文档内容
专题4.4 探索三角形相似的条件+4.5 相似三角形判定定理的证明
【学习目标】
1、理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；
2、掌握相似三角形的三个判定定理；
3、能熟练运用三角形的三个判定定理；
4、会证明相似三角形的判定定理；
5、运用相似三角形的判定定理解决相关问题。
【知识梳理】
1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ∽ ，则说明
点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似
三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形
是相似三角形的一种特例。
4、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于
直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需
是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
5.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再利用平行线分线段成比例线段的性质
证明的.
【高频考点精讲】
【高频考点1】选择或添加条件使得三角形相似
例1.（2022·山东张店·八年级期中）如图， 是 的边 上一点（不与点 ， 重合），请
添加一个条件后，使 ，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件 即
可．
【详解】解：添加条件是： ，
理由是： ， ， ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，
主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．
变式1.（2022·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】A、当 时，无法得出 ，符合题意；
B、 ， ，能判定相似，不符合题意；
C、 ， ，能判定相似，不符合题意；
D、 ， ，能判定相似，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
变式2．（2022·北京·九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（ ）对．
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；
③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；
④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°．∴∠B=65°．
∵∠C=∠C′，∠B=∠B′．∴△ABC∽△A′B′C′．
②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6．
∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′．∴△ABC∽△A′B′C′．③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25．
∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′．∴△ABC∽△A′B′C′．
④∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形
相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【高频考点2】相似三角形的判定（判定定理1）
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
例2.（2022·浙江·诸暨市九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝
∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，
△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可
证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【详解】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，对于A选项不能得到两个三角形相似，故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解.
变式1.（2022·辽宁·大连市九年级月考）如图，在 中， 平分 ， 是 上一点，且
．求证： ．【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，
由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论
【详解】证明：∵ 平分 ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．
变式2.（2022•淮安九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，
连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
【解题思路】用∠FEC＝90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证
相似．
【解答过程】证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．
【高频考点3】相似三角形的判定（判定定理2）
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
例3．（2022·广东初三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且
FC= BC．图中相似三角形共有（ ）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：
同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a．
根据勾股定理，得EF= ，AE= ，AF=5a．
∴ ， ， ．
∴△CEF∽△DAE，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EFA．共有3对相似三角形．故选C．
变式1．（2022·河南·九年级期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，则△ABC与△DEF的相似比是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法即可证明△ABC∽△DEF，而对应边的比即是相似比．
【详解】解：∵AB＝2，BC＝ ，AC＝ ，DE＝ ，EF＝2，DF＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴△ABC∽△DEF，且相似比是 ，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的相似比，解题的关键是注意相似比是用前一个三角形的边比后
一个三角形的边．
变式2.（2022·重庆·九年级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的
顶点都在格点上，P 、P 、P 、P 、P 是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
1 2 3 4 5
（1）试证明△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P 、P 、P 、P 、P 中的三个格点．
1 2 3 4 5【解题思路】（1）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可；
（3）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可．
【解答过程】（1）证明：由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，AC2＝22+12＝5，BC2＝32+42＝25，
即AB2+AC2＝BC2，
所以△ABC是直角三角形；
（2）解：相似，
理由是：由勾股定理得：DF=√22+22=2√2，DE=√42+42=4√2，EF=√22+62=2√10，
由（1）知：AB＝2√5，AC=√5，BC＝5，
DF DE EF 2√10
所以 = = = ，
AC AB BC 5
所以△△ABC和△DEF相似；
（3）解：和△ABC相似的三角形是△P P P ，
2 4 5
理由是：∵由勾股定理得：P P =√12+32=√10，P P =√12+12=√2，P P ＝2√2，
5 2 2 4 4 5
又∵AB＝2√5，AC=√5，BC＝5，
AC AB BC
= =
∴ ，
P P P P P P
2 4 5 4 5 2
∴△ABC∽△P P P ．
4 5 2
【高频考点4】相似三角形的判定（判定定理3）
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
例4．（2022·吉林·八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且
，求证：△ABC∽△DAC．【答案】证明见解析
【分析】根据 ，可以得到 ，再根据CA是∠BCD的角平分线，可以得到
，即可得证.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵CA是∠BCD的角平分线，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相
似三角形的判定条件.
