文档内容
专题 07 机械能
考点内容 要求 考情
功 c 2023·湖北卷·4、2022·浙江6月选考·13、2021·湖南卷·3
功率 c 2021·北京卷·8、2021·全国乙卷·24、2021·山东卷·3、2021·河北
重力势能 c 卷·6
弹性势能 b 2021·全国甲卷·20、2022·上海卷·19、2022·浙江1月选考·20
动能和动能定理 d 2021·浙江6月选考·10、2022·全国乙卷·16、2021·海南卷·2
2022·福建卷·7、2021·湖北卷·4、2022·江苏卷·8、2023·浙江6月
机械能守恒定律 d
选考·3
功能关系 d
2020·全国卷Ⅰ·20、2023·浙江1月选考·4、2022·广东卷·9
能量守恒定律与能源 d 2023·浙江1月选考·4、2019·江苏卷·8、2023·全国卷乙·8
2022·浙江6月选考·12、2022·江苏卷·10、2020·浙江1月选考·20
1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.
2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算，会分析、解决机车启动的两类问题．
学 3.理解重力势能和弹性势能的概念，知道重力、弹力做功与相应势能变化的关系。
习 4.理解动能、动能定理，会用动能定理解决单物体多过程问题，能能利用动能定理求变力做的功。
目 5.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容，会用机械能守恒定律解决单个物体或系统
标 的机械能守恒问题．
6.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题，会应用能量守恒观点解决综合问题．
7.会用动力学、功能关系和能量观点解决滑块—木板模型、传送带综合问题。知识点01 功...............................................................................................................................................................3
一、功的定义......................................................................................................................................................3
二、功的大小的计算方法..................................................................................................................................3
三、正功与负功..................................................................................................................................................3
四、各种力的做功特点......................................................................................................................................4
五、变力做功的分析和计算..............................................................................................................................4
知识点02 功率...........................................................................................................................................................5
一、功率的定义..................................................................................................................................................5
二、功率的计算..................................................................................................................................................5
三、额定功率与实际功率..................................................................................................................................6
四、机车启动......................................................................................................................................................6
知识点03 机械能.....................................................................................................................................................10
一、重力势能....................................................................................................................................................10
二、动能............................................................................................................................................................11
三、动能定理....................................................................................................................................................11
四、应用动能定理解题的一般步骤................................................................................................................12
五、应用动能定理解决多过程问题................................................................................................................14
六、机械能守恒定律........................................................................................................................................17
七、应用机械能守恒定律解题的一般步骤....................................................................................................19
八、机械能与图象结合的问题........................................................................................................................21
知识点04 功能关系.................................................................................................................................................24
一、功能关系的理解........................................................................................................................................24
二、常见力做功与能量变化的关系................................................................................................................24
知识点05 能量及能量守恒定理.............................................................................................................................26
一、能量守恒定律............................................................................................................................................26
二、涉及弹簧的能量问题................................................................................................................................26
三、摩擦力做功的能量问题............................................................................................................................27
四、板块问题....................................................................................................................................................27
五、传送带问题................................................................................................................................................29
六、能量和动量的综合运用............................................................................................................................29知识点 01 功
一、功的定义
1.定义：力和作用在力的方向上通过的位移的乘积.是描述力对空间积累效应的物理量，是过程量.
2.定义式: W=Flcosθ ，其中F是力， l 是力的作用点位移（对地）， θ 是力与位移间的夹角.
二、功的大小的计算方法
1.恒力的功可根据
W=Flcosθ
进行计算，本公式只适用于恒力做功.
2.根据
W=Pt
，计算一段时间内平均做功.
3.利用动能定理计算力的功，特别是变力所做的功.
4.根据功是能量转化的量度反过来可求功.
5.摩擦力、空气阻力做功的计算:功的大小等于力和路程的乘积.
发生相对运动的两物体的这一对相互摩擦力做的总功:W=fd（d是两物体间的相对路程），且
W=Q（摩擦生热）
6.总功计算
F W =F lcosθ
方法一：先求合外力 合，再用 合 合 求功．
W 、W 、W …… W =W +W +W ……
方法二：先求各个力做的功 1 2 3 ，再应用 合 1 2 3 求合外力
做的功．
W =E −E
方法三：利用动能定理 合 kt k0.
三、正功与负功
1.当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
2.当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
3.当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
【技巧点拨】是否做功及做功正负的判断
①根据力F与物体位移l的方向的夹角θ判断——常用于恒力做功的情形；
②根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜
α≤180°，力做负功．——常用于曲线运动的情形
【技巧点拨】
①功是标量．功的正、负并不表示功的方向，表示动力做功还是阻力做功．
②一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功．
四、各种力的做功特点
1.重力、弹簧弹力、电场力做功与位移有关,与路径无关.
