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专题 4.1 函数
1. 结合实例理解常量、变量的意义，掌握函数的核心概念，能准确判断两个变量间
是否存在函数关系。
2. 会用列表法、解析式法、图象法表示函数，能确定自变量的取值范围并求函数
教学目标
值。
3. 经历函数概念的形成过程，初步建立模型思想，能运用函数知识解决简单实际问
题。
1.重点
教学重难点 （1）深刻理解函数的本质特征，即“自变量每一个确定值，因变量有唯一确定值对
应”，掌握函数三要素。（2）熟练掌握函数的三种表示方法，能根据具体情境选择合适方法表示函数关系。
2.难点
（1）难以抽象概括函数概念的本质，对“唯一确定对应”的理解易模糊，判断函数
关系时易出错。
（2）不易将实际问题转化为函数模型，在确定自变量取值范围时，易忽略实际情境
的限制条件。
知识点01 函数的概念
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
函数值： 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列 与 的关系中， 不是 的函数关系的是 ．（填序
号）
； ； ； ； ； ．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
知识点02 函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
【微点拨】
1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一
个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以
是多个.比如： 中，当y的值为4时， 的值为±2.
【即学即练2】1．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6
升，如果设剩油量为 （升），行驶路程为 （千米）
(1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；
(2)用含 的代数式表示 ；（写出自变量的取值范围）
(3)当 时， 是多少？当 时， 是多少？
2．（24-25八年级下·全国·期中）一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4 内只进水不出水，
在随后的14 内既进水又出水，在第18 后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容
器内的水量）（单位： ）与时间x（单位： ）之间的关系如图所示．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)每分钟的进水量为_____ ，每分钟的出水量为_____ ；
(2)求m的值；
(3)若在某一时间x（ ） 时，容器内水量恰好为30 ，直接写出此时x的值为_____．
题型01 函数的概念及图象识别
【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列表达式中， 不是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列各图给出了 与自变量 之间的对应关系，其中能表示
是 的函数的是（ ）
A．②④ B．①③ C．①④ D．③④
【变式2】（24-25九年级·浙江·自主招生）有下列6个等式：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ．其中表示“ 是 的函数有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 函数的三种表示方法之列表法
【典例2】（24-25七年级下·陕西·期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行
高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示．
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 …
下列说法正确的是（ ）
A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米
B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米
C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同
D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米
【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）李强一家自驾车到离家 的九寨沟旅游，出发前将油箱
加满油．下表记录了轿车行驶的路程 与油箱剩余油量 之间的部分数据：
30
轿车行驶的路程 0 100 200 400 …
0
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶100km耗油8L
C．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余 油
【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向
前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过
，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
…
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 ……
刹车距离（m） 0 5 10 …
下列说法中错误的是（ ）
A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离
B．刹车时的车速每增加 千米，刹车距离就增加
C．当刹车距离为 时，刹车时的车速为
D．当刹车时的车速为 时，与其前方距离为 的车辆不会追尾
【变式3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习
强国” ，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积
分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（ ）
学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7
周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．从第 天到第 天，周积分的增长量为50分
D．天数每增加 天，周积分的增长量不一定相同
题型03 函数的三种表示方法之解析式
【典例3】（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣
传单，校园附近有一家印刷社，收费 （元）与印刷数量 （张）之间的关系如表：
印刷数量 （张）
收费 （元）
(1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是
(2)从上表可知：收费 （元）随印刷数量 （张）的增加而
(3)若要印制1000张宣传单，收费 元
【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为
标准大气压，并得到几组对应的数据如下：
1
加热时间 0 20 30
0
1
液体温度 8 28 38
8
(1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当加热 时该液体沸腾，求该液体的沸点．
【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为 的篱笆围一个长方形花圃，其一
边靠墙(墙长 ，另外三边是篱笆，其中 不超过 设垂直于墙的两边 的长均为 ，长方形花
圃的面积为 ．
(1)判断 是否符合题意，并说明理由
(2)求 与 之间的关系式
(3)根据关系式补充表格：
观察表中数据，写出 随 变化的一个特征： ．
（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
（米
13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5
）
【变式3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开
车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能
停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过 ）
进行了测试，测得的数据如下表：
．．
刹车时车速 0 10 20 30 40 50
．
．．
刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5
．
请回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)当刹车时车速为 时，刹车距离是 ；
(3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ；
(4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超
速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里）题型04 函数的三种表示方法之图象法
【典例4】（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的
是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器
内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度 与注水时间 的
图象大致为图中的（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化
的情况．(1)上午8时的温度是多少？16时呢？
(2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？
(3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？
(4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？
(5)图中的点 A 表示的是什么？点 B 呢？
【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开
口，壁厚不计．容器A底面积为 ，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均
匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图．
(1)注水速度为 ，容器A高度为 ．
(2)请计算容器B的底面积是多少？
(3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？
(4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像．
题型05 求自变量的取值范围
【典例5】（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油 ，每行驶 耗油 ，若不再加油，
