专题4.6利用相似三角形测高+4.7相似三角形的性质（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题4.6 利用相似三角形测高+4.7 相似三角形的性质 【学习目标】 1、通过测量旗杆的高度的活动，复习巩固相似三角形的有关知识； 2、灵活运用相似三角形的知识解决实际问题； 3、明确相似三角形中对应线段与相似比的关系； 4、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 5、熟练运用相似三角形的相关性质解决实际问题； 【知识梳理】 1.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的 原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质， 求出AB的长. 2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 注意：1）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子 之比等于其对应高的比;2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;3）仰（俯）角： 观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 3.相似三角形的性质 1）对应角相等，对应边的比相等； 2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【高频考点精讲】 【高频考点1】镜子模型（在异侧构建两个相似三角形测高）例1.（2022·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为 ， 当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是 远，已知这位同学眼睛到地面的距离是 ，则树高为（ ）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【答案】B 【分析】由入射角等于反射角可以证明 再证明 再利用相似三角形的性 质可得答案. 【详解】解：如图，由题意得： 而 所以树高为 故选： 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟悉实际问题中存在的相似三角形是解题的关键. 变式1．（2022·山东济南九年级月考）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一 面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 ，同时量得 ， ，则旗杆高度 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面反射的性质可得 ，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解： ， ， ， 又 ， ， ， ， ，故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三 角形对应边成比例即可解答． 变式2．（2022·山西·太原市九年级月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度 的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的 顶端 C 处，已知 AB  BD ，CD  BD ，且测得 AB  4m ，BP  6m ， PD  12m ，那么该 古城墙CD 的高度是（ ） A．8m B．9m C．16m D．18m 【答案】A 【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断 ，于是根据相似三角形 的性质即可求出CD． 【详解】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴ ，∴ ，即 ，解得： ． 答：该古城墙CD的高度为8m．故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角 形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决． 【高频考点2】影子模型（在同侧构建两个相似三角形测高） 例2．（2022·陕西·西安九年级月考）同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，木杆AB长为 3m，其影子BC长1.6m，木杆QP长为4.8m，它的部分影子PM长为2m，还有一部分落到墙上的 MN处，求墙上影子MN的长度． 【答案】1.05m 【分析】连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D，先证明四边形PDNM是矩形，DN=PM=2m， MN=DP，再由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN可得 ，由此进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D， ∵QP⊥PM，NM⊥PM，ND⊥QP， ∴四边形PDNM是矩形，∴DN=PM=2m，MN=DP 由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN，则 ， ∴ ，∴ ， 答：墙上影子MN的长度为1.05m． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌 握相关知识进行求解． 变式1．（2021·内蒙古·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴 趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影 长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小 明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接 得出甲树高，接着如下图2先利用 ，求出 的长，接着利用 ，可 得出乙树的高；(2)如下图3，先通过 求出FG的长，然后通过 求出 FH的长，最后通过 可求出丙树的高．【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米，故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段 是乙树，线段 为乙树在墙壁上的影长， 线段 为乙树落在地面上的影长， 与图1中的 相似， 又 ， 故乙树的高为4.2米；故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段 是丙树，线段 为丙树落在地面上的影长， 线段 为丙树落在坡面上影长， 为小明， 为小明落在坡面上影长， 则 =2.4米， =3.2米， =1.6米， =2米，又 与图1中的 相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以 及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 【高频考点3】移动的测量旗杆模型 例3．（2022·广东·九年级课时练习）如图，为了测量一旗杆 的高度，小明立了两根高2m的标杆 、 （标杆与地面垂直且点B、C、D在一条线上），两标杆之间的距离 ，从C处 沿 方向退后1．5m到点G，眼睛贴着地面观察A点，G，E，A三点成一线；从D处沿 方向退 后3m到点H，眼睛贴着地面观察A点，H，F，A三点成一线．求旗杆 的高度．【答案】16米 【分析】设BC=ym，由题意可知两组三角形相似，再利用相似比列出关于y的方程，最后求出AB即 可． 【详解】解：设BC=ym， ∵DF//AB，CE//AB ∴△ABH∽△FDH，△ABG∽△ECG， .∴ ∵DF=EC=2 ∴ ，即 ，解得：y=10.5 ∵ ∴ ，解得：AB=16． 答：旗杆 的高度为16米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，灵活应用相似三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 变式1．（2022·河北·九年级课时练习）如图，小明同学为了测量路灯 的高度，先将长 的竹竿 竖直立在水平地面上的 处，测得竹竿的影长 ，然后将竹竿向远离路灯的方向移动 到 处，即 ，测得竹竿的影长 （ 、 为竹竿）．求路灯 的高度． 【答案】路灯 的高度为7m 【分析】先根据AB⊥OF，CD⊥OP可知 EAB∽△EPO，同理可得 FCD∽△FPO，再由相似三角形的 对应边成比例即可得出OP的值． △ △ 【详解】解：由已知得， m， m， m， m， ， ， ， ∴在 和 中，，∴ ∽ ∴ ，即 ，∴ ， 在 和 中 ， ∴ ∽ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ， ， ∴ ， ，即路灯 的高度为 ． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【高频考点4】重心的有关性质 例4．（2022·四川·渠县九年级期末）如图，AD为 ABC的一条中线，G为 ABC的重心，GE AC 交BC于点E，则BE：EC=______． △ △ 【答案】2 【分析】连接BG，延长BG交AC于H，根据重心的性质，得到BG：GH=2，根据平行线分线段成比 例定理解答． 