2.滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关.
3.摩擦力做功有以下特点①一对静摩擦力所做功的代数和总等于零；
②一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能的转移，做功的代数和总是负值，差值为机械
能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量，损失的机械能会转化为内能,内能Q=Fx ；
f 相对
③两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
【技巧点拨】三步求解相对滑动物体的能量问题
①正确分析物体的运动过程，做好受力分析．
②利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系，求出两个物体的相
对位移．
Q=f⋅x
③代入公式 相对位移计算，若物体在传送带上做往复运动，则为相对路程
Q=f⋅s
相对路程．
五、变力做功的分析和计算
1.“微元法”求变力做功: 将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可
以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和,此法适用于求解
大小不变、方向改变的变力做功.
【举例】质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功
W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
2. “图像法”求变力做功: 在F-x图像中, 图线与 x 轴所围“面积”的代数和 就表示力F在这段位移内所
做的功,且位于x轴上方的“面积”为正功,位于x轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便于求图线
与x轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形).
举例】一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，
0
【
F +F
W= 0 1 x
2
3. “平均力”求变力做功: 当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值
F +F
F¯= 0 1
2 W=F¯ lcosθ
,再由 计算,如弹簧弹力做功.
【举例】弹力做功，弹力大小随位移线性变化，取初状态弹力为0，则
W=F¯ x=
0+F
k x=
0+kx
x=
1
kx2
2 2 24.应用动能定理求解变力做功：在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解
时，可用动能定理W ＋W ＝mv2－mv2，物体初、末速度已知，恒力做功W 可根据功的公式求出，这
变 恒 2 1 恒
样就可以得到W ＝mv2－mv2－W ，就可以求出变力做的功了．
变 2 1 恒
【举例】用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
F
W +W =0⇒W −mgl(1−cosθ)=0⇒W =mgl(1−cosθ)
F G F F
5.等效转换法求解变力做功：将变力转化为另一个恒力所做的功。
【举例】恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
知识点 02 功率
一、功率的定义
功率是表示力做功快慢的物理量，是标量.求功率时一定要分清是求哪个力的功率，还要分清是求平均
功率还是瞬时功率.
二、功率的计算
W
P=
t
1.平均功率: （定义式） 表示时间t内的平均功率，不管是恒力做功，还是变力做功，
都适用.
2.瞬时功率:
P=Fvcosθ
，式中
θ
为
F、v
的夹角.
【技巧点拨】若v为瞬时速度，则P为瞬时功率. 若v为平均速度，则P为平均功率
三、额定功率与实际功率
1.额定功率:发动机正常工作时的最大功率.
2.实际功率:发动机实际输出的功率，它可以小于额定功率，但不能长时间超过额定功率.
技巧点拨：交通工具的启动问题通常说的机车的功率或发动机的功率实际是指其牵引力的功率.
四、机车启动
P
−F =ma
v f
动力学方程：
1.以恒定功率P启动P
v = 额
m F
①过程分析：机车的运动过程是先作加速度减小的加速运动，后以最大速度 f 作匀速直
线运动.
P F−F
v↑⇒F= 额 ↓⇒a= f ↓
v m
P
v = 额
m F
②转折点：在转折点A,牵引力与阻力大小相等,加速度为零,速度达到最大,为 f
P
v = 额
m F
终态：匀速运动，最大速度 f
③
2.以恒定牵引力F启动
v P
t = 1 = 额 ，
0 a （F +ma）a
①过程分析：机车先作匀加速运动，维持时间 f 当功率增大到额定
P P
v = 额 v = 额
1 F +ma m F
功率时速度为 f ，而后开始作加速度减小的加速运动，最后以最大速度 f 作匀
速直线运动。
F−F
a= f 不变⇒F不变，v↑⇒P=Fv↑到最大P ⇒P =Fv
m 额 额 1
P F−F
P 不变，a≠0⇒v↑⇒F= 额 ↓⇒a= f ↓
额 v m
P
v = 额
1 F +ma
②转折点：在转折点A,功率达到额定功率,匀加速运动结束,此时 f ;在转折点B,速度
P
v = 额
m F
达到最大,为 fP
v = 额
m F
终态：匀速运动，最大速度 f
③
【技巧点拨】
P
v = 额
m F
①无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即 f .
