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核心知识查漏07 功能关系与能量守恒
一、功和功率
1．功的正负的判断方法
2．计算功的方法
几种力做功的特点：重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无
关；滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关。
摩擦力做功的特点：单个摩擦力（包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以
做负功，还可以不做功；相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一
对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中
会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffx 相对。
3．功率的理解和计算：平均功率的计算方法：P＝； 瞬时功率的计算方法：P＝Fv
cos α，v 为t 时刻的瞬时速度，注意F 与V 共线。
4．机动车启动：结合牵引力功率P＝Fv 及牛顿第二定律F－f＝ma 即可分析运动问
题，有时还需要用动能定理解功能问题。
二、动能定理与能量守恒
1．动能定理的基本应用流程（一般研究对象为单体）
1
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2．几种常见的功能关系及其表达式（一般研究对象为系统）
三、功能关系在电场中的应用
1．求电场力做功的两种方法
（1）对于匀强电场，电场力做的功WAB＝EqlABcos θ（θ 为lAB的电场方向的夹角）。
（2）对于匀强或非匀强电场，WAB＝UABq 都适用。
2．电场中的功能关系
（1）电场力做的功等于电势能的减少量：W 电＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
（2）应用动能定理。
四、功能关系在电磁感应中的应用
1．电磁感应中的能量转化
2．求解焦耳热Q 的三种方法
力做功
能的变化
定量关系
合力的功
动能变化
W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力的功
重力势能变化
（1）重力做正功，重力势能减少（2）重力做负
功，重力势能增加（3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力的功
弹性势能变化
（1）弹力做正功，弹性势能减少
（2）弹力做负功，弹性势能增加
（3）W 弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹
力做功
机械能不变化
机械能守恒，ΔE＝0
除重力和弹簧弹力
之外的其他力做的
功
机械能变化
（1）其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少
（2）其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少
（3）W 其他＝ΔE
一对相互作用的滑
动摩擦力的总功
机械能减少内
能增加
（1）作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系
统内能增加（2）摩擦生热Q＝Ff·x 相对
2
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五、功能关系在物理其他问题中的应用
1．纯电阻、非纯电阻电路的功率问题
W＝UIt
2．电源的闭合电路的功率问题
（1）电源的总功率：P 总＝EI；
（2）电源的内部功率：P 内＝I2r；
（3）电源的输出功率：P 出＝UI。
3．理想气体的能量问题——热力学第一定律
（1）表达式：ΔU＝Q＋W。
（2）符号法则：
说明：ΔU 仅由温度决定；W 仅由体积决定；Q 由ΔU 和W 共同决定。
1．（2024·上海松江·统考一模）“绿色、低碳、节能”
采取技术上可行、经济上合理以及环境和社会可以承受的措施，从能源生产到消费的
