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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.6第4章因式分解单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．学完因式分解后，李老师在黑板上写下了4个等式：
①15x2y＝3x•5xy；②（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；③x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；④x2﹣3x+1＝x（x﹣3+
），其中是因式分解的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2021春•永嘉县校级期末）整式n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n B．n2 C．n+1 D．n﹣1
3．（2021•苍溪县模拟）若2a﹣3b＝﹣3，则代数式4a2﹣6ab+9b的值为（ ）
A．﹣1 B．9 C．7 D．5
4．（2019春•双流区期末）把多项式 3x2+ax﹣2分解因式，结果是（3x+1）（x+b），则a，b的值为（
）
A．a＝7，b＝2 B．a＝5，b＝2 C．a＝﹣7，b＝﹣2 D．a＝﹣5，b＝﹣2
5．（2021 秋•杨浦区期中）若 4x4﹣（y﹣z）2分解因式时有一个因式是 2x2+y﹣z，则另一个因式是
（ ）
A．2x2﹣y+z B．2x2﹣y﹣z C．2x2+y﹣z D．2x2+y+z
6．（2021春•遵化市期末）我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；
③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2019秋•无棣县期末）小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x
﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：头、爱、我、汕、丽、美，现将（x2﹣y2）a2﹣
（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．汕头美 C．我爱汕头 D．汕头美丽
8．（2020•高青县一模）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是 x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数 m 的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数 m 的值有几个？
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．（2021春•通川区校级月考）一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数称为智数，
比如：22﹣12＝3，3就是智数，从0开始，不大于2021的智数共有（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．以上都不对
10．（2021秋•招远市期中）由图得到的等式中正确的有（ ）
①a2+b2+2ab＝（a+b）2；
②a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2；
③b2+c2+2bc＝（b+c）2；
④b2+c2+ab+bc+ac＝（a+b+c）（b+c）；
⑤（a+b+c）2﹣（b+c）2＝a2+2ab+2ac；
⑥ （a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+ab+bc+ac；
⑦a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2．
A．①②④⑤ B．①③④⑤⑦ C．①③⑤⑦ D．①②③⑥⑦
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•五华县模拟）分解因式：3x2+6x＝ ．
12．（2010•萧山区校级模拟）分解因式：a2﹣1＝ ；化简：（x+y）2﹣2xy＝ ．
13．（2021春•兰州期末）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是 ．
14．（2020•浙江自主招生）已知x2+mx+8＝（x+n）2，则m＝ ，n＝ ．
15．（2021•启东市模拟）已知xy＝ ，x﹣y＝﹣3，则x2y﹣xy2＝ ．
16．（2021春•沙坪坝区校级期中）已知x2+x＝2，则x3+2x2﹣x+1的值为 ．
17．（2020•浙江自主招生）△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为 ．
18．（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密
码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝
9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为
一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 （写
出一个即可）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•龙岗区校级月考）因式分解：
（1）a3﹣36a；
（2） x2+xy+y2；
（3）（a2+4）2﹣16a2．
20．（2019春•金华期中）利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：
（1）因式分解：x2﹣4x+4＝ ．
（2）填空：
①当x＝﹣2时，代数式x2+4x+4＝ ；
②当x＝ 时，代数式x2﹣6x+9＝0；
③代数式x2+10x+20的最小值是 ．
（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．
21．（2021春•仪征市期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式；
B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式；
D．两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
22．（2020春•高明区期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为 ，
宽为 ，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于 3个长方形和3个正方形的面
积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1： ；
方法2： ；
数学等式： ；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．
23．（2020秋•海淀区校级期中）阅读下列材料：
已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9
∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为 ．
（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
24．（2021秋•临淄区期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各
若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）则图③可以解释为等式： ．
（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面
积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式3a2+7ab+2b2因式分解：3a2+7ab+2b2＝ ．（拼图图形画
在方框内）
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长（x＞
y），结合图案，指出以下关系式：
①xy＝ ；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2＝
其中正确的关系式为 ．
（4）试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
