专题4.6利用相似三角形测高+4.7相似三角形的性质（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题4.6 利用相似三角形测高+4.7 相似三角形的性质
【学习目标】
1、通过测量旗杆的高度的活动，复习巩固相似三角形的有关知识；
2、灵活运用相似三角形的知识解决实际问题；
3、明确相似三角形中对应线段与相似比的关系；
4、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方；
5、熟练运用相似三角形的相关性质解决实际问题；
【知识梳理】
1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的
原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，
求出AB的长.
2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：1）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子
之比等于其对应高的比;2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;3）仰（俯）角：
观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
3.相似三角形的性质
1）对应角相等，对应边的比相等；
2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【高频考点精讲】
【高频考点1】镜子模型（在异侧构建两个相似三角形测高）例1.（2022·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为 ，
当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是 远，已知这位同学眼睛到地面的距离是
，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【答案】B
【分析】由入射角等于反射角可以证明 再证明 再利用相似三角形的性
质可得答案.
【详解】解：如图，由题意得：
而
所以树高为 故选：
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟悉实际问题中存在的相似三角形是解题的关键.
变式1．（2022·山东济南九年级月考）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一
面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 ，同时量得
， ，则旗杆高度 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据镜面反射的性质可得 ，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解： ， ， ，
又 ， ， ， ， ，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三
角形对应边成比例即可解答．
变式2．（2022·山西·太原市九年级月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度
的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的
顶端 C 处，已知 AB  BD ，CD  BD ，且测得 AB  4m ，BP  6m ， PD  12m ，那么该
古城墙CD 的高度是（ ）
A．8m B．9m C．16m D．18m
【答案】A
【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断 ，于是根据相似三角形
的性质即可求出CD．
【详解】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴ ，∴ ，即 ，解得： ．
答：该古城墙CD的高度为8m．故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角
形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
【高频考点2】影子模型（在同侧构建两个相似三角形测高）
例2．（2022·陕西·西安九年级月考）同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，木杆AB长为
3m，其影子BC长1.6m，木杆QP长为4.8m，它的部分影子PM长为2m，还有一部分落到墙上的
MN处，求墙上影子MN的长度．
【答案】1.05m
【分析】连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D，先证明四边形PDNM是矩形，DN=PM=2m，
MN=DP，再由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN可得 ，由此进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D，
∵QP⊥PM，NM⊥PM，ND⊥QP，
∴四边形PDNM是矩形，∴DN=PM=2m，MN=DP
由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN，则 ，
∴ ，∴ ，
答：墙上影子MN的长度为1.05m．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解．
变式1．（2021·内蒙古·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴
趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影
长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小
明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米
【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接
得出甲树高，接着如下图2先利用 ，求出 的长，接着利用 ，可
得出乙树的高；(2)如下图3，先通过 求出FG的长，然后通过 求出
FH的长，最后通过 可求出丙树的高．【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
米，故甲树的高为5.1米；
如图2，假设线段 是乙树，线段 为乙树在墙壁上的影长，
线段 为乙树落在地面上的影长，
与图1中的 相似，
又 ，
故乙树的高为4.2米；故答案为：5.1，4.2；
（2）如图3，假设线段 是丙树，线段 为丙树落在地面上的影长，
线段 为丙树落在坡面上影长， 为小明， 为小明落在坡面上影长，
