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专项 12 实数的相关运算（3 大类型）
考点1 实数的基本运算
考点2 实数的化简求值
考点3 二次根式的化简
【考点1 实数的基本运算】
【典例1】（2022春•东莞市校级期中）若一个正数x的平方根分别是2a﹣3和a﹣9，求这
个正数x．
【解答】解：∵一个正数x的平方根分别是2a﹣3和a﹣9，
∴2a﹣3+a﹣9＝0，
解得：a＝4，
2a﹣3＝2×4﹣3＝8﹣3＝5，
所以这个正数x＝52＝25
【变式1-1】（2022春•赣州期末）已知一个正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，求
x和a的值．
【解答】解：由题意得，x+3＝﹣（2x﹣15），
解得x＝4，
a＝（4+3）2＝49，
∴x的值为4，a的值为49．【变式1-2】（2022春•雨花区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣
9．
（1）求a和m的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【解答】解：（1）由题意得：a+6+2a﹣9＝0，
解得：a＝1，
∴m＝（a+6）2＝49．
（2）原方程为：x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
解得：x＝±4．
【典例2】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是 ，3a+b﹣1的算术平方根
是6，求a+4b的平方根．
【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，
解得a＝9，b＝10，
∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，
∴a+4b的平方根是±7．
【变式2-1】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，
∴3b+3＝9，
解得b＝2，
∵3a+b的算术平方根为5，
∴3a+b＝25，
∵b＝2，
∴a＝ ，
（2）∵a＝ ，b＝2，
∴4a﹣6b＝ ，∴4a﹣6b的平方根为 ．
【变式2-2】（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是
4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，
解得a＝5，b＝4；
（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，
而25的平方根为± ＝±5，
即ab+5的平方根是±5．
【变式2-3】（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．
∴a＝12，b＝﹣3．
（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．
∴a+b＝12﹣3＝9．
∴a+b的平方根为 ＝±3．
【典例3】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求 的平方根．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，则 ＝
＝4，
故 的平方根为：±2．
【变式3-1】（2022春•惠东县校级月考）已知 ．
（1）求x与y的值；
（2）求3x+2y的平方根．
【解答】解：（1）∵ ，
∴2y﹣8＝0，x﹣2＝0，
解得：x＝2，y＝4；
（2）3x+2y＝3×2+2×4＝14．
∵14的平方根为± ，
∴3x+2y的平方根为 ．
【变式3-2】（2022春•枞阳县校级月考）若m，n满足等式（ m﹣2）2+ ＝0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
【解答】解：（1）由题意得， m﹣2＝0，2n+6＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3；
（2）4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．
∵25的平方根为±5，
∴4m﹣3n的平方根为±5．
【典例4】（2019春•温岭市期末）如图，用两个边长为 cm的小正方形剪拼成一个大的
正方形，
（1）则大正方形的边长是 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比
为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．【解答】解：（1）大正方形的边长是 ＝4（cm）；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则2x•3x＝12，
解得：x＝ ，
3x＝3 ＞4，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为
3：2，且面积为12cm2．
【变式4-1】（2022春•平潭县校级期末）如图，用两个边长为 cm的小正方形纸片拼
成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截
得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
【解答】解：不能，
因为大正方形纸片的面积为（ ）2+（ ）2＝36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，
则6b2＝30，
所以b＝ （取正值），
所以3b＝3 ＝ ＞ ，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
【变式4-2】（2022春•丹凤县期末）小丽想用一块面积为 36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否
裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面
