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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.6第4章因式分解单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．学完因式分解后，李老师在黑板上写下了4个等式：
①15x2y＝3x•5xy；②（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；③x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；④x2﹣3x+1＝x（x﹣3+
），其中是因式分解的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】①15x2y＝3x•5xy不属于因式分解；②（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2不属于因式分解；③x2﹣
2x+1＝（x﹣1）2属于因式分解；④x2﹣3x+1＝x（x﹣3+ ）不属于因式分解，所以属于因式分解的个
数是1个，
故选：B．
2．（2021春•永嘉县校级期末）整式n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n B．n2 C．n+1 D．n﹣1
【分析】根据公因式定义，对两个多项式分别整理后，即可选出每一个多项式的公因式．
【解析】n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），所以整式n2﹣1与n2+n的公因式是（n+1），
故选：C．
3．（2021•苍溪县模拟）若2a﹣3b＝﹣3，则代数式4a2﹣6ab+9b的值为（ ）
A．﹣1 B．9 C．7 D．5
【分析】由已知字母a、b的系数为2、﹣3，代数式中前二项的系数4、﹣6，提取此二项的公因式2a
后，代入求值变形得﹣6a+9b，再提出﹣3，整体代入即可．
【解析】∵2a﹣3b＝﹣3，
∴4a2﹣6ab+9b
＝2a（2a﹣3b）+9b＝2a×（﹣3）+9b
＝﹣6a+9b
＝﹣3（2a﹣3b）
＝﹣3×（﹣3）
＝9，
故选：B．
4．（2019春•双流区期末）把多项式 3x2+ax﹣2分解因式，结果是（3x+1）（x+b），则a，b的值为（
）
A．a＝7，b＝2 B．a＝5，b＝2 C．a＝﹣7，b＝﹣2 D．a＝﹣5，b＝﹣2
【分析】根据多项式乘法的计算方法可得b＝﹣2，再利用因式分解的意义求出a的值即可．
【解析】因为3x2+ax﹣2＝（3x+1）（x+b），
所以b＝﹣2，
当b＝﹣2时，
3x2+ax﹣2＝（3x+1）（x﹣2）＝3x2﹣5x﹣2，
因此a＝﹣5，
故选：D．
5．（2021 秋•杨浦区期中）若 4x4﹣（y﹣z）2分解因式时有一个因式是 2x2+y﹣z，则另一个因式是
（ ）
A．2x2﹣y+z B．2x2﹣y﹣z C．2x2+y﹣z D．2x2+y+z
【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．
【解析】4x4﹣（y﹣z）2＝（2x2）2﹣（y﹣z）2＝（2x2+y﹣z）（2x2﹣y+z），
故选：A．
6．（2021春•遵化市期末）我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；
③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案．
【解析】（x﹣y）3+4（y﹣x）
＝（x﹣y）3﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]
＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），
故将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；故选：A．
7．（2019秋•无棣县期末）小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x
﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：头、爱、我、汕、丽、美，现将（x2﹣y2）a2﹣
（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．汕头美 C．我爱汕头 D．汕头美丽
【分析】将式子先提取公因式再用平方差公式因式分解可得：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2＝（x2﹣y2）
（a2﹣b2）＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b），再结合已知即可求解．
【解析】（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2
＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）
＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b），
由已知可得：我爱汕头，
故选：C．
8．（2020•高青县一模）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是 x2+2mx+16能在有理数的范围
内因式分解，则整数 m 的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数 m 的值有几个？
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据把16分解成两个因数的积，2m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．
【解析】∵4×4＝16，（﹣4）×（﹣4）＝16，2×8＝16，（﹣2）×（﹣8）＝16，1×16＝16，（﹣1）×
（﹣16）＝16，
∴4+4＝2m，﹣4+（﹣4）＝2m，2+8＝2m，﹣2﹣8＝2m，1+16＝2m，﹣1﹣16＝2m，
分别解得：m＝4，﹣4，5，﹣5，8.5（不合题意），﹣8.5（不合题意）；
∴整数m的值有4个，
故选：A．
9．（2021春•通川区校级月考）一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数称为智数，
比如：22﹣12＝3，3就是智数，从0开始，不大于2021的智数共有（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．以上都不对
【分析】根据“智慧数”的定义得出智慧数的分布规律，进而得出答案．
【解析】∵（n+1）2﹣n2＝（n+1+n）（n+1﹣n）＝2n+1，
∴所有的奇数都是智慧数，
∵2021÷2＝1010......1，
∴不大于2021的智慧数共有：1010+1＝1011（个）．故选：C．
10．（2021秋•招远市期中）由图得到的等式中正确的有（ ）
①a2+b2+2ab＝（a+b）2；
②a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2；
③b2+c2+2bc＝（b+c）2；
④b2+c2+ab+bc+ac＝（a+b+c）（b+c）；
⑤（a+b+c）2﹣（b+c）2＝a2+2ab+2ac；
⑥ （a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+ab+bc+ac；
⑦a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2．
A．①②④⑤ B．①③④⑤⑦ C．①③⑤⑦ D．①②③⑥⑦
【分析】通过等面积法验证恒等式．
【解析】由图知：两个边长分别是 a，b的正方形，两个长为 a，宽是b的长方形拼成一个边长为
（a+b）的长方形．
∴a2+b2+2ab＝（a+b）2．
故可以得到①．
∵图中没有边长为（a﹣b）的长方形或正方形．