则 =2.4米， =3.2米， =1.6米， =2米，又 与图1中的 相似，
又
故丙树的高为5.56米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以
及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键．
【高频考点3】移动的测量旗杆模型
例3．（2022·广东·九年级课时练习）如图，为了测量一旗杆 的高度，小明立了两根高2m的标杆
、 （标杆与地面垂直且点B、C、D在一条线上），两标杆之间的距离 ，从C处
沿 方向退后1．5m到点G，眼睛贴着地面观察A点，G，E，A三点成一线；从D处沿 方向退
后3m到点H，眼睛贴着地面观察A点，H，F，A三点成一线．求旗杆 的高度．【答案】16米
【分析】设BC=ym，由题意可知两组三角形相似，再利用相似比列出关于y的方程，最后求出AB即
可．
【详解】解：设BC=ym，
∵DF//AB，CE//AB
∴△ABH∽△FDH，△ABG∽△ECG，
.∴
∵DF=EC=2
∴ ，即 ，解得：y=10.5
∵
∴ ，解得：AB=16．
答：旗杆 的高度为16米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，灵活应用相似三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
变式1．（2022·河北·九年级课时练习）如图，小明同学为了测量路灯 的高度，先将长 的竹竿
竖直立在水平地面上的 处，测得竹竿的影长 ，然后将竹竿向远离路灯的方向移动 到
处，即 ，测得竹竿的影长 （ 、 为竹竿）．求路灯 的高度．
【答案】路灯 的高度为7m
【分析】先根据AB⊥OF，CD⊥OP可知 EAB∽△EPO，同理可得 FCD∽△FPO，再由相似三角形的
对应边成比例即可得出OP的值．
△ △
【详解】解：由已知得， m， m， m， m，
， ， ，
∴在 和 中，，∴ ∽
∴ ，即 ，∴ ，
在 和 中 ，
∴ ∽ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，即路灯 的高度为 ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【高频考点4】重心的有关性质
例4．（2022·四川·渠县九年级期末）如图，AD为 ABC的一条中线，G为 ABC的重心，GE AC
交BC于点E，则BE：EC=______．
△ △
【答案】2
【分析】连接BG，延长BG交AC于H，根据重心的性质，得到BG：GH=2，根据平行线分线段成比
例定理解答．
【详解】解：连接BG，延长BG交AC于H，如图，
∵G是重心，∴BG：GH=2，
∵GE AC，∴BE：EC=BG：GH=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心
到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．还考查了平行线分线段成比例的性质．
变式1．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的
中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积
为 _____．
【答案】18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18．
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．
【高频考点5】相似三角形的性质（坐标问题）
例5.（2022·山东·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
，则点 坐标为___________．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得 ，进而可得
△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点 ，
∴OA=10，
∵ ，
∴ ，
∴AB=2OB，
∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，
，即 ，
∴ ，
∴BC=4，
∴点B的坐标为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
变式1．（2022·成都市·九年级课时练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点
（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么
点P的坐标是_______．
【答案】（2，0）或（ ，0）
【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的
性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标．【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，
∵C是AB的中点，∴AC=2.5，设P（x，0），由题意可知点P在点A的左侧，∴AP=4﹣x，
∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，
∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况，
当△APC∽△AOB时，则 ，即 ，解得x=2，∴P（2，0）；
当△ACP∽△AOB时，则 ，即 ，解得x= ，∴P（ ，0）；
综上可知P点坐标为（2，0）或（ ，0）．故答案为：（2，0）或（ ，0）．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论．
变式2．（2022·江苏·九年级月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角
形叫格点三角形．在如图 的方格中，作格点 和 相似（相似比不为1），则点 的坐
标是_____．
【答案】 或
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知
△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或
者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB= ，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，
当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作
∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即： ∶1=BC∶ ，解得BC=5，
∴OC=4，∴C点坐标为(4，0)，