各个环节，降低消耗、减少损失和污染物排放、制止浪费，有效、合理地利用能源。
符号
W
Q
ΔU
＋
外界对物体做功
物体吸收热量
内能增加
－
物体对外界做功
物体放出热量
内能减小
3
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“动能回收”是指电动车在刹车或下坡过程中把机械能转化为电能的装置。电动车以
的初动能沿倾角为15°的平直斜坡运动。第一次关闭发动机，让车自由滑行，其
动能—位移关系如图直线①所示；第二次关闭发动机同时开启“动能回收”装置，其动能
—位移关系如图线②所示。假设机械能回收效率为90%，求电动车开启动能回收装置行驶
200m 的过程中：（简答）（1）所受的合力的变化规律？
（2）共回收了多少电能？
（3）若电动车质量为2 吨，行驶到150m 处电能的回收功率？
2．（2024·上海浦东·统考一模）蹦床运动
2023 年10 月2 日杭州亚运会蹦床比赛中，我国选手朱雪莹、胡译包揽冠亚军。该项目
是运动员借助弹力床的弹力弹向空中，在空中做各种体操动作的竞技运动。在这次比赛
中，若运动员的质量为m=60kg，某一次下落、反弹的过程中，传感器记录到运动员脚底从
离水平网面h1=3.2m 高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦到脚底离水平网面h2=5m 的高
处，运动员在空中始终保持四肢并拢的直立状态，与网接触的时间为t=1.5s。重力加速度
g=10m/s2，忽略空气阻力。
（1）运动员比赛过程中：在此次触网时间内运动员机械能的变化量ΔE= J。
（2）关于蹦回高度比下落高度更高的情况，两位同学展开了讨论：
甲同学说：“这是不可能的。根据机械能守恒，能量不可能无中生有地创造出来！”
4
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乙同学说：“这是可能的。在运动员触网的整个过程中，蹦床始终给人提供额外的能
量。”甲、乙两位同学的说法正确吗？谈谈你的观点。
同学
A．正确/B．错误
你的观点
甲
乙
3．（2024·上海崇明·统考一模）篮球运动作为一个常规的球类运动在学校普遍受到学
生的喜爱，一个标准合格的篮球质量为0.6kg，当地重力加速度g 取10m/s2。完成下列问
题：
在某次传球过程中，不考虑篮球的转动和阻力影响。甲运动员将球从离地h1=2.4 米高
处以
的速度水平传出，求：
（1）如果乙在该位置把球接住，使得球速度变为0，则乙运动员对球所作的功
。
某同学将篮球下落过程的视频用tracker 软件计算分析，得到篮球在不同位置时的速
度，然后计算不同位置的动能、势能和机械能，画出它们随高度h 的变化，取地面为零势
能面，得到了图示a、b、c 三条图线。则
（2）三根图线分别代表 。
A．a 机械能，b 动能 B．a 机械能，c 动能
C．a 动能，b 势能 D．a 势能，c 动能
5
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（3）通过图像分析，你认为篮球在下落过程是 （选填“受到”、“没有受
到”）空气阻力作用，简要说明理由： 。
4．（2024·上海崇明·统考一模）风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各
国的重视，全球风能约有2.74×109MW，可以利用的风能为2×107MW，比地球上可开发利
用的水能总量还要大10 倍。某风力发电系统有风机叶轮、传动装置，发电机、变流器、机
组升压器和升压站等部分组成。完成下列问题：
风力发电机的叶片转动时可形成半径为R 的圆面，设风速恒定为
，风向恰好垂直于
叶片转动面，已知空气的密度为
，该风力发电机能将此圆面内空气动能的10%转化为电
能。则在时间t 内经过风力发电机叶片圆面的气流的动能
。此风力发电机的
发电功率
。
5．（2024·上海宝山·统考一模）三、“嫦娥三号”
“嫦娥三号”是我国嫦娥工程中第一个月球软着陆的无人登月探测器。其飞行轨道示
意图如图，她由地月转移轨道①顺利进入环月圆轨道②，在该轨道上运行了约 4 天后，变
轨进入椭圆轨道③，最后实现月球软着陆。
