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专题 33 相似三角形的性质(重难题型)
1．如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结论中错误的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再根据需要变形，结合相似三角形对应边成比
例即可判断各个选项．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴ ，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD。∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴ ,
∴ ,
∵AB∥CD，∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴ ，
∴ ；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴ ，
∵AB FA
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出
比例式是解此题的关键．
2．如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点E，点O为 的中点，连接
并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形
的面积为48，则 的面积为（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】
由题意易得 ，进而可得 ，则有
，然后根据相似比与面积比的关系可求解．
【详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点 为 的中点，∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相
似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键．
3．如图，平行四边形 的对角线 相交于点 ，点 为 的中点，连接
并延长，交 的延长线于点 ，交 于点 ，连接 、 ，若平行四边形
的面积为48，则 的面积为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题意易得 ，进而可得 ，则有
，然后根据相似比与面积比的关系可求解．
【详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相
似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键．4．如图，在 中， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，交 的延
长线于点 ，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质可得AB//CD，AD//BC，根据平行线的性质及角平分线的定义可得
∠ABF=∠AFB=∠FBC=∠G，可得AB=AF，BC=CG，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即
可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，
∴∠AFB=∠FBC，∠ABF=∠G，
∵BG为∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB=∠FBC=∠G，
∴AB=AF，BC=CG，
∵AD//BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ ，
∴ ，故A选项正确，
∵AD//BC，∴△GFD∽△GBC，
∴ ，故B选项错误，
∵AB//CG，
∴△ABE∽△CGE，
∴ ，
∵CG≠DG，
∴ ≠ ，故C选项错误，
∵AB//CG，
∴△ABF∽△DGF，
∴ ，故D选项错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理
是解题关键．
5．如图，在 ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点F交BC于点E，FG∥BC，若AC＝5，BC
＝9，则FG的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】
根据题意证明出△ACF≌△ECF，得到AF＝EF，AC＝EC，再根据FG∥BC，得到△AGF∽△ABE ，最后算出FG的长．
【详解】
解：∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，
∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC＝90°，
在 ACF和 ECF中，
△ △
，
∴△ACF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF，AC＝EC，
∴AE＝2AF，
∵AC＝5，BC＝9，
∴EC＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝9﹣5＝4，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABE，
∴ ，
∴ ，
∴GF＝2，
即FG＝2，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及相似
三角形的判定与性质，解题关键在于弄清题意，证明出三角形全等，再根据平行证明出三
角形相似．
6．如图，已知菱形A ， 、 、 、 分别是 、 、 、 边上的点，且满足 ，则四边形 与菱形 的面积比为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的性质，可证得 过点F作 于点
M，交AB的延长线于点N，可证得 ，最后通过分别计算菱
形ABCD和四边形EFGH的面积，可求出它们的面积之比．
【详解】
解：过点F作 于点M，交AB的延长线于点N，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD．∠A=∠C，∠D=∠ABC．
∴∠DMN+∠ANM=180°．
∴∠ANM=180°-∠DMN=180°-90°=90°．
∴MN⊥AB．
设菱形的边长为a，则
在 和 中，同理可证：
∵AB∥CD，
设FM=h，则FN=2h，MN=3h．
∵菱形ABCD的面积
∴四边形EFGH的面积
故选：B
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、图形的面积等知识点，熟知菱形的性
质、全等三角形的判定与性质、图形面积的计算方法是解题的关键．
7．如图，D、E、F分别是 各边中点，则以下说法错误的是（ ）A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
【答案】C
【分析】
根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一
判断各个选项，即可得到答案．
【详解】
解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝ AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴ ，
∴ ， ，
∴ 和 的面积相等，故A正确；
∵ ，
∴DF＝ AB=AE，
∴四边形 不一定是菱形，故C错误；∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判
定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键．
8.如图，在 ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD恰好平分 ，若 ，
BD＝3，则△AC的长是（ ）
A． B．3 C．2 D．6