变式1．（2022·河南嵩县·九年级期中）如图， 是 的边 上的一点， ， ，
．求证： ．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论．【详解】证明： ， ， ．
， ，
，
而 ，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，熟练其证明方法是解决本题的关键．
变式2.（2022•蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延
长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．
【解题思路】根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，进而证明
△CAB∽△DAE即可．
【解答过程】证明：∵EF•DF＝CF•BF．
EF CF
∴ = ，
BF DF
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
【高频考点5】相似三角形的判定（多结论问题）
例5.（2022•阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝
CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；
④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，
即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即
可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定
得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，
∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，
∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，则HC＜EC，
∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；
∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，
{
AG=CE
在△GAE和△CEF中，∵ ∠GAE=∠CEF
AE=EF
∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；故选：C．
变式1.（2022•淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下
列条件中：①∠APB＝∠EPC；②AB•PC＝EC•BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其
中能得到△ABP与△ECP相似的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
【解题思路】根据正方形的性质求出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，再逐个判断即可．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠APB＝∠EPC，∴△ABP和△ECP相似，故①正确；
AB BP
∵AB•PC＝EC•BP，∴ = ，∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△ECP，故②正确，
EC CP1 1
∵P为BC的中点，E为DC的中点，∴BP＝CP= BC，CE= CD，
2 2
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∴BP＝CP＝CE，
AB 2 PC AB PC
∴ = = 2， = 1，即 ≠ ，即△ABP和△ECP不相似，故③错误；
BP 1 CE BP CE
1 3
设PB＝2x，BC＝3x，则PC＝3x﹣2x＝x，AB＝BC＝3x，CE= BC= x，
2 2
PC x 2
AB 3x 3 = = AB CE AB BP
∴ = = ，CE 3 3，即 = ，∴ = ，
BP 2x 2 x BP PC CE PC
2
∵∠B＝∠C＝90°，即△ABP和△ECP相似，故④正确；所以正确的为①②④，故选：C．
【高频考点6】相似三角形的判定（网格问题）
例6．（2022·北京市九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三
角形与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．
【详解】∵AC= ，AB=2，BC= ，
A选项中的三边长分别为： ，1， ，且 ： =2： = ：1= ，三边对应成比例，
∴这两个三角形相似，A符合题意；
B选项中的三边长分别为： ，3， ，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，B不符合题意；
C选项中的三边长分别为： ，1，2 ，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，C不符合题意；
D选项中的三边长分别为： ，2， ，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，D不符合题意；
故选A．【点睛】本题考查了网格中三角形相似，灵活运用勾股定理计算各边长，熟练运用三边对应成比
例的两个三角形相似求解是解题的关键．
变式1．（2022·山东桓台·八年级期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．
【详解】解：如图：
AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=25，
∵5+20=25，∴AC2+ BC2= AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， ；
DEF是直角三角形，且∠DEF=90°， ；∴△ABC DEF；
△ △
JKL是直角三角形，且∠JKL=90°， ；HI2=12+12=2，HG2=12+22=5，GI2=12+22=5，
△
∵5+2 5，∴HG2+ HI2= GI2，∴△HGI不是直角三角形，
综上，只有△ABC DEF；故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握相似
△
三角形的判定方法．
变式2.（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、
C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）．A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定，易得出△EFG的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形
的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．
【详解】解：∵小正方形的边长为1，∴在△EFG中，EG＝ ，FG＝2，EF＝ ，
A.三边各为：3， ， 与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
B.三边各为：1，2 ， 与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
C.三边各为：1， ， 与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似；
D.三边各为：2， ， 与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相
似．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确
找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、
对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
