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专题4.6 因式分解-公式法（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、判断能否用公式法因式分解
1．多项式 与多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+3x+9 D．
3．已知a2＋ b2＝2a﹣b﹣2，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．3
类型二、运用平方差公式进行因式分解
4．如果 ，那么 所代表的代数式为（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．若 ，则x2－y2的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
7．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
类型三、运用完全平方公式进行因式分解
8．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
9．多项式 与 的公因式是（ ）A． B． C． D．
类型四、运用公式法综合进行因式分解
10．将多项式 分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
11．无论 、 取何值，多项式 的值总是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
12．已知a﹣b＝1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
类型五、运用提取公因式与公式法综合进行因式分解
13．已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
14．已知 ， ，求代数式 的值为（ ）
A．18 B．28 C．50 D．60
15．下列变形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
类型一、运用平方差公式进行因式分解
16．分解因式：m2﹣9＝_____．
17．分解因式： _____．
18．把多项式 分解因式的结果是______．
类型二、运用完全平方公式进行因式分解
19．计算： ＝_____．20．如图，点 在线段 上 ，在线段 同侧作正方形 及正方形 ，
连接 、 、 得到 ．当 时， 的面积记为 ；当 时，
的面积记为 ；当 时， 的面积记为 ；则 _____．
21．若 ，则 的值是____________．
类型三、运用公式法综合进行因式分解
22．实数范围内分解因式：x4+3x2﹣10＝___．
23．若代数式 通过变形可以写成 的形式，则m的值是________．
24．因式分解： __．
类型四、运用提取公因式与公式法综合进行因式分解
25．对于多项式x3＋8x2＋4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多
项式x3＋8x2＋4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x＝2（注：把x＝a代入多项式能
使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3＋8x2＋4x
﹣48＝（x﹣2）（x2＋mx＋n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，
请用试根法将多项式x3﹣6x2＋3x＋10因式分解的结果为______．
26．把多项式 因式分解的结果是_______．
27．已知 ，则 _________．
三、解答题
28．因式分解
（1）12a2b（x－y）－4ab（y－x） （2）（3m＋2n）2－（m－n）2（3）（x＋y）4－18（x＋y）2＋81
29．分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ．
30．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公
式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
分别将多项式 与多项式 进行因式分解，再寻找他们的公因式是 ．
【详解】
解：∵
又∵
∴多项式 与多项式 的公因式是 ．
故选A．
【点拨】本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再
确定公因式．
2．D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项
分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、x2+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；
C、x2+3x+9不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；
D、 ，故选项正确；故选：D
【点拨】本题考查了完全平方式的运用分解因式，关键是熟练掌握完全平方式的特点．
3．D
【解析】
【分析】
把a2＋ b2＝2a﹣b﹣2化为 再利用非负数的性质求解 的值，从而
可得答案.
【详解】
解： a2＋ b2＝2a﹣b﹣2，
解得：
故选D
【点拨】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，熟练的运用非负数的
性质求解 的值是解本题的关键.
4．D
【解析】
【分析】
等式两边同除以 即可求出结果．
【详解】
解：∵∴
故选：D．
【点拨】此题主要考查了分解因式的应用，熟练掌握平方差公式是解答此题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
把 变形为 ，代入a+b=2后，再变形为2（a+b）即可求得最后
结果．
【详解】
解：∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，
=2（a-b）+4b，
=2a-2b+4b，
=2（a+b），
=2×2，
=4．
故选：C．
【点拨】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．
6．A
【解析】
【分析】
首先利用平方差公式分解因式，再把字母的值代入，即可求解．
【详解】
解：∵ ， ，
∴故选：A．
【点拨】本题考查了利用平方差公式分解因式，代数式求值问题，熟练掌握和运用平方差
公式是解决本题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据平方差公式的定义判断即可；
【详解】
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式 ，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，
故选： ．
【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的特点判断即可；
【详解】
不能用完全平方公式，故A不符合题意；
不能用完全平方公式，故B不符合题意；
，能用完全平方公式，故C符合题意；
不能用完全平方公式，故D不符合题意；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键．
9．A
【解析】【分析】
先把多项式进行因式分解，然后取相同的因式，即可得到答案．
【详解】
解：∵ ，
，
∴多项式 与 的公因式是 ；
故选：A．
【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，正确的求出多项式的
公因式．
10．D
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式分解为 ，再将 分解为 由此得到答案.
【详解】
= = ，
故选：D.
【点拨】此题考查公式法分解因式，综合运用完全平方公式、平方差公式是解题关键.