【答案】A
【分析】
根据题意，由垂直平分线的性质得到∠B＝∠DCB，AB＝5，再由角平分线得到∠ACD＝
∠DCB＝∠B，结合∠A＝∠A，证得△ACD∽△ABC，进而根据对应边成比例即可求得AC的长．
【详解】
∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，BD＝3，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，
∵ ，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得，AC＝ ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质及三角形相似的判定及性质，熟练掌握相关几何知识是
解决本题的关键．
9．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，
AF∥BC，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由AF∥BC，DE∥BC，得到AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理和三角形相似判定与性质即
可得到结论．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴
∴ ，即
∴ ，即
∵AF∥BC,DE∥BC，∴AF∥DE,
∴ ,
∴
故选项A正确，
∵AF∥DE，
∴ ，即
故B正确，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴ 故C正确，
∵AF∥DE，
∴
∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠B，∠F=∠DCB，
∴△AFD∽△BCD，
∴
∴ ，故D不正确．故选:D．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，三角形相似判定与性质，掌握平行线分线段成比例定
理，三角形相似判定与性质是解题关键．
10．如图，四边形 为正方形， 的平分线交 于点 ，将 绕点 顺
时针旋转90°得到 ，延长 交 于点 ，连接 ， ， 与 相交于
点 ．有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】
①由旋转的性质得 ≌ ，可得 ；②由正方形的性质得
，即 ，进而可得 ；
③先证明 ≌ （SAS），可得 ，根据 ，AE平
分 可得 进而可得 ；④先证明 ∽ ，可得
，即 ，故可求解．
【详解】①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∵AG⊥CF，
∴∠AGF＝90°，
∴∠GAF＋∠F＝90°，
∵∠BCF＋∠F＝90°，
∴∠GAF＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴ ，故此小题结论正确；
②由正方形的性质得 ，
∵AE平分
∴ ，
∴ ，
∴ ；故此小题结论正确；
③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，
∴BG＝CG，
∴∠CBG＝∠BCG，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABG＝∠DCG，
∵AB＝DC，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴ ，
∵ ，AE平分
∴
∴
∴
故此小题结论正确；
④∵△ABG≌△DCG，
∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，∵∠DCH＝∠ACE，
∴△DCH∽△ACE，
∴ ，
∴ ，
故此小题结论正确；
由上可知，正确的结论是①②③④，故选D．
【点睛】
本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，
角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判
定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大．灵活运用这些知识解题是关键．
11．如图，在 纸片中， ，点 分别在
上，连结 ，将 沿 翻折，使点A的对应点F落在 的延长线上，
若 平分 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线
的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】
解：∵ ，
∴ =5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵ 平分 ，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴ 即 ，
解得：AD= ，
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内
角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
12．如图， 中， ， 、 相交于点D， ， ，
，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
过点C作 的延长线于点 ，由等高三角形的面积性质得到 ，
再证明 ，解得 ，分别求得AE、CE长，最后根据 的面积公
式解题．
【详解】
解：过点C作 的延长线于点 ，
与 是等高三角形，设
，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
13．如图，点E是正方形 的边 上的一点，且 ，延长 交 的延长
线于点F，则 和四边形 的面积比为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意易得△ADE∽△FCE，△CFE∽△BFA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得
， ，所以 即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC且AD＝BC=AB=CD，
∴△ADE∽△FCE，
∴
∴
∵AB∥DC，
∴△CFE∽△BFA，
∴
∴
∴
故答案选：C
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、此题难度适中，注意
数形结合思想的应用．
14．如图，已知等边三角形ABC绕点B顺时针旋转60°得 BCD，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若AE＝CF， 则下列结论正确的有（ ）
①四边形ABDC为菱形；② ABE≌ CBF；③ BEF为等边三角形；④∠CFB＝∠CGE；⑤若
CE=3，CF＝1，则 ．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】
由等边三角形和旋转的性质结合菱形的判定定理即可知①正确；直接利用“SAS”即可判定
，即②正确；由全等三角形的性质可知 ， ，再
结合 ，即求出 ，即证明 为等边三角形，
即③正确；由三角形外角性质得： ，再根据
，即可证明 ，故④正确；根据AE=CF即可求出
BC的长，再根据④结合题意，易证 ，即 ，即可求出CG的长，
最后即可求出BG的长，即可判断⑤正确．
【详解】
由等边三角形和旋转的性质可知 ，即四边形 为菱形，故①
正确；
∵在 和 中， ，∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等边三角形，故③正确；
∵ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，故④正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确．
综上，①②③④⑤都正确，个数为5个．
故选A．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和