当“嫦娥三号”由轨道②变轨，进入轨道③的过程中，需要 （选择：A．
加速 B．减速）；“嫦娥三号”在轨道③由远月点运行至近月点的过程中动能
（选择：A．增加 B．不变 C．减少）。
“嫦娥三号”在反推火箭作用下慢慢下降，在距离月球表面 h = 4.0m 的高度处再次
悬停，最后关掉发动机，自由下落到月球表面，实现软着陆。已知地球质量约为月球质量
的81 倍，地球半径约为月球半径的3.6 倍，试计算“嫦娥三号”着陆时的速度大小v？
（结果取二位有效数字）
6．（2024·上海青浦·统考一模）随着科技的不断发展和环境保护意识的崛起，中国的
新能源汽车市场正迅速壮大。相比传统燃油车发动机的效率约10%-40%（随着发动机的工
作状态变化），新能源车中纯电动汽车的电机效率高达约90%（行驶过程中几乎不变）。
汽车在平坦道路上保持匀速行驶受到来自地面的滚动阻力和来自空气的空气阻力。滚
动阻力的大小与汽车重量成正比Ff=crmg，其中cr为滚阻系数。空气阻力的大小与汽车和速
度的平方成正比f=kv2，其中k 为常量，和空气密度，汽车的迎风面积等有关。
6
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一辆汽车的驱动电机（或发动机）的效率为
，在平直道路上匀速行驶的速度为v，不
考虑其他能量损失，则该汽车的能耗总功率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·上海青浦·统考一模）在体育运动项目中，包含着丰富的物理原理。只要你
善于观察，都能用物理知识解决实际问题。
53．跳水运动员在跳台上腾空而起。跳台距水面高度为10m,运动员恰好到达最高位置
时，他的重心离跳台台面的高度为1 米,当他下降到手触及水面时要伸直双臂做一个反掌压
水花的动作,这时他的重心离水面也是1m。从最高点到手触及水面的过程中，其重心的运
动可以看作自由落体运动，则他在此过程中完成一系列动作可利用的时间为 s
（保留两位小数），忽略运动员进入水面后的受力变化，从手掌触及水面入水之后，他的
重心能下沉到水面下约2.5m 处，假设运动员质量为50kg，入水过程中，试计算他克服水
的平均阻力做功为 J。（g 取10m/s2）
8．（2024·上海黄浦·统考一模）从“飞天梦圆”到“圆梦天宫”
2023 年10 月15 日是神舟五号飞天二十周年，二十年前杨利伟代表13 亿中国人踏上了
逐梦太空的征途。从此，中国人开启了从“飞天梦圆”到“圆梦天宫”。
神舟五号载人飞船在加速升空过程中，杨利伟处于 状态（选填“超重”或
“失重”）。在返回舱进入大气层后减速下落的过程中， 能转化 能。
9．（2024·上海黄浦·统考一模）月球探测工程2004 年起中国正式开展月球探测工
程，嫦娥工程分为无人月球探测、载人登月和建立月球基地三个阶段。我国已先后成功实
施四次月球探测任务，计划在2030 年前实现首次登陆月球。月球表面重力加速度为
。
“玉兔号”月球车成功抵达月背表面后，研究者对月球车模型的性能进行研究。月球
车运动全过程的v-t 图如图所示。月球车在t1~18s 内以1.41×10-1W 的额定功率行驶，在18s
末关闭月球车的动力系统，运动过程中月球车受到的阻力大小不变，求月球车
（1）受到的阻力大小（保留2 位有效数字）？
（2）质量（精确到1kg）？
（3）前15 秒内的位移（保留2 位有效数字）？
7
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10．（2023·上海虹口·统考一模）一、“嫦娥”探月
2004 年，国务院批准绕月探测工程立项，命名为“嫦娥工程”。2020 年12 月17 日凌
晨，“嫦娥五号”携带1731 克月球样品满载而归，标志着我国探月工程“绕、落、回”三
步走规划如期完成。
（1）“嫦娥三号”探测器到达距离月球表面5km 的位置，立即开动发动机，向
（选填“上”、“下”）喷气，减速下行，实施“软着陆”。该过程中，探测器的机械能
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（选填“增大”、“减小”或“不变”）。
如图，静止的“玉兔”月球车在高度h=0.8m 的位置，将一质量m=0.02kg 的小物体以
