文档内容
第 26 讲 机械能守恒定律的综合应用和功能关系
学习目标
明 确目标 确定方向
1.多个物体的机械能守恒定律
2理解功能关系
3综合应用机械能守恒定律和功能关系解决复杂实际问题
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一、功能关系
1．功和能关系：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
2．几种常见的功能关系
（1）重力做功等于重力势能的减少量，W＝－ΔE 正功重力势能减少 ，功重力势能增加
G
（2）弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量W ＝－ΔE正功弹性势能减少，负功弹性势能增加
弹 p
（3）电场力做功等于电势能减少量。W ＝－ΔE 正功电势能减少，负功电势能增加
电 p，
（4）合力做功等于动能的变化量。W ＝ΔE 正功动能增加，负功动能减少
合 k，
（5）重力以外的其他力做功等于机械能的变化量。W ＝ΔE正功机械能增加负功机械能减少
其
(6)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Fx ＝Q。
f 相对
(7)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W ＝E 。
克安 电
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失。它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一
个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．表达式：ΔE ＝ Δ E 。
减 增
(1)若只有两种形式的能量相互转化，则这两种形式的能量之和保持不变。如动能和电势能相互转
化，则E＋E ＝C。
k p电
(2)自然界中虽然能量守恒，但很多能源利用之后不可再重新利用，即能源品质降低，所以要节约能
源。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂，
，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律可得
解得
故ABC错误，D正确。
故选D。
【例2】多选．如图所示，长度为 的轻杆上等距离固定质量均为 的 个小球，轻杆一端连接转动点
O，将轻杆拨动到与转动点O等高的水平位置后自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为 ，则从释放到
轻杆摆至竖直位置的过程中是（ ）
A． 时，轻杆对小球不做功
B． 时，轻杆对第1个小球做功为C． 时，轻杆对第7个小球不做功
D．当轻杆对第k个小球做正功时，应满足
【答案】ACD
【详解】对整体由机械能守恒有
线速度关系
对第k个小球由动能定理有
联立解得
A．当 时， ，故A正确；
B．当 、 时
故B错误；
C．当 ， 时
故C正确；
D．当轻杆对第k个小球做正功时，应满足
解得故D正确。
故选ACD。
【例3】如图甲所示，在光滑水平面上有 三个小球， 两球分别用两根相同的水平轻杆通过
光滑铰链与 球连接，两球间夹有劲度系数足够大、长度可忽略的压缩轻弹簧，弹簧与球不相连。固定住
球，释放弹簧，球与弹簧分离瞬间杆中弹力大小 。已知 两球的质量均为 球的质量为 ，
杆长为 ，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求弹簧释放时的弹性势能；
（2）若 球不固定，求释放弹簧后 球的最大位移；
（3）若 球不固定，求释放弹簧后两杆间夹角第一次为 时（如图乙）， 球和 球的速度大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由对称性可知， 两球与弹簧分离时速度大小相等，设为 。
对 球，由牛顿第二定律
由系统机械能守恒定律得
解得
（2）三个小球组成的系统动量守恒，设释放弹簧后， 球的最大位移大小为 球沿垂直 方向的最
大位移大小为 ，则解得
（3）如图所示
设此时 球速度为 球的水平和竖直分速度分别为 ，则
系统动量守恒
系统机械能守恒
沿杆方向， 球与 球速度大小始终相等
且
联立以上各式解得
【例4】如甲图所示为安装在公路上强制过往车辆减速的减速带，现有一水平道路上连续安装有10个减速
带（图乙中末完全画出），相邻减速带间的距离均为 （每个减速带宽度远小于 ，可忽略不计）；现有一
质量为 的电动小车（可视为质点）从第1减速带前某处以恒定功率 启动，到达第1减速带前已达到最大行驶速度 。已知小车每次通过减速带时所损失的机械能与其行驶速度相关，测量发现，小车在通过第
5个减速带后，通过相邻两减速带间的时间均为 。通过第10个减速带时立即关闭电门无动力滑行，小车
在水平路面上继续滑行距离 后停下。已知小车与路面间的阻力大小恒定，空气阻力不计。
（1）求小车与路面间的阻力 的大小；
