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专题14 圆与二次函数综合
1．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，
⊙O 为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
1
(1)求抛物线的解析式；
(2)求cos∠CAB的值和⊙O 的半径；
1
(3)如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足
△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)y=x2+4x+3；
(2)cos∠CAB= ，⊙O 的半径为 ；
1
(3)点N的坐标为（ ，− ）或（ ，− ）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由
圆周角定理，确定△BOC为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；
1
（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段
BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相
似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，
求出点N的坐标．
(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3；
(2)
解：由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则 AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°， △
∴cos∠CAB= ．
在Rt BOC中，由勾股定理得：BC= ．
△
如答图1所示，连接OB、OC，
1 1
由圆周角定理得：∠BOC=2∠BAC=90°，
1
∴△BOC为等腰直角三角形，
1
∴⊙O 的半径OB= BC= ；
1 1(3)
解：抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2-1，
∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称．
如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，
∴D（-4，3）．
又∵点M为BD中点，B（-1，0），
∴M（− ， ），
∴BM= ；
在 BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
△
由两点间的距离公式得：BP= ，BC= ，PC=2 ．
∵△BMN∽△BPC，
∴ ，即 ，
解得：BN= ，MN=3 ．
设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，
解之得， ， ，
∴点N的坐标为（ ，− ）或（ ，− ）．
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定
理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需
要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最
终正确求得点N的坐标．
2．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且
BC⊥AC，抛物线 经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．
（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 .
（2）如图2，求证：BD//AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．
【答案】（1）（6，2） （2）见解析（3）8
【详解】解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在 AOC与 CEB中，
△ △
∴△AOC≌△CEB（AAS），则
CE=AO=4， BE=CO=2，OE=6，
∴B（6，2）．
将B（6，2），C（2，0）代入 ，得
，解得 ．
∴抛物线的表达式为 ．
（2）证明：令 ，即 ，解得x=2或x=7．
∴D（7，0）．
如下图所示，过点B作BE⊥x轴于点E，
则DE=OD-OE=1，CD=OD-OC=5．
在Rt BDE中，由勾股定理得： ；
△
在Rt BCE中，由勾股定理得：
△
在 BCD中，BC = ，BD= ，CD=5．
△∴ ．
∴∠CBD=90°，即BD⊥BC．
又∵ AC⊥BC，∴BD//AC．
（3）连接AB，BP，
∵AC⊥BC，BC=AC= ，
∴∠ACB=90°，∠ABC=45°，∠APB= ∠ACB=45°，AB= ．
∴∠ABQ=∠APB．
又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB．
∴ ，即 ，解得AP=8．
3．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+ x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E
是直线y=﹣ x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边
形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大= ，M坐标为（ ，3）；（3）F坐标为（0，﹣ ）．
【分析】1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次
函数解析式联立求出E坐标即可；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积
最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；
（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角
形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．
【详解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得： ，
解得： ，即二次函数解析式为y=﹣ x2+ x+2，
联立一次函数解析式得： ，
消去y得：﹣ x+2=﹣ x2+ x+2，
解得：x=0或x=3，
则E（3，1）；
（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，
设M（m，﹣ m2+ m+2），则H（m，﹣ m+2），
∴MH=（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+2m，
S =S +S = ×2×3+ MH•3=﹣m2+3m+3，
四边形COEM OCE CME
△ △
当m=﹣ = 时，S = ，此时M坐标为（ ，3）；
最大（3）连接BF，如图②所示，
当﹣ x2+ x+20=0时，x = ，x = ，
1 2
∴OA= ，OB= ，
∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴ ，即 ，
解得：OF= ，
则F坐标为（0，﹣ ）．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形
的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性
质是解本题的关键．
4．已知：直角梯形 中， ∥ ，∠ = ，以 为直径的圆 交 于点 、 ，
连结 、 、 .
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形：
_____________________，______________________ ；
（2）直角梯形 中，以 为坐标原点， 在 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛
物线 经过点 、 、 ，且 为抛物线的顶点.