积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
为什么？
【解答】解：不同意，因为正方形的面积为36cm2，故边长为6cm，
设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，
长方形面积＝x⋅2x＝2x2＝20，解得x＝ ，
长为 ，
即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．
【考点2 实数的化简求值】
【典例5】（2022•仙居县校级开学）计算： ．
【解答】解：原式＝﹣ +1+ ﹣4
＝﹣ + ﹣4+1
＝﹣3．
【变式5-1】（2022春•东莞市校级期中）计算： ﹣ + （ ﹣1）+2 ．
【解答】解：原式＝5﹣2+3﹣ +2
＝6+ ．
【变式5-2】（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣12020+ ﹣ +| ﹣2|．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣4+2﹣＝﹣1﹣ ．
【变式5-3】（2022春•江津区校级期中）计算：
（1）（﹣1）2017﹣ ﹣ | |；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2+2+2﹣
＝1﹣ ；
（2）原式＝2+0+2
＝4．
【变式5-4】（2022春•沙依巴克区校级期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣2×3
＝﹣1﹣3﹣6
＝﹣10；
（2）原式＝2 ﹣2﹣（2﹣ ）+4
＝2 ﹣2﹣2+ +4
＝ ．
【考点3 二次根式的化简】
【典例6】（2022春•渝中区校级期中）已知：x＝ +1，y＝ ﹣1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2+y2．【解答】解：∵x＝ +1，y＝ ﹣1，
∴x+y＝2 ，xy＝2﹣1＝1，
（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2 ）2＝8；
（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝8﹣2×1＝6．
【变式6-1】（2022•渝中区校级开学）已知：x＝ ﹣2，y＝ +2，求：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）x2﹣y2的值．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）2，
当x＝ ﹣2，y＝ +2时，x﹣y＝﹣4，
∴原式＝16；
（2）原式＝（x﹣y）（x+y），
当x＝ ﹣2，y＝ +2时，x+y＝2 ，
∴原式＝﹣4×2
＝﹣8 ．
【变式6-2】（2022春•伊宁市校级期末）已知 ， ，分别求下列代数式
的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣2ab+b2．
【解答】解：（1）∵a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，
∴a+b＝（3+2 ）+（3﹣2 ）＝6，a﹣b＝（3+2 ）﹣（3﹣2 ）＝4 ，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4 ＝24 ；
（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4 ）2＝32．【变式6-3】（2022春•同心县期末）已知x＝2+ ，y＝2﹣ ，求下列代数式的值．
（1）x2+xy+y2．
（2）x2y﹣xy2．
【解答】解：∵x＝2+ ，y＝2﹣ ，
∴x﹣y＝2 ，xy＝1，
（1）x2+xy+y2
＝（x﹣y）2+3xy
＝（2 ）2+3×1
＝12+3
＝15；
（2）x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝1×2
＝2 ．
【典例7】（2021秋•洛江区期末）先化简，再求值：a（ ﹣a）+（a+ ）（a﹣
），其中a＝ ﹣1．
【解答】解：原式＝
＝ a﹣3，
当a＝ ﹣1时，
原式＝ （ ﹣1）﹣3
＝2﹣ ﹣3＝﹣1﹣ ．
【变式7-1】（2021秋•金台区期末）先化简，再求值．（a+ ）（a﹣ ）﹣a（a﹣
4），其中a＝ ．
【解答】解：（a+ ）（a﹣ ）﹣a（a﹣4）
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当a＝ 时，原式＝4× ﹣3＝2 ﹣3．
【变式7-2】（2022春•汝南县月考）先化简，再求值： x +y2 ﹣（x2 ﹣5x
），其中 ．
【解答】解：原式＝2x + ﹣x +5
＝x +6 ，
当x＝ ，y＝4时，原式＝ +6 ＝ +6 ＝ ．
【典例8】（2022春•交城县期中）阅读下面的材料，并解决问题．
﹣1；
；
；
…
（1）观察上式并填空： ＝ ；
（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时 ＝ （用含n的式子表示）；
（ 3 ） 请 利 用 （ 2 ） 的 结 论 计 算 ：
．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ；
（2） ＝ ＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ；
（3）原式＝（ ﹣1+ ﹣ +...+ ﹣ ）×（ +1）
＝（ ﹣1）×（ +1）
＝361﹣1
＝360．
【变式 8-1】（2022•南京模拟）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
， ， ，……，解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ＝ ；
（2）计算：（ ）（ ）的值．
【解答】解：（1）
＝
＝ ﹣ ，
故答案为： ．
（2）（ ）（ ）＝[ ]（ + ）
＝