∴不能得到②．
由图知：两个边长分别是b，c的正方形，两个长为b，宽是c的长方形拼成一个边长为（b+c）的长方
形．
∴b2+c2+2bc＝（b+c）2．
故可以得到③．
∵（a+b+c）（b+c）＝ab+ac+b2+bc+bc+c2＝b2+c2+ab+2bc+ac≠b2+c2+ab+bc+ac．
∴不能得到④．综上可以排除A，B，D三个选项，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2021•五华县模拟）分解因式：3x2+6x＝ 3 x （ x + 2 ） ．
【分析】提公因式3x即可．
【解析】原式＝3x（x+2）．
故答案为3x（x+2）．
12．（2010•萧山区校级模拟）分解因式：a2﹣1＝ （ a ﹣ 1 ）（ a +1 ） ；化简：（x+y）2﹣2xy＝ x 2 + y 2
．
【分析】（1）符合平方差公式的结构，直接运用平方差公式分解因式；
（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项．
【解析】（1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；
（2）（x+y）2﹣2xy＝x2+2xy+y2﹣2xy＝x2+y2．
13．（2021春•兰州期末）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是 ﹣ 2 ，
﹣ 3 ．
【分析】先利用乘法法则计算（x+1）（x﹣3），再根据因式分解的意义得a、b的值．
【解析】∵x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3），
∴x2+ax+b＝x2﹣2x﹣3．
∴a＝﹣2，b＝﹣3．
故答案为：﹣2，﹣3．
14．（2020•浙江自主招生）已知x2+mx+8＝（x+n）2，则m＝ ，n＝ ．
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
【解析】已知等式整理得：x2+mx+8＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，
可得 ，
解得： 或 ，
故答案为： ， ．15．（2021•启东市模拟）已知xy＝ ，x﹣y＝﹣3，则x2y﹣xy2＝ ﹣ ．
【分析】提公因式法分解因式后，再整体代入求值即可．
【解析】x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝ ×（﹣3）＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
16．（2021春•沙坪坝区校级期中）已知x2+x＝2，则x3+2x2﹣x+1的值为 3 ．
【分析】由已知条件求得x2+x＝2，再将所求代数式转化为含有x2+x的形式再整体代入计算可求解．
【解析】∵x2+x＝2，
∴x3+2x2﹣x+1
＝x（x2+x）+x2﹣x+1
＝2x+x2﹣x+1
＝x2+x+1
＝2+1
＝3．
故答案为3．
17．（2020•浙江自主招生）△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则
△ABC的周长为 1 2 ．
【分析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以
及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．
【解析】∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119
∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120
（a+1）（b+1）（c+1）＝120
∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边
∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．
故可分为以下6种情况：
（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c＝12．
（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
综上可知，△ABC的周长为12．
故答案为12．
18．（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密
码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝
9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为
一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 10402 0 （答
案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是10、40、20
的任意组合即可．
【解析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），
当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．
三．解答题（共6小题）
19．（2020春•龙岗区校级月考）因式分解：
（1）a3﹣36a；
（2） x2+xy+y2；
（3）（a2+4）2﹣16a2．
【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 2项，可采用平
方差公式继续分解．
（2）根据完全平方公式分解因式；
（3）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式．
【解析】（1）a3﹣36a
＝a（a2﹣36）
＝a（a+6）（a﹣6）；
（2） x2+xy+y2＝ ；
（3）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4﹣4a）（a2+4+4a）
＝（a﹣2）2（a+2）2．20．（2019春•金华期中）利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：
（1）因式分解：x2﹣4x+4＝ （ x ﹣ 2 ） 2 ．
（2）填空：
①当x＝﹣2时，代数式x2+4x+4＝ 0 ；
②当x＝ 3 时，代数式x2﹣6x+9＝0；
③代数式x2+10x+20的最小值是 ﹣ 5 ．
（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．
【分析】（1）根据差的完全平方公式进行分解便可；
（2）①先分解因式，再代值计算；
②先对等式左边的代数式进行因式分解，再求未知数的值较容易；
③通过因式分解把原式化成一个完全平方式与一个常数和的形式，便可求得最小值；
（3）利用完成完全平方式分解因式，把已知代数式转化为两个代数式的平方和与一个常数的和的形式
便可求得最小值．
【解析】（1）原式＝x2﹣2×2x+22＝（x﹣2）2，
故答案为：（x﹣2）2；
（2）①原式＝（x+2）2＝（﹣2+2）2＝0；
②（x﹣3）2＝0，
x﹣3＝0，
x＝3，
∴当x＝3时，代数式x2﹣6x+9＝0；
③x2+10x+20＝x2+2×5x+52﹣5＝（x+5）2﹣5，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2﹣5≥﹣5，
∴代数式x2+10x+20的最小值是﹣5，
故答案为：①0；②3；③﹣5；
（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30＝（a﹣3）2+（b﹣4）2+5
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5
∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．21．（2021春•仪征市期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式；