v0=2m/s 的速度沿水平方向弹射出去，测出小物体的水平射程x=2m。求：
（2）弹射器对物块所做的功W？
11．（2024·上海金山·统考一模）一、幼儿滑梯
某幼儿园的滑梯设计高度为2.4m。滑梯轨道设计为直线，轨道和儿童裤料之间的动摩
擦因数为0.4。
幼儿从地面攀登上滑梯最高处，重力势能增加量最接近（ ）
A．3.6J
B．36J
C．360J
D．3600J
12．（2024·上海闵行·统考一模）三、荡秋千
荡秋千是中华传统游戏竞技项目，常在节日庆典举行比赛，如图甲，深受各族人民的
喜爱。现在荡秋千已成为儿童的专项活动，常见于校园操场旁或公园中，如图乙。
一种荡秋千的方式如图丙，小朋友坐姿基本不变，大人用水平力F 缓慢将秋千由最低
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点O 点拉至图示B 点再由静止释放。在B 点时秋千绳与竖直方向的夹角为
，C 点为左端
最高点，忽略秋千绳的质量和空气阻力，重力加速度为g。
有一种极限秋千运动，运动员通过蹲下和站起动作，可以越荡越高，直至实现360°翻
转。
（1）运用所学物理知识分析，若秋千绳换为铁链或铁杆， （选涂：A 铁
链秋千 B 铁杆秋千）更容易实现360°极限翻转。
（2）简要说明理由。
某科学up 主用假人、小火箭（火箭箭体、燃料）和铁链秋千，完成极限360°翻转荡秋
千实验。若不计铁链质量，假人、小火箭的总质量为M，重心到悬点的距离始终为L；火
箭发射喷气时间极短，瞬间喷出气体的质量为Δm；最后恰好实现了360°翻转，求：如图
丁，火箭在O 点发射瞬间假人和火箭箭体获得的初速度v0？
13．（2024·上海宝山·统考一模）四、电动自行车
电动自行车是指在普通自行车基础上以蓄电池作为辅助能源的交通工具，下表是一辆
电动自行车的部分技术指标。
最高车速
≤25km/h
轮圈尺寸
10in
整车质量
60kg
充电时间
6h
最大载重
120kg
电动机额定输出功率
216W
电池容量
14A·h
电动机额定电压/额定电流
48V/6A
10
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一质量为60kg 的快递员配送40kg 的货物，驾驶该车在平直的公路上从静止起，以
0.2m/s2加速度做匀加速直线运动，设车所受的阻力恒为车总重力的0.03 倍（计算重力时g
取10m/s2）。若不计电动自行车自身的机械损耗，则在电力驱动下保持这种运动的最长时
间为 s，此过程中电动机产生的牵引力所做的功为 J。
14．（2024·上海四区统考一模）从东方红一号到天宫空间站，我国的航天技术经过五
十多年的发展，已达到了世界领先水平。
天宫空间站的质量为m，绕地球运行的线速度大小为v。以无穷远处为零势能面，求
空间站的机械能E？
15．（2024·上海静安·统考一模）一、汽车
汽车自驾游是人们喜爱的出游方式之一，驾驶过程中常常离不开卫星导航，遵守交通
规则安全文明驾驶是出游的重要保障。
已知某汽车质量为1.5×103kg，发动机的额定功率为90kW，在某平直公路上行驶时所
受阻力与速度成正比，最大行驶速度可达120km/h。汽车以最大速度行驶时所受阻力
N；若汽车以加速度a＝2m/s2匀加速直线运动至60km/h，此时汽车发动机的实际功率为
kW。
16．（2024·上海静安·高三一模）三、电场
电场具有力的性质也具有能的性质，库仑定律和万有引力定律都满足平方反比律，电
场和引力场之间有相似的性质。
直线AB 是某孤立点电荷电场中的一条电场线，一个质子仅在电场力作用下沿该电场
线从A 点运动到B 点，其电势能随位置变化的关系如图所示。设A、B 两点的电势分别为
φA、φB，质子在A、B 两点的动能分别为EkA、EkB，则（ ）
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A．该点电荷带负电，位于B 点的右侧，φA＞φB，EkA＞EkB
B．该点电荷带正电，位于A 点的左侧，φA＞φB，EkA＜EkB
C．该点电荷带正电，位于B 点的右侧，φA＜φB，EkA＞EkB
D．该点电荷带负电，位于A 点的左侧，φA＜φB，EkA＜EkB
实际闭合回路中，在电子通过电源内部从电源正极到负极的过程中，非静电力对其做
