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专题 4.1 因式分解
因式分解的概念
【例1】下列从左到右的变形中，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
、 不是因式分解，故本选项不符合题意；
、 是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
、 右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不
符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． ，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，
故本选项不符合题意；
． ，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不
属于因式分解，故本选项不符合题意；
． ，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
． ，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． ，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，
故本选项不符合题意；
． ，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项
不符合题意；
． ，故本选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分
解，故本选项不符合题意；
．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
． ，故本选项不符合题意；
．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选： ．
提公因式
【例2】分解因式： ．【解答】解：
．
【变式训练1】分解因式： ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【变式训练2】分解因式 ．
【解答】解：原式 ．
故答案为： ．
【变式训练3】因式分解： ．
【解答】解：原式
．
故答案为 ．
完全平方公式
【例3】把 分解因式为 ．
【解答】解：
，
故答案为： ．【变式训练1】分解因式： ．
【解答】解：
，
故答案为： ．
【变式训练2】分解因式： ．
【解答】解：
，
故答案为： ．
【变式训练3】因式分解： ．
【解答】解：
，
故答案为： ．
完全平方求参
【例4】若 ，那么 的值是
A．5 B． C．10 D．
【解答】解： ，，
，
故选： ．
【变式训练1】若 ，则 ， 的值分别为
A．9，1 B． ，1 C． ， D．9，
【解答】解： ，
，
， ，
解得 ， ，
故选： ．
【变式训练2】已知 可以用完全平方公式进行因式分解，则 的值为
A． B．2 C．4 D．
【解答】解： ，
，
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】若 ，则 ， 的值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ，
， ，
解得 ， ，
故选： ．平方差公式
【例5】因式分解： ．
【解答】解：
，
故答案为： ．
【变式训练1】分解因式 ．
【解答】解：
，
故答案为： ．
【变式训练2】分解因式： ．
【解答】解：
，
故答案为： ．
【变式训练3】因式分解： ．
【解答】解：原式．
故答案为： ．
整体思想
【例6】已知 ， ，则代数式 的值是
A ． B ． 6 C ． D ．
【解答】解： ， ，
故选： ．
【变式训练1】已知 ， ，则 1 2 ．
【解答】解：当 ， 时，
，
故答案为：12
【变式训练2】已知 ， ，则多项式 的值为
A． B．0 C．3 D．6
【解答】解：
将 ， 代入，得
原式 ．
故选： ．
【变式训练3】已 知 ， ， ， 那 么的值等于 3 ．
【解答】解： ， ， ，
．
故答案为：3
简便计算
【例7】计算： 1 ．
【解答】解：原式
故答案为：1
【变式训练1】计算 的结果为 31 4 ．
【解答】解：原式
．
故答案为314
【变式训练2】利用因式分解进行简便运算：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练3】计算：
（1）用简便方法计算： ；
（2）因式分解： ．
【解答】解：（1）
；
（2） ．
．
因式分解与三角形
【例8】若 的三边 、 、 满足 ，则 形状为
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：由 得：
，
，
即 ，
或 ，
形状为等腰三角形或直角三角形．
故选： ．
【变式训练1】已知 ， ， 为 的三边，且满足 ，则 是
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解： ，
，
，
，
或 ，
为等腰三角形或直角三角形，
故选： ．
【变式训练2】若 的三边长 、 、 满足 ，那么
是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【解答】解： ，
，
，
即： ， ， ，
，
是直角三角形．
故选： ．
【变式训练3】已知 ， ， 是 的三边长，且满足 ，则此三角
形是
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【解答】解： ，
，
，
，
是等边三角形，
故选： ．
因式分解的应用
【例9】小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ， ，
2， ， ， 分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是
A．我爱定西 B．爱定西 C．我爱学 D．定西数学
【解答】解：，
结果呈现的密码信息可能是：我爱定西，
故选： ．
【变式训练1】小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ，
，3， 十1， ， 十1分别对应下列六个字：你，爱，嵩，数，学，县，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是