B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式；
D．两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接
写出因式分解的最后结果 （ x ﹣ 2 ） 4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）从第三步的结果得出结论；
（2）观察最后结果中的x2﹣4x+4是否还能因式分解，得出结论；
（3）设x2+2x＝y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解．
【解析】（1）由y2+8y+16＝（y+4）2得出运用了两数和的完全平方公式，
故选C．
（2）∵x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴分解不彻底，（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．
故答案为：不彻底；（x﹣2）4．
（3）设x2+2x＝y，
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2+2x+1）2
＝[（x+1）2]2
＝（x+1）4．
22．（2020春•高明区期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为 （ a + 2 b ），宽为 （ a + b ） ，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于 3个长方形和3个正方
形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1： （ a + b + c ） 2 ；
方法2： a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c ；
数学等式： （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c ；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据图形直接得出长为（a+2b），宽为（a+b）；
（2）整体上是一个边长为（a+b+c）的正方形，各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；
（3）将（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，变形为（a+b+c）2﹣a2﹣b2﹣c2＝2ab+2bc+2ac，再整体代
入求值即可．
【解析】（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b），
故答案为：（a+2b），（a+b）；
（2）从总体看是边长为（a+b+c）的正方形，其面积为（a+b+c）2，
各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
（3）由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），
∵a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，
∴2ab+2bc+2ac＝64﹣26＝38，
∴ab+bc+ac＝19．
23．（2020秋•海淀区校级期中）阅读下列材料：
已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为 ﹣ 2 0 ．
（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【分析】（1）将a2﹣a﹣10＝0变形为a2＝a+10，再将2（a+4）（a﹣5）利用多项式乘以多项式运算展
开，然后将a2＝a+10代入降次化简即可．
（2）由x2+4x﹣1＝0，得出x2＝1﹣4x，然后利用提取公因式法对2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1变形，并将x2＝1
﹣4x代入化简即可．
【解析】（1）∵a2﹣a﹣10＝0，
∴a2＝a+10，
∴2（a+4）（a﹣5）
＝2（a2﹣a﹣20）
＝2（a+10﹣a﹣20）
＝2×（﹣10）
＝﹣20，
故答案为：﹣20．
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1
＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1
＝2x2×（﹣1）﹣8x+1
＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1
＝﹣2+8x﹣8x+1
＝﹣1．
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．
24．（2021秋•临淄区期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各
若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）则图③可以解释为等式： （ 2 a + b ）（ a + 2 b ）＝ 2 a 2 + 5 a b + 2 b 2 ．
（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面
积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式 3a2+7ab+2b2因式分解：3a2+7ab+2b2＝ （ 3 a + b ）（ a + 2 b ）
．（拼图图形画在方框内）
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长（x＞
y），结合图案，指出以下关系式：
①xy＝ ；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2＝
其中正确的关系式为 ①②③④ ．
（4）试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【分析】（1）看图即可得出所求的式子；
（2）画出的矩形边长分别为（3a+b）和（a+2b）即可；
（3）根据图中每个图形的面积之间的关系即可判断出正确的有几个；
（4）把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，计算面积即可．
【解析】（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝2a2+5ab+2b2
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）拼图如图⑤所示：
3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）；
故答案为：（3a+b）（a+2b）；
（3）∵m2﹣n2＝4xy
∴①正确；
∵x+y＝m
∴②正确；
∵x+y＝m，x﹣y＝n∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，
∴③正确；
∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）；
∴④正确．
故答案为：①②③④．
（4）剪拼图形如图⑥、⑦；
把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，
∴这个梯形的上底长为2b，下底长为2a，高为（a﹣b），
∴S阴影（梯形） ＝ （2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∵图⑥中的S阴影 ＝a2﹣b2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