【实战演练】
(2023·湖北卷·4)两节动车的额定功率分别为P 和P ，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v 和v 。
1 2 1 2
现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到
的最大速度为( )
P v +P v P v +P v (P +P )v v (P +P )v v
A. 1 1 2 2 B. 1 2 2 1 C. 1 2 1 2 D. 1 2 1 2
P +P P +P P v +P v P v +P v
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
【答案】D
【解析】
由题意可知两节动车功率分别为P =f v 、P =f v
1 1 1 2 2 2
当把它们编组后P +P =(f +f )v
1 2 1 2
(P +P )v v
联立解得v= 1 2 1 2
P v +P v
1 2 2 1
故ABC错误，D正确。
②机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝P >P ，故B正确，ACD错误。
1 2 3
故选B。
知识点 03 机械能
一、重力势能
1.定义:地球上的物体具有跟它的高度有关的能量，叫做重力势能。
E =mgh
2.表达式： p .
【技巧点拨】
①重力势能是地球和物体组成的系统共有的，而不是物体单独具有的.
②重力势能的大小和零势能面的选取有关.
③重力势能是标量，但有“+”、“-”之分.
W =mgΔh
3.重力做功： G
【技巧点拨】重力做功只决定于初、末位置间的高度差，与物体的运动路径无关. .
W =−ΔE
4.重力做功跟重力势能改变的关系:重力做功等于重力势能增量的负值.即 G p .
二、弹性势能1.定义: 发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能
1
E = kΔx2
p 2
2.表达式： .
W =−ΔE
3.弹力做功跟弹性势能改变的关系:弹力做功等于弹性势能增量的负值.即 F k p .
二、动能
1.定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能.
1
E = mv2
k 2 1J=1N⋅m=1kg⋅m2 /s2
2.公式： ，单位：焦耳(J). .
3.动能是描述物体运动状态的物理量，是个状态量.
【技巧点拨】动能和动量的区别和联系
①动能是标量，动量是矢量，动量改变，动能不一定改变;动能改变，动量一定改变.
②两者的物理意义不同:动能和功相联系，动能的变化用功来量度;动量和冲量相联系，动量
的变化用冲量来量度.
P2
E =
k 2m
③两者之间的大小关系为 。
三、动能定理
1.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
1 1
W = mv− mv
合 2 t 2 0
2.表达式： .
3.物理意义：合力做的功是物体动能变化的量度．
【技巧点拨】
①动能是标量,功也是标量,所以动能定理是一个标量式,不存在方向的选取问题.当然动能定理
也就不存在分量的表达式.例如,将物体以相同大小的初速度不管从什么方向抛出,若最终落到地面
时速度大小相同,所列的动能定理的表达式都是一样的.
②高中阶段动能定理中的位移和速度必须相对于同一个参考系,一般以地面或相对地面静止的
物体为参考系
③动能定理说明了合外力对物体所做的功和动能变化间的因果关系和数量关系,不可理解为功
转变成了物体的动能
④合外力做的功为零时,合外力不一定为零(如匀速圆周运动),物体不一定处于平衡状态
⑤动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的.但它也适用于变力及
物体作曲线运动的情况.
⑥应用动能定理解题应抓住“两状态，一过程”，“两状态”即明确研究对象的始、末状态
的速度或动能情况，“一过程”即明确研究过程，确定在这一过程中研究对象的受力情况和位置
变化或位移信息．
⑦应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析
和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷.
四、应用动能定理解题的一般步骤
1.选对象：确定研究对象和研究过程
2.两分析：
①运动分析：运动性质及特点、明确初、末状态动能？
②受力分析：几个力？恒力还是变力？正功还是负功？求总功
3.列方程：分阶段或全过程列动能定理
【技巧点拨】应用动能定理的注意事项
①动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般以地面或相对地面静止的物体
为参考系.
②应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确地受力分析及运动过程分析,并画出运动过程
的草图,借助草图理解物理过程之间的关系.
③列动能定理方程时,必须明确各力做功的正、负,确实难以判断的先假定为正功,最后根据结
果加以检验.
【实战演练】
(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光
滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v 出发，恰好能完成一个完整的圆
0
周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关.
根据动能定理－F·2πL＝0－mv2，可得摩擦力的大小F＝，故选B.
f 0 f【实战演练】
(2021·全国乙卷·24)一篮球质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h＝1.8 m处由静止自由落
1
下，反弹高度为h＝1.2 m．若使篮球从距地面h＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下
2 3
拍球、球落地后反弹的高度也为1.5 m．假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20
s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变．重力加速度大小取 g＝10 m/s2，不计空气阻力．
求：
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小．
【答案】(1)4.5 J (2)9 N
【解析】(1)篮球从距地面高度h＝1.8 m处自由下落的过程中由动能定理可得E＝mgh
1 k1 1
篮球反弹后向上运动的过程由动能定理可得0－E＝－mgh
k2 2
篮球从距地面h＝1.5 m的高度由静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，
3
由动能定理可得W＋mgh＝E
3 k3
在篮球反弹上升的过程中，由动能定理可得0－E＝0－mgh
k4 4
因篮球每次和地面撞击的前后动能的比值不变，则有比例关系＝
代入数据可得W＝4.5 J.