【详解】解：连接BG，延长BG交AC于H，如图， ∵G是重心，∴BG：GH=2， ∵GE AC，∴BE：EC=BG：GH=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心 到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．还考查了平行线分线段成比例的性质． 变式1．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的 中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积 为 _____． 【答案】18 【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3， ∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9， ∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积， ∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18． 【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键． 【高频考点5】相似三角形的性质（坐标问题） 例5.（2022·山东·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，则点 坐标为___________． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得 ，进而可得 △BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点 ， ∴OA=10， ∵ ， ∴ ， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即 ， ∴ ， ∴BC=4， ∴点B的坐标为 ； 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 变式1．（2022·成都市·九年级课时练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点 （0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么 点P的坐标是_______． 【答案】（2，0）或（ ，0） 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的 性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标．【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5， ∵C是AB的中点，∴AC=2.5，设P（x，0），由题意可知点P在点A的左侧，∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则 ，即 ，解得x=2，∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则 ，即 ，解得x= ，∴P（ ，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（ ，0）．故答案为：（2，0）或（ ，0）． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 变式2．（2022·江苏·九年级月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角 形叫格点三角形．在如图 的方格中，作格点 和 相似（相似比不为1），则点 的坐 标是_____． 【答案】 或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知 △OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或 者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB= ，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即： ∶1=BC∶ ，解得BC=5， ∴OC=4，∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB= ∶BA， = ， =5，此时C点坐标为(3，2)，综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)，故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩 小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型 进行简单的相似变换作图． 【高频考点6】相似三角形的性质（长度问题） 例6.（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若 ，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是_______． 【答案】4或 【分析】分类讨论：当 ADE∽△ABC，根据相似的性质得 ，即 ；当 AED∽△ABC， △ △ 根据相似的性质得 ，即 ，然后分别求解即可． 【详解】解：当 ADE∽△ABC时，可得 ，即 ，解得AD＝ ； △ 当 AED∽△ABC时，可得 ，即 ，解得AD＝4， △ 综上所述，AD的长为4或 ．答案为：4或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 变式1．（2021·安徽蜀山·合肥市五十中学西校月考）如图，若 内有一点P满足 ∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为 的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔 于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法 国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰 中，∠EDF=90º，若点Q为 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）A．5 B．4 C．3+ D．2+ 【答案】D 【分析】通过证明 DQF∽△FQE，可得 ，可求FQ，EQ的长，即可求解． △ 【解析】解：如图，在等腰直角三角形 中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3， ∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°， ∴∠QEF=∠DFQ，且∠2=∠3， ∴ ， ∴ ， ∵DQ=1， ∴FQ= ，EQ=2， ∴EQ+FQ= ，故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，等知识， 解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 变式2．（2022·上海市九年级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，AE⊥DE，BE＝2， BC＝6，那么AB的长为____． 【答案】2 【分析】先用同角的余角相等判断出∠BAE＝∠DEC，从而得△ABE∽△ECD，得到比例式，进而即 可求解． 【详解】解：∵在矩形ABCD中， ∵AB⊥BC，DC⊥BC，AB=CD，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴ ，即： ， ∴AB=2 （负值舍去），故答案是：2 ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明△ABE∽△ECD是解题的关键． 【高频考点7】相似三角形的性质（面积问题） 例7．（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）如图，在 中， 平分 交 于点 过 点 作DE//BC交 于点 ，若 ： ： ，且 的面积为 ，则 的面积为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出△BDE的面积，再根据AD：DC＝3：2，可得结论． 【详解】解：∵AE：BE＝3：2，∴AE：BA＝3：5， ∴△ADE与△DEB的面积之比为：3：2， ∵△ADE的面积为3，∴△BDE的面积＝2，∴△ABD的面积为5， ∵DE//CB，∴△AED∽△ABC，∴ ， ∴△BCD的面积＝ ×5＝ 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 变式1．（2021·内蒙古·包头市第二十九中学九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上 的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S ∶S ∶S ＝（ DEF EBF ABF ）． △ △ △ A．