①写出顶点 的坐标（用含 的代数式表示）___________；
②求抛物线的解析式；③在 轴下方的抛物线上是否存在这样的点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，使得以点 、 、
为顶点的三角形与△ 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）△ ∽△ ，△ ∽△ . （2）①（1， ）②抛物线的解析式为：
，③当 时，点 为（ ， ）、（ ， ），当 时，两个点 不
存在
【详解】试题分析：（1）根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证得△OAD∽△CDB，
△ADB∽△ECB；（2）①先根据抛物线的对称轴确定出点B的横坐标为1，代入函数关系式即可得出
点B的纵坐标-4a，所以B（1，-4a），②令y=0，可先确定出点A的坐标，然后利用
△OAD∽△CDB，和抛物线的开口方向确定出a的值即可；③设点P（x，y），分点P在对称轴左侧
和右侧两种情况讨论，利用相似三角形的性质和抛物线解析式解答即可．
试题解析：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；
（2）①（1，-4a），
②∵ax2-2ax-3a=0，可得A（3，0），
∵△OAD∽△CDB，∴ ，又OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，∴ ，
∴ ，∵抛物线开口向下，∴ ，故抛物线的解析式为： ；
③当点P在对称轴左侧时如图：因为 ，所以点B为（1,4），点D为（0,3），又A
（3，0），所以 ,因为 为圆M的直径，所以∠ADB=90°，设点P坐标为（x，y），所以PN=-y，AN=3-x，当△APN∽△ABD时， , 所以 ，所以3y=x-3，
又 ，所以 ，解得x= 或x=3（不合题意舍去），所以y= ，
所以点P为（ ， ）；当△PAN∽△ABD时， ,所以 ，所以y=3x-9，
又 ，所以 ，解得x=-4或x=3（不合题意舍去），所以y=-21，所以点P
为（-4，-21）；
当点P在对称轴右侧时如图：同理可得：△APN∽△ABD时，x= 或3，都不合题意，或者
△PAN∽△ABD时，x=2或3，都不合题意，即当 时两个点 不存在．
考点：1．相似三角形的判定与性质2．圆的基本性质3．二次函数与几何知识的综合．
5．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点B在点A的左边），与y轴交
于点C，且 ．
（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，若点P是线段 （不与A、C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M
点，连接 将 沿 对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标．
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足 ，过E作 轴于点F，设F坐标为 ，
， 的内心为I，连接 ， ， ， ，
①请找出一对全等的三角形并证明；
②请直接写出 的最小值．
【答案】（1） ；（2）P（3− ，− ）；（3）①△AIO≌△AIE，理由见详解；②
-
【分析】（1）在抛物线 中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OA＝
OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）先求出直线AC解析式，设M点坐标为（m，m2−2m−3），P（m，m−3），由题意：△PCM
沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，可得到关于m的一元二次方程，求出m即可得到
答案；
（3）①在△AIO和△AIE中，根据SAS，即可得到结论；②作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，
AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，由△AIO≌△AIE，再结合三角形外接圆及等腰直角三角形性质求得：CM，MI，再根据三角形三边长关系可得答案．
【详解】解：（1）在 中，
令y＝0，得： ，
解得：x＝3，x＝−1，
1 2
∴B（−1，0），A（3，0），
∴OA＝3，
∵OA＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，−3），
∴−3a＝−3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为： ；
（2）设直线AC解析式为y＝kx＋b，
∵A（3，0），C（0，−3），
∴ ，解得： ，
∴直线AC解析式为：y＝x−3，
设M点坐标为（m，m2−2m−3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m−3），
∴PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴CA＝ OA，∴CP＝ m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴ m=−m2＋3m，
解得：m＝0（舍去），m＝3− ，
1 2
∴当m＝3− 时，m−3＝− ，
∴P（3− ，− ）；
（3）①△AIO≌△AIE，理由如下：
∵△AEF的内心为I，
∴AI，EI分别平分∠FAE，∠FEA，
在△AIO和△AIE中，
，∴△AIO≌△AIE（SAS），
②作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，
∵EF⊥x轴，
∴∠AFE＝90°，
∴∠FAE＋∠FEA＝90°，
∵△AEF的内心为I，