(2)因作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此由牛顿第二定律可得 F＋mg＝
ma，在拍球时间内运动的位移为x＝at2
做的功为W＝Fx
联立可得F＝9 N(F＝－15 N舍去)．
【实战演练】
(2021·河北卷·6)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为πR、不可伸长的轻细绳，一
端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好
拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速
度为g，不计空气阻力)( )
A. B.
C. D．2
【答案】A
【解析】小球下落的高度为h＝πR－R＋R＝R，小球下落过程中，根据动能定理有mgh＝mv2，综上有v
＝，故选A.
五、应用动能定理解决多过程问题
当物体的运动是由几个物理过程所组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把这几个物理过程看
作一个整体进行研究，从而避开每个运动过程的具体细节，具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点.
1.全过程应用动能定理解决问题：当物体的运动包含多个不同过程时,可分段应用动能定理求解;当所求
解的问题不涉及中间的速度时,也可以全过程应用动能定理求解,这样更简便.
①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关．
②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积．【实战演练】
(2021·全国甲卷·20)(多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动．该物体开始
滑动时的动能为E ，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为.
k
已知sin α＝0.6，重力加速度大小为g.则( )
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【解析】物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有－μmg·2lcos α＝－E，物体从斜面底端到
k
最高点根据动能定理有－mglsinα－μmglcosα＝0－E，整理得l＝，μ＝0.5，A错误，C正确；物
k
体向下滑动时根据牛顿第二定律有ma ＝mgsinα－μmgcos α，解得a ＝，B正确；物体向上滑动时
下 下
根据牛顿第二定律有ma ＝mgsinα＋μmgcosα，解得a ＝g，故a >a ，由于上滑过程中的末速度
上 上 上 下
为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据位移公式l＝at2，则可得出t ＝ km/s，故A、B错误；在4月份轨道
2
半径出现明显的变大，可推知发动机做功，则机械能不守恒，故 C错误；在5月份任意两小时内轨道
半径基本不变，故可视为机械能守恒，故D正确．
4.系统机械能守恒的三种表示方式:
①守恒角度：系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等，即E =E
1 2
【技巧点拨】选好重力势能的参考平面，且初、末状态必须用同一参考平面计算势能
②转化角度：系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能，即ΔE＝－ΔE
k p
【技巧点拨】分清重力势能的增加量或减少量，可不选参考平面而直接计算初、末状态的势
能差
③转移角度：系统内A部分物体机械能增加量等于B部分物体机械能减少量，即ΔE ＝ΔE
A增 B减
【技巧点拨】常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
【技巧点拨】解题时究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选取;需注意的是:选用①式时，
必须规定零势能参考面，而选用②式和③式时，可以不规定零势能参考面，但必须分清能量的减少量和增
加量.
5.多物体系统的机械能守恒问题
①对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不
计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
③列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用 ΔE ＝－ΔE 或
k p
ΔE ＝－ΔE 的形式解决问题．
A B
【技巧点拨】几种实际情景的分析
①速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．
②角速度相等情景
Ⅰ、杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
Ⅱ、由v＝ωr知，v与r成正比．
③某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．
七、应用机械能守恒定律解题的一般步骤
1.选取研究对象；
2.进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒；
3.选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量；
4.根据机械能守恒定律列出方程；
5.解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．【实战演练】
(2022·全国乙卷·16)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开
始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
A．它滑过的弧长 B．它下降的高度 C．它到P点的距离 D．它与P点的连线扫过的面
积
【答案】C
【解析】如图所示，
设小环下降的高度为h，大圆环的半径为R，小环到P点的距离为L，根据机械能守恒定律得mgh＝
mv2，由几何关系可得h＝Lsin θ，sin θ＝，联立可得h＝，则v＝L，故C正确，A、B、D错误．
【实战演练】
(2021·海南卷·2)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中．如图所
示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0 m，末端到水面的高度h＝1.0 m．取重力加速度g＝10 m/s2，将人
视为质点，不计摩擦和空气阻力．则人的落水点到滑梯末端的水平距离为( )
A．4.0 m B．4.5 m C．5.0 m D．5.5 m
【答案】A
【解析】设人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝mv2，解得v＝4
m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知t＝＝ s＝ s，
水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x＝vt＝4× m＝4.0 m，故选A.