2∶5∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．4∶10∶25 【答案】D【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判 定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF 的面积比，即可求出答案． 【详解】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB， ∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF， 1 DFh S 2 DF 2 4 ∴S DEF ( DE )2  4 ， DE  DF  2 , ∴ S   D EB E F F  1 BFh  BF  5  10 S ABF AB 25 AB BF 5 2 ∴S ：S ：S =4：10：25，故选：D． DEF EBF ABF △ △ △ 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求 DE DF 出 和 注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三 AB BF 角形的面积公式求． 变式2．（2022·江苏·扬州市九年级月考）如图平行四边形ABCD，F 为BC中点，延长AD至E，使 DE:AD1:3，连结EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是______. 51 【答案】 4 【分析】过点F 作FH//DC，根据平行四边形的性质可得AD//BC，进而可得△DEG∽△CFG，根据 S DE 2 相似三角形的性质可得 △DEG   ，进而求得 的面积，根据 可得 ， S CF  S HF//DG △EDG∽△EHF △CFG CFG 进而平行四边形ABCD的面积，据平行四边形ABCD的面积减去S 即可求得五边形DABFG的面 CFG 积． 【详解】如图，过点F 作FH//DC，四边形ABCD是平行四边形， AD//BC，AB//CD，△DEG∽△CFG，△EDG∽△EHF ，  HF//CD,HD//CF ，四边形HDCF是平行四边形，  1 1 同理四边形 是平行四边形， 为 中点，HDCF  BC  AD， ABFH F BC 2 2  DE:AD1:3，设DE2a则AD6a，HDCF 3a，EH EDHD5a，  ， S △DEG    DE  2    2  2  4 ， 的面积是1，  9 ，  △DEG∽△CFG  S △CFG CF  3 9  △DEG  S CFG 4 ， S △EDG    DE  2    2  2  4 ， 的面积是1，  25 ，  △EDG∽△EHF  S △EHF EH  5 25  △DEG  S △EHF 4 25 21 四边形 的面积为：  1 ， 平行四边 的面积为  HDGF S △EHF  S DEG 4 4  HDCF 4 S CFG 21 9 15    ， 4 4 2  H,F分别为AD,BC的中点，平行四边ABCD的面积为平行四边HDCF的面积的2倍，即15， 9 51 51 五边形 的面积为 =15  ，故答案为：  DABFG 15 S CFG 4 4 4 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，根据相似三 角形的性质求得S 是解题的关键． CFG【能力提升】 一．选择题 1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知 ，且相似比为 ，则 与 的对应 高之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3， ∴△ABC与 DEF的对应高之比为2:3， 故选A. △ 【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质. 2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中，E为 边上的点，若 ， 交 于F，则 等于（ ） A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9 【答案】B 【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE：EC＝2：3，∴BE：AD＝2：5， ∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF， ∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质定 理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 3．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 ，底边上的高为 ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形， 则这张正方形纸条是（ ）A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】B 【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为 ， 设从顶点到这个正方形顶边的距离为 ， 根据相似三角形的性质可得 ，解得 （张）， 所以这张正方形纸条是第5张，故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得 出比例式是解决问题的关键． 4．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地 面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端C处，已 知 ，且测得 ，那么该古城墙的高度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知： ， 可得： ，再由 ， 代入即可求得答案． 【详解】由题意知： ， ∴ ∴ ∵ ， ， ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确 的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型． 5．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点， DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得 出结果. 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF． ∵DE：EC=3：2，∴ ，∴ ．故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的 面积比等于相似比的平方. 6．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树 影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】根据题意，画出示意图，根据两角对应相等得出Rt EDC∽Rt FDC，进而可得 ， △ △ 从而CD的长即可 【详解】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，FD=4，ED=1； 则∠ECF=∠EDC=∠CDF=90°，∴∠ECD+∠E=90°，∠ECD+∠FCD=90°， ∴∠E=∠FCD∴Rt EDC∽Rt CDF∴ △ △ 即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=4，∴DC=2．故选：B 【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是掌握三角形的相似的性质和判定 7．（2022·陕西师大附中模拟预测）《海岛算经》是我国杰出数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产．书中的第一问：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行 一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦 与表末参合．问岛高及去表各几何？大致意思是：假设测量海岛，立两根表，高均为3丈，前后相距 1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人的眼睛贴着地面观察海岛，从后表退 行127步，人的眼睛贴着地面观察海岛，问海岛高度及两表相距多远？想要解决这一问题，需要利用 （ ） A．全等三角形 B．相似三角形 C．勾股定理 D．垂径定理 【答案】B 【分析】由题意，画出示意图，然后利用相似三角形的判定和性质，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，如图 根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG， 然后利用相似三角形的判定和性质，即可求出海岛高度及两表相距的距离；故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键． 8．