（2）求小车通过第5个减速带后，通过每一个减速带时所损失的机械能；
（3）若小车通过前5个减速带时损失的总机械能是其通过后5个减速带时所损失总机械能的1.6倍，求小
车从第1个减速带运动至第5个减速带所用的时间 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）小车速度达到最大时，由功率公式
此时小车受力平衡，即
（2）设小车通过第5个减速带后，到下一个减速带时的速度为v1，通过减速带后的速度为v2，由于其通
过相邻两减速带间的时间均为 ，则小车每次到下一个减速带时的速度都为v1，通过减速带后的速度都为
v2，在减速带间隔过程中由动能定理
所以通过每一个减速带时所损失的机械能
（3）由题意，小车通过前5个减速带时损失的总机械能从小车到第1个减速带前到最后停下来，由能量守恒定律
解得
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．如图甲，倾角为 的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O
点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如
图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在 处，滑块的机械能最大
C．在 和 两段过程中， 图线斜率的绝对值均等于
D．在 和 两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等1【答案】C
【详解】A．由图可知，当小球下落到 时，加速度为零，即弹力与重力大小相等，此时弹簧的形变量为
，则有
解得
A错误；
B．对小滑块和弹簧组成的系统进行分析，由于只有重力和弹力做功，则系统机械能守恒，当弹簧的弹性
势能最小，小滑块的机械能最大，故当小滑块下落到 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，为最小，则此
时小滑块的机械能最大，B错误；
C．在 的过程中，重力大于弹力，根据牛顿第二定律有
又由A项可知
联立解得
由图可知，当 时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值；在 过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律有又
联立解得
由图可知，当 时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值，故可得在 和 两段过程中， 图线斜率的绝度值均等于
，C正确；
D．由图可知， 的距离差小于 两的距离差，可得弹簧弹性势能的增量不相等，D错误。
故选C。
2．如图甲所示，质量为m长木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小铅块以水平速度v 滑上木板的左
0
端，恰能滑至木板右端与木板相对静止。如图乙所示，将木板分成质量分别为m、m 的1、2两部分，铅
1 2
块的初速度不变，铅块与木板间的动摩擦因数为μ。则（ ）
A．当m=m 时，铅块在木板1上滑行时，两板间的作用力为μmg
1 2
B．当m=m 时，铅块能滑到木板2的最右端且刚好与木板相对静止
1 2
C．当m>m 时，铅块可能滑到木板2的最右端且刚好与木板相对静止
1 2
D．铅块在木板上滑行的整个过程中，图甲情境中产生的内能一定比图乙的大
2【答案】D【详解】A．对整块木板根据牛顿第二定律得
对m2根据牛顿第二定律得
解得
当m1=m2时，铅块在木板1上滑行时，两板间的作用力为 ，A错误；
BC．木板分开前后铅块的加速度不变，其加速度为
铅块在木板1上滑行时，木板的加速度为
铅块在木板2上滑行时，木板m2的加速度为
画出速度-时间图像，如图所示，铅块和木板图像所围的面积表示铅块在木板上滑动的距离，第二次的面积
小，表示铅块没有滑动到木板m2的右端，BC错误；
D．设铅块相对于木板滑动的距离为Δx，产生的内能为
根据图像
所以
铅块在木板上滑行的整个过程中，图甲情境中产生的内能一定比图乙的大，D正确。
故选D。多选3．如图所示，有一条柔软的质量为 、长为 的均匀链条，开始时链条的 长在水平桌面上，而
长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（ ）
A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
3【答案】BD
【详解】AB．若自由释放链条，以桌面为零重力势能参考平面，根据机械能守恒可得
解得链条刚离开桌面时的速度为
B正确，A错误；
CD．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外 链条增加的重力势能，则有
D正确，C错误。故选BD。
多选4．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和 的小球A和B。A、B两球之间