当∠ABC=90°时，AB∶OB= ∶BA， = ， =5，此时C点坐标为(3，2)，综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)，故答案为：（4，0）或（3，2）．
【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩
小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型
进行简单的相似变换作图．
【高频考点6】相似三角形的性质（长度问题）
例6.（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若
，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是_______．
【答案】4或
【分析】分类讨论：当 ADE∽△ABC，根据相似的性质得 ，即 ；当 AED∽△ABC，
△ △
根据相似的性质得 ，即 ，然后分别求解即可．
【详解】解：当 ADE∽△ABC时，可得 ，即 ，解得AD＝ ；
△
当 AED∽△ABC时，可得 ，即 ，解得AD＝4，
△
综上所述，AD的长为4或 ．答案为：4或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
变式1．（2021·安徽蜀山·合肥市五十中学西校月考）如图，若 内有一点P满足
∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为 的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔
于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法
国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰 中，∠EDF=90º，若点Q为
的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）A．5 B．4 C．3+ D．2+
【答案】D
【分析】通过证明 DQF∽△FQE，可得 ，可求FQ，EQ的长，即可求解．
△
【解析】解：如图，在等腰直角三角形 中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°， ∴∠QEF=∠DFQ，且∠2=∠3，
∴ ， ∴ ，
∵DQ=1， ∴FQ= ，EQ=2， ∴EQ+FQ= ，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，等知识，
解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
变式2．（2022·上海市九年级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，AE⊥DE，BE＝2，
BC＝6，那么AB的长为____．
【答案】2
【分析】先用同角的余角相等判断出∠BAE＝∠DEC，从而得△ABE∽△ECD，得到比例式，进而即
可求解．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，AB=CD，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴ ，即： ，
∴AB=2 （负值舍去），故答案是：2 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明△ABE∽△ECD是解题的关键．
【高频考点7】相似三角形的性质（面积问题）
例7．（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）如图，在 中， 平分 交 于点 过
点 作DE//BC交 于点 ，若 ： ： ，且 的面积为 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出△BDE的面积，再根据AD：DC＝3：2，可得结论．
【详解】解：∵AE：BE＝3：2，∴AE：BA＝3：5，
∴△ADE与△DEB的面积之比为：3：2，
∵△ADE的面积为3，∴△BDE的面积＝2，∴△ABD的面积为5，
∵DE//CB，∴△AED∽△ABC，∴ ，
∴△BCD的面积＝ ×5＝ 故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
变式1．（2021·内蒙古·包头市第二十九中学九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上
的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S ∶S ∶S ＝（
DEF EBF ABF
）． △ △ △
A．2∶5∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．4∶10∶25
【答案】D【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判
定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF
的面积比，即可求出答案．
【详解】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，
∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，
1
DFh
S 2 DF 2 4
∴S DEF ( DE )2  4 ， DE  DF  2 , ∴ S   D EB E F F  1 BFh  BF  5  10
S ABF AB 25 AB BF 5 2
∴S ：S ：S =4：10：25，故选：D．
DEF EBF ABF
△ △ △
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求
DE
DF
出 和 注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三
AB BF
角形的面积公式求．
变式2．（2022·江苏·扬州市九年级月考）如图平行四边形ABCD，F 为BC中点，延长AD至E，使
DE:AD1:3，连结EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是______.
51
【答案】
4
【分析】过点F 作FH//DC，根据平行四边形的性质可得AD//BC，进而可得△DEG∽△CFG，根据
S DE 2
相似三角形的性质可得 △DEG   ，进而求得 的面积，根据 可得 ，
S CF  S HF//DG △EDG∽△EHF
△CFG CFG
进而平行四边形ABCD的面积，据平行四边形ABCD的面积减去S 即可求得五边形DABFG的面
CFG
积．
【详解】如图，过点F 作FH//DC，四边形ABCD是平行四边形， AD//BC，AB//CD，△DEG∽△CFG，△EDG∽△EHF ，