八、机械能与图象结合的问题
1．解决图象问题的基本步骤
①观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
②根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
③将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、
图线的交点、图线下的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入
函数关系式求物理量．
2．图象所围“面积”和图象斜率的含义①
v−t图像：图线与横轴围成的面积表示位移（x=vt）
②a−t 图像：图线与横轴围成的面积表示速度变化量（ Δv=at ）
③
F−x
图像：图线与横轴围成的面积表示功（
W=Fx
）
E −E
④
E
k
−x
图像：图线的斜率表示合外力（
F
合
= kt
Δx
k0
）
【实战演练】
(2022·福建卷·7)一物块以初速度v 自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端。该物
0
体的动能E 随位移x的变化关系如图所示，图中x 、E 、E 均已知。根据图中信息可以求出的物理
k 0 k1 k2
量有( )
A. 重力加速度大小
B. 物体所受滑动摩擦力的大小
C. 斜面的倾角
D. 沿斜面上滑的时间
【答案】B
E −E
【解析】解：物块根据动能定理有：−2f x =E −E ，可解得：f = k1 k2 ，由于题中物块的质
0 k2 k1 2x
0
量未知，无法计算重力加速度大小、斜面的倾角和沿斜面上滑的时间，故ACD错误，B正确；【实战演练】
(2021·湖北卷·4)如图(a)所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大
小f恒定，物块动能E 与运动路程s的关系如图(b)所示．重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所
k
受摩擦力大小f分别为( )
A．m＝0.7 kg，f＝0.5 N B．m＝0.7 kg，f＝1.0 N C．m＝0.8 kg，f＝0.5 N D．m＝0.8 kg，f＝1.0
N
【答案】A
【解析】0～10 m内物块上滑，由动能定理得－mgsin 30°·s－fs＝E－E ，整理得E＝E －(mgsin
k k0 k k0
30°＋f)s，结合0～10 m内的图像得，斜率的绝对值|k|＝mgsin 30°＋f＝4 N,10～20 m内物块下滑，
由动能定理得(mgsin 30°－f)(s－s)＝E，整理得E＝(mgsin 30°－f)s－(mgsin 30°－f)s，结
1 k k 1
合10～20 m内的图像得，斜率k′＝mgsin 30°－f＝3 N，联立解得f＝0.5 N，m＝0.7 kg，故选A.
【实战演练】
(2022·江苏卷·8)某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳．将运动
员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能E 与水平位移x的关系图像正确的是
k
( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设运动员位移与水平方向夹角为θ，对运动员，由动能定理得：mgxtanθ=E −0运动员
k
的动能：E =mgxtanθ
k
由图示运动员运动过程可知，开始θ不变，E 与x成正比，运动员运动到倾斜轨道下端时θ发生变化，
k
E 与位移不成正比，
k
运动员到达轨道最低点然后上升，重力做负功，动能减小，由图示图象可知，A正确，BCD错误。−ΔE
p
E −x
G=
Δh
⑤ p 图像：图线的斜率的绝对值表示重力（ ）
【实战演练】
(2023·浙江6月选考·3)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的
加速度大小a、速度大小v、动能E 和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
k
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、铅球做平抛运动，在空中运动时加速度为重力加速度，大小不变，a−t图像应为水
平直线，故A错误；
B、铅球竖直方向做自由落体运动，竖直分速度v =>¿
y
水平方向做匀速直线运动，水平分速度v =v
x 0
铅球的速度大小v=√v2+v2=√v2+g2t2
x y 0
速度随时间变化的关系不是线性关系，故B错误；
1 1
C、铅球的动能E = mv2= m(v2+g2t2 )
k 2 2 0
则动能与时间的关系为二次函数关系，图像为抛物线，故C错误；
D、铅球运动过程中，只受重力，机械能守恒，E−t图像为水平直线，故D正确。
【实战演练】
(2020·全国卷Ⅰ·20)(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能
和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒 B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2 D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【答案】AB
【解析】由E－s图像知，物块动能与重力势能的和减小，则物块下滑过程中机械能不守恒，故A正
确；由E－s图像知，整个下滑过程中，物块机械能的减少量为ΔE＝30 J－10 J＝20 J，重力势能的
减少量ΔE＝mgh＝30 J，又ΔE＝μmgcos α·s，其中cos α＝＝0.8，h＝3.0 m，g＝10 m/s2，则
p
可得m＝1 kg，μ＝0.5，故B正确；物块下滑时加速度的大小a＝gsin α－μgcos α＝2.0 m/s2，故
C错误；物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE′＝μmgcos α·s′＝8 J，故D错误．⑥
P−t
图像：图线与横轴围成的面积表示功（
W=Pt
）
知识点 04 功能关系
一、功能关系的理解
1.做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的．
2.功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，
二、常见力做功与能量变化的关系
1.当只有重力（或弹簧弹力）做功时，物体的机械能守恒.