∴AI，EI分别平分∠FAE，∠FEA，
∴∠IAE＝ ∠FAE，∠IEA＝ ∠FEA，
∴∠IAE＋∠IEA＝ （∠FAE＋∠FEA）＝45°，
∴∠AIE＝135°，
∵△AIO≌△AIE，
∴∠AIO＝∠AIE＝135°，
∵⊙M是△OAI的外接圆，
∴∠OMA＝2×（180°−∠AIO）＝90°，
∴OM＝AM＝ OA＝ ，
∴MI＝OM＝ ，
∴∠MOA＝∠MOH＝45°，
∵MH⊥y轴，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，
∴OH＝HM＝ OM＝ ，
∴CH＝OH＋OC＝ ＋3＝ ，
∴CM＝ ，
∵CI≥CM−MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，
∴CI的最小值为 - ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，三角形内心、外接圆，几何变换−对折，全等三
角形判定和性质等知识点，充分利用三角形内心，合理作辅助线是解题关键．
6．已知抛物线 与 轴分别交于点 ， ，与 轴交于点 ，对称轴
与 轴交于点 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 为对称轴右侧且位于 轴上方的抛物线上一动点（点 与顶点 不重合），
于点 ，当 与 相似时，求点 的坐标；
（3）对称轴 上是否存在一点 使得 ，若存在求出点 的坐标，若不存在请
说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，点M的坐标为 ，或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由P的位置分析得只能是 ，得 ．
延长 交 轴于 ，则 ，设 ，由两点间距离公式可列方程得到F点的坐标，用
待定系数法求直线EF的解析式，于抛物线联立即可求得P点坐标；
（3）当点 在 轴上方时，连接 ， ，由抛物线的对称性可知MA=MB，则
，利用圆中同弧所对圆周角相等的性质得圆心 在对称轴上，设 的坐
标为 ，根据 ，可列方程求得 的坐标，从而求得M的坐标，最后由
轴对称性质可知另一点 的坐标．
【详解】解：（1）把 ， ，点坐标分别代入抛物线解析式，
得：
解得： ，
∴抛物线的解析式：
（2）如图，只能是 ，得 ．
延长 交 轴于 ，
∴ ，
∴
设 ，则
∴ ，即 ．
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解之得 ，∴直线 的解析式 ．
联立 ，
解得 或 （舍去）
∴ ．
（3）如图2，
当点 在 轴上方时，连接 ， ，
设 的坐标为 ，
若 ，
则点 ， ， ， 四点在以 为圆心的圆上
∴
∵ 是抛物线的对称轴，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当点 在 轴下方时，
由对称知， ，
即：点 的坐标为 ，或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用二次函数图像的性质求点的坐标，圆的性质确定点
的位置，掌握二次函数图象的性质为解题关键．
7．如图，抛物线 过点A（ ，2），且与直线 交于B、C两点，点B的
坐标为（ ，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴
上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）PD+PA的最小值为 ；（3）Q （0，2- ）、Q （0，
1 2
2+ ）．
【分析】（1）将点B的坐标为（-4，m）代入 ， ，B的坐标为（-4，
），将A（-3，2），B（-4， ）代入y= x2+bx+c，解得b=-1，c= ，因此抛物线的解析式y=−
x2-x+ ；
（2）设D（m， m2-m+ ），则E（m，m+ ），DE=（ m2-m+ ）-（m+ ）= m2-2m=
（m+2）2+2，当m=-2时，DE有最大值为2，此时D（-2， ），作点A关于对称轴的对称点
A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小；
（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（-1，4），A（-3，2），可得
AH=MH=2，H（-1，2）因为∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM= ∠AHM，可知 AQM外接圆
△
的圆心为H，于是QH=HA=HM=2设Q（0，t），则 ，t=2+ 或2- ，求得符
合题意的点Q的坐标：Q （0，2- ）、Q （0，2+ ）．
1 2
【详解】解：（1）将点B的坐标为（-4，m）代入 ，得m=-4+ =- ，
∴B的坐标为（-4，- ），
将A（-3，2），B（-4，- ）代入y=- x2+bx+c，解得b=-1，c= ，
∴抛物线的解析式y=− x2-x+ ；
（2）设D（m，− m2-m+ ），则E（m，m+ ），
DE=（− m2-m+ ）-（m+ ）=− m2-2m=- （m+2）2+2，
∴当m=-2时，DE有最大值为2，
此时D（-2， ），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小，
∵A（-3，2），
∴A'（1，2），
A'D= ，
即PD+PA的最小值为 ；
（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，∵抛物线的解析式 ，
∴M（-1，4），
∵A（-3，2），
∴AH=MH=2，H（-1，2）
∵∠AQM=45°，∠AHM=90°，
∴∠AQM= ∠AHM，
可知 AQM外接圆的圆心为H，
△
∴QH=HA=HM=2
设Q（0，t），
则 ，
解得，t=2+ 或2-∴符合题意的点Q的坐标：Q （0，2- ）、Q （0，2+ ）．
1 2
【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定
