文档内容
专题4.4 探索三角形相似的条件+4.5 相似三角形判定定理的证明
【学习目标】
1、理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；
2、掌握相似三角形的三个判定定理；
3、能熟练运用三角形的三个判定定理；
4、会证明相似三角形的判定定理；
5、运用相似三角形的判定定理解决相关问题。
【知识梳理】
1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ∽ ，则说明
点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似
三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形
是相似三角形的一种特例。
4、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于
直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需
是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
5.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再利用平行线分线段成比例线段的性质
证明的.
【高频考点精讲】
【高频考点1】选择或添加条件使得三角形相似
例1.（2022·山东张店·八年级期中）如图， 是 的边 上一点（不与点 ， 重合），请
添加一个条件后，使 ，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．
变式1.（2022·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定 与 相似的是（ ）A． B． C． D．
变式2．（2022·北京·九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（ ）对．
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；
③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；
④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【高频考点2】相似三角形的判定（判定定理1）
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
例2.（2022·浙江·诸暨市九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝
∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
变式1.（2022·辽宁·大连市九年级月考）如图，在 中， 平分 ， 是 上一点，且
．求证： ．
变式2.（2022•淮安九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，
连接FC，求证：△AEF∽△DCE．【高频考点3】相似三角形的判定（判定定理2）
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
例3．（2022·广东初三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且
FC= BC．图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
变式1．（2022·河南·九年级期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，则△ABC与△DEF的相似比是（ ）
A． B．1 C．2 D．
变式2.（2022·重庆·九年级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的
顶点都在格点上，P 、P 、P 、P 、P 是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
1 2 3 4 5
（1）试证明△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P 、P 、P 、P 、P 中的三个格点．
1 2 3 4 5【高频考点4】相似三角形的判定（判定定理3）
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
例4．（2022·吉林·八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且
，求证：△ABC∽△DAC．
变式1．（2022·河南嵩县·九年级期中）如图， 是 的边 上的一点， ， ，
．求证： ．
变式2.（2022•蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延
长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．【高频考点5】相似三角形的判定（多结论问题）
例5.（2022•阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝
CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；
④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式1.（2022•淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下
列条件中：①∠APB＝∠EPC；②AB•PC＝EC•BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其
中能得到△ABP与△ECP相似的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
【高频考点6】相似三角形的判定（网格问题）
例6．（2022·北京市九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三
角形与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东桓台·八年级期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
变式2.（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、
C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）．
A． B．
C． D．
【高频考点7】相似三角形的判定（动点问题）
例7．（2022·江苏·苏州市八年级月考）如图，在 中， ，点P是 边的中点，
点Q是 边上一个动点，当 _______时， 与 相似．
变式1．（2022·安徽·六安市九年级月考）在 和 中， ， ，
， ，则 __时， 和 相似．
变式2.（2022·江苏·苏州八年级月考）如图，在 中， ，点P是 边的中点，
点Q是 边上一个动点，当 _______时， 与 相似．【能力提升】
一．选择题
1．（2022·广东九年级期中）下列命题中，错误的结论是（ ）
A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似
B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似
C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似
D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似
2．（2022·陕西师大附中九年级月考）根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△ABC 的是（
1 1 1
）
A．∠B＝∠B＝60°，∠C＝50°，∠A＝70°
1 1
B．∠C＝∠C ＝90°，AB＝10，AC＝6，AB＝5，AC ＝3
1 1 1 1 1
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A＝40°，AB＝4，AC ＝5
1 1 1 1 1
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，AB＝8，AC ＝16，BC ＝10
1 1 1 1 1 1
3．（2022·浙江·宁波九年级开学考试）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中
和 的顶点都在小正方形的顶点上，则 与 一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是 ， ，
另一个三角形的两个内角分别是 ， ，则这两个三角形（ ）
A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．不能确定
5．（2022·湖南·九年级期末）已知 的三边长是 ， ，2，则与 相似的三角形的三
边长可能是（ ）
A．1， ， B．1， ， C．1， ， D．1， ，
6．（2022·山东·招远市八年级期末）如图， 中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不
能说明 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．7．（2022·大庆市初二期末）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点
E，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图， ， 交于点O，有下列三个结论：
① ，② ，③ ．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线
截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．（2022·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝ x﹣1与x轴交于A，与y 轴交于
B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．（2022·北京市九年级期中）如图，已知∠1＝∠2，添加条件____后，使△ABC∽△ADE．12．（2022·上海·九年级期中）如图，点D在 的 边上，当 _时， 与 相
似．
13．（2022·江苏·睢宁县九年级月考） 和 中， ， ， ，当
______时， ．
14．（2022·山东·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格
（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________ DEF（在横线上方填写“一定相似”或
“不一定相似”或“一定不相似”）．
△
15．（2022河南·郑州九年级月考）如图，在 中， ， ，动点P从点A开
始沿AB边运动，速度为 ；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为 ；如果P、Q两
动点同时运动，那么经过______秒时 与 相似．
16．（2022·黑龙江集贤·九年级期中）已知在 中， ，点
分别在边 上，将 沿直线 对折后，点 正好落在对边 上，且折痕 截
所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与 相似，则折折痕 __________
三．解答题
17.（2022•浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，
AD•AB＝AE•AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．18.（2022·江苏·九年级月考）如图，点 D 在等边△ABC 的 BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE
与AC交于点 F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他
所有的相似三角形．
19．（2022·山东济南九年级月考）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝
∠BPD，求证：△APC∽△BPD．
20．（2022·湖南荷塘·九年级期末）如图，在 中， ，点 在边 上，满足
，且点 ， 分别在边 ， 上． 求证： ．
21.（2022•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出
发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速
运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于
2
△ABC面积的 ？（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
522．（2022·广西·九年级课时练习）如图，在梯形 中， ，
，E是 的中点．（1）求证： ；（2） 与
有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
23．（2022·山东东平·初二期末）如图，四边形 是正方形，点 是 边上动点(不与
重合)．连接 过点 作 交 于点 ． 求证： ； 连接 ，
试探究当点 在 什么位置时， ，请证明你的结论．
24．（2021·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔
（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布
洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如
图1，若 内一点P满足 ，则点P是 的布洛卡点， 是
布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 ；PA、
PB、PC的数量关系是 ；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中 ）的
布洛卡点，且 ．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若 的面积为
，求 的面积．
