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专题04 功能关系及能量守恒定律的应用
命题预测
功能关系及能量守恒在高考物理中占据了至关重要的地位，因为它们不仅是物理学中的
基本原理，更是解决复杂物理问题的关键工具。在高考中，这些考点通常被用于检验学生对
物理世界的深刻理解和应用能力。
在2025 年高考中，功能关系及能量守恒的题目形式丰富多样，既可以作为独立的问
题出现，也可以与其他物理知识点如牛顿运动定律、动量守恒定律等相结合，形成综合性的
大题。这类题目往往涉及对能量转化、传递、守恒等概念的深入理解和灵活运用，对考生的
逻辑思维和数学计算能力有较高的要求。
复习时，考生需要首先深入理解功能关系及能量守恒的基本原理和概念，明确它们之间
的转化和守恒关系。这包括理解各种形式的能量（如动能、势能、热能等）之间的转化关
系，以及能量守恒定律在物理问题中的应用。同时，考生还需要掌握相关的公式和计算方
法，如动能定理、机械能守恒定律等，并能够熟练运用这些公式和方法解决实际问题。
高频考法
1. 应用动能定理处理多过程问题
2. 三类连接体的功能关系问题
3. 功能关系的理解及应用
4. 有关传送带类的功能关系问题
5.有关板块类的功能关系问题
考向一：应用动能定理处理多过程问题
1．应用动能定理解题的基本步骤
2．注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物
1
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体为参考系。
(2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出运动过
程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。
(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中
间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。
(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根
据结果加以检验。
3.多过程问题的分析方法
(1)将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。
(2)对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。
(3)根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
(4)分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方
程。
(5)联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
考向二：多物体的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.常见的三种模型
（1）轻绳连接的物体系统
常见情景
二点提醒
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
（2）轻杆连接的物体系统
常见情景
三大特点
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
2
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(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守
恒。
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则
系统机械能守恒。
（3）轻弹簧连接的物体系统
题型特点
由轻弹簧连接的物体系统，若只有重力做功或系统内弹簧弹力做功，这时系统内物
体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点提醒
(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压
缩。
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
考向三 功能关系的理解和应用
1.几种常见的功能关系及其表达式
力做功
能的变化
定量关系
合力的功
动能变化
W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力的功
重力势能
变化
(1)重力做正功，重力势能减少
(2)重力做负功，重力势能增加
(3)WG＝－ΔEp＝Ep1－
E p2
弹簧弹力的功
弹性势能
变化
(1)弹力做正功，弹性势能减少
(2)弹力做负功，弹性势能增加
(3)W 弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力
做功
机械能
不变化
机械能守恒，ΔE＝0