A．你爱学 B．嵩县爱你 C．爱嵩县 D．你爱数学
【解答】解：
，
， ，3， ， ， 分别对应下列六个字：你，爱，嵩，数，学，县，
结果呈现的密码信息可能是：嵩县爱你，
故选： ．
【变式训练2】如图，四边形 是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的
面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式 因式分解，其结果正确的
是
A． B． C． D．【解答】解：观察图形可知 ．
故选： ．
【变式训练3】把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新
的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是
A．偶数 B．奇数 C．11的倍数 D．9的倍数
【解答】解：设原两位数十位上的数字是 ，个位上的数字是 ，则原两位数为 ，
新两位数为 ，
这两个数的和为 ，
所得的和一定是11的倍数，
故选： ．
因式分解综合
【例10】因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【变式训练1】分解因式：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1） ；
（2）
．
【变式训练2】分解因式：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
【变式训练3】分解因式：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ；
（2）
．
换元法
【例11】阅读与思考：
材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程．
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填写选项）．
．提取公因式
．平方差公式
．两数和的平方公式
．两数差的平方公式
（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”
若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
【解答】解：（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，
故选： ；
（2）小影同学因式分解的结果不彻底，
原式
，
故答案为：不彻底， ；
（3）设 ，原式 ，
，
，
，
．
【变式训练1】阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元
法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式 进行因
式分解的过程．
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填代号）．
．提取公因式
．平方差公式
．两数和的完全平方公式
．两数差的完全平方公式
（2）请你模仿以上方法，分解因式： ．【解答】解：（1） ，
第二步到第三步运用了因式分解的“两数和的完全平方公式”，
故答案为： ；
（2）设 ，
．
【变式训练2】（1）填空： 9 ；
（2）阅读，并解决问题：
分解因式
解：设 ，则原式
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字
母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元
法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
①
②
【解答】解：（1） ，
故答案为：9，3；（2）① ，
设 ，
则原式 ；
② ，
，
，
设 ，
则原式 ．
【变式训练3】阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元
法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式 进行因
式分解的过程．
解：设
原 式 （ 第 一 步 ） （ 第 二 步 ） （ 第 三 步 ）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填代号）．
．提取公因式 ．平方差公式 ．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项
式分解因式的最后结果为 ．
（3）请你模仿以上方法对多项式 进行因式分解．
【解答】解：（1）运用了 ，两数和的完全平方公式；（2） 还可以分解，分解不彻底；
；
（3）设 ．
．
故答案为： ； ．
待定系数法
【例12】因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式 进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘
得来的．故可写成 ，即 （对任意
实数 成立），由此得 ， ．易得一组解： ， ，所以
．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解： ．
（2）因式分解： ，请写出一组满足要求的 ， ， 的值：
．
（3）请你运用待定系数法，把多项式 进行因式分解．【解答】解：（1）
．
故答案为： ．
（2） ．
．
， ， ．
解得： ， ， 或 ， ， ．
故选填一组即可．
故答案为： ， ， ．
（3）原式
．
【变式训练1】1637年笛卡尔 ． ， 在其《几何学》中，首次应用
待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式： ．观察知，显然 时，原式 ，因此原式可分解为 与另
一 个 整 式 的 积 ． 令 ： ， 而
，因等式两边 同次幂的系数相等，
则有： ，得 ，从而 ．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 的值并将多项式 分解因式．
（2）若多项式 含有因式 及 ，求 ， 的值．
【解答】解：（1）令 ，
而 ，
等式两边 同次幂的系数相等，
即
解得
的值为0，
（2）
令 ，
而 ，
等式两边 同次幂的系数相等，
即解得
答： 、 的值分别为8、 ．
解法二：由题意， ，
解得 ．