则行驶过程中油箱内剩余油量 与行驶路程 之间的函数关系式为 ，自变量 的取值
范围是 ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若函数 在实数范围内有意义，则自变量 的取值范
围是 ．
【变式2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函
数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ；
【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形 中， ， 是边 上的
动点，且不与点 ， 重合．设 ，梯形 的面积为 ，则 与 之间的关系式是 ．（写
出自变量 的取值范围）题型06 求自变量的值或函数值
【典例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）同一温度的华氏度数 与摄氏度数 之间的函数关系
是 ．如果某一温度的摄氏度数是 ，那么它的华氏度数是 ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）在函数 中，当 时，函数值为 ；当函数值
为4时，自变量x的值为 ．
【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）地表以下岩层的温度y（ ）随着所处深度x（ ）的
变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式 来表示，当 时，
．
【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为 ，
则当 秒时，该物体的位置s为 米．
题型07 动点问题画函数图象
【典例7】（25-26七年级上·重庆·自主招生）已知动点P以每秒 的速度沿图甲的边框按
的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若
，则图甲中的图形面积是 平方厘米．
【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在 中， ．动点 从 的顶点
出发，以 的速度沿 匀速运动回到点 ．图2是点 运动过程中，线段 的长度
（单位： ）随时间 （单位： ）变化的图象，其中点 为曲线部分的最低点．则图2中 的值为
．
【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图1，在 中，高为 ，动点 从点 出发沿折线
匀速运动至点 后停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图2是 与 的函数关系的大致图象，其中点 为曲线 的最低点，结合图形与图象解答：
(1) ______， ______；
(2)当 在 上时，求 的最小值；
(3)求 的长．
【变式3】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形 的边 的长为 ，动点H以
的速度从点A出发沿折线 匀速运动到终点D，设点H的运动时间为 ， 的面积为S
，S与t之间的关系如图②所示．
(1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________．
(2) _________ ， _________；
(3)点H的运动时间为 时，求 的面积b．
题型08 从函数的图象获取信息
【典例8】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，
由图象判断下列说法错误的是（ ）
A． 时，物体通过的路程为
B．在整个 时间内，物体运动的平均速度为C．物体运动的总路程为
D．物体在 内的速度比 内的速度大
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加
速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为
匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，
小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离 米 与
小强出发时间 分 之间的函数关系如图．
结合图象信息，小成给出如下说法：
小林先到达少年宫； 小林的速度是小强速度的 倍； 小强出发 分钟时到达少年宫； 小强出
发 分钟时，小林还需要继续行进 米才能到达少年宫．
其中正确的说法是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025九年级·河南·专题练习）光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，
光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，
研究温度（单位： ）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，
根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（ ）A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小
B．当温度为 时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大
D．草莓生长最快时的温度约为
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列变化过程中，两变量间存在函数关系的是（ ）
A． 和 是变量， B．人的身高与年龄
C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间
2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各图给出了 与自变量 之间的对应关系，其中能表示 是 的
函数的是（ ）
A．②④ B．①③ C．①④ D．③④
3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列式子：① ；② ；③ ；④ ．
其中y是x的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量 （千克）与收入 （元）的关系如下表：
质量 千
1 2 3 4 5 …
克
收入 元 …
则收入 （元）与卖出的苹果质量 （千克）之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
质量 千克 1 2 3 4 5 …
收入 元 …
5．（24-25七年级下·河南开封·期末） 是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，
称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温
度的升高而增大，用 材料制成的电热器具有发热、控温双重功能，应用十分广泛．如图1是某款家用
电灭蚊器，它的发热部分就使用了 发热材料，其电阻值 ( )随温度 ( )变化的关系图象如图2所
示，下列说法中不正确的有（ ）个．
①由图2，可知该 发热材料的“居里点温度”是
②当 时，该 发热材料的电阻值为
③当 时，
④发热部分的电阻值随温度的升高而增大
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
7．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）若函数 ，则当自变量 时，函数值 ．8．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知梯形上底的长是 ，下底的长是 ，高是 ，面
积是 ．则y与x的关系式是 ．
9．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）已知A，B两地相距 ，甲、乙两人沿同一条路从A地到B
地， 分别表示甲、乙两人离开A地的距离 与时间 之间的关系，根据图象，下列结论：
①乙先出发1小时后，甲才出发；②乙出发1.5小时后两人相遇，这时他们离A地 ；③甲到达B地
后乙到达B地；④甲的速度为 ，乙的速度为 ．其中正确的有 ．（填序号）
10．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图1所示，长方形 中，动点P从点B出发，以 的速
度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒， 的面积为 ，y与x的关系如图
2所示，当 时，则 秒．
三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）某车间的甲、乙两名工人同时生产同种零件，他们生产的零件个数
（个）与生产时间 （小时）之间的函数关系如图．
(1)根据图象填空
①甲、乙中，______先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，______因机器故障停止生产______小时；
②当 ______时，甲、乙生产的零件个数相同．
(2)谁在哪一时间段内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
12．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为 元，即快递物品质量不超过 千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关
系如图所示，
请根据图象回答下列问题：
(1)观察图象填空： ， ， ；
(2)若顾客快递物品的质量为 千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式；
(3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费 元，求他快递物品
的质量为多少千克？
13．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且 ，
，动点 从点 出发，沿着图形的边以 的速度按 的方向运动，到点
处停止运动．图2是 的面积 与点 的运动时间 的关系，请回答以下问题：
(1) ， ，题2图中 ．
(2)当点 在 边运动时，求 与 的关系式．
14．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形 中， 是对角线，动点 从点 出发，
沿着 的路径运动．过点 作 于点 ．设点 的运动路程为 ， 的值为 ，
与 之间的变量关系如图2所示．
(1)请问 ， ， ；
(2)图2中(？)处该填 ；
(3)当点 在线段 上运动时 不与端点重合 ，求 的面积 与 之间的关系式(写出 的取值范围)．
15．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图①，在直角梯形 中， ，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿 运动到点D停止．设运动时间为a秒， 的面积为S，S与
a的变化情况如图②所示．
(1)求出 、 的长．
(2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线 运动到点C停止．同时，动点Q
从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线 运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点
运动到 边上时，连接 ，当 的面积为8时，时间t是多少？