除重力和弹簧弹力之
外的其他力做的功
机械能变化
(1)其他力做多少正功，物体的
机械能就增加多少
(2)其他力做多少负功，物体的
机械能就减少多少
(3)W 其他＝Δ E
一对相互作用的滑动
摩擦力的总功
机械能减少，内能增加
(1)作用于系统的一对滑动摩擦
力一定做负功，系统内能增加
(2)摩擦生热Q＝fs 相对
安培力做功
电能变化
(1)克服安培力做的功等于电能
3
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增加量
(2)W 克安＝E 电
2.能量守恒定律的理解和应用
（1）对能量守恒定律的两点理解
① 某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相
等。
② 某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相
等。
（2）能量转化问题的解题思路
① 当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。
② 解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪
种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE 减与增加的能量总和ΔE 增，最后由ΔE 减＝ΔE 增
列式求解。
（3）涉及弹簧的能量问题
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
① 能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
② 如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度
时两物体速度相同。
（4）两种摩擦力做功特点的比较
类型
比较
静摩擦力做功
滑动摩擦力做功
不同点
能量的转
化
只有机械能从一个物体
转移到另一个物体，而
没有机械能转化为其他
形式的能
(1)一部分机械能从一个物体转
移到另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，
此部分能量就是系统机械能的
损失量
一对摩擦
力的总功
一对静摩擦力所做功的
代数和总等于零
一对滑动摩擦力做功的代数和
总是负值，总功W＝－fs 相对，
即发生相对滑动时产生的热量
相同点
做功情况
两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不
做功
考向四 传送带问题
4
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1.传送带问题的分析方法
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合
牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上
物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2.功能关系分析
(1)传送带克服摩擦力做的功：W＝fs 传，也是电动机因传送带传送物体而多做的功。
(2)系统产生的内能：Q＝fs 相对。
(3)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被传送物体动能的增加量，ΔEp表示被传
送物体重力势能的增加量。
考向五 板块问题
1.模型分类
“滑块—木板”模型根据情况可以分成水平面上的“滑块—木板”模型和斜面上的“滑块—
木板”模型。
2.位移关系
滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移大
小和木板的位移大小之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位移大
小和木板的位移大小之和等于木板的长度。
3.解题关键
找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口，求解中应注意联系两个过程的
纽带：每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。
01 应用动能定理解决多过程运动问题
1.竖直平面内有如图所示的轨道，分为区域1、区域2 及区域3。区域1 中斜面体ABC 与DEF 固定在水平
面上，斜面光滑且AB=EF=L1=2.8m，∠BAC=∠DFE=θ=30°，区域2 中有水平向右的匀强电场，EF 与倾斜
粗糙轨道FG 平滑连接在一条直线上，且FG=L2=2.1m，动摩擦因数
；区域3 中光滑圆弧轨道GH 与
足够长的光滑倾斜轨道HI 相切，圆弧半径R=1.5m，HI 与水平方向的夹角为θ=30°。一质量为m=1kg，电
荷量为q 的带负电小球（可视为质点），在A 点获得v0=8m/s 的速度后，沿着AB 轨道运动从B 点抛出，恰