性质，三角形外角性质以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握各知识点并利用数形结合
的思想是解答本题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，
6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，
求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．
【详解】
解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴ ，∴ ，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形
是解题的关键．
16．如图，在 中， ， ， ，点E在线段 上，
且 ，D是线段 上的一点，连接 ，将四边形 沿直线 翻折，得到
四边形 ，当点G恰好落在线段 上时， ________．
【答案】
【分析】
过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG= ，∠EFG= ，
EF=AE=1，再证明 ，得 ， ，进而即可求解．
【详解】解：过点F作FM⊥AC于点M，
∵将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上，
∴FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，
∴EG= ，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ = ， ，
∴AM=AE+EM= ，
∴ ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相
似三角形“是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交
AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】
连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明 ,得到 ,进而根据
CD=2BD，CF=2AF，得到 ,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，
△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．
【详解】
解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴ ,∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，∴ ,
∴ ,
∵CF=2AF，
∴ ,
∴ ,
∵CD=2BD，
∴ ,
∴ ,
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为 ，
此时△AFE面积最大为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到 ,理解等
高三角形的面积比等于底的比是解题关键．
18．如图，正方形 中，P是对角线 上的一个动点（不与点A，C重合），连接
，将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 交 于点E， 的延长线与
交于点F．
（1）连接 ，求证 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 的值为 ．
【分析】
（1）证明 ABP≌△CBQ（SAS）可得结论．
△
（2）由 ，可以得 ，证明 得
，代入求解即可．
【详解】解：（1）证明：∵线段 绕点B顺时针旋转 得到 ，
∴ ．
∴四边形 是正方形，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
（2）∵四边形 是正方形， ，
∴ ．
由（1）知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ 的值为 ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．如图， 与 交于点O， ，E为 延长线上一点，
过点E作 ，交 的延长线于点F．
（1）求证 ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；
（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
又∵ ，
∴ ；（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与
性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本
题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．
20．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CE＝CD．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）已知 ，AD＝14，试求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝
∠CDE，根据三角形外角的性质得到∠B＝∠ACE，于是得到结论；
（2）根据△ABD∽△ACE得到 ，可求得AE的值，由DE＝AD﹣AE即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∵∠CDE＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠ACE+∠CAD，
∴∠B＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴ ，
∴
∴ ，
∵AD＝14，
∴AE＝
∴DE＝14 ＝ ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定理，熟练掌握相似三角形的判定和性
质是解题的关键．21．如图， 为正方形 对角线 上的一点，连接 并延长交 于点 ，过
作 分别交 ， 于 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，点 与点 关于直线 对称，连接 并延长交直线 于点 ，连接
．
①设 的度数为 ，求 的度数：
②猜想 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）① ；② ．证明见解析．
【分析】
（1）作 ，垂足为 ，得∠NHB=90°，由四边形ABCD为正方形，可得
∠B=∠NAB=90°，可证四边形ABHN为矩形，可证 即可；
（2）① ，由点 与点 关于直线 对称，与四边形 是正方形，
可得 ， ， ，在等腰
中， ，由外角性质 ；②.连接 ， ，由对称性可知 ， ，由勾股定理
， ，可证 ，可得 ．
【详解】
证明：（1）作 ，垂足为 ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠NAB=90°，∠NHB=90°，
∴∠B=∠NAB=∠NHB=90°，
∴四边形ABHN为矩形，
∴ ，
，
，又 ，
，
，
；
（2）① .
点 与点 关于直线 对称，且四边形 是正方形，
， ，，
在等腰 中， ，
又 ，
；
② .
证明：连接 ， ，
由对称性可知 ，
即 是等腰直角三角形，
∴FC ，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴ ，
，
，又 ，
，
，
．
【点睛】
本题考查正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角
三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握正方形性质，矩形判
定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾
股定理，三角形相似判定与性质．