W =−ΔE
2.重力对物体做的功等于物体重力势能的减少: G p.
W =−ΔE
3.弹簧弹力对物体做的功等于物体 弹性 势能 的减少: 弹 p.
W =−ΔE
4.电场力对物体做的功等于物体 电 势能 的减少: 电 p.
W =E −E =ΔE
5.克服安培力做的功等于电能增加量： 电 t 0
W =ΔE =E −E
5.合外力对物体所做的功等于物体动能的变化: 合 k kt k0（动能定理）
.除了重力（或弹簧弹力）之外的力对物体所做的功等于物体机械能的变化:
6
W =ΔE=E −E
除重力弹力外其他力 t 0
Q=F ⋅Δs
.一对滑动摩擦力做功等于系统 机械能减少 （ 内能增加 ） : f 相对.
7
【技巧点拨】
①物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功．
②势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功．
③机械能增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功．【【实实战战演演练练】】
( (2 2 0 0 2 2 2 3 · ·浙 广 江 东卷 1月 ·9) 选 (多 考 选 ·4 ) ) 如 一 图 位 所 游 示 客 ， 正 载 在 有 体 防 验 疫 蹦 物 极 资 ， 的 绑 无 上 人 蹦 驾 极 驶 专 小 用 车 的橡 ， 皮 在 绳 水 后 平 从M跳N台 段 纵 以 身 恒 而 定 下 功 ． 率 游20客0 从W、 跳台 速
度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶．已知小车总质量为50 kg，
下落直到最低点过程中( )
MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力．下列说法正确的有(
A．弹性势能减小 B．重力势能减小 C．机械能保持不变 D．绳一绷紧动能就开始减小
)
【答案】B
【解析】游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，游客只受重力作用做匀加速运动，下落到一定高
度时橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小
后A． 向 从 上M增 到 大，N， 速 小 度 车 先 牵 增 引 大 力 后 大 减 小 小 为 ，4到0 最N 低 B点 ． 时 从 速M度 到 减N小 ， 到 小 零 车 ， 克 弹 服 力 摩 达 擦 到 力 最 做 大 功 值80，0 则J 橡皮绳绷紧后弹性
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104 J D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
势能一直增大，A错误；游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确；下落阶段
【答案】ABD
橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，转化为橡皮绳的弹性势能，C错误；绳刚绷紧开始一段时间
【解析】解：AB、在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，则小车的牵引力等于小车
内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客动能在增加；当弹力大于重力后，合力向上对游客做负
P 200
受到的摩擦力，因此F=f = = N=40N
功，游客动能逐渐减小，D错误． v 5
从M到N过程中，小车摩擦力做功为W =−40×20J=−800J，即小车克服摩擦力做功800J，故
f
AB正确；
C、从P到Q的过程中，根据功能关系可知，重力势能的增加量为
ΔE =mgΔℎ =50×10×20×sin30°J=5000J，故C错误；
p
D、在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶，则
P
2=mgsin30°+f ′
v
2
代入数据解得：f ′=35N
则此过程中，小车摩擦力做功为W =f ′s=−35×20J=−700J，即小车克服摩擦力做功为700J，
f1
故D正确．
故选：ABD。
D选项的另一种思路：PQ长度L=20m，V =2m/s，则t=L/V =10s，小车发动机做功
，这部分功包括重力势能 和克服摩擦力做的功W ，则W =W−ΔE=700J。
f1 f1知识点 05 能量及能量守恒定理
一、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个
物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．理解
①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
二、涉及弹簧的能量问题
从能量的角度看,弹簧是储能元件.处理涉及弹簧的能量问题时,要特别注意:
1.当涉及弹簧的弹力做功时,由于 弹簧的弹力是变力 , 故一般不直接采用功的定义式求解 .中学阶段通常
根据动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹簧弹力做的功或弹簧储存的弹性势能.
2.弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关,对同一根弹簧而言,无论是处于伸长状态还是压缩状态,
只要形变量相同,其储存的弹性势能就相同.