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好无碰撞的沿EF 轨道运动，之后进入区域2、区域3，区域2 中的电场强度为
。整个轨道绝
缘，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2，答案可用根号表示。
(1)求在B 点的速度和CD 间的水平距离?
(2)小球到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力为多大?
(3)小球在粗糙斜面FG 上运动的路程和在光滑斜面HI 上运动的路程分别为多少?
2．某班同学为研究能量间的转化设计如图的装置。一处于压缩锁定状态的轻质弹簧置于光滑水平台面
上，弹簧左侧与墙壁相连，右侧与质量
的小物块接触但不固连。某时刻解除弹簧锁定，弹簧恢复
原长将小物块弹开，让其从平台最右端A 点离开后恰好能无碰撞地落在右下方的光滑斜面的顶端B 点，AB
间的高度差
，斜面长度
，倾角
，小物块沿斜面运动到底端C 点后滑上长
的传送带，传送带顺时针匀速转动的速度为
，不考虑从斜面滑到传送带上的能量损失。从传送带右
端离开后小物块滑行一段水平轨道DE 后又冲上一半径
的光滑圆形轨道内侧，其中竖直圆轨道在
E 处错开不闭合。已知小物块与传送带及DE 段轨道间的动摩擦因数均为0.5，
，
，不计空气阻力，求：
(1)弹簧解除锁定前储存的弹性势能
；
(2)若小物块恰好能到达半圆形轨道的最高点，求在E 点处小物块对半圆形轨道的压力；
(3)要使小物块能滑上圆轨道且不脱离圆形轨道，则DE 段的距离s 应满足什么条件。
02 多物体的机械能守恒问题
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3.如图所示，滑块A、B 的质量均为m，A 套在固定倾斜直杆上，倾斜直杆与水平面成
角，B 套在固定
水平直杆上，两直杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计且杆足够长，A、B 通过铰链用长度为L 的刚
性轻杆（初始时轻杆与水平面成
角）连接，A、B 从静止释放，B 沿水平面向右运动，不计一切摩擦，
滑块A、B 均视为质点，重力加速度大小为g，在运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当A 到达B 所在水平面时
B．当A 到达B 所在水平面时，B 的速度为
C．滑块B 到达最右端时，A 的速度为
D．滑块B 的最大动能为
4．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A 和B，A 球质量为3m，B 球质量为m，两球半径忽
略不计，杆的长度为L。先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球B，使小球B 在水平面上由静止开始
向右滑动，当小球A 沿墙下滑距离为
时，A 的速度为
，小球A 落地时速度为
，下列说法正确的是
（A、B 两球均在同一个竖直平面内运动，不计一切摩擦）（ ）
A．
B．
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C．小球A 沿墙下滑
过程中，杆对A 做的功为
D．从开始到小球A 落地过程中，杆对A 做的功为零
03 功能关系的理解和应用
5．如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态，小物块的质量为m，从A 点向左沿水平地面运
动，压缩弹簧后被弹回，运动到A 点恰好静止，物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为
μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中（ ）
A．弹簧的最大弹力大于μmg
B．物块克服摩擦力做的功为μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为2μmgs
D．物块在A 点的初速度为
6．质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为
，如图
所示，一物块从钢板正上方距离为
的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘
连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m，弹簧的弹性势能
，简谐运动的周期
，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．碰后物块与钢板一起做简谐运动，振幅
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B．物块与钢板在返回O 点前已经分离
C．碰撞刚结束至两者第一次运动到最低点所经历的时间
D．运动过程中弹簧的最大弹性势能
04 传送带问题
7.如图甲为皮带输送机简化模型图，皮带输送机倾角
，顺时针匀速转动，在传送带下端A 点无初速
放上货物。货物从下端A 点运动到上端B 点的过程中，其机械能E 与位移s 的关系图像（以A 点所在水平