【高频考点7】相似三角形的判定（动点问题）
例7．（2022·江苏·苏州市八年级月考）如图，在 中， ，点P是 边的中点，
点Q是 边上一个动点，当 _______时， 与 相似．
【答案】2或8
【分析】可根据相似三角形的判定：夹角相等对应边成比例的两个三角形形似，则（1）当
时，有 ；（2）当 时，有 ，进而可求出BQ的长．
【详解】当 时，则 ，，点P时AB边的中点， , , ,
当 时，则 ， ，点P时AB边的中点，
, ， ，故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．
变式1．（2022·安徽·六安市九年级月考）在 和 中， ， ，
， ，则 __时， 和 相似．
【答案】 或
【分析】由两相似三角形的对应边不能确定，故应分 与 两种情况
进行讨论．
【详解】解： ， 当 时， ，
又∵ ， ， ，即 ，解得： ；
当 时， ，
又∵ ， ， ，即 ，解得： ．
综上所述，当 或 时， 和 相似．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．
变式2.（2022·江苏·苏州八年级月考）如图，在 中， ，点P是 边的中点，
点Q是 边上一个动点，当 _______时， 与 相似．
【答案】2或8
【分析】可根据相似三角形的判定：夹角相等对应边成比例的两个三角形形似，则（1）当
时，有 ；（2）当 时，有 ，进而可求出BQ的长．
【详解】当 时，则 ，
，点P时AB边的中点， , , ,
当 时，则 ， ，点P时AB边的中点，, ， ，故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．
【能力提升】
一．选择题1．（2022·广东九年级期中）下列命题中，错误的结论是（ ）
A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似
B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似
C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似
D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：A．两个顶角为100°的等腰三角形是相似三角形，故正确，
B．两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误，
C．两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，
D．有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，故选：B．
【点睛】此题考查命题与定理，用到的知识点是相似三角形的判定，关键是熟练掌握有关判定定
理．
2．（2022·陕西师大附中九年级月考）根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△ABC 的是（
1 1 1
）
A．∠B＝∠B＝60°，∠C＝50°，∠A＝70°
1 1
B．∠C＝∠C ＝90°，AB＝10，AC＝6，AB＝5，AC ＝3
1 1 1 1 1
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A＝40°，AB＝4，AC ＝5
1 1 1 1 1
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，AB＝8，AC ＝16，BC ＝10
1 1 1 1 1 1
【答案】C
【分析】两角对应相等的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；三边成比
例的两个三角形相似．根据定理内容依次计算判定即可．
【详解】解：A、 ∴
又∵∠A＝70°，∠B＝60°∴△ABC∽△ABC 所以选项A正确；
1 1 1 1 1
B、∵∠C＝∠C ＝90° ∴ 和 都是直角三角形
1
在 中，AB＝10，AC＝6由勾股定理得：
∵ ∴ 在 中，AB＝5，AC ＝3
1 1 1 1
由勾股定理得： ∵ ∴
∵ ∴△ABC∽△ABC 所以选项B正确；
1 1 1
C、∵ ∴不能判定两个三角形相似所以选项C错误；
D、∵ ∴△ABC∽△ABC 所以选项 正确．故选：C
1 1 1
【点睛】本题考查三角形相似的判定，根据定理内容解题是关键．
3．（2022·浙江·宁波九年级开学考试）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和 的顶点都在小正方形的顶点上，则 与 一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC= ，
∴ ， ，∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；
D： ， ，∴ ，所以不相似．故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对
每个选项分析论证得出正确选项．
4．（2022·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是 ， ，
另一个三角形的两个内角分别是 ， ，则这两个三角形（ ）
A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求出另一个内角的度数，再根据有两组角对应相等的两个三角形
相似即可作出判断．
【解析】∵一个三角形的两个内角分别是 ， ，∴ 另一个内角的度数是
，
∴一个三角形的三个内角分别是 ， ， ∴这两个三角形有两角对应相等∴这两个三角形
一定相似．
故选： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，判定方法有：（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
5．（2022·湖南·九年级期末）已知 的三边长是 ， ，2，则与 相似的三角形的三
边长可能是（ ）A．1， ， B．1， ， C．1， ， D．1， ，
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC三边长是 ， ，2，
∴△ABC三边长的比为 ：2： =1： ： ，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1： ： ，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022·山东·招远市八年级期末）如图， 中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不
能说明 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
【详解】解： 、当 ， 时， ，故本选项不符合题意；
、当 ， 时， ，故本选项不符合题意；
、当 ，即 时，结合 可以判定 ，故本选项
不符合题意； 、当 时，不能判断 和 相似．故选： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
有两组角对应相等的两个三角形相似．
7．（2022·大庆市初二期末）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点
E，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选D．
考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图， ， 交于点O，有下列三个结论：
① ，② ，③ ．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．
【详解】①∵ ，∴∠BAC=∠DAE，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠1=∠2，故
①成立；
②∵ ，∴BC=DE，故②成立，
③∵ ，∴AB=AD，AC=AE，∴ ，
又∠1=∠2，∴ ，故③成立，
综上，一定成立的有①②③共3个，故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三
角形的判定是解答的关键．