【实战演练】
(2023·浙江1月选考·4)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台
下落直到最低点过程中( )
A. 弹性势能减小 B. 重力势能减小
C. 机械能保持不变 D. 绳一绷紧动能就开始减小
【答案】B
【解析】解：A、绳绷紧前，弹性势能不变。绳绷紧后，随着伸长量的增大，弹性势能增大，故 A错
误；
B、游客从跳台下落直到最低点过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小，故B正确；
C、绳绷紧前，只有重力做功，游客的机械能保持不变。绳绷紧后，绳对游客做负功，游客的机械能减
小，故C错误；
D、绳绷紧后，游客受到重力和绳的拉力两个力作用，绳的拉力先小于重力，后大于重力，游客的合力
先向下后向上，先加速运动后做减速运动，动能先增大后减小，当绳的拉力与重力大小相等时动能最
大，故D错误。【实战演练】
(2019·江苏卷·8)(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为 m，从A点
向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s，与地
面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中( )
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
【答案】BC
【解析】物块处于最左端时，弹簧的压缩量最大，然后物块先向右加速运动再减速运动，可知弹簧的
最大弹力大于滑动摩擦力μmg，选项A错误；物块从开始运动至最后回到A点过程，由功的定义可得
物块克服摩擦力做的功为2μmgs，选项B正确；物块从最左侧运动至A点过程，由能量守恒定律可知
E＝μmgs，选项C正确；设物块在A点的初速度大小为v，对整个过程应用动能定理有－2μmgs＝0－
p 0
mv2，解得v＝2，选项D错误．
0 0
三、摩擦力做功的能量问题
1.无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都可以对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
2.静摩擦力做功的能量问题
①静摩擦做功只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能。
②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零，而总的机械能保持不变。
3. 滑动摩擦力做功的能量问题
①滑动摩擦力做功时，一部分机械能从一个物体转移到另一个物体，另一部分机械能转化为内容，
因此滑动摩擦力做功有机械能损失。
W=−F ⋅x
②一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功 f 相对，即发生相对滑动时产生的热量。
四、板块问题
1．动力学分析：
①分别对滑块和木板进行受力分析（注意摩擦力方向），根据牛顿第二定律求出各自的加速度；
Δv Δv
t= 2 = 1
a a
②从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由 2 1 ，可求出 共同速度 v 和所用时
间 t，
③由位移公式可分别求出二者的位移．
【技巧点拨】要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x ；
滑
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x ；
板③求摩擦生热时用相对位移Δx.
2．功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．
【实战演练】
(2023·全国卷乙·8)如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可
视为质点)从木板上的左端以速度v 开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木
0
板右端离开时( )
A. 木板的动能一定等于fl B. 木板的动能一定小于fl
1 1
C. 物块的动能一定大于
mv2−fl
D. 物块的动能一定小于
mv2−fl
2 0 2 0
【答案】BD
【解析】
当物块从木板右端离开时，根据动能定理，
1 1
对m有：−f x = mv2− mv2
m 2 m 2 0
1
对M有：f x = mv2
M 2 M
其中：l = x −x
m M
AB.由于l一定大于 x ，则根据以上分析可知木板的动能一定小于fl，A错误、B正确；
M
1 1 1
CD.根据以上分析，联立有： mv2−fl= mv2 + mv2
2 0 2 m 2 M
1
则物块的动能一定小于
mv2−fl
，C错误、D正确。
2 0
五、传送带问题
1．动力学分析：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第
二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．
2．功能关系分析
W=ΔE (+ΔE )+Q
①功能关系分析：电机所做的功 k P②对W和Q的理解：
W
Ⅰ、因放上物体而使电动机多消耗的电能：
W =F ⋅x
Ⅱ、传送带克服摩擦力做的功： f f 传；
Q=W =−F ⋅x
Ⅲ、产生的内能： f f 相对．
六、能量和动量的综合运用
动量与能量的综合问题，是高中力学最重要的综合问题，也是难度较大的问题.分析这类问题时，应首
先建立清晰的物理图景，抽象出物理模型，选择物理规律，建立方程进行求解.