面为零势能面）如图乙所示。货物视为质点，质量
，重力加速度
，
，
。下列说法正确的是（ ）
A．传送带A、B 两端点间的距离为8m
B．货物与传送带间因摩擦产生的热量为35J
C．货物从下端A 点运动到上端B 点的过程中，重力冲量的大小为540N·s
D．皮带输送机因运送该货物而多消耗的电能为585J
8.如图，光滑的四分之一圆弧轨道PQ 竖直固定放置，不可移动，其底端与一水平传送带相切。一质量
的小物块a 从圆弧轨道最高点P 由静止释放，到最低点Q 时与另一静止小物块b 发生弹性正碰
（碰撞时间极短），
。已知圆弧轨道半径R=1.8m，传送带的长度L=5m，传送带以速度
顺时针匀速转动，小物体与传送带间的动摩擦因数
，重力加速度
，试求：
（1）碰撞前瞬间物块a 对圆弧轨道的压力大小；
（2）碰撞后a 能在圆弧轨道上升的最大高度h；
（3）物块b 滑动到传送带右端的过程中，系统产生的热量。
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05 板块问题
9.如图所示，在水平地面上静止放置一长为
，质量为
的长直木板，某时刻，有一质量为
的滑块以
的速度滑上木板的左端，同时对木板的右端施加一大小为
的水平拉力
的作用，已知木板上表面与滑块之间的动摩擦因数
，木板下表面与地面之间的动摩擦因数
，求：
（1）滑块与木板共速所经历的时间；
（2）在滑块与木板相互作用的整个过程中，滑块与木板之间因摩擦而产生的热量。
10．在安全领域有一种常用的“软”性材料，其特性是越碰越软，经测定：当在第k 次碰撞时，碰后反弹
速度为首次碰前速度大小的
。如图a 所示，一质量为
的足够长木板放在倾角
的光滑
斜面上，并在外力作用下保持着静止状态。木板A 端距斜面底端的距离为
m，由此“软”性材料做成的
挡板固定在斜面底端。
时刻，撤去作用在木板上的外力，同时将一质量
的小物块从距离木板
B 端3m 处，以沿木板向上的初速度
滑上木板，并对小物块施加沿斜面向上的外力F，F 随时间的
变化如图b 所示，其中
，当木板第一次与挡板相碰时，撤去施加在小物块上的外力。已知木板与
物块间的动摩擦因数
，小物块可以看作质点，取
，求：
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（1）0 至1s 时间内，小物块和木板的加速度的大小和方向；
（2）首次与挡板碰撞中，木板动量的改变量；
（3）从开始至木板与挡板进行第k 次碰撞，摩擦产生的Q。（计算结果用k 表示并化简）
、
1．如图所示，某斜面的顶端到正下方水平面O 点的高度为h，斜面与水平面平滑连接，斜面倾角为
，小
木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为
，OA 长为x，
，以O 点为原点建立xOy 坐标系，某次
在
由静止开始滑下，滑到A 点停下。改变斜面倾角和斜面长度，小木块仍在A 点停下，则小木块
静止释放点的坐标可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m 的滑块P 连接，P 穿在杆上，一
根轻绳跨过定滑轮将滑块P 和重物Q 连接起来，滑块Q 的质量为3m。一开始用手托住重物Q，使轻绳恰
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好伸直但张力为0，然后由静止释放重物Q，使P 从图中A 点由静止沿竖直杆上下运动，滑块P 经过A、B
两点时弹簧对滑块的弹力大小恰好相等，已知OA 与水平面的夹角θ=53°，OB 与AB 垂直，OB 长为3L，弹
簧劲度系数为k，不计滑轮的摩擦力，重力加速度为g，sin53°=0.8，cos53°=0.6。当滑块P 运动至B 点时，
其速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，挡板P 固定在倾角为
的斜面左下端，斜面右上端
与半径为
的圆弧轨道
连接，其圆
心
在斜面的延长线上。
点有一光滑轻质小滑轮，
。质量均为
的物块B、C 由一轻质弹簧
拴接（弹簧平行于斜面），其中物块C 紧靠在挡板P 上，物块B 用跨过滑轮的轻质细绳与一质量为
、
大小可忽略的小球A 相连，初始时刻小球A 锁定在
点，细绳与斜面平行，且恰好绷直而无张力，物块
B、C 处于静止状态。某时刻解除对小球A 的锁定，当小球A 沿圆弧运动到最低点
时（物块B 未到达
点），物块C 对挡板的作用力恰好为0。已知重力加速度为
，不计一切摩擦，下列说法正确的是
（ ）
A．小球A 到达
点时，小球A 与物块B 的速度大小相等
B．小球A 沿圆弧运动到最低点
的过程中，其重力的功率一直增大
C．小球A 到达
点时的速度大小为
D．小球A 由
点运动到
点的过程中，小球A 和物块B 的机械能之和先减小后增大
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4．如图所示，带有光滑小孔的小球A 套在半圆轨道上，用绕过光滑定滑轮P 的足够长轻绳与从小球B 相
连，小球A、B 的质量均为
。给A 施加一水平向右的拉力
