68 ③. 2.28 ④. C
【解析】（1）[1]A．题图甲中两限位孔必须在同一竖直线上，故A 正确；
60
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B．实验前，手应提住纸带上端，并使纸带竖直，减小纸带与打点计时器限位孔之间的摩擦，故B 正确；
C．开始记录时，应先给打点计时器通电打点，然后再释放重物，让它带着纸带一同落下，如果先放开纸
带让重物下落，再接通打点计时器的电源，由于重物运动较快，不利于数据的采集和处理，会对实验产生
较大的误差，故C 错误；
D．数据处理时，应选择纸带上距离较远的两点作为初、末位置，以减小测量的误差，故D 正确。
故选ABD。
（2）[2]重物减少的重力势能为
[3]打下C 点时重物的速度
（3）[4]由于纸带在下落过程中，重锤和空气之间存在阻力，纸带和打点计时器之间存在摩擦力，所以减
小的重力势能一部分转化为动能，还有一部分要克服空气阻力和摩擦力阻力做功，故重力势能的减少量大
于动能的增加量，故C 正确，ABD 错误。
故选C。
13. （2024·海南省四校联考）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，
如图所示。其中
点为发射点，
点为落地点，
点为轨迹的最高点，
、
为距地面高度相等的两点，
重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A. 炮弹到达最高点
时
加速度等于
B. 炮弹经过
点和经过
点的机械能不相同
C. 炮弹经过
点和经过
点时的加速度相同
D. 炮弹由
点运动到
点的时间大于由
点运动到
点的时间
【答案】B
【解析】A．在最高点
时，炮弹具有水平向右的速度，所以炮弹在
点时，除了受重力外还受到向后的
空气阻力，所以合力大于重力，即加速度大于
，A 错误；
B．从
到
的过程中，空气阻力一直做负功，炮弹的机械能逐渐减小，则炮弹经过
点和经过
点的机械
能不相同，B 正确；
C．炮弹经过
点和经过
点时受空气阻力和重力作用，空气阻力方向不同，所受合力不同，则加速度不同，
C 错误；
D．设炮弹从
点运动到
点的过程中所受阻力的平均竖直分量为
，从
点运动到
点的过程中所受阻
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力的平均竖直分量为
，根据牛顿第二定律可知
到
的平均加速度为
到
的平均加速为
由此可知，
，根据运动学规律可知，炮弹从
点运动到
点的时间小于
点运动到
点的时间，D
错误。
故选B。
14. （2024·海南省四校联考）利用如图所示的装置来验证机械能守恒定律，A 为装有挡光片的钩码，总质
量为M，轻绳一端与A 相连，另一端跨过轻质定滑轮与质量为m 的重物B 相连。实验过程如下：用游标卡
尺测出挡光片的宽度为d；先用力拉住B，保持A、B 静止，测出A 下端到光电门的距离为h（
）；
然后由静止释放B，A 下落过程中挡光片经过光电门，测出挡光时间为t。已知重力加速度为g。
（1）为了能完成上述实验，M__________m（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）某次实验中用螺旋测微器测出挡光片的宽度，测量结果如图所示，则挡光片的宽度为
__________mm；
（3）在A 从静止开始下落h 的过程中，如果满足__________，则验证A、B 和地球所组成的系统机械能守
恒（用题中所给物理量的符号表示）；
（4）挡光片经过光电门的速度与钩码A 下落h 时的瞬时速度间存在一个差值，为减小这个差值，可采取
的措施是__________。（写出合理的一条即可）
【答案】（1）＞ （2）4.699##4.700##4.701
（3）
（4）减小挡光片的宽度或者增大下落高度
【解析】【小问1 详解】
为了使A 下落过程中挡光片经过光电门，需满足
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【小问2 详解】
根据螺旋测微器的读数原理可知挡光片的宽度为
【小问3 详解】
物块经过光电门的瞬时速度为
系统重力势能的减少量为
系统动能的增加量为
则机械能守恒的表达式为
【小问4 详解】
某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，用光电门测出瞬时速度小于下落h 时的真实速度，可采
取减小挡光片的宽度或者增大下落高度。
15.（2024·河南省九师联盟·三模） 如图所示，倾角θ=37°的传送带以v0=1m/s 的速度沿顺时针方向匀速转
动，将物块B 轻放在传送带下端的同时，物块A 从传送带上端以v1=1m/s 的初速度沿传送带下滑，结果两
物块恰好没有在传送带上相碰，两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，不计两物块大小，重力加速度g
取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）两物块刚在传送带上运动时各自的加速度大小；
（2）两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用的时间；
（3）若A 的质量
，求A 在整个运动过程中与传送带摩擦产生的热量。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【解析】（1）刚开始物块A 沿传送带向下减速运动有
解得
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对于物块B，向上加速运动有
解得
（2）物块B 在传送带上加速的时间
物块A 从冲上传送带到速度为零所用时间
两个物块在与传送带共速时恰好不相碰，物块A 从速度为零向上加速到与传送带速度相同所用时间为
所以，两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用时间为
（3）在t1时间内，物块A 与传送带的相对位移大小为
在t2时间内，物块A 与传送带的相对位移大小为
则物块A 与传送带间因摩擦产生的热量
代入数据解得
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