（选涂：A．“正” B．“负”）功，电势能 （选涂：A．“增大” B．“减
小”），实现能量转化。
17．（2024·上海松江·高三一模）
静电与人们的关系越来越密切。在生产和社会生活中，静电既有有利的一面，如静电
除尘、静电喷雾、静电复印等，也有需要防范的一面。
如图静电喷雾装置，接上高压电源后在喷口和被涂物间产生强电场，虚线为等势面。
带负电液滴从喷口飞向被涂物，a、b、c 是其中一条路径上的三点，b 是a、c 的中点，
则：
液滴在a 点的加速度 在c 点的加速度；液滴在a 点的电势能 在c 点的
电势能（均选涂： A．大于 B．等于 C．小于）；
18．（2024·上海长宁·高三一模）雷雨云产生电荷，底层带负电，顶层带正电，而且
还在地面产生正电荷，此正电荷如影随形地跟着云移动。美国的富兰克林通过著名的风筝
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实验，证明了闪电和摩擦起电的火花电是相同的电气现象。
当雷暴云中正电荷区与负电荷区的电场强达到一定程度时，空气将被击穿，从而形成
我们看到的闪电。在某次闪电中，云和大地间的电压为
，则一个电子从云层运动到
地面，其电势能变化量
为 eV；若闪电持续1 秒，通过云层和大地间空气层的
电荷量约为5000C，则此次闪电消耗的功率约为 kW。如果某户家庭每月平均消耗
的电能为100kW·h，那么，该闪电1 秒释放的能量可供这户家庭使用 年。（结果
均保留一位有效数字）
19．（2024·上海徐汇·统考一模）2022 年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁
撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理
如图所示，两间距为L 的平行长直光滑金属导轨固定在同一水平面内，导轨间垂直安放金
属棒，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回（图中未画出电源）。两导轨
电流在金属棒所在处产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B 与电流I 的关系为BkI（k
为常量）。
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I 变为2I。则
（计算）每一级区域中金属棒被推进的距离若均为s，金属棒的质量为m，求金属棒从
静止开始经过两级区域推进后的速度大小v= ？
20．（2024·上海黄浦·统考一模）月球探测工程2004 年起中国正式开展月球探测工
程，嫦娥工程分为无人月球探测、载人登月和建立月球基地三个阶段。我国已先后成功实
施四次月球探测任务，计划在2030 年前实现首次登陆月球。月球表面重力加速度为
。
建立月球基地所需的太空飞船，可利用太空中由大量电荷量大小相等的正、负离子
（忽略重力）所组成的高能粒子流作为能量的来源。推进原理如图所示，装置左侧部分由
两块间距为d 的平行金属板M、N 组成，两板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
大小为B。高能粒子流源源不断从左侧以速度v0水平入射，最终在M 和N 间形成稳定的电
势差，并给右侧平行板电容器PQ 供电。
（计算）靠近Q 板处有一放射源S，可释放初速度为0、质量为m、电荷量为+q 的粒
子，求该粒子从S 正上方的喷射孔喷出P 板时速度的大小？
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21．（2024·上海静安·统考一模）五、电与磁
人类对电现象、磁现象的研究由来已久，电能生磁，磁也能生电。
如图所示，足够长的光滑平行导轨倾斜放置，导轨间距为L＝1m，两导轨与水平面夹
角为
，其下端连接一个灯泡，灯泡电阻为R＝6Ω。导体棒ab 垂直于导轨放置，棒
ab 长度也为1m，电阻r＝2Ω，其余电阻不计。两导轨间存在磁感应强度为B＝1T 的匀强
磁场，磁场方向垂直于导轨所在平面向上。将棒ab 由静止释放，在棒ab 的速度v 增大至
2m/s 的过程中，通过灯泡的电量q＝2C，棒ab 下滑的最大速度vm＝4m/s，棒ab 与导轨始
终接触良好。（取g＝10m/s2）
