文档内容
专题 4.4 换元法与主元法
1．主元法分解因式：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）因为 ，
设 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
解得 ， ，
所以 ；
（2）因为 ，
设 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
解得 ， ，
所以 ．
2．把下列各式因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）；
（2）
．
3．因式分解： ．
【解答】解：
．
4．先阅读，再分解因式参考上述做法，将下列多项式因式分解
（1）
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
5． ．
【解答】解：6． ．
【解答】解：
．
．
7．用换元法因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）设 ，则
原式
．
（2）原式 ．
8．用换元法分解因式： ．
【解答】解：设 ，则有 ，
原式．
9．如果设 ，利用换元的方法，你能对多项式 进
行因式分解吗？请你试 试．
【解答】解：设 ，
多 项 式
10．试用换元法将 分解因式．
【解答】解：设 ，
则原式
．
11．你会对多项式 分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把
其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化
从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．
对于 ．
解法一：设 ，
则原式
．
解法二：设 ，则原式
．
解法三：设 ， ，
则原式
．
按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解答】解：（1）设 ，
则原式
；
（2）设 ，
原式；
（3）设 ，
12．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不
仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因
式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式
进行因式分解的过程．
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
．提取公因式法 ．平方差公式法 ．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式 进行因式分解．
【解答】解：（1）故选： ；
（2） ，
设 ，
原式 ，
，
，
，
；
故答案为： ；
（3）设 ，
原式 ，
，
，
，
．13．你会对多项式 分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把
其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化
从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．
对于 ．
解 法 一 ： 设 ， 则 原 式
解 法 二 ： 设 ， 则 原 式
解法三：设 ， ；
则 原 式
请按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
【解答】解：（1）设 ，
则原式
；（2）设 ，
原式
．
14．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不
仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察处如何进行
因式分解，这种方法就是换元法．
例如：分解因式 时，可以先将原式中的 、
分别计算，得： ， ，观察后设 ，则原式
又如：分解因式 时，考虑到系数的对称性，如果提取中间项的字
母及指数后，就可以使用换元法，具体过程如下：
令
，则原式 ，请参照
阅读材料中的换元对下列各式进行因式分解：
（1） （2） （3）
．【解答】解：（1）设 ，则原式 ；
（2） ， ，
设 ，
原式 ；
（3）原式 ，
设 ，
则原式 ．
15．阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，最高次项的系数
不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有一种解法是利用因式分解来
解的．如解方程： ，左边分解因式得 ，所以 或
，所以原方程的解是 或 ．
材料2：立方和公式用字母表示为： ，
（1）请利用材料1的方法解方程： ；
（2）请根据材料2类比写出立方差公式： ；（提示：可
以用换元方法）
（3）结合材料1和2，请你写出方程 所有根中的两个根．
【解答】解：（1） ，
，
或 ，
解得： 或 ；（2） ，
；
（3） ，
，
，
或 ，
或