＝
＝
＝ ×4
＝2．
【变式8-2】（2021秋•怀化期末）阅读并解答问题：
；
；
；
⋯⋯
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将 的分母有理化；
（2）已知a＝ ，求a+b的值；
（3）计算 ．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣2；
（2）∵a＝ ，
∴a+b
＝ +
＝ ﹣ + +＝2 ；
（3）
＝ ﹣1+ +…+ +
＝ ﹣1
＝10﹣1
＝9．
1．（2022春•陇县期中）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求x和a的值．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，
∴2x﹣2+6﹣3x＝0，
∴x＝4，
∴2x﹣2＝2×4﹣2＝6，
又∵62＝36，
∴a＝36．
2．（2021秋•莱芜区期末）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
【解答】解：（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣6，
∴（a+2）+（3a﹣6）＝0，
∴4a＝4，
解得a＝1；
（2）∴a+2＝1+2＝3，3a﹣6＝3﹣6＝﹣3，
∴m＝（±3）2＝9，
∴m的值是9．
3．（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，
解得a＝5，b＝4；
（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，
而25的平方根为± ＝±5，
即ab+5的平方根是±5．
4．（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．
∴a＝12，b＝﹣3．
（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．
∴a+b＝12﹣3＝9．
∴a+b的平方根为 ＝±3．
5．（2018春•硚口区期中）列方程解答下面问题．
小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10cm，长方形的周长是100cm．
（1）求长方形的长和宽；
（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：4，面
积为520cm2的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由．
【解答】解：（1）设AB＝xcm，则BC＝（10+x）cm，
依题意有：2[x+（10+x）]＝100，
∴x＝20，
答：长方形的长为30cm，宽为20cm．
（2）设新长方形的长为5acm，宽为4acm，
则5a×4a＝520，
∴ ，即新长方形的长为 cm，宽为 cm，
∵26＞25，
∴ ＞5即 ＞20，
故小丽不能成功．
答：小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
6．（2022春•济宁月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正
方形，求留下部分（即阴影部分）的面积．
【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是 +2 ，
留下部分（即阴影部分）的面积是（ ）2﹣15﹣24
＝12 （cm2）．
7．（2021秋•永定区期末）已知|x﹣1|+ ＝0．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．
【解答】解：（1）∵|x﹣1|+ ＝0，而|x﹣1|≥0， ≥0，
∴ ，
解得： ；
（2）x+y＝1+3＝4．
∵4的平方根为±2，∴x+y的算术平方根为2．
8．（2022春•崇川区校级月考）已知 + ＝0，求（x+y）2020的值．
【解答】解：根据题意，得
x+3＝0，2y﹣4＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，
∴（x+y）2020＝（﹣3+2）2020＝1．
即（x+y）2020的值是1．
9．（2022春•重庆期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝3﹣3+6
＝6；
（2）原式＝﹣1+10+2×0.5+ ﹣1
＝﹣1+10+1+ ﹣1
＝9+ ．
10．（2022春•鼓楼区校级期中）（1）计算： ；
（2）计算： ．
【解答】解：（1）原式＝1+4﹣3
＝2；
（2）原式＝2﹣ ﹣ + ﹣1
＝1﹣ ．
11．（2022春•八步区期末）已知x＝ ，y＝ ，求﹣x2+2xy﹣y2的值．【解答】解：∵x＝ ，y＝ ，
∴x+y＝2 ，xy＝1，
∴﹣x2+2xy﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）
＝﹣（x+y）2+4xy
＝﹣（2 ）2+4×1
＝﹣12+4
＝﹣8．
12．（2022春•谷城县期末）已知x＝2﹣ ，求代数式（7+4 ）x2+（2 + ）x﹣1
的值
【解答】解：∵x＝2﹣ ，
∴x2＝（2﹣ ）2＝4﹣4 +3＝7﹣4 ，
∴（7+4 ）x2+（2 + ）x﹣1
＝（7+4 ）×（7﹣4 ）+（2 + ）×（2﹣ ）﹣1
＝49﹣48+4 ﹣2 +2 ﹣3 ﹣1
＝ ．
13．（2021秋•炎陵县期末）已知x＝3+2 ，y＝3﹣2 ，求x2y﹣xy2的值．
【解答】解：原式＝xy（x﹣y），
当x＝3+2 ，y＝3﹣2 时，
原式＝
＝（9﹣8）×（3+2 ﹣3+2 ）
＝1×4＝ ．
14．（2021秋•平阴县期末）阅读下面问题：
＝ ＝ ；
＝ ＝ ；
．
试求：（1）求 ＝ ；
（2）当n为正整数时 ＝ ；
（3） 的值．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ，
故答案为： ；
（2） ＝ ＝ ，
故答案为： ；
（3）
＝ ﹣1+ + +…+ +
＝ ﹣1
＝10﹣1
＝9．
