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专题 4.1 相似三角形的综合运用
【例题精讲】
【例1】如图所示，在 中， 是 的中点， 是线段 延长线上一点，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ， ．
求证：（1）四边形 是平行四边形；
（2） ．
【解答】（1）证明： ，
，
， 是 的中点，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
．【例2】如图， ， ， 是 上一点，使得 ；
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当 时，请写出线段 、 、 之间数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明： ， ，
， ，
，
，
，
，
；
（2）解： 中， ， ，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，；
（3）解：线段 、 、 之间数量关系： ；
理由是：过 作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
．
【题组训练】
1．如图， 是等边三角形，点 ， 分别在 ， 上，且 ， 与
相交于点 ，
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）若 ， ，求 的长．【解答】解：（Ⅰ） 是等边三角形，
， ，
在 与 中
，
；
（Ⅱ）由（1）得： ，
又 ，
，
又 ，
；
（Ⅲ） ， ，
，
，
，
．
3．已知，如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，点 在边 的延长线上，且
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
，
，
，
， ，
，
，
；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．如图，四边形 中， 平分 ， ， 为 的中点，
（1）求证： ；（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的值．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
，
；
（2）证明： 为 的中点，
，
，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
，
，，
．
5．如图， ， 平分 ，过点 作 交 于 ．连接
交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】证明：（1） 平分 ，
，且 ，
（2）
，且
，
，且 ， ，
，，且
6．如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ， 的平分线 与 边
交于点 ，与 的延长线交于点 ．设 ．
（1）若 ， ，求线段 的长．
（2）连接 ，若 ，
①求证：点 为 边的中点．
②求 的值．
【解答】解：（1） 在正方形 中， ，
，
又 平分 ，
，
，
，， ，点 为 的中点，
，
，
，
；
（2）①证明： ， ，
，
在 和 中
，
，
，
即点 为 的中点；
②设 ，则 ，
由①知， ，
， ，
， ， ，
，
，
，
， ，
，
，
， ，．
7．如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ．
（1）求证： ．
（2）设 ，
①若 ，求线段 的长；
②若 的面积是20，求 的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解：① ，
，
，
，
解得： ；
② ，
，，
，
，
．
8．如图，在平行四边形 中，连接对角线 ，延长 至点 ，使 ，连接
，分别交 ， 交于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，即 ，
解得， ．
9．已知：如图，正方形 中， 是边 上一点， ， ，垂足分别
是点 、 ．
（1）求证： ；（2）连接 ，如果 ．求证： ．
【解答】证明：（1） 四边形 为正方形，
， ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中
，
，
，
；
（2）如图， ，
而 ，
，
，
，
，
而 ，
，
，
，即 平分 ，
而 ，
．
10．如图，在平行四边形 中，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 为线段
上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【解答】解：（1） 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
， ，
，
；
（2） ， ， ，
在 中， ，
由（1）知 ，得 ，
．11．如图，在 中，点 在边 上，点 在边 的延长线上，且 ，
与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
．
，
四边形 是平行四边形，
；
（2） 四边形 是平行四边形，
．
，
，
，
．
12．（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上， 于点 ，
求证： ；
（2）如图2，将 （1）中的正方形 改为矩形 ， ， ，
于点 ，探究 与 的数量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，， ．
，
，
，
．
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，
理由： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
13．如图，在 中，点 在边 上，联结 ， ， 交边 于点
， 交 延长线于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．【解答】证明：（1） ，
，
，
，
，
又 ，
，
即 ，
；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
．
14．如图，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形
，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ．
（1）填空：若 ，则 2 7 ；
（2）证明： ；（3）若 ，请求出 的值．
【解答】解：（1） 四边形 ， 是正方形，
，
，
，
，
，
故答案为：27．
（2） 四边形 ， 是正方形，
， ，
，
，
，
；
（3） ，
设 ， ，则 ，
， ，
四边形 ， 是正方形，
， ，，
，
．
15．如图，在四边形 中， 平分 ， ， ，点 为
的中点．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的值．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
；
（2） ，
，
点 为 的中点，
，
，
，
，
；，
．
16．已知：如图，在平行四边形 中， 、 交于点 ，点 在 的
延长线上，联结 、 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证：平行四边形 是矩形．
【解答】解：（1）证明： 平行四边形 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，，
；
（2） ，
，
在平行四边形 中， ，
，
，
又 ，
，
是等腰三角形，
，
，
即 ，
，
平行四边形 是矩形．17．已知：如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，点 是 延长线
上的一点，且 ，分别延长 、 交于点 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）如果 ，求证： ．
【解答】解：（1） 四边形 是平行四边形，
，
又 ，
，
四边形 是菱形；
（2） ，平行四边形 为菱形，
，
，
，
，
， ，
，即 ．
18．已知：如图，在 中，点 在边 上， ， 与 、 分别相交于
点 、 ， ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，求证： ．【解答】证明：（1） ．
，且 ，
，
，
，
，
，且 ，
；
（2） ，
，且 ，
，
，
，
，
，
．
19．已知四边形 中， ，对角线 平分 ，过点 作 于点 ，
点 为 上一点，且 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，交 于点 ，求证： ；
（3）若点 为线段 上一点，连接 ，若 ， ， ，求的值．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
在 和 中
，
，
， ，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
四边形 的内角和等于 ，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解： ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
．
20．如图，等边三角形 的边长为6，在 ， 边上各取一点 ， ，使 ，
连接 ， 相交于点 ．
（1）求证： ，并求 的度数；
（2）若 ，试求 的值．
【解答】解：（1） 为等边三角形，
， ，
在 和 中， ，，
， ．
又 ，
，
（2） ， ，
，
，即 ，
．
21．如图，已知在 中， ， 平分 ，交边 于点 ， 是 边上
一点，且 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，联结 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，联结 ，求 的值．
【解答】解：（1）证明：如图，
平分 ，
，
， ，
，
，
同理可得 ，， ，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形．
（2）证明：由（1）得 ，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，即 ．
（3）由（2）得， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，， ， ，
，
点 是 的黄金分割点，
，
，
，
，
，
．