11．A
【解析】
【分析】
利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可．
【详解】
解：∵ ≥1＞0，
∴多项式的值总是正数．
故选：A．
【点拨】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
12．C
【解析】【分析】
首先利用提取公因式法分解因式，可得a2（a﹣b）+b2﹣2ab，再把a﹣b＝1代入，可得
a2+b2﹣2ab，再利用完全平方公式分解因式，可得（a﹣b）2，据此即可求得．
【详解】
解：∵a﹣b＝1，
∴a3﹣a2b+b2﹣2ab
＝a2（a﹣b）+b2﹣2ab
＝a2+b2﹣2ab
＝（a﹣b）2
＝1
故选：C．
【点拨】本题考查了因式分解，完全平方公式，整式的化简求值，采用整体代入是解决此
类题的关键．
13．B
【解析】
【分析】
将a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，变形后可得ab+ca+bc=0，进而可得结果．
【详解】
解：a2（b+c）=b2（a+c），
a2b+a2c=b2a+b2c，
a2b+a2c-（b2a+b2c）=0，
a2b+a2c-b2a-b2c=0，
ab（a-b）+c（a2-b2）=0，
ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0，
（a-b）（ab+ca+bc）=0，
∵a≠b，
∴ab+ca+bc=0，
∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022，
∴abc=-2022．
故选：B
【点拨】本题考查了单项式乘多项式以及因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式以及提公因式法因式分解．
14．A
【解析】
【分析】
先利用提公因式法和完全平方公式对所求代数式因式分解，再整体代入求值即可．
【详解】
解：
=
= ，
当 ， 时，
原式=2×32=2×9=18，
故选：A．
【点拨】本题考查代数式求值、因式分解、完全平方公式，熟记公式，熟练掌握因式分解
的方法是解答的关键．
15．C
【解析】
【分析】
根据乘法公式： 分别进行判断即可．
【详解】
解：A、 ，故该选项不合题意；
B、 不能进行因式分解，故该选项不合题意；
C、 ，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项不合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式．
16．(m+3)(m-3)
【解析】【分析】
利用平方差公式即可分解因式．
【详解】
解：m2﹣9＝(m+3)(m-3)．
故答案为：(m+3)(m-3)．
【点拨】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的
关键．
17．
【解析】
【分析】
利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：原式 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查公式法分解因式，熟记平方差公式： 是解本题的关
键．
18．
【解析】
【分析】
利用完全平方公式直接因式分解即可．
【详解】
．
故答案为 ．
【点拨】本题考查公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解决本题的关键．
19．
【解析】
【分析】把分子利用平方差公式分解，分母利用完全平方公式分解，约分计算即可得到结果．
【详解】
解：原式＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了用因式分解进行计算，解题关键是熟练运用公式法进行因式分解．
20．
【解析】
【分析】
连接BE发现，无论正方形BCEF怎样变，△AME面积都与△AMB相等，因为都是以AM
为底，以AM到BE之间的距离为高．
【详解】
连接BE，
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM．
∴△AME与 AMB同底等高．
∴△AME的△面积= AMB的面积．
△
∴当AB=n时， AME的面积为 ，
△
当AB=2019时， AME的面积为 ．
△
当AB=2020时， AME的面积为 ．
△∴
故答案为：
【点拨】本题考查等面积法在几何题中的应用，善于发现BE始终平行AM是本题关键．
21．18
【解析】
【分析】
先因式分解，再整体代入计算即可．
【详解】
故答案为：18
【点拨】本题考查因式分解的应用，先根据完全平方公式进行因式分解再整体代入是解题
的关键．
22．
【解析】
【分析】
先用十字相乘分解，再用平方差公式分解即可．
【详解】
解：x4+3x2﹣10
=
=
故答案为： ．
【点拨】本题考查了实数范围内因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法在实数范
围内进行分解．23．±8
【解析】
【分析】
根据题意，利用完全平方公式配方，进而确定出m的值即可．
【详解】
解：根据题意得：x2+mx+16=(x+n)2，
整理得：x2+mx+16=x2+2nx+n2，
∴m=2n，n2=16，
解得：n=±4，m=2n=±8，
故答案为：±8．
【点拨】此题考查了完全平方式，利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题
的关键．
24．
【解析】
【分析】
将 当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】
解：原式 ．
故答案是： ．
【点拨】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，
并将 当作整体，得到平方差的形式．
25．（x﹣2）（x﹣5）（x+1）
【解析】
【分析】
当x＝2时，代数式的值为0，则多项式含有因式（x﹣2），于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）
（x2+mx+n），展开对照，求出m，n的值，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：把x＝2代入多项式，
x3﹣6x2+3x+10＝23﹣6×22+3×2+10
＝8﹣6×4+6+10
＝8﹣24+6+10
＝0，
于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n，
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∴m﹣2＝﹣6，n﹣2m＝3，﹣2n＝10，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）（x﹣5）（x+1），
故答案为：（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．
【点拨】本题考查因式分解的应用，题目形式较为新颖，从题目中获取正确信息是解题关
键．
26．
【解析】
【分析】
先提取公因式，在利用公式法计算即可；
【详解】
原式 ；
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了利用提取公因式法和公式法进行因式分解，准确利用公式求解是
解题的关键．
27．36
【解析】
【分析】
先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】
∵ ，
∴原式= ，故答案是：36．
【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
28．（1）4ab（3a＋1）（x－y）；（2）（4m＋n）（2m＋3n）；（3）（x＋y＋3）2（x＋
y－3）2
【解析】
【分析】
（1）利用提公因式法求解；
（2）先利用完全平方公式去括号，合并同类项再根据十字相乘法分解因式；
（3）根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解即可．
【详解】
解：（1）12a2b（x－y）－4ab（y－x）
=4ab（3a＋1）（x－y）；
（2）（3m＋2n）2－（m－n）2
=
=
=（4m＋n）（2m＋3n）；
（3）（x＋y）4－18（x＋y）2＋81
=
=（x＋y＋3）2（x＋y－3）2．
【点拨】此题考查因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公
式和完全平方公式），熟记公式并熟练应用是解题的关键．
29．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8）
；（9）
【解析】【分析】
（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；
（6）先把原式变为 ，再利用平方差公式
分解因式即可；
（7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（8）利用十字相乘的方程分解因式即可；
（9）利用十字相乘的方程分解因式即可．
【详解】
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ．
【点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
30．（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b)
【解析】【分析】
（1）仿照例题方法分解因式即可；
（2）仿照例题方法分解因式即可；
【详解】
解：（1）x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
（2）a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－(3b)2
=（a+2b +3b）(a+2b－3b)
=(a+5b)( a－b)．
【点拨】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因
式方法并能灵活运用是解答的关键．