用一长为 的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B两球都静止，且A球在圆环的最高点，现将A、B两
球由静止释放，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B和轻杆组成的系统在运动过程中机械能守恒
B．B球到达最低点时的速度大小为
C．B球到达最低点的过程中，杆对A球做负功
D．B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置高于圆环圆心
4【答案】ABD
【详解】A．球A、B和轻杆组成的系统只有动能和势能间的相互转化，系统机械能守恒，A正确；
B．释放后B球到达最低点的过程中，由机械能守恒定律，有
因为A、B均做半径相同的圆周运动且角速度相等，可得
解得
B正确；
C．B球到达最低点的过程中，设轻杆对A球做的功为 ，对A球应用动能定理可得又
解得
C错误；
D．设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为θ，如图所示
取圆环的圆心O所在的水平面为参考平面，由系统机械能守恒可得
代入数据可得
所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度
D正确。
故选ABD。
多选5．如图所示，a、b两物块质量分别为m、2m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧。开
始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，
b未落地，不计滑轮质量和一切阻力，重力加速度为g。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．b物体的加速度大小为B．绳子拉力大小是mg
C．a、b高度差为h时，物块b的速度大小为
D．此过程物块a克服重力做功为mgh
5【答案】C
【详解】AB．对b物体，根据牛顿第二定律有
对a物体，根据牛顿第二定律有
解得
，
故AB错误；
C．块a、b组成的系统，运动过程中物块a、b的速度大小始终相同，在a、b物块间高度差为h时，根据
机械能守恒，有
解得
故C正确；
D．物块a上升的高度为 ，此过程物块a克服重力做功为
故D错误；
故选C。
多选6．如图所示，质量为 的物体P，穿在一固定的光滑水平直杆上，直杆右端固定一光滑定滑
轮。一绕过两光滑定滑轮的细线的一端与物体P相连，另一端与质量为 的物体Q相连。开始时物
体P在外力作用下静止于A点，杆上B点位于滑轮O正下方，绳处于伸直状态。已知 ，，重力加速度g取 ，两物体均视为质点，不计空气阻力。某时刻释放物体P，在物体P从
A滑到B的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体P的机械能增加，物体Q的机械能减少
B．物体P的速度先增加后减小
C．物体Q的重力势能减少20J
D．物体P运动的最大速度为4m/s
6【答案】AD
【详解】AB、从A到B绳上的拉力对物体P做正功，所以物体P的机械能增加，速度一直增大，绳的拉力
对Q做负功，所以Q机械能减少，故A正确，B错误，
C、重力对物体Q的做的功为
根据几何关系
解得
所以物体Q的重力势能减少8J，故C错误，
D、对于PQ组成的系统，由机械能守恒定律得：物体P运动到B处时，Q的速度为0。
解得
v=4m/s
故D正确。
故选AD。
多选7．如图，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板C相连，另一端与物体A相连。物体A置于光滑固定斜面上，斜面的倾角 。A上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连且始终与斜
面平行。开始时托住B，A静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧
的劲度系数为k，当地重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程
中，下列说法正确的是（ ）。
A．刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为
B．物体A到最高点时，A所受合力大小为
C．物体B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大
D．物体A的最大速度为
7【答案】ACD
【详解】A．刚释放物体B时，以A、B组成的系统为研究对象，有
解得
对B研究
解得
故物体A受到细线的拉力大小为 ，故A正确；
BC．对于A、B物体以及弹簧组成的系统，只有弹簧的弹力和重力做功，系统机械能守恒，B减小的机械能
转化为A的机械能以及弹簧的弹性势能，故当B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大，且此