9．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线
截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；
如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；
如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；
如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．10．（2022·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝ x﹣1与x轴交于A，与y 轴交于
B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．
【详解】解：∵点C在第一象限，∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的
思想思考问题．
二．填空题
11．（2022·北京市九年级期中）如图，已知∠1＝∠2，添加条件____后，使△ABC∽△ADE．
【答案】∠B＝∠D
【分析】先证出∠BAC＝∠DAE，再由∠B＝∠D，即可得出ABC∽△ADE．
【详解】解：添加条件∠B＝∠D后，△ABC∽△ADE．理由如下：
∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，∴ABC∽△ADE．故答案为：∠B＝∠D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握三角形相似的判定方法，并能进行推理论
证是解决问题的关键．
12．（2022·上海·九年级期中）如图，点D在 的 边上，当 ______时， 与
相似．
【答案】
【分析】要使 ∽ ，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足 即可．
【详解】由∠BAC=∠CAD共用，
当 时， ∽ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理．
13．（2022·江苏·睢宁县九年级月考） 和 中， ， ， ，当
______时， ．
【答案】80°．
【分析】利用两对对应角相等的三角形相似判定即可．
【详解】解：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠C=180°-60°-40°=80°，
∵ ，∴当∠C′=∠C=80°时，△ABC∽△A′B′C′．故答案为：80°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是了解相似三角形的判定方法．
14．（2022·山东·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格
（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________ DEF（在横线上方填写“一定相似”或
“不一定相似”或“一定不相似”）．
△
【答案】一定相似
【分析】分别计算两个三角形的三边长，看三边是否成比例，即可判定这两个三角形是否相似．
【详解】根据图示知：AB＝2，BC＝1，AC＝ ；DE＝2 ，EF＝ ，DF＝5，∴ ，∴△ABC∽△DEF．故答案为：一定相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，关键是熟悉相似三角形的判定．
15．（2022河南·郑州九年级月考）如图，在 中， ， ，动点P从点A开
始沿AB边运动，速度为 ；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为 ；如果P、Q两
动点同时运动，那么经过______秒时 与 相似．
【答案】 或2
【分析】设经过t秒时， 与 相似，则 , , ,利用两组
对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论： 时， ，
即 ；当 时， ，即 ，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时， 与 相似，则 , , ,
∵ ，∴当 时， ，即 ，解得： ；
当 时， ，即 ，解得： ；
综上所述：经过 或 秒时， 与 相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题
的关键是准确分析题意列出方程求解．
16．（2022·黑龙江集贤·九年级期中）已知在 中， ，点
分别在边 上，将 沿直线 对折后，点 正好落在对边 上，且折痕 截
所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与 相似，则折折痕 __________
【答案】 或 ．
【分析】先画草图借草图分析．如图重叠的小三角形为 ，由对折知 ，所以要使△ABC和 相似， 只需
，此时 和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN
的值；或 只需 ，此时 与B点重合， M=BM=AM= ，再由
相似的知识算得MN的值．
【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：
第一种情况 如图1 当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．∵∠BCA=90°∴∠MNC=∠BCA
又由对折知：∠MCN=∠A∴△MCN∽△ABC
由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得 （㎝）；
第二种情况 如图2 当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．∵∠C=90°∴∠C=∠NMB
又由对折知∠A=∠NBM∴△ABC∽△BNM∴
又由对折知 ∴ （㎝）．
综上分析得MN= ㎝或 ㎝．故答案为： 或 ．
【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在
于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之．
三．解答题
17.（2022•浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，
AD•AB＝AE•AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．
【解题思路】根据相似三角形的判定得出△ABE与△ACD相似，利用相似三角形的性质得出∠B＝
∠C，再利用平行线的性质和相似三角形的判定解答即可．
【解答过程】证明：∵AD•AB＝AE•AC，
AD AC
∴ = ，
AE AB
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽∠ACD，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠ODF，
∴∠B＝∠ODF，∵∠DOF＝∠BOD，
∴△DOF∽△DOB
18.（2022·江苏·九年级月考）如图，点 D 在等边△ABC 的 BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE
与AC交于点 F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他
所有的相似三角形．
【点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形
相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．
【解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60°，
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，
∴∠1=∠DFC，
∴△ABD∽△DCF；
（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△AEF，
故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．