理是解题的关键．
8．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（注：凸四边形就是没有角度数
大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这
样的四边形叫做凸四边形．）
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有_________；②在凸
四边形 中， 且 ，则该四边形_________“十字形”．（填“是”或“不
是”）
（2）如图1， ， ， ， 是半径为1的 上按逆时针方向排列的四个动点， 与 交于
点 ， ，当 时，求 的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ， ， 为常数， ，
）与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧）， 是抛物线与 轴的交点，点 的坐标为
，记“十字形” 的面积为 ，记 ， ， ， 的面积分别为 ，
， ， ．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：① ；②
；③“十字形” 的周长为 ．
【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2） （ ）；（3） ．
【分析】（1）①根据十字形的定义结合平行四边形，矩形，菱形，正方形对角线的性质进行判断；
②假设当 时，根据SSS定理证得 ，然后结合全等三角形的性质求得
，从而根据题意判断四边形 不是“十字形”；（2）先根据圆周角定理求得 ，然后过点 作 于 ， 于 ，连接 ，
，结合垂径定理和勾股定理求得 ，然后根据题意列不等
式组求解即可；
（3）由二次函数的性质求求得， ， ， ， ，然后结合
三角形面积分别求得 ， ， ， ，
，然后根据题意列等式分别求得a，b的值，从而判断四边形 是菱形，利用
菱形性质求解c，求得抛物线解析式．
【详解】解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”，
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”，
故答案为：菱形，正方形；
②如图，
当 时，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，四边形 不是“十字形”，
故答案为：不是；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
如图1，过点 作 于 ， 于 ，连接 ， ，
∴ ， ， ， ， ，
四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ）；
（3）由题意得， ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
，
， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 （舍），
即： ．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，
全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．
9．已知抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m
的函数关系式，并求S的最值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝ x2﹣x﹣4；（2）S＝﹣（m﹣2）2+16，S的最大值为16；（3）点P的坐标为：
（1，﹣1+ ）或（1，﹣1﹣ ）．
【分析】（1）根据交点式可求出抛物线的解析式；
（2）由S=S +S +S ，即可求解；
OBC OCD ODA
△ △ △
（3）∠BPC=45°，则BC对应的圆心角为90°，可作△BCP的外接圆R，则∠BRC=90°，过点R作y轴
的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，证明△BMR≌△RNC（AAS）可求出点R
（1，-1），即点R在函数对称轴上，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），
∴抛物线的表达式为：y＝ （x﹣4）（x+2）＝ x2﹣x﹣4；（2）设点D（m， m2﹣m﹣4），可求点C坐标为（0，-4），
∴S＝S +S +S
OBC OCD ODA
△ △ △
＝
＝﹣（m﹣2）2+16，
当m＝2时，S有最大值为16；
（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，
圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点
M，设点R（m，n）．
∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，
∴∠CRN＝∠MBR，
∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，
∴△BMR≌△RNC（AAS），
∴CN＝RM，RN＝BM，
即m+2＝n+4，﹣n＝m，
解得：m＝1，n＝﹣1，
即点R（1，﹣1），即点R在函数对称轴上，
圆的半径为： ＝ ，
则点P的坐标为：（1，﹣1+ ）或（1，﹣1﹣ ）．
【点睛】本题考查的是二次函数与几何综合运用，涉及圆周角定理、二次函数解析式的求法、图
形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏，能灵活运用数形结合的思想是解题的