时A上升到最高位置，根据对称性可知B产生的加速度大小也为故对B受力分析，根据牛顿第二定律可知
解得
故AB整体研究，可得
解得
对A研究，A受到弹簧拉力、重力和绳子的拉力，则
故B错误，C正确；
D．手拖住物块B时，物块A静止，设此时弹簧的压缩量为 ，对物块A根据平衡条件可得
解得
当物体A上升过程中，当A和B整体的加速度为0时速度达到最大值 ，此时细线对A的拉力大小刚好等
于 ，设此时弹簧的伸长量为 ，则
解得
所以此时弹簧的弹性势能与初始位置时相同，对A、B和弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律得
解得故D正确。
故选ACD。
多选8．如图所示，长度为L的轻杆两端分别固定质量为m的小球，杆的三等分点O处有光滑的水平转动
轴，O点更靠近1号小球。整个装置可以在竖直面内转动。将装置固定在杆恰好水平的位置由静止释放，
不计一切阻力，当杆到达竖直位置时（ ）
A．1号小球的速度大小是
B．2号小球的速度大小是
C．1号小球的机械能守恒
D．从初始位置到杆到达竖直位置时，轻杆对2号小球做功为
8【答案】D
【详解】AB．当杆到达竖直位置时，设两小球的速度分别为v1、v2，两小球的角速度相同，有
由系统机械能守恒得
联立解得
故AB不符合题意；
C．1号小球上升到最高点过程中动能和势能都增大，机械能增加，故C不符合题意；D．对2号小球由动能定理得
解得
故D符合题意。
故选D。
多选9．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，将质量 的小球从轻弹簧正上方由静止释
放，小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为y轴正方向，
取地面处为重力势能零点，在小球下落到最低点的过程中，弹簧的弹性势能 、小球的重力势能 随y
变化的关系图像分别如图甲、乙所示，弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度 ，已知弹簧的弹
性势能 （k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），下列说法正确的是（ ）
A．图乙中
B．小球刚接触弹簧时速度大小为
C．小球刚接触弹簧时速度大小为
D．当弹簧的压缩量为 时，小球有最大速度
9答案】ABD
【详解】A．由甲图可知，小球到最低点时，高度下降 ，则重力势能减少由乙图可知
解得
a=4
故A正确；
BC．重力势能转化为摩擦热和弹簧的弹性势能，根据
解得
结合图像，可知小球高度下降 内，重力和阻力做功，根据
解得小球刚接触弹簧时速度大小为
故B正确；C错误；
D．当小球高度下降 时，弹簧的压缩量为 ，此时
解得
当小球速度最大时，小球加速度为零，根据平衡条件
又
解得即当弹簧的压缩量为 时，小球有最大速度。故D正确。
故选ABD。
多选10．如图所示，传送带以速度v匀速运动，将质量为m的物体无初速度地放在传送带上的A端，物体
被传送带送到B端。若A、B间的距离为L，物块与传送带之间的动摩擦因数为 ，则下列叙述可能正确的
是（ ）
A．传送带对物体做的功为
B．传送带对物体做的功为
C．传送带克服摩擦力做的功为
D．在传送物体的过程中产生的热量为
10【答案】BC
【详解】AB．若物体到达传送带B端前已经与传送带共速，根据动能定理可知，传送带对物体做的功为
若物体到达传送带B端时还未与传送带共速，则传送带对物体做的功为
故A错误，B正确；
C．当 足够长，物体到达传送带B端前已经与传送带共速，设加速的时间为 ，则物体的位移为
传送带的位移为
传送带克服摩擦力做的功为
传送带对物体做的功为联立可得
故C正确；
D．当 足够长，物体到达传送带B端前已经与传送带共速，在传送物体的过程中产生的热量为
若物体到达传送带B端时还未与传送带共速，物体从A端到B端的时间为
则传送带的位移为
则在传送物体的过程中产生的热量
可知无论哪种情况，在传送物体的过程中产生的热量都小于 ，故D错误。
故选BC。
11．如图所示，MN为半径为R、固定于竖直平面内 的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，
M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m的小钢
珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到距O点距离为 的Q点。不计空气阻力，重力加速度
为g，则：
（1）小钢珠经过N点时的速度为多少；
（2）小钢珠到达N点时对上管壁的压力为多少；
（3）弹簧释放的弹性势能为多少。11【答案】（1） ；（2）0；（3）
【详解】（1）小钢珠从N点飞出后做平抛运动，则
解得小钢珠在N点的速度为
（2）小钢珠到达N点时，根据牛顿第二定律有
解得上管壁对小钢珠压力为
则小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小
（3）小钢珠从M点到N点过程中，根据机械能守恒定律有