HF//CD,HD//CF ，四边形HDCF是平行四边形，

1 1
同理四边形 是平行四边形， 为 中点，HDCF  BC  AD，
ABFH F BC 2 2

DE:AD1:3，设DE2a则AD6a，HDCF 3a，EH EDHD5a，

， S △DEG    DE  2    2  2  4 ， 的面积是1，  9 ，
 △DEG∽△CFG  S △CFG CF  3 9  △DEG  S CFG 4
， S △EDG    DE  2    2  2  4 ， 的面积是1，  25 ，
 △EDG∽△EHF  S △EHF EH  5 25  △DEG  S △EHF 4
25 21
四边形 的面积为：  1 ， 平行四边 的面积为
 HDGF S △EHF  S DEG 4 4  HDCF 4 S CFG
21 9 15
   ，
4 4 2

H,F分别为AD,BC的中点，平行四边ABCD的面积为平行四边HDCF的面积的2倍，即15，
9 51 51
五边形 的面积为 =15  ，故答案为：
 DABFG 15 S CFG 4 4 4
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，根据相似三
角形的性质求得S 是解题的关键．
CFG【能力提升】
一．选择题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知 ，且相似比为 ，则 与 的对应
高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案．
【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，
∴△ABC与 DEF的对应高之比为2:3，
故选A.
△
【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中，E为 边上的点，若 ，
交 于F，则 等于（ ）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
【答案】B
【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：EC＝2：3，∴BE：AD＝2：5，
∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，
∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质定
理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 ，底边上的高为
，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，
则这张正方形纸条是（ ）A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】B
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为 ，
设从顶点到这个正方形顶边的距离为 ，
根据相似三角形的性质可得 ，解得 （张），
所以这张正方形纸条是第5张，故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得
出比例式是解决问题的关键．
4．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地
面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端C处，已
知 ，且测得 ，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知： ， 可得： ，再由 ，
代入即可求得答案．
【详解】由题意知： ， ∴ ∴
∵ ， ， ∴ ∴ 故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确
的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型．
5．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，
DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得
出结果.
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=3：2，∴ ，∴ ．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的
面积比等于相似比的平方.
6．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树
影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，根据两角对应相等得出Rt EDC∽Rt FDC，进而可得 ，
△ △
从而CD的长即可
【详解】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，FD=4，ED=1；
则∠ECF=∠EDC=∠CDF=90°，∴∠ECD+∠E=90°，∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠E=∠FCD∴Rt EDC∽Rt CDF∴
△ △
即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=4，∴DC=2．故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是掌握三角形的相似的性质和判定
7．（2022·陕西师大附中模拟预测）《海岛算经》是我国杰出数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产．书中的第一问：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行
一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦
与表末参合．问岛高及去表各几何？大致意思是：假设测量海岛，立两根表，高均为3丈，前后相距
1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人的眼睛贴着地面观察海岛，从后表退
行127步，人的眼睛贴着地面观察海岛，问海岛高度及两表相距多远？想要解决这一问题，需要利用
（ ）
A．全等三角形 B．相似三角形 C．勾股定理 D．垂径定理
【答案】B
【分析】由题意，画出示意图，然后利用相似三角形的判定和性质，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，如图
根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，
然后利用相似三角形的判定和性质，即可求出海岛高度及两表相距的距离；故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．
8．（2021·广西北海·二模）如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD
相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB，若OC:AC=1:3，量的CD=10mm，则零件的厚度为（
）
A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm
【答案】B
【分析】先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解．
【详解】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，∴OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，∴AB＝20mm，∴零件的厚度为2.5mm．故选：B