（1）求棒ab 的质量m？
（2）求棒ab 由静止起运动至v＝2m/s 的过程中，灯泡产生的热量QR？
（3）为了提高棒ab 下滑过程中灯泡的最大功率，试通过计算提出可行的措施。某同
学解答如下：灯泡的最大功率为
，因此可以通过增大磁感应强度B 来提高棒
ab 下滑过程中灯泡的最大功率。该同学的结果是否正确？若正确，请写出其他两条可行的
措施；若不正确，请说明理由并通过计算提出两条可行的措施？
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22．（2024·上海闵行·统考一模）七、电磁炉
电磁炉的原理是利用感应电动势在锅底内产生涡流，致使锅体本身快速发热，从而加
热锅内食物。
间距L=0.5m 光滑平行金属导轨，水平放置在竖直方向的磁感应强度B=1 T 的匀强磁场
中，一端接阻值为R=5Ω 的电阻。一电阻为r =1Ω、质量为m，长也为L 的导体棒垂直放
置在导轨上，在外力作用下可以让导体棒在匀强磁场中做简谐运动产生类似电磁炉所用的
正弦交流电。导体棒从t=0 时刻开始运动，其感应电动势e 与时间t 的关系是如图所示的正
弦函数。不计导轨电阻。求：
（1）这一感应电动势的有效值？
（2）写出导体棒速度大小随时间变化的关系式？
（3）算出0 ~ 2s 内外力所做的功？
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23．（2024·上海长宁·统考一模）磁悬浮电梯是基于电磁原理和磁力驱动使电梯的轿
厢悬停及上下运动的，如图（甲）所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成，其原理
为：竖直面上相距为b 的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场
中，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为B，每个磁场分布区间的长度都是a，
相间排列，如图（乙）所示。当这些磁场在竖直方向分别以速度
、
、
向上匀速平动
时，跨在两导轨间的宽为b、长为a，总电阻为R 的导线框MNPQ（固定在轿厢上）将受到
磁场力，从而使轿厢悬停、向上或向下运动。
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轿厢悬停、向上匀速运动以及向下匀速运动时，外界提供给轿厢系统的功率
、
和
分别是多少？
24．（2024·上海四区·统考一模）无线充电器的发射线圈产生交变磁场，在接收设备
（手机等）内的线圈中产生交变电流，实现电能的无线传输。
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（1）某发电厂发出的交流电电压为
，功率为P。远距离输电线路的总电阻为r。现
采用电压达
的特高压输电技术进行输电，变电站理想升压变压器输入线圈和输出线圈的
匝数比为 ；输电线上损失的功率为 。
（2）如图（a），某无线充电装置接收线圈匝数为N、半径为a、电阻为r。一匀强磁
场垂直穿过线圈，其磁感应强度B 随时间t 变化规律如图（b）所示。外接定值电阻阻值为
R。求：
在
、
两段时间内，定值电阻上产生的热量之比为
A．
B．
C．
D．
25．（2024·上海崇明·统考一模）质谱仪是用来测量带电粒子质量的一种仪器，其结
构如图a 所示，它分别由加速器Ⅰ、速度选择器Ⅱ、质量分离器Ⅲ三部分组成。若从粒子
源P 点发出一个电量q、质量为m 的正离子，经过加速器得到加速，进入速度选择器，速
度符合一定大小的离子能够通过S3缝射入质量分离器中，整个过程中可以不考虑离子重力
的影响。完成下列问题：
加速器Ⅰ由S1S2两块带电平行金属板组成，为了使正离子得到加速，则应让金属板S1
带 电（选填“正”、“负”）。在下降过程中，离子的电势能 （选
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填“减少”、“增大”、“不变”），如果离子从速度
开始经加速后速度达到
，则加
速器两极板间电压
。
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