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专题 4.1 相似三角形的综合运用
【例题精讲】
【例1】如图所示，在 中， 是 的中点， 是线段 延长线上一点，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ， ．
求证：（1）四边形 是平行四边形；
（2） ．
【例2】如图， ， ， 是 上一点，使得 ；
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当 时，请写出线段 、 、 之间数量关系，并说明理由．
【题组训练】
1．如图， 是等边三角形，点 ， 分别在 ， 上，且 ， 与相交于点 ，
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）若 ， ，求 的长．3．已知，如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，点 在边 的延长线上，且
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．4．如图，四边形 中， 平分 ， ， 为 的中点，
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的值．5．如图， ， 平分 ，过点 作 交 于 ．连接
交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．6．如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ， 的平分线 与 边
交于点 ，与 的延长线交于点 ．设 ．
（1）若 ， ，求线段 的长．
（2）连接 ，若 ，
①求证：点 为 边的中点．
②求 的值．7．如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ．
（1）求证： ．
（2）设 ，
①若 ，求线段 的长；
②若 的面积是20，求 的面积．8．如图，在平行四边形 中，连接对角线 ，延长 至点 ，使 ，连接
，分别交 ， 交于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．9．已知：如图，正方形 中， 是边 上一点， ， ，垂足分别
是点 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，如果 ．求证： ．10．如图，在平行四边形 中，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 为线段
上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．11．如图，在 中，点 在边 上，点 在边 的延长线上，且 ，
与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．12．（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上， 于点 ，
求证： ；
（2）如图2，将 （1）中的正方形 改为矩形 ， ， ，
于点 ，探究 与 的数量关系，并证明你的结论．13．如图，在 中，点 在边 上，联结 ， ， 交边 于点
， 交 延长线于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．14．如图，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形
，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ．
（1）填空：若 ，则 ；
（2）证明： ；
（3）若 ，请求出 的值．15．如图，在四边形 中， 平分 ， ， ，点 为
的中点．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的值．16．已知：如图，在平行四边形 中， 、 交于点 ，点 在 的延长线
上，联结 、 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证：平行四边形 是矩形．17．已知：如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，点 是 延长线
上的一点，且 ，分别延长 、 交于点 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）如果 ，求证： ．18．已知：如图，在 中，点 在边 上， ， 与 、 分别相交于
点 、 ， ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，求证： ．19．已知四边形 中， ，对角线 平分 ，过点 作 于点 ，
点 为 上一点，且 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，交 于点 ，求证： ；
（3）若点 为线段 上一点，连接 ，若 ， ， ，求
的值．20．如图，等边三角形 的边长为6，在 ， 边上各取一点 ， ，使 ，
连接 ， 相交于点 ．
（1）求证： ，并求 的度数；
（2）若 ，试求 的值．21．如图，已知在 中， ， 平分 ，交边 于点 ， 是 边上
一点，且 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，联结 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，联结 ，求 的值．
