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专题14 圆与二次函数综合
1．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，
⊙O 为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)求cos∠CAB的值和⊙O 的半径；
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(3)如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足
△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
2．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且
BC⊥AC，抛物线 经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．
（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 .
（2）如图2，求证：BD//AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．3．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+ x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E
是直线y=﹣ x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边
形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
4．已知：直角梯形 中， ∥ ，∠ = ，以 为直径的圆 交 于点 、 ，
连结 、 、 .
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形：
_____________________，______________________ ；
（2）直角梯形 中，以 为坐标原点， 在 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛
物线 经过点 、 、 ，且 为抛物线的顶点.
①写出顶点 的坐标（用含 的代数式表示）___________；
②求抛物线的解析式；
③在 轴下方的抛物线上是否存在这样的点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，使得以点 、 、
为顶点的三角形与△ 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.5．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点B在点A的左边），与y轴交
于点C，且 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，若点P是线段 （不与A、C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M
点，连接 将 沿 对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标．
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足 ，过E作 轴于点F，设F坐标为 ，
， 的内心为I，连接 ， ， ， ，
①请找出一对全等的三角形并证明；
②请直接写出 的最小值．6．已知抛物线 与 轴分别交于点 ， ，与 轴交于点 ，对称轴
与 轴交于点 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 为对称轴右侧且位于 轴上方的抛物线上一动点（点 与顶点 不重合），
于点 ，当 与 相似时，求点 的坐标；
（3）对称轴 上是否存在一点 使得 ，若存在求出点 的坐标，若不存在请
说明理由．
7．如图，抛物线 过点A（ ，2），且与直线 交于B、C两点，点B的
坐标为（ ，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴
上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
8．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（注：凸四边形就是没有角度数
大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．）
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有_________；②在凸
四边形 中， 且 ，则该四边形_________“十字形”．（填“是”或“不
是”）
（2）如图1， ， ， ， 是半径为1的 上按逆时针方向排列的四个动点， 与 交于
点 ， ，当 时，求 的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ， ， 为常数， ，
）与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧）， 是抛物线与 轴的交点，点 的坐标为
，记“十字形” 的面积为 ，记 ， ， ， 的面积分别为 ，
， ， ．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：① ；②
；③“十字形” 的周长为 ．
9．已知抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m
的函数关系式，并求S的最值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．10．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、
，与 轴交于点 ，点 是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 与 ，交于点 ，求当 的值最大时点 的坐标；
（3）点 与点 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点 的纵坐标为2时，过点 作直线 轴，
点 为直线 上的一个动点，过点 作 轴于点 ，在线段 上任取一点 ，当有且只
有一个点 满足 时，请直接写出此时线段 的长．
11．如图，在平面直角坐标系 中，将抛物线 与直线 相交于点
和点 ，交 轴于点 ，顶点为点 ，点 是该抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点 在直线 上方的抛物线上，求 的面积的最大值以及此时点 的坐标；（3）如图2，若点 在对称轴左侧的抛物线上，点 是射线 上一点，当以 、 、 为
顶点的三角形与 相似时，直接写出所有满足条件的 的值．