这一部分的主要模型是碰撞.而碰撞过程，一般都遵从动量守恒定律，但机械能不一定守恒，对弹性碰
撞就守恒，非弹性碰撞就不守恒，总的能量是守恒的，对于碰撞过程的能量要分析物体间的转移和转换.从
而建立碰撞过程的能量关系方程.根据动量守恒定律和能量关系分别建立方程，两者联立进行求解，是这一
部分常用的解决物理问题的方法.【实战演练】
(2022·浙江6月选考·12)风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途经之一。如图所示，风力发电
机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为9m/s时，输出电功率为405kW，风速在
5～10m/s范围内，转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A，空气密度为ρ，风
场风速为v，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是( )
A. 该风力发电机的输出电功率与风速成正比
1
B. 单位时间流过面积A的流动空气动能 ρAv2
2
C. 若每天平均有1.0×108kW的风能资源，则每天发电量为2.4×109kW⋅ℎ
D. 若风场每年有5000ℎ风速在6～10m/s的风能资源，则该发电机年发电量至少为
6.0×105kW⋅ℎ
【答案】D
【解析】解：AB、叶片旋转所形成的圆面积为A
单位时间内流过该圆面积的空气柱体积为
V =S⋅vt=Av
空气柱的质量为
m=ρ⋅V =ρAv
空气柱的动能为
1 1
E = ρAv⋅v2= ρAv3
k 2 2
1
设转化效率为η，转化成的电能为E=η⋅E = ηρAtv3
k 2
E 1
p= = ηρAv3 ，则该风力发电机的输出电功率与风速的三次方成正比；故AB错误；
t 2
2p
C、由B选项可知η=
ρAv3
发电量约为W =η⋅pt=η×1.0×108kW×24ℎ =2.4η×109kW⋅ℎ <2.4×109kW⋅ℎ，故C错误。
D、由题意可知某风力发电机在风速为9m/s时，输出电功率为405kW
E 1
由p= = ηρAv3
t 2
p v3 93
= =
p v3 63
1 1
p =120kW
1
若风场每年有5000ℎ风速在6～10m/s的风能资源，则该发电机年发电量
E=p ⋅t=120kW×5000ℎ =6.0×105kW⋅ℎ，故D正确；
1【实战演练】
(2022·江苏卷·10)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，处于压缩状态．A由静
止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B由静止开始一起沿斜面向
下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零．A、B与斜面间的动摩擦因数
相同、弹簧未超过弹性限度，则( )
A. 当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下
B. A上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化
C. 下滑时，B对A的压力先减小后增大
D. 整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量
【答案】B
mgsinθ−μmgcosθ−kA
【解析】解：A、在最大位移处A物体的加速度沿斜面向下，a = ，放上物
m m
体B，两物体和弹簧系统的平衡位置变化，当位移处于原最大位移的一半时，不是系统所有受力均减
半，故加速度不一定沿斜面向下，故A错误；
B、A向上滑时，AB被弹起向上加速，合力等于零时，两物块速度达到最大，此时弹簧处于压缩状态。
随后弹簧弹力小于重力下滑分力及摩擦力总和，直到速度为零，整个过程弹簧弹力一直沿斜面向上，
故B正确；
m gsinθ−μm gcosθ−F
C、对B物体，其加速度a= B B N ，向下滑的过程中，加速度向减小后增大，那
m
B
么支持力(或压力)先增大后减小，故C错误；
D、从放上B物体，到恰返回原处时速度为零，由能量守恒可知，AB克服摩擦做的功等于B的重力势
能的减小量，故D错误。【实战演练】
(2020·浙江1月选考·20)如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道(在
最低点E分别与水平轨道EO和EA相连)、高度h可调的斜轨道AB组成．游戏时滑块从O点弹出，经
过圆轨道并滑上斜轨道．全程不脱离轨道且恰好停在 B端则视为游戏成功．已知圆轨道半径r＝0.1
m，OE长L ＝0.2 m，AC长L ＝0.4 m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数μ＝0.5.
1 2
滑块质量m＝2 g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能．重力加速
度g取10 m/s2，忽略空气阻力，各部分平滑连接．求：
(1)滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度v 大小；
F
(2)当h＝0.1 m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力F 大小及弹簧的弹性势能E ；
N p0
(3)要使游戏成功，弹簧的弹性势能E 与高度h之间满足的关系．
p
【答案】见解析
【解析】(1)滑块恰好能过F点的条件为mg＝m
解得v＝1 m/s
F
(2)滑块从E点到B点，由动能定理得
－mgh－μmgL＝0－mv2
2 E
在E点由牛顿第二定律得F′－mg＝m
N
解得F＝F′＝0.14 N
N N
从O点到B点，由能量守恒定律得
E＝mgh＋μmg(L＋L)
p0 1 2
解得E＝8.0×10－3 J
p0
(3)使滑块恰能过F点的弹性势能
E＝2mgr＋μmgL＋mv2＝7.0×10－3 J
p1 1 F
到B点减速到0
E－mgh－μmg(L＋L)＝0
p1 1 1 2
解得h＝0.05 m
1
设斜轨道的倾角为θ，若滑块恰好能停在B点不下滑，
则μmgcos θ＝mgsin θ
解得tan θ＝0.5，此时h＝0.2 m
2
从O点到B点
E＝mgh＋μmg(L＋L)＝2×10－3(10h＋3) J
p 1 2
其 中 0.05 m≤ h≤ 0.2 m.