【总结】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等
知识，得出对应角关系是解题关键．
19．（2022·山东济南九年级月考）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝
∠BPD，求证：△APC∽△BPD．
【答案】见解析
【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出 为等边三角形，即可得出 ,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可．
【详解】证明：∵PC＝PD＝CD，
∴ 为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC ，
∴ ,
∵∠A＝∠BPD，
∴△APC∽△PBD．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三
角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．
20．（2022·湖南荷塘·九年级期末）如图，在 中， ，点 在边 上，满足
，且点 ， 分别在边 ， 上． 求证： ．
【答案】见详解．
【分析】由等边对等角得 ，由三角形的内角和定理，得到 ，即可得到结
论成立．
【详解】证明：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：两个角对应相等，则这两个三角形相似．
21.（2022•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出
发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速
运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于
2
△ABC面积的 ？（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
52
【解题思路】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的 ，根据三角形的面积和已知列
5
出方程，求出方程的解即可；
（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．
2
【解答过程】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的 ．
5
1 1 2
×2x（8﹣x）= ×8×10× ．解得x ＝x ＝4．
2 2 5 1 2
2
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的 ；
5
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，∴可分为两种情况：
MC NC 2t 8−t 16
① = ，即 = ，解得t= ；
BC AC 8 10 7
MC NC 2t 8−t 40
② = ，即 = ．解得t= ．
AC BC 10 8 13
16 40
答：经过 或 秒，△MCN与△ABC相似．
7 13
22．（2022·广西·九年级课时练习）如图，在梯形 中， ，
，E是 的中点．（1）求证： ；（2） 与
有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出 ，即可得到
，再证明 即可；（2）利用勾股定理求出
， ,后证明 即可.
【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F，∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，
∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠D=90°，
∴四边形ADCF是矩形，∴AF=CD=1,AD=CF，
∴BF=AB-AF=1，∴ ，
∵E是AD的中点，∴ ，
∴ ， ∴ ，
又∵∠D=∠A=90°，∴△CDE∽△EAB；
（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：
∵ ， ,
∴ ， ， ，
∴ ，∴△CDE∽△CEB.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性质，解题
的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．（2022·山东东平·初二期末）如图，四边形 是正方形，点 是 边上动点(不与
重合)．连接 过点 作 交 于点 ． 求证： ； 连接 ，
试探究当点 在 什么位置时， ，请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）点 在 中点位置时， ，证明见解析．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质、角的和差可得
，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得 ，
再根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，然后根据等腰三角形的判定与性质可得
，最后根据等量代换即可得．
【解析】（1） 四边形 是正方形， ， ，
， ， ， ，
在 和 中， ， ；
（2）点 在 中点位置时， ，证明如下：
如图，连接 ，延长 于 的延长线相交于点H， 为 中点， ，
四边形 是正方形， ， ，
在 和 中， ， ， ，
， 是等腰三角形， ， ，
故当点 在 中点位置时， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是
解题关键．
24．（2021·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔
（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布
洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如
图1，若 内一点P满足 ，则点P是 的布洛卡点， 是
布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 ；PA、
PB、PC的数量关系是 ；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中 ）的
布洛卡点，且 ．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若 的面积为
，求 的面积．
【答案】（1）30°， ；（2）① ，证明见解析；（3） ．
【分析】（1）根据题意理清布洛卡点、布洛卡角的概念，利用概念来解答；
（2）①找 ，证明过程利用等腰直角三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三
个角分别对应相等来证明；
②把三角形 面积看作三个三角形面积之和来表示，除所求三角形面积之外的两个，其中一个
根据条件可以利用勾股定理求出面积，另一个可以利用所求三角形面积来表示，建立等式即可求
解．
【详解】解：（1）由题意知： ，
为等边三角形，
，AB=BC=AC,
， ，
，
， ，
同理可证得出： ，
，
故答案是：30°， ．
（2）①
证明：∵ 是等腰直角三角形
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ .
（3）∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ， ， ，∴ .
∵ ，
∴ .
在 中，∵ ， ，
由勾股定理得 ， ，∴ ，
∴ ∴ ．
【点睛】本题考查了新概念问题、等边三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性质、相
似三角形的判定定理和性质、勾股定理，涉及知识点多，综合性强，题目较难，解题的关键是：
通过阅读材料，弄明白题中的新定义或新概念，然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答．
