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专题 4.6 相似三角形中的手拉手模型
【例题精讲】
【例1】如图，在 中， ，将 以点 为中心逆时针旋转得到 ，点
在 边上， 交 于点 ．下列结论：① ；② 平分 ；③
，其中所有正确结论的序号是
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解： 将 以点 为中心逆时针旋转得到 ，
， ， ， ，
，
，
平分 ，
②符合题意；
， ，
，
①符合题意；
，
，
，
，
，
，
③符合题意；
故选： ．【题组训练】
1．如图， 和 都是等边三角形，点 是 上的点，连接 ，下列相似三角
形成立的有
① ；② ；③ ；④ ．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解答】解： 和 都是等边三角形，
， ，
，
，
，
故①正确；
， ，
，
故②正确；
，
，
，
，
故③正确；
， ，
，
故④正确；
所以，上列相似三角形成立的有4对，
故选： ．2．如图，将 绕点 逆时针旋转一定角度后得到△ ，连接 、 ，已知
， ， ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： 将 绕点 逆时针旋转一定角度后得到△ ，
， ， ，
，
，
，
故选： ．
3．如图，将 绕点 旋转任意角度得到△ ，连接 、 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： 绕点 旋转任意角度得到△ ，
， ， ，
，
．
故选： ．
5．如图，已知 与 都是等边三角形，点 在边 上（不与点 、 重合），
与 相交于点 ，那么与 相似的三角形是A． B． C． D．
【解答】解： 与 都是等边三角形，
，
，
，
与 相似的三角形是 ，
故选： ．
6．如图， 且 、 交于点 ，连接 、 ，则下列四个结论：①
，② ，③ ，④ ，其中一定成立的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ，
， ， ，
，
但不能得出 ，
故选： ．
二．填空题（共1小题）
7．如图， 且 、 交于点 ，连接 、 ，则下列四个结论①
；② ；③ ；④ ，其中一定成立的有
①②③ ．【解答】解：
， ， ，
故答案为：①②③
三．解答题（共15小题）
8．问题背景：如图（1），已知 ，求证： ；
尝 试 应 用 ： 如 图 （ 2 ） ， 在 和 中 ， ，
， 与 相交于点 ．点 在 边上， ，求 的值．
【解答】问题背景
证明： ，
， ，
， ，
；
尝试应用
解：如图1，连接 ，， ，
，
由（1）知 ，
， ，
在 中， ，
，
．
， ，
，
．
9．如图，在 与 中，已知 ， ， ， ，
，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
，
又 ，
；
（2）解：过 作 于 ，由（1）知， ，
，
在 中，由勾股定理得：
，
．
10．如图，在 中， ， ， ， 是 上一点，
， ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）设 ，当 时，求 的值．
【解答】（1）证明： ， ，
，
， ，
，
；
（2）证明： ，
，
，，
，
；
（3）解：在 中， ， ， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
解得： ．
11．如图，已知 的顶点 在 的边 上， 与 相交于点 ，
， ．
（1）若 ，求 ；
（2）求证： ．【解答】（1）解： ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明： ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
12．已知：如图，在 中，点 在边 上， ， 与 、 分别相交于点 、 ， ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，求证： ．
【解答】证明：（1） ．
，且 ，
，
，
，
，
，且 ，
；
（2） ，
，且 ，
，
，
，
，
，
．
13．如图，在 与 中， ， ，连接 、 ，
求证：（1）（2）若 ，求 为多少
【解答】解：（1） ， ，
；
（2） ，
设 ，则 ，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
即 ．
14．如图，在 和 中，点 在 的延长线上， ，
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ，
，，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
．
15．已知：如图， ．
（1）求证： ；
（2）探索： 与 是否相等？请说明理由．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
即 ．
（2） ，
，
即 ，又 ，
，
．
16．如图，已知： ，求证： ．
【解答】证明： ，
，
，
，即 ，
，即 ，
，
，
即 ．
17．如图， ，求证：
（1） ；
（2） ．
【解答】证明：（1） ，
， （2分）
，
． （4分）（2） ， ，
， （6分）
． （8分）
18．如图，已知 ．求证： ．
【解答】证明： ，
， ，
，
又 ，
．
19．如图， ， ， ，且 、 、 三点在一条直线上，若
．
（1） 与 是否全等，请说明理由；
（2） 是否是等边三角形，如果是．请说明理由；
（3） 是否成立，如果成立请说明理由．
【解答】解：（1） ；理由如下：
，
，即 ，
在 与 中，
，
；
（2） 是等边三角形，理由：
由（1）知， ，
， ，
，
是等边三角形；
（3） 成立，理由如下：
由（2）知， 是等边三角形，
，
由（2）知， ，
，
即 ．
20．如图，点 在线段 上，在 的同一侧作两个等腰直角 和 ，且
， 与 ， 分别交于点 ， ，连接 ．
（1）若 ，则 的值是 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）解： 等腰直角 和 ，
， ， ，， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）证明： ，
，
点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
， ，
；
（3） ，
，
，
，
又 ，
，
，
．
21．在 中， ， ， ， 为 边上一点，点 ， 分别
在边 ， 上， ．（1）如图1，当 为 中点时， ；
（2）如图2，若 ，求 的值．
【解答】解：（1）过点 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
为 中点，
，
， ，
，，
，
故答案为： ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，的值为 ．
22．（1）如图①，将 绕点 旋转任意角度得到△ ，连接 、 ，证明：
．
（2）如图②，四边形 和四边形 均为正方形，连接 ， ，求 的值．
【解答】证明：（1） 将 绕点 旋转任意角度得到△ ，
， ， ，
，
，
；
（2）连接 和 ，
四边形 和四边形 均为正方形，
， ， ，则 ，
， ，
．
．
．