解得弹簧释放的弹性势能为
12．质量均为m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在离P球 处有一个光滑固定轴O，OQ长为
，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求
（1）小球P和Q的速度大小分别为 和 ，求 ；
（2）小球P和Q的速度 和 的大小；12【答案】（1） ；（2） ，
【详解】（1）小球P和Q绕同杆的O点转动，具有相同的角速度，则有
故有
（2）小球P和Q一起转动的过程，系统只有重力做功，由机械能守恒定律有
联立解得
，
13．如图所示，物体A和B用通过定滑轮的细绳相连，A物体的质量为1.36kg，B物体的质量为1kg。物体
A能沿竖直杆无摩擦滑动，杆与滑轮的水平距离为 。物体B放在倾角 的斜面上，物体B与
斜面的滑动摩擦系数 。开始时先托住物体A，使绳子的 段成水平，当放手后物体A从静止开始下
滑 时，（忽略其它阻力及滑轮，绳子的质量， ， ，g取 ，）试
求：
（1）放手瞬间A物体的加速度大小；
（2）此时物体A，物体B速率之比；
（3）此时物体B的速度大小。13【答案】（1）10m/s2；（2） ；（3）1.44m/s
【详解】（1）放手的瞬间A竖直方向只受重力，故加速度
（2）当放手后物体A从静止开始下滑 时，由几何关系可知
A的速度沿绳子的分速度等于B的速度，如图所示
则有
vAcos37°=vB
解得
（3）A和B组成的系统能量守恒有
解得
vB=1.44m/s
14．如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道 为其竖直直径，
桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到
水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左
端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为 （x为弹簧
的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
14【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道，则小球在C点只有重力沿 方向的分力提供向心
力，设重力方向与 的夹角为θ，由牛顿第二定律有
由几何关系有
从静止释放到C点，由能量守恒定律有
联立解得
（2）小球在运动过程中不脱离轨道，可知小球能通过M点，则应有
从静止释放到M点，由能量守恒定律有解得
15．如图，倾角为53°的足够长斜面固定在地面上，劲度系数为k、竖直放置的轻弹簧两端拴接着A、B物
块，跨过轻滑轮的轻绳拴接着A、C物块。开始时C在平行斜面方向的外力作用下处于静止状态，绳恰好绷
直且无张力。现撤去外力，C沿斜面向下运动。已知A、B、C的质量均为m，重力加速度为g，忽略一切摩
擦，取sin53°=0.8。求：
（1）C处于静止状态时所加外力F的大小；
（2）当弹簧恢复原长时C的速度大小；
（3）此后的过程中，B受到地面支持力N的最小值。
15【答案】（1）0.8mg；（2） ；（3）0.4mg
【详解】（1）C处于静止状态时受力平衡，外力沿斜面方向上，有
解得
（2）设初始时弹簧的压缩量为x，当弹簧恢复原长时，物块A上升的高度为x，C沿斜面下滑的距离为x，
对A、C、弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律有
解得
（3）C运动到最低点时，B对地的压力最小，设弹簧的拉伸形变量为xʹ，根据系统机械能守恒，有由功能关系有
由于B受力平衡，有
联立解得
16．如图，质量为 的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 的物体B相连，弹簧的劲度系数为
k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时
各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为 的物体C并从静止状态释
放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为 的物体D，仍从上述初始位
置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？（已知重力加速度为g。）
16【答案】
【详解】画出未放A时弹簧的原长状态和挂C后刚好使B离开地面的状态.以上两个状态弹簧的压缩量和伸长量分别为
和
该过程A上升的高度和C下降的高度都是x1+x2，且A、C的初速度、末速度都为零，设该过程弹性势能的
增量为 ，由系统机械能守恒
m1g(x1+x2)-m3g(x1+x2)+ =0
将C换成D后，A上升x1+x2过程系统机械能守恒
m1g(x1+x2)-2m3g(x1+x2)+ + =0
由以上两个方程消去ΔE，得