【点睛】此题考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，
求出零件的内孔直径AB是解题关键．9．（2022·山东中区·一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整
自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边
， ，测得眼睛D离地面的高度为 ，他与“步云图”的水平距离 为 ，
则“步云图”的高度 是（ ）m．
A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
【答案】C
【分析】先判定 和 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 的长，再加上
即可得解．
【详解】在 和 中， ，∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∵ ，∴ ，即“步云图”的高度为 ．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判
定出 和 相似是解题的关键．
10．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图
2所示，此时液面 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的
关系，即可求出AB．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，∴ ，∴ （cm），故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵
活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生
的观察分析的能力有一定的要求．
二．填空题
11．（2022·山东·九年级专题练习）如图，要在底边 ，高 的铁皮余料上，截
取一个面积为 的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC
于点M，则EH的长为_______cm．
【答案】90或30
【分析】证明 ，相似三角形对应边、高的比等于相似比，得出EH的长度
【详解】设 ，∵矩形EFGH的面积为 ，∴ .
∵ ，∴ ．
又∵AM，AD分别为 与 的高，∴ ，
即 ，解得 ， ，∴EH的长为90cm或30cm．
【点睛】本题考察了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边、高的比等于相似比是解题的关键
12．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若
AG=9cm，则GD=_______cm．
【答案】4.5
【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，∴GD=4.5cm，故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个
顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．13．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标
尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，
OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．
【答案】30
【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB．∴ ，
∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，∴ ，∴AB=30．故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是判定相似三角形△OCD∽△OAB．
14．（2022·山东·八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光
下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地
面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么
树高应为____________．
【答案】4.2m
【分析】作CD⊥AB于E，连接AD，根据四边形BCDE是矩形，得到DE=BC=2.7m，
CD=BE=1.2m，根据同一时刻物高与影长成正比例，即可求出AE，问题得解．
【详解】解：如图，作CD⊥AB于E，连接AD，
由题意得AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m，
∵同一时刻物高与影长成正比例，∴ ，即 ，
∴AE=3m，∴AB=AE+BD=4.2m，即树高为4.2m．故答案为：4.2m【点睛】本题考查了相似三角形的性质及应用，明确同一时刻物高与影长成正比例，根据题意添加辅
助线构造三角形是解题关键．
15．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交
AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
【答案】
【分析】过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，先证明 ，可得
，再证明DF∥AB， ，进而即可求解．
【详解】解：过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，则∠M=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠M=∠CAD，∴AC=CM=5，
∵AB∥CM，∴ ，∴ ，
∵EF是AD的中垂线，∴AF=DF，∴∠CAD=∠ADF，∴∠ADF=∠BAD，∴DF∥AB，∴ ，∴CF= ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，添加辅助线，构造相似
三角形，是解题的关键．
16．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
，则点 坐标为___________．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得 ，进而可得
△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵点 ，∴OA=10，
∵ ，∴ ，∴AB=2OB，∴BC=2OC，
∴在Rt BOC中， ，即 ，∴ ，∴BC=4，
∴点B的△坐标为 ；故答案为 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17．（2022·四川邛崃·八年级期末）如图，线段OA、OB（OAOB）的长是方程x26x80的两
根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90得到线段PQ，
连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是__________，此时线段BQ的最小值为__________．【答案】(0,1) 3 2
【分析】先求出一元二次方程的解得出A(0,2)，B(0,4)，AB=2，以AB为斜边的构造等腰直角三角形
MAB，连接MP，AQ，过点M作MN  AB交AB于点N，则△MAB是等腰直角三角形，由题意得
AB AQ
是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得 ，根据   2则
△PAQ BAQMAP AM AP