（2021·广西北海·二模）如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD 相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB，若OC:AC=1:3，量的CD=10mm，则零件的厚度为（ ） A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm 【答案】B 【分析】先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解． 【详解】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB， ∵OC：AC＝1：3，∴OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2， ∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2， ∵CD＝10mm，∴AB＝20mm，∴零件的厚度为2.5mm．故选：B 【点睛】此题考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比， 求出零件的内孔直径AB是解题关键．9．（2022·山东中区·一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整 自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边 ， ，测得眼睛D离地面的高度为 ，他与“步云图”的水平距离 为 ， 则“步云图”的高度 是（ ）m． A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5 【答案】C 【分析】先判定 和 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 的长，再加上 即可得解． 【详解】在 和 中， ，∴ ， ∴ ，即 ，解得： ， ∵ ，∴ ，即“步云图”的高度为 ．故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判 定出 和 相似是解题的关键． 10．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图 2所示，此时液面 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的 关系，即可求出AB．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似，∴ ，∴ （cm），故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵 活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生 的观察分析的能力有一定的要求． 二．填空题 11．（2022·山东·九年级专题练习）如图，要在底边 ，高 的铁皮余料上，截 取一个面积为 的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC 于点M，则EH的长为_______cm． 【答案】90或30 【分析】证明 ，相似三角形对应边、高的比等于相似比，得出EH的长度 【详解】设 ，∵矩形EFGH的面积为 ，∴ . ∵ ，∴ ． 又∵AM，AD分别为 与 的高，∴ ， 即 ，解得 ， ，∴EH的长为90cm或30cm． 【点睛】本题考察了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边、高的比等于相似比是解题的关键 12．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若 AG=9cm，则GD=_______cm． 【答案】4.5 【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案． 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴AD是△ABC的中线， ∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD， ∵AG=9 cm，∴GD=4.5cm，故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个 顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．13．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标 尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米， OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米． 【答案】30 【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB．∴ ， ∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，∴ ，∴AB=30．故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是判定相似三角形△OCD∽△OAB． 14．（2022·山东·八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光 下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地 面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么 树高应为____________． 【答案】4.2m 【分析】作CD⊥AB于E，连接AD，根据四边形BCDE是矩形，得到DE=BC=2.7m， CD=BE=1.2m，根据同一时刻物高与影长成正比例，即可求出AE，问题得解． 【详解】解：如图，作CD⊥AB于E，连接AD， 由题意得AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m， ∵同一时刻物高与影长成正比例，∴ ，即 ， ∴AE=3m，∴AB=AE+BD=4.2m，即树高为4.2m．故答案为：4.2m【点睛】本题考查了相似三角形的性质及应用，明确同一时刻物高与影长成正比例，根据题意添加辅 助线构造三角形是解题关键． 15．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交 AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___． 【答案】 【分析】过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，先证明 ，可得 ，再证明DF∥AB， ，进而即可求解． 【详解】解：过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，则∠M=∠BAD， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠M=∠CAD，∴AC=CM=5， ∵AB∥CM，∴ ，∴ ， ∵EF是AD的中垂线，∴AF=DF，∴∠CAD=∠ADF，∴∠ADF=∠BAD，∴DF∥AB，∴ ，∴CF= ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，添加辅助线，构造相似 三角形，是解题的关键． 16．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，则点 坐标为___________． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得 ，进而可得 △BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵点 ，∴OA=10， ∵ ，∴ ，∴AB=2OB，∴BC=2OC， ∴在Rt BOC中， ，即 ，∴ ，∴BC=4， ∴点B的△坐标为 ；故答案为 ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17．（2022·四川邛崃·八年级期末）如图，线段OA、OB（OAOB）的长是方程x26x80的两 根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90得到线段PQ， 连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是__________，此时线段BQ的最小值为__________．【答案】(0,1) 3 2 【分析】先求出一元二次方程的解得出A(0,2)，B(0,4)，AB=2，以AB为斜边的构造等腰直角三角形 MAB，连接MP，AQ，过点M作MN  AB交AB于点N，则△MAB是等腰直角三角形，由题意得 AB AQ 是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得 ，根据   2则 △PAQ BAQMAP AM AP  BAQ∽  MAP，根据相似三角形的性质得BQ 2MP，则当MP取得最小值时，BQ就取得最小值， 根据垂线最短即可得． 【详解】解：x26x80，(x2)(x4)0 x 2或x 4 1 2 ∵线段OA、OB（OA