【变式训练2】待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式
为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解： ．
因为 为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项
式的乘积．故我们可以猜想 可以分解成 ，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相
等： ， ， 可以求出 ， ．所以 ．
（1）若 取任意值，等式 恒成立，则 1 ；
（2）已知多项式 有因式 ，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
【解答】解：（1） ，
， ；
故答案为：1；
（2）设 ，
，解得 ，
多项式的另一因式是 ．
【变式训练3】阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，
同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解 ．
因为 为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项
式的乘积．
故我们可以猜想 可以分解成 ．
展开等式右边得： ，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同
类项的对应系数相等， ， ， ，
可以求出 ， ，
所以 ．
（1）若 取任意值，等式 恒成立，则 1 ；
（2）已知多项式 有因式 ，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
【解答】解：（1） ，
， ；
故答案为：1；
（2）设 ，
， ，
多项式的另一因式是 ．
阅读材料与新定义
【例13】阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：； ．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
； ．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式．如将式子
分解因式．这个式子的二次项系数是 ，常数项 ，一次项系数
，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十
字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写
这样，我们就可以得到： ．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ．
故答案为：（1） ，（2） ，（3） ，（4）
．
【变式训练1】在现今”互联网 ”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，
而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆
的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一
个多项式分解因式，如多项式 因式分解的结果为 ，当 时， ，
，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式 因式分解的结果
为 ，当 时， ， ， ，此时可以得到数字
密码091112
（1）根据上述方法，当 ， 时，求多项式 分解因式后可以形成哪些数字
密码；（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，其中两条直角边分别为 ， ，求出一
个由多项式 分解因式后得到的密码；（只需一个即可）
（3）若多项式 因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个
密码2821，求 、 的值．
【解答】解：（1） ，
当 ， 时， ， ，
可得数字密码是120717；也可以是121707，171207；
（2）由题意得： ，解得 ，
而 ，
可得数字密码为1225
（3） 密码为2821，
当 时，
，
即： ，
，
解得 ．
【变式训练2】阅读下列材料，解决后面两个问题：对于一个四位正整数（各数位上的数字
都不为零），若将它的千位上的数字移到个位数字的后面，将得到一个新的四位正整数，
则称新数为原数的“变形数”．例如：1234的“变形数”为2341，6789的“变形数”为
7896
（1）请写出1999的“变形数”，并判断1999的“变形数”与它的差能否被9整除？说明
理由．
（2）任意一个四位正整数与其“变形数”的差都能被9整除吗？说明理由．
【解答】（1）解：1999的“变形数“为9991，
1999的“变形数”与它的差能被9整除，理由如下：
它们的差9为 ，
，
它们的差能被9整除；
（2）证明：任意一个四位正整数与其变形数的差都能被9整除，理由如下：
设一个四位正整数的千位数字是 ，百位数字是 ，十位数字是 ，个位数字是 （其中 ，
， ， 都是不为零的数字），则这个数为 ，
它的“变形数”为 ，它们的差为：
，
， ， ， 都是不为零的数，
一定能够被9整除，
任意一个四位正整数与其“变形数”的差都能被9整除．
【变式训练3】如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为 的
小正方形，5块是长为 ，宽为 的小长方形，2块是边长为 的大正方形．
（1）观察图形，可以发现代数式 可以分解因式为 ；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为 ，宽为 的小长方形的面积是15
①则图中1块边长为 的小正方形和1块边长为 的大正方形的面积之和为 ；
②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．
【解答】解：（1）如图，
矩形 由2块边长为 的小正方形，5块长为 ，宽为 的小长方形，2块边长为
的大正方形组成，
，又 矩形 的长为 ，宽为 ，
，
，
故答案为： ；
（2）① 这块长方形纸板的面积为177，每块长为 ，宽为 的小长方形的面积是15，
， ，
，
，
，
，
，
即1块边长为 的小正方形和1块边长为 的大正方形的面积之和为51，
故答案为：51；
②通过平移的性质可知，图中所有剪裁线（虚线部分）长的和即为矩形 的周长，
，
图中所有剪裁线（虚线部分）长的和 ．