，使小球A 静止在圆轨道最低点
。已知定
滑轮P 与
、o、在同一水平线上，o 点为圆心，
，
，重力加速度为
，
，不
计滑轮的质量、大小及空气阻力，则（ ）
A．水平拉力
的大小为
B．撤去拉力
后，A 球运动过程中速度一直变大
C．撤去拉力
后，A 球不能运动到
点
D．撤去拉力
后，A 球在轨道上运动过程中机械能最大时的速度大小
5．如图甲所示，物体以一定的初速度从倾角
的斜面底端沿斜面向上运动，以斜面底端为坐标原
点，沿斜面建立坐标轴x，选择地面为参考平面，上升过程中物体的动能和重力势能随坐标x 的变化如图
乙所示。g 取
，则（ ）
A．物体的质量为0.6kg
B．物体与斜面之间的动摩擦因数为0.5
C．物体上升过程中机械能减少量为15J
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D．物体回到斜面底端时的动能为10J
6．如图所示，不可伸长的轻质细线跨过轻质滑轮连接两个质量分别为
、
的物体A、B，质量为
的
物体C 中间有孔，套在细线上且可沿细线无摩擦滑动。初始时使三个物体均处于静止状态，此时A、B 离
地面的高度均为。物体C 在B 上方处。同时由静止释放三个物体，一段时间后，C 与B 发生碰撞并立
即粘在一起。已知重力加速度大小为
，整个过程中细线未断裂，物体均可视为质点，不计阻力的影响。
下列说法正确的是（ ）
A．从释放三个物体到C 与B 发生碰撞经历的时间为
B．碰撞结束后A 的速度为零
C．A 最终离地面的高度为
D．碰撞过程中，三个物体损失的机械能为
7．如图所示，质量为
、长度为的小车静止在光滑的水平面上。质量为
的小物块（可视为质点）放
在小车的最左端。现用一水平恒力
作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和
小车之间的摩擦力为
，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为
。在这个过程中，以下结论正
确的是（ ）
A．小物块到达小车最右端时具有的动能为
B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为
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C．小物块克服摩擦力所做的功为
D．小物块和小车发生相对滑动，摩擦产生的内能为
8．质量
、长度
的木板静止在足够长的光滑水平面上，右端静置一质量
的物块
（可视为质点），如图（a）所示。现对木板施加一水平向右的作用力F，
图像如图（b）所示。物块
与木板间的摩擦因数
，重力加速度g 取
。则（ ）
A．6s 末，物块刚好与木板分离
B．0~4s 内，物块与木板不发生相对滑动
C．0~6s 内，物块与木板组成的系统机械能守恒
D．4~6s 内，拉力F 做功等于物块与木板系统动能
增量
9．如图所示，小滑块1、2 质量分别为
和
，滑块1 在半径为
的四分之一光滑圆弧最高点A 处，滑块
2 置于粗糙水平轨道端点
处，
间距为L。C 点正下方
处固定一劲度系数为
的轻弹簧，弹簧右端
固定一质量为
的滑块，置于光滑水平面上。静止释放滑块1，1 与2 发生弹性碰撞后恰好静止于
点。滑块2 被碰后做平抛运动的同时给滑块M 一个向右的初速度
，滑块2 与运动中的M 在平衡
位置相碰后竖直向上运动至与
等高的
点。已知所有的碰撞时间极短，质量为
的弹簧振子振动周期
为
，重力加速度为
，求：
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(1)滑块1 第一次运动到B 点时对B 点的压力大小；
(2)滑块1 与水平面BC 间的动摩擦因数
；
(3)
点与滑块M 的高度差。
10．如图所示，两个滑块A 和B 的质量分别为mA=1kg 和mB=5kg，放在静止于光滑水平地面上的木板的两
端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ=0.5，木板的质量m=10kg，某时刻A、B 两滑块开始相向滑动，初
速度大小均为v0=3.5m/s，A、B 始终未相遇，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均可视为质点，重
力加速度大小g=10m/s2，求：
(1)A、B 两滑块开始相向滑动时，木板相对于地面的加速度；
(2)B 与木板刚好相对静止时，木板的速度；
(3)全过程三者间因摩擦产生的总热量。
11．如图所示，从A 点以v0=4m/s 的水平速度抛出一质量m=1kg 的小物块（可视为质点），当物块运动至
B 点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的光滑圆弧轨道BC，其中轨道C 端切线水平。小物块通过圆弧
轨道后以6m/s 的速度滑上与C 点等高、静止在粗糙水平面的长木板M 上。已知长木板的质量M=2kg，物
块与长木板之间的动摩擦因数μ1=0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.1，OB 与竖直方向OC 间的夹角
