文档内容
专题4.6 利用相似三角形测高+4.7 相似三角形的性质
【学习目标】
1、通过测量旗杆的高度的活动，复习巩固相似三角形的有关知识；
2、灵活运用相似三角形的知识解决实际问题；
3、明确相似三角形中对应线段与相似比的关系；
4、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方；
5、熟练运用相似三角形的相关性质解决实际问题；
【知识梳理】
1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的
原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，
求出AB的长.
2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：1）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子
之比等于其对应高的比;2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;3）仰（俯）角：
观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
3.相似三角形的性质
1）对应角相等，对应边的比相等；
2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【高频考点精讲】
【高频考点1】镜子模型（在异侧构建两个相似三角形测高）例1.（2022·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为 ，
当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是 远，已知这位同学眼睛到地面的距离是
，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
变式1．（2022·山东济南九年级月考）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一
面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 ，同时量得
， ，则旗杆高度 （ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·山西·太原市九年级月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度
的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的
顶端 C 处，已知 AB BD ，CD BD ，且测得 AB 4m ，BP 6m ， PD 12m ，那么该
古城墙CD 的高度是（ ）
A．8m B．9m C．16m D．18m
【高频考点2】影子模型（在同侧构建两个相似三角形测高）
例2．（2022·陕西·西安九年级月考）同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，木杆AB长为
3m，其影子BC长1.6m，木杆QP长为4.8m，它的部分影子PM长为2m，还有一部分落到墙上的MN处，求墙上影子MN的长度．
变式1．（2021·内蒙古·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴
趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影
长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小
明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
【高频考点3】移动的测量旗杆模型
例3．（2022·广东·九年级课时练习）如图，为了测量一旗杆 的高度，小明立了两根高2m的标杆
、 （标杆与地面垂直且点B、C、D在一条线上），两标杆之间的距离 ，从C处
沿 方向退后1．5m到点G，眼睛贴着地面观察A点，G，E，A三点成一线；从D处沿 方向退后3m到点H，眼睛贴着地面观察A点，H，F，A三点成一线．求旗杆 的高度．
变式1．（2022·河北·九年级课时练习）如图，小明同学为了测量路灯 的高度，先将长 的竹竿
竖直立在水平地面上的 处，测得竹竿的影长 ，然后将竹竿向远离路灯的方向移动 到
处，即 ，测得竹竿的影长 （ 、 为竹竿）．求路灯 的高度．
【高频考点4】重心的有关性质
例4．（2022·四川·渠县九年级期末）如图，AD为 ABC的一条中线，G为 ABC的重心，GE AC
交BC于点E，则BE：EC=______．
△ △
变式1．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的
中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积
为 _____．【高频考点5】相似三角形的性质（坐标问题）
例5.（2022·山东·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
，则点 坐标为___________．
变式1．（2022·成都市·九年级课时练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点
（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么
点P的坐标是_______．
变式2．（2022·江苏·九年级月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角
形叫格点三角形．在如图 的方格中，作格点 和 相似（相似比不为1），则点 的坐
标是_____．
【高频考点6】相似三角形的性质（长度问题）
例6.（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若
，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是_______．变式1．（2021·安徽蜀山·合肥市五十中学西校月考）如图，若 内有一点P满足
∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为 的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔
于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法
国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰 中，∠EDF=90º，若点Q为
的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
变式2．（2022·上海市九年级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，AE⊥DE，BE＝2，
BC＝6，那么AB的长为____．
【高频考点7】相似三角形的性质（面积问题）
例7．（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）如图，在 中， 平分 交 于点 过
点 作DE//BC交 于点 ，若 ： ： ，且 的面积为 ，则 的面积为
（ ）A． B． C． D．
变式1．（2021·内蒙古·包头市第二十九中学九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上
的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S ∶S ∶S ＝（
DEF EBF ABF
）． △ △ △
A．2∶5∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．4∶10∶25
变式2．（2022·江苏·扬州市九年级月考）如图平行四边形ABCD，F 为BC中点，延长AD至E，使
DE:AD1:3，连结EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是______.【能力提升】
一．选择题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知 ，且相似比为 ，则 与 的对应
高之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中，E为 边上的点，若 ，
交 于F，则 等于（ ）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
3．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 ，底边上的高为
，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，
则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
4．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地
面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端C处，已
知 ，且测得 ，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，
DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
6．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树
影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
7．（2022·陕西师大附中模拟预测）《海岛算经》是我国杰出数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产．
书中的第一问：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行
一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦
与表末参合．问岛高及去表各几何？大致意思是：假设测量海岛，立两根表，高均为3丈，前后相距
1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人的眼睛贴着地面观察海岛，从后表退
行127步，人的眼睛贴着地面观察海岛，问海岛高度及两表相距多远？想要解决这一问题，需要利用
（ ）
A．全等三角形 B．相似三角形 C．勾股定理 D．垂径定理
8．（2021·广西北海·二模）如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD
相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB，若OC:AC=1:3，量的CD=10mm，则零件的厚度为（
）
A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm
9．（2022·山东中区·一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整
自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边
， ，测得眼睛D离地面的高度为 ，他与“步云图”的水平距离 为 ，
则“步云图”的高度 是（ ）m．A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
10．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图
2所示，此时液面 （ ）
A． B． C． D．
二．填空题
11．（2022·山东·九年级专题练习）如图，要在底边 ，高 的铁皮余料上，截
取一个面积为 的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC
于点M，则EH的长为_______cm．
12．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若
AG=9cm，则GD=_______cm．
13．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标
尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，
OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．14．（2022·山东·八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光
下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地
面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么
树高应为____________．
15．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交
AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
16．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
，则点 坐标为___________．
17．（2022·四川邛崃·八年级期末）如图，线段OA、OB（OAOB）的长是方程x26x80的两
根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90得到线段PQ，
连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是__________，此时线段BQ的最小值为__________．18．（2022·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在 ABC中，AB6，BC8，AC 7，点D，
E分别在AB，BC上，将
BDE沿ED折叠，点B的对应点F 刚好落在AC上，当△CEF 与
ABC相
似时，BE的长为___________.
三．解答题
19．（2022·陕西·九年级月考）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度 ．在第一次测量中，
小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得 米．随后，组员
在直线 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 上的对应位置为点G．镜
子不动，小莉从点D沿着直线 后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，
此时 米．如图，已知 ， ， ，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距
离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度 ．20．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．
点P从点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的
速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间
(0＜t＜6)，求当 POQ与 AOB相似时t的值．
21．（2021·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4
月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一
棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆 ，小刚
走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面
的距离 米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和
树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米，
米， 米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在 上， ， ，
， ．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树 的高度．
22．（2022·江苏·九年级月考）如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，AE长3米，CD是长为1.8
米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地
面上一点G在同一直线上，此时路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主
杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时测得FG长1.5米，求路灯主杆
AB的高度．
23．（2022·山东·招远市八年级期末）如图，两棵树的高度分别为 ， ，两树的根部间的距离 ，小强正在距树AB的20m的点P处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离
为1.5m，当小强前进多少米时，就恰好不能看到CD的树顶D?
24．（2022·辽宁瓦房店·九年级月考）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，∠ADE
＝∠AEB，AF平分∠BAC交DE于G，交BE于F（1）在图1中找1条和EF相等得线段，并证明；
（2）如图2，延长DE与BC交于点H，若AG＝kGF，猜想并验证BC与CH的数量关系（用含k得
式子表示）
25．（2022·山东·淄博市八年级期末）在矩形 中， 于点 ，点 是边 上一点．
（1）若 平分 ，交 于点 ，PF⊥BD，如图（1），证明四边形 是菱形；
（2）若 ，如图（2），求证： ．
26．（2022·广东初三专题练习）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，
垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试
探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，
延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2 ，则BC= ．
