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专题4.1 图形的相似（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2021秋•玄武区期末）若a：b＝4：3，且b2＝ac，则b：c等于（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：3 D．3：4
【答案】C。
【解答】解：∵a：b＝4：3，且b2＝ac，
∴b：c＝a：b＝4：3．
故选：C．
2．（2021春•宁阳县期末）若3x﹣2y＝0，且xy≠0，则 的值等于（ ）
A．0 B．4 C．﹣5 D．
【答案】B。
【解答】解：∵3x﹣2y＝0，
∴3x＝2y，
∴ ＝ ＝4．
故选：B．
3．（2021•荣昌区校级模拟）若 ＝ （a≠0，b≠0），则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D。
【解答】解：∵ ＝ （a≠0，b≠0），
∴4a＝3b，
故a＝ b，
则 ＝ ＝ ．
故选：D．
4．（2021秋•汝阳县期中）下面四组线段中，成比例的是（ ）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a＝ ，b＝ ，c＝3，d＝
【答案】B。
【解答】解：A、2×5≠3×4，故选项错误；
B、1×4＝2×2，故选项正确；
C、4×10≠5×6，故选项错误；
D、 ×3≠ × ，故选项错误．
故选：B．
5．（2022春•杨浦区校级期中）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长
为（ ）
A．50cm B．500cm C． D．
【答案】B。
【解答】解：设长度为10cm的线段实际长为xcm，则：
＝ ，
解得，x＝500．
故选：B．
6．（2021春•柳江区期中）将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形
是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
【答案】A。
【解答】解：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条
边与原三角形的三条边对应成比例，
∴两三角形相似．
又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，
∴得到的三角形仍是直角三角形．
故选：A．
7．（2021秋•霞浦县期中）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D。
【解答】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
8．（2021秋•长春期中）如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，
则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A。
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多
边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定
义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的
定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的
定义，不符合题意；故选：A．
9．（2021秋•封丘县期中）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个等腰三角形
【答案】C。
【解答】解：A．两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不
一定相似，故本选项不合题意；
B．两个矩形对应角都是直角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项
不合题意；
C．两正方形对应角相等，对应边成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；
D．两个等腰三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本
选项不合题意．
故选：C．
10．（2021秋•信都区期中）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边
长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A。
【解答】解：由题意，两个矩形相似，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得x＝3或0（0不符合题意舍去），
故选：A．
二、填空题。
11．（2021秋•金牛区校级期中）若 ，则 的值为 ．【答案】 。
【解答】解：∵ ，
∴4（2a﹣3b）＝6b，
∴8a﹣12b＝6b，
∴8a＝6b+12b，
∴8a＝18b，
两边都除以18a，得
＝ ，
即 ＝ ，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
12．（2021秋•盐湖区期中）已知 ．若b+d+f＝6．则a+c+e的值为 8 ．
【答案】8。
【解答】解：∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴a＝ b，c＝ d，e＝ f，
∵b+d+f＝6，
∴a+c+e＝ b+ d+ f
＝ （b+d+f）
＝ ×6
＝8．
故答案为：8．
13．（2021秋•锡山区期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b
＝8cm，则线段c＝ 4 cm．【答案】4。
【解答】解：线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是a、b的比例中项，
∴ ＝ ，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c ＝4，c ＝﹣4（舍去），
1 2
∴线段c＝4cm．
故答案为：4．
14．（2022春•永丰县期中）已知两个相似多边形的周长比为 1：2，它们的面积和为
100，则较小多边形的面积是 2 0 ．
【答案】20。
【解答】解：∵两个相似多边形的周长比为1：2，
∴两个相似多边形的面积比为1：4，
∴设较小多边形的面积为x，则较大多边形的面积为4x，
∵它们的面积和为100，
∴x+4x＝100，
∴x＝20，
∴较小多边形的面积是20，
故答案为：20．
15．（2021秋•伊川县期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧
说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值
为 1 1 ．
【答案】11。
【解答】解：由两个枫叶图案相似，
可得 ，解得x＝11，
即x的值为11．
故答案为：11．
16．（2021秋•临川区校级期中）北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发
现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院 ABCD（北至保和殿，南至太和门，
西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似
形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．
根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 7 2 丈．
【答案】72。