，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则：
（1）求小物块运动至B 点时的速度；
（2）若圆弧半径R 为0.36m，求小物块对轨道C 点的压力？
（3）若小物块恰好不滑出长木板，求此情景中自小物块滑上长木板起、到它们最终都停下来的全过程
中，它们之间的摩擦力做功的代数和？
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12．如图所示，足够长的光滑水平台面
距地面高
，平台右端紧接长度
的水平传送带
，A、B 两滑块的质量分别为
、
，滑块之间压着一条轻弹簧（不与两滑块栓接）并
用一根细线锁定，两者一起在平台上以速度
向右匀速运动；突然，滑块间的细线瞬间断裂，两滑
块与弹簧脱离，之后A 继续向右运动，并在静止的传送带上滑行了1.8m，已知物块与传送带间的动摩擦因
数
，
，求：
（1）细线断裂瞬间A 物体的速度和弹簧释放的弹性势能
；
（2）若在滑块A 冲到传送带时传送带立即以速度
逆时针匀速运动，求滑块A 与传送带系统因摩
擦产生的热量
；
（3）若在滑块A 冲到传送带时传送带立即以速度
顺时针匀速运动，试求滑块A 运动至
点时
做平抛运动的水平位移
（传送带两端的轮子半径足够小）。
13．如图所示，一质量为
、长为
的木板静止在倾角
的斜面上，其下端位于斜面上
的A 点，木板上端有一固定的弹性挡板，质量为
的小物块静置于木板下端，小物块与木板、木板
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与斜面间的动摩擦因数均为
。现给木板一沿斜面向下的初速度
，木板到达斜面底端时
小物块也恰好到达木板下端，此刻木板锁定，小物块滑到水平传送带上继续运动，最终从传送带左端离
开，传送带以速度v2=5m/s 逆时针转动，其长度
，小物块与传送带间动摩擦因数
。小物块
经过斜面与传送带连接处机械能损失不计，重力加速度g 取
。求：
（1）小物块和木板刚开始运动时的加速度大小；
（2）木板运动的时间；
（3）整个过程系统因摩擦增加的内能。
14．如图所示，倾角为
的斜面固定在水平地面上，斜面与倾角也为37°的传送带BC 在斜面上端的B
点相接，传送带又与圆心为O、半径R=0.4m 的光滑圆弧轨道在传送带上端的C 点相切，D 点为圆弧的最
高点，OD 连线竖直。一劲度系数为k=100N/m 的轻质弹簧的一端固定于斜面最下端，另一端在弹簧自由状
态时位于A 点。一质量m=1kg 的物块P 压缩弹簧至某一位置后由静止释放，物块通过轨道上的D 点时对轨
道的压力
。已知AB 长度为
，BC 长度为
，传送带以
的速率逆时针
传动，物块与斜面及传送带间的动摩擦因数均为
，弹簧弹性势能的表达式为
，式中k 为弹
簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量。物块可视为质点，整个过程中，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力
不计，重力加速度g 取
，
，
。
（1）求释放物块时弹簧储存的弹性势能；
（2）求物块P 通过传送带的过程中系统因摩擦而产生的热量；
（3）更换另一物块Q，压缩弹簧至相同位置后由静止释放，要求物块Q 在圆弧轨道上运动时不脱离轨道
且能沿轨道返回。求物块Q 质量的取值范围。（结果可用分数表示）
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15．五行八卦在中国传统文化中较为神秘，用来推演空间时间各类事物之间的关系。有一兴趣小组制作了
一个“八卦”轨道游戏装置，如图所示，ABC 和CDE 是半径r = 0.3m 的光滑半圆磁性轨道，AFE 是半径
R = 0.6m 的光滑半圆塑料细管道，两轨道在最高点A 处前后略有错开（错开距离相对于两个轨道的半径
都很小）。左侧有一与水平面夹角θ = 37°，长度L = 1.25m 的斜面MN，斜面底端M 和轨道最低点E 在
同一水平面上，在斜面底端有一弹射器用于发射质量m = 0.3kg 的小滑块P，在斜面顶端N 处有一被插销
锁定的相同质量的小钢球Q。某次试验时，将小滑块以初动能Ek= 6.5J 发射，到达斜面顶端后与小钢球发
生对心弹性撞击，同时小钢球解除锁定，小钢球恰能无碰撞进入塑料细管道的A 点，经塑料管道和“八
卦”轨道后返回。设小钢球和磁性轨道间的磁力大小恒为F，方向始终与接触面垂直，不考虑小钢球脱离
磁性轨道后的磁力。小滑块在斜面上运动时受到的摩擦力大小恒定，小滑块P、小球Q 在运动中均可视为
质点，忽略空气阻力。（sin37° = 0.6，cos37° = 0.8）求：
（1）Q 恰能无碰撞进入细管道时在A 点的速度大小vA；
（2）要使Q 不脱离磁性轨道，求所需磁力F 的最小值；
（3）P 从发射到与Q 发生碰撞过程中，斜面摩擦力对P 做的功Wf；
（4）通过调节斜面长度L 和ME 间水平距离x，使Q 始终能无碰撞地从A 点进入细管道，求发射P 的初动
能Ek与x 之间的关系。
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