BAQ∽

MAP，根据相似三角形的性质得BQ 2MP，则当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，
根据垂线最短即可得．
【详解】解：x26x80，(x2)(x4)0 x 2或x 4
1 2
∵线段OA、OB（OA<OB）的长是方程x26x80的两根，∴A0,2 ，B0,4
，AB=2，
如图所示，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作MN  AB交AB于
点N，则MN=BN=AN=1，∴点M的坐标为（-3，1），
∵PA以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，
∴△PAQ是等腰三角形，∴AP=QP，PAQ45，AQ 2AP，
又∵△MAB是等腰直角三角形，∴AM=BM，MAB45，AB 2AM ，
∴MABMAQPAQMAQ，∴BAQMAP，
AB AQ BQ AB
∵   2，∴ ，∴   2，∴ ，
AM AP  BAQ∽  MAP MP AM BQ 2MP
∴当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，
∴MP y轴时，MP取得最小值是3，此时BQ取得最小值3 2，此时点P坐标为（0，1），
故答案为：（0，1），3 2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和
垂线段最短，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
18．（2022·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在 ABC中，AB6，BC8，AC 7，点D，

E分别在AB，BC上，将

BDE沿ED折叠，点B的对应点F 刚好落在AC上，当△CEF 与

ABC相
似时，BE的长为___________.24 48
【答案】 或
7 13
【分析】根据题意得：BEEF ，设BE x ，则EF x ，CE8x ，然后分两种情况：当
EF CE EF CE
，即  时；当 ，即  时，即可求解．
△CEF △CBA AB BC △CEF △CAB AB AC
 
【详解】解：根据题意得：BEEF ，∵BC8，可设BE x ，则EF x ，CE8x ，
EF CE x 8x 24
当 ，即  时，∵ ， ，∴  ，解得：x ；
△CEF △CBA AB BC AB6 BC8 6 8 7

EF CE x 8x 48
当 ，即  时，∵ ，  ，解得：x ，
△CEF △CAB AB AC AC 7 6 7 13

24 48 24 48
∴当 与 相似时， 的长为 或 ．故答案为： 或 ．
△CEF  ABC BE 7 13 7 13
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
三．解答题
19．（2022·陕西·九年级月考）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度 ．在第一次测量中，
小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得 米．随后，组员
在直线 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 上的对应位置为点G．镜
子不动，小莉从点D沿着直线 后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，
此时 米．如图，已知 ， ， ，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距
离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度 ．
【答案】
【分析】设 ， ，根据 ，可得关于 的方程组，解方程
组即可求得 ．
【详解】设 ， ， ， ， ， ，
， ，
，又 ，
即
．答：树的高度为 米．
20．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．
点P从点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的
速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间
(0＜t＜6)，求当 POQ与 AOB相似时t的值．
【答案】4或2
【分析】分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA两种情况，利用相似三角形的性质分类求解即可．
【详解】解: 由题意，OP=t，OQ=6-t，
有两种情况：
①若△POQ∽△AOB，则有
即 ，
解得 t＝4．
②若△POQ∽△BOA，则有
即 ，
解得 t＝2．
∴ 当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解答
的关键．
21．（2021·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4
月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一
棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆 ，小刚
走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面
的距离 米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和
树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米，
米， 米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在 上， ， ，， ．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树 的高度．
【答案】8.8米
【分析】过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造
相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的
长度即可．
【详解】解：过点D作 于点P，交 于点N，过点M作 于点Q，交 于点K，
由题意可得： ， 米， ， 米，
米．
， ， ， ，
， ， ， ．
， ． （米）．
答：这棵樱花树 的高度是8.8米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识
解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，
把实际问题转化为数学问题．
22．（2022·江苏·九年级月考）如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，AE长3米，CD是长为1.8
米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地
面上一点G在同一直线上，此时路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主
杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时测得FG长1.5米，求路灯主杆
AB的高度．【答案】路灯主杆 的高度为5.4米．
【分析】过点 作 于 ，交 于点 ，则 ， ，从而得到
，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式可得 的值，即可求解．
【详解】解：过点 作 于 ，交 于点 ，
， ， ， ， ， 等于 的边 上
的高，
， ， ， ， 米． 米，
， ， ，即 ，
（米 ， （米 ，
答：路灯主杆 的高度为5.4米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角
形．
23．（2022·山东·招远市八年级期末）如图，两棵树的高度分别为 ， ，两树的根部
间的距离 ，小强正在距树AB的20m的点P处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离
为1.5m，当小强前进多少米时，就恰好不能看到CD的树顶D?
【答案】小强前进11米时，就恰好不能看到CD的树顶D．【分析】根据盲区的定义结合图片，我们可看出在 之间时，是看不到树 的树顶 的．因此求
出 就是本题的关键．已知了 的长， 、 的长，那么可根据平行线分线段成比例来得出
关于 、 、 、 的比例关系式，用 表示出 后即可求出 的长．
【详解】由题可知： ， ， ， ，
∴ ，
∵ ∴ 又∵ ∴ .
∴ ，即 设 为 ，则
∴ ∴ 经检验可知， 是原分式方程的根，即 .
∴
答：小强前进11米时，就恰好不能看到CD的树顶D．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的实际应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的
重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
24．（2022·辽宁瓦房店·九年级月考）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，∠ADE
＝∠AEB，AF平分∠BAC交DE于G，交BE于F（1）在图1中找1条和EF相等得线段，并证明；
（2）如图2，延长DE与BC交于点H，若AG＝kGF，猜想并验证BC与CH的数量关系（用含k得
式子表示）
CH k
【答案】（1）见详解；（2） 
BC k1
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义∠AGD=∠AFE，从而得∠AFE=∠EGF，
k
进而即可得到结论；（2）先证明 ，可得AE AB，再证明 ，可