【解答】解：设三大殿宫院的宽为x丈，
由题意得，x：40＝9：5，
解得，x＝72丈，
故答案为：72．
17．（2022春•江阴市期中）已知 ＝ ＝ ，则 的值为 ．
【答案】 。
【解答】解：由已知 ＝ ＝ ，令 x＝2k，y＝3k，z＝4k，且 k≠0，则代入
得：＝
＝
＝
故答案为： ．
18．（2021秋•嵩县期中）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之
间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就
能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这
些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
【答案】 ：1。
【解答】解：设A 型号的长为a，宽为b（a＞b），
1
则A 的长为b，宽为 a，
2
∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴ ＝ ，
解得：a2＝2b2，
∴a＝ b（负数舍去），∴ ＝ ＝ ：1，
即这些型号的复印纸的长、宽之比为 ：1，
故答案为： ：1．
三、解答题。
19．（2021秋•宁波期中）已知a：b＝3：2，求：
（1） ；
（2） 的值．
【解答】解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k，
（1） ＝ ＝ ；
（2） ＝ ＝﹣1．
20．（2021秋•靖西市期中）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10
厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度
比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？
【解答】解：10×3000000＝30000000（厘米），
30000000厘米＝300千米，
设甲车的速度是3x千米/时，则乙车的速度是2x千米/时，根据题意得
2（2x+3x）＝300，
解得x＝30，
2x＝2×30＝60，
3x＝3×30＝90．
答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时．
21．（2021秋•北仑区期中）（1）已知 ＝ ，求x：y的值．
（2）已知线段a＝3，b＝6，求线段a，b的比例中项．【解答】解：（1）∵ ＝ ，
∴设x＝3k，x+y＝7k，
∴y＝4k，
∴x：y＝3k：4k＝3：4；
（2）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
∴ ，
∴x2＝ab＝3×6＝18，
∴x＝±3 （负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3 ．
22．（2021秋•宁明县期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，
，求△ABC三边的长．
【解答】解：设 ＝x，
∴a＝3x，b＝4x，c＝5x．
∵a+b+c＝48，
∴3x+4x+5x＝48，
解得x＝4，
∴a＝3x＝12，b＝4x＝16，c＝5x＝20．
即△ABC三边的长分别为12，16，20．
23．（2021秋•六盘水月考）如图，四边形 ABCD∽四边形A B C D ，∠A＝80°，∠B＝
1 1 1 1
75°，∠C＝125°，求x，∠D ．
1
【解答】解：∵∠C＝125°，∠A＝80°，∠B＝75°，∴∠D＝360°﹣125°﹣80°﹣75°＝80°，
∵两个四边形相似，
∴∠D ＝∠D＝80°，
1
，
解得x＝10．
24．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角 、 的大小
和EF的长度x． α β
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴ ＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
∴αx：21＝24：18，解得x＝28．
在四边形EFGH中， ＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．β
故 ＝83°， ＝81°，x＝28．
25．（α2021秋•β遵化市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
（1） ＝ 83 ° ，它们的相似比是 ．
（2）α求边x、y的长度．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，
∴∠C′＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
它们的相似比为： ＝ ，
故答案为：83°； ；（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴ ＝ ＝ ，
解得，x＝12，y＝ ．
26．（2022春•牟平区期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成
比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确
（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 真 命题）
（2）如图，在四边形 ABCD 和四边形 A B C D 中，∠ABC＝∠A B C ，∠BCD＝
1 1 1 1 1 1 1
∠B C D ， ．求证：四边形ABCD与四边形A B C D 相似．
1 1 1 1 1 1 1
【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；
③两个大小不同的正方形相似，是真命题；
故答案为：假，假，真；
（2）证明：如图，连接BD，B D ．
1 1
∵∠BCD＝∠B C D ，且 ，
1 1 1
∴△BCD∽△B C D ，
1 1 1
∴∠CDB＝∠C D B ，∠C B D ＝∠CBD，
1 1 1 1 1 1
∵ ，∴ ，
∵∠ABC＝∠A B C ，
1 1 1
∴∠ABD＝∠A B D ，
1 1 1
∴△ABD∽△A B D ，
1 1 1
∴ ，
∴ ∠ A ＝ ∠ A ， ∠ ABC ＝
1
∠A B C ，∠BCD＝∠B C D ，
1 1 1 1 1 1
∴四边形ABCD与四边形A B C D 相似．
1 1 1 1
27．（2021春•鄂州期中）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、
A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原
长方形的长与宽的比值相等．
（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．点P是AD
上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长．
【解答】解：（1）设长方形的长与宽分别为a，b．
由题意： ＝ ，∴a2＝2b2，
∴ ＝ ．
（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，
∵∠PEB＝90°，
∴PE⊥BE，
∵BE⊥AC，BE⊥PE，
∴PG∥AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝2 ，AD∥BG，∠ABC＝90°，
∴四边形APGC是平行四边形，
∴PG＝AC＝ ＝ ＝2 ，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠GBP，
∵∠APB＝∠GPB，
∴∠GBP＝∠GPB，
∴GP＝GB＝2 ，
∴AP＝CG＝BG＝BC＝2 ﹣2 ．