关键，（3）的难点是作出辅助圆．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、，与 轴交于点 ，点 是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 与 ，交于点 ，求当 的值最大时点 的坐标；
（3）点 与点 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点 的纵坐标为2时，过点 作直线 轴，
点 为直线 上的一个动点，过点 作 轴于点 ，在线段 上任取一点 ，当有且只
有一个点 满足 时，请直接写出此时线段 的长．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）过P作PG∥y轴，交BC于点G，则可构造出相似三角形，将 转换为 求解即可；
（3）分两种情况讨论，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角 FHM，当以H为圆心FH为半径作
圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM=135△°，设点H（x，y），由“AAS”可证
FHE≌△HMQ，可得HE=QM=y-3，HQ=EF=x-2，由勾股定理可求y的值，可求点M坐标，即可求解．
△
【详解】（1）将 、 代入抛物线解析式得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）如图所示，作PG∥y轴，交BC于点G，则 DPG∽△DOC，
△∴ ，
由题可知： ，设直线BC的解析式为： ，
将 ， 代入得： ，解得： ，
∴直线BC的解析式为： ， ，
设P的坐标为 ，则G的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，将 代入抛物线解析式得： ，
∴点P的坐标为 ；
（3）①当M在F右侧时，如图所示，连接FM，以FM为斜边构造等腰直角 FHM，当以H为圆心，
FH为半径作圆H，与x轴相切于K时，此时有且只有一个K点满足∠FKM=13△5°，
此时，连接HK，交PM于点Q，延长CF交于HK于E，则HK⊥x轴，设H（x，y），
由题可知，抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点F与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点F的坐标为（2，3），CF∥x轴，∴CF∥PM，
∴HK⊥CF，HK⊥PM，
∴∠FEH=∠HQM=90°，
∵∠FHE+∠MHE=90°，∠FHE+∠HFE=90°，
∴∠HFE=∠MHQ，
又∵HF=HM，
∴△HFE≌△MHQ（AAS），
∴HE=QM=y-3，HQ=FE=x-2，
而HQ=HK-QK=y-2，
∴y-2=x-2，即：x=y，
∴FE=y-2，
∵ ，FH=HK=y，
∴ ，
解得： ， （舍去）
∴ ， ，
∴点M的坐标为 ，
∴ ；
②当M在F左侧时，如图所示，同①的过程，可证得 HFE≌△MHQ，
此时设H的坐标为（x，y）， △显然有，HE=QM=y-3，HQ=FE=2-x，
而HQ=HK-QK=y-2，
∴y-2=2-x，即：4-y=x，
∴FE=y-2，
∵ ，FH=HK=y，
∴ ，
同理解得： ，
∴ ， ，
∴点M的坐标为 ，
∴ ；
综上，线段 的长为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角
形的判定与性质，圆的相关性质，以及相似三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线构造全等
三角形是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系 中，将抛物线 与直线 相交于点
和点 ，交 轴于点 ，顶点为点 ，点 是该抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点 在直线 上方的抛物线上，求 的面积的最大值以及此时点 的坐标；
（3）如图2，若点 在对称轴左侧的抛物线上，点 是射线 上一点，当以 、 、 为
顶点的三角形与 相似时，直接写出所有满足条件的 的值．
【答案】（1） ；（2）面积最大为 ，此时 ；（3） 或 或
或 ．
【分析】（1）将A、B两点坐标代入即可求解函数解析式；
（2）过D作DM//y轴交AB于点M，设D点坐标为 ，则M ，用a表示出
DM，然后根据割补法表示出 的面积，利用二次函数的性质得出最大值和D点坐标；
（3）根据题意， ,则 中必有一个内角为45°，有两种情况：①若
，得出 是等腰直角三角形，因此 也是等腰直角三角形，在对 进行
分类讨论；②若 ，根据圆的性质确定D 的位置，求出D 的坐标，在对 与
1 1
相似分类讨论．
【详解】（1）由题意得，将将A、B两点坐标代入函数解析式有：
，解得
∴抛物线解析式为 ；
（2）如图1，过D作DM//y轴交AB于点M，设D点坐标为 ，则M ，
∴
=
=
∴当 时， 的面积的最大值 ，此时D点坐标为 ；
（3）∵OA//OC，如图2，CF//y轴
∴
∴ 中必有一个内角为45°，由题意得 不能为45°
①若 ，则BD//x轴。
∴点D与点B关于抛物线的对称轴x=1对称
∴设BD与直线x=1交于点M，则点M ，B ，D
此时 是等腰直角三角形，因此 也是等腰直角三角形，
第一种情况：当 时，得到AE=CE=1，
∴E ，得到t=1，第二种情况，当 时，得到 ，
∴CE=2，
∴E ，得到t=2；
②若 ，如图3，①的情况是其中的一种，答案同上
以点H为圆心，HB为半径作圆，则点B、C、D都在圆H上
设圆H与对称轴左侧的抛物线交于另一点D
1
则 ,即D 也符合题意
1
设D
1
由HD =DH=2，解得 （舍去）， （舍去）， （舍去）， ，
1
∴D
1则 , ,
,
第一种情况：若 ，则
即
解得 ， （舍去），
第二种情况：若 ，则
即
解得 ， （舍去），
综上所述：所有满足条件的t的值为 或 或1或2．
【点睛】本题考虑二次函数的应用，三角形相似的判定和性质，关键是要熟记二次函数和相似三
角形的性质，要注意对应点和对应边的关系．
