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专项 12 相似三角形-手拉手旋转型综合应用（2 大类型）
模型一：有公共顶点的直角三角形
模型二：有公共顶点的任意三角形【类型1：有公共顶点的直角三角形】
【典例1】如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AC、BC的中点，连接
DE，tan∠BAC＝ ．
【问题背景】如图 2，将△CDE 绕 C 点旋转一定的角度，连接 BE、AD，求证：
△ADC∽△BEC；
【尝试运用】如图3，当△CDE绕C点旋转过程中，AD、BE交于点H，连接CH，CH
＝5，求AH﹣ BH的值；
【拓展延伸】如图3，若CD＝1，当△CDE绕C点旋转过程中，直接写出△ABH面积的
最大值是 ．【变式1】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，
点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直
接写出BF与DE的数量关系与位置关系： ；
【类比探究】
（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD
和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且 ，其他条件不变．
①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；
②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．
【类型2：有公共顶点的任意三角形】
【典例2】已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．【变式2】如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．
【典例3】如图，正△ABC的边长为6，点D是BC边上一点，连接AD，将AD绕点A顺时
针旋转60°得AE，连接DE交AB于点F．
（1）填空：若∠BAD＝20°，则∠BDF＝ °；
（2）若当点D在线段BC上运动时（不与B、C两点重合），设BD＝x，BF＝y，
试求y与x之间的函数关系式；
（3）若 ＝ ，请求出AE的长．
【变式3】（1）如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
（2）如图（2），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，延长BD到点E，使
∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2 ，求出AD的长．
（3）如图（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝
30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上， ＝ ，试证明△ADF∽△ECF，并求
出 的值．1．如图（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似
比为2），画出ΔOB C ；
1 1
（2）点B的对应点B 的坐标是 ，点C的对应点C 的坐标是 ．
1 1
2．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC，AC的中
点，连接DE．
（1）求： 的值；（2）将△CDE绕点C逆时针方向旋转一定的角度， 的大小有无变化？请仅就图2的
情形给出证明．
4．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，
CE＝2.5，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．
5．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE
＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上， ，求 的值．
6．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：（1）△ABC∽△ADE
（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE为多少
7．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得
到：
①△ ≌△ ；
②△ ∽△ ．
【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝
30°，
求证：△ACE∽△ABD．
【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝
30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上， ，求 的值．
8．如图，点B在线段CD上，在CD的同一侧作两个等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB
＝∠BED＝90°，AD与CE，BE分别交于点P，M，连接PB．
（1）若AD＝k•CE，则k的值是 ；
（2）求证：△BMP∽△DME；（3）若BC＝ ，PA＝3，求PM的长．
9．如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB
上，且 BD＝ ，将△BDE 绕点 B 按顺时针方向旋转，记旋转角为 （0°≤ ＜
α α
360°）．
（1）问题发现
当 ＝0°时， 的值为 ，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为 ；
（2α）拓展探究
试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：
（3）问题解决
当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．