ABF∽

AEG k1 △ADE∽△AEB
2k1
BD AB
得 k12 ，最后证明
BDH∽ CEB
，进而可得结论．
 
【详解】解：（1）EF=EG，理由如下：∵∠DAG+∠ADE+∠AGD=∠EAF+∠AEB+∠AFE=180°，
∵AF平分∠BAC，∴∠DAG=∠EAF，又∵∠ADE＝∠AEB，∴∠AGD=∠AFE，
∵∠AGD=∠EGF，∴∠AFE=∠EGF，∴EF=EG；
（2）∵∠ADE=∠AEB，∠DAE=∠EAB，∴∠ABE=∠AED，AG AE
又∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠EAG，∴ ，∴  ，
ABF∽ AEG AF AB
 
kGF AE AE k k
∵AG＝kGF，∴  ，∴  ，即：AE AB，∴CE=AC-AE=AB-AE=
kGFGF AB AB k1 k1
1
AB，
k1
AE DE AD k
∵∠ADE=∠AEB，∠DAE=∠EAB，∴ ，∴    ，
△ADE∽△AEB AB EB AE k1
k k2 2k1
∴ DE  k ， AD k1 AE  k12 AB ，∴BD ABAD k12 AB，
EB k1
∵∠ADE=∠AEB，∴∠BDH=∠CEB，又∵AB=AC，∴∠DBH=∠ECB，∴ BDH∽  CEB，
2k1
AB
BH
k12
2k1
∴ ，∴   ，∴ ．即：
BD BH BC 1 k1 CH BH BC BH 2k1 k
 AB   1 1
CE BC k1 BC BC BC k1 k1
CH k
 ．
BC k1
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，得到
对应边的比例关系，是解题的关键．
25．（2022·山东·淄博市八年级期末）在矩形 中， 于点 ，点 是边 上一点．
（1）若 平分 ，交 于点 ，PF⊥BD，如图（1），证明四边形 是菱形；
（2）若 ，如图（2），求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）想办法证明AG=PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA=PF即可
解决问题．
（2）证明△AEP∽△DEC，可得 ，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
又∵在 中， ，
在 中 ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴AG∥PF，
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形AGFP是菱形；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，菱形的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解
题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
26．（2022·广东初三专题练习）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，
垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：
的值为 ：
（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试
探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，
延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2 ，则BC= ．【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；② ；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG= BE；
（3）3
【分析】（1）①由 、 结合 可得四边形CEGF是矩形，再由
即可得证；②由正方形性质知 、 ，据此可得
、 ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证 ∽
即可得；（3）证 ∽ 得 ，设 ，知
，由 得 、 、 ，由 可得a的值．
【解析】（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴ ，GE∥AB，
∴ ，故答案为 ；
（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt CEG和Rt CBA中， = 、 =
△ △
，
∴ = ，∴△ACG∽△BCE，∴ ，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= BE；（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴ ，
设BC=CD=AD=a，则AC= a，则由 得 ，∴AH= a，
则DH=AD﹣AH= a，CH= = a，∴由 得 ，
解得：a=3 ，即BC=3 ，故答案为3 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，
正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.