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第 01 讲 因式分解(10 类热点题型讲练)
1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；
2.会用提公因式法分解因式；
3.会用运用公式法分解因式.
知识点01 因式分解的概念
因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，
也叫做把这个多项式分解因式.
知识点02 提公因式法因式分解
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最
好能一次性提取完.
知识点03 运用公式法因式分解
②运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
题型01 判断是否是因式分解
【例题】（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解；
B. ，结果不是积的形式，不是因式分解；
C. ，是因式分解；
D. ，是整式的乘法，不是因式分解；
故选C．
【变式训练】
1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转
化成几个整式积，可得答案．
【详解】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误；
C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确；
故选：D．
2．（2024上·山东威海·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查因式分解：将一个多项式写成几个整式乘积的形式，叫因式分解，熟练掌握因式分解的
定义及分解方法是解题的关键．
【详解】解：A. 不是因式分解，故不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. 不是因式分解，故不符合题意；
D. 是因式分解，符合题意；
故选：D．题型02 已知因式分解的结果求参数
【例题】（2024上·重庆南川·八年级统考期末）若关于x的多项式 可以分解为 ，则
常数 ．
【答案】1
【分析】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题的关键．
根据整式合并后对应项的系数相等即可解答．
【详解】解：∵关于x的多项式 可以分解为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【变式训练】
1．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）已知二次三项式 有一个因式是 ，则 的值为
.
【答案】
【分析】设另一个因式为 ，得 ，根据整式的乘法运算法则即可求解．
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相
反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
【详解】解：设另一个因式为 ，得 ，
则
∴ ，
解得 ，
∴另一个因式为 ， 的值为 ．
故答案为： ．
2．（2023下·湖南益阳·七年级统考期末）多项式 可以因式分解为 ，则系数
．
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式法则将 展开，即可得到k的值．
【详解】解： ，
∵多项式 可以因式分解为 ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了因式分解的定义和整式乘法，利用多项式乘多项式法则将 正确展
开是解题关键．
题型03 已知因式分解中错题正解
【例题】（2023上·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式 时，甲看错了 ，分解
结果为 ；乙看错了 ，分解结果为 ，则正确的分解结果为 ．
【答案】
【分析】根据题意分别运算 和 ，确定 、 的值，然后进行因式分解即可．
【详解】解：∵甲看错了 ，分解结果为 ，
∴由 ，可知 ，
又∵乙看错了 ，分解结果为 ，
∴由 ，可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴正确的分解结果为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出 、 的
值．
【变式训练】
1．（2021下·浙江绍兴·七年级绍兴市元培中学校考期中）在分解因式 时，小明看错了b，分解结
果为 ；小张看错了a，分解结果为 ，求a，b的值．
【答案】 ，
【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为 ，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为
，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值．
【详解】解：∵ ，小明看错了b，
∴ ，
∵ ，小张看错了a，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．题型04 公因式
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查公因式，找出多项式中各项的系数的最大公约数，以及相同字母的最低指数次幂，即可
得到答案．
【详解】解： 系数的最大公约数是 ，相同字母的最低指数次幂是 ，
∴公因式为 ．
故选：C．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】B
【分析】根据公因式的定义逐一分析即可．
【详解】解：A、 ， 与 有公因式 ，故本选项不符合题意；
B、 与 没有公因式，故本选项符合题意；
C、 与 有公因式 ，故本选项不符合题意；
D、 与 有公因式 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了公因式的含义，熟记公因式的定义与公因式的确定是解题的关键．
2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大
公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式
（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取 ，字母x取x，
字母y取y, 字z取z．
【详解】∵多项式 中，
各项系数绝对值的最大公约数是4，
各项相同字母x的最低次幂是x，
各项相同字母y的最低次幂是y，
各项相同字母z的最低次幂是z，
∴多项式 的公因式是 ．故选：C．
题型05 提公因式法因式分解
【例题】（2023上·全国·八年级课堂例题）把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ；
(3) ， (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解：
（1）提出公因式6，即可求解；
（2）提出公因式 ，即可求解；
（3）提出公因式 ，即可求解；
（4）提出公因式 ，即可求解．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
（3）解：
．
（4）解：
．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级专题练习）把下列各式进行因式分解：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
（1）直接提取公因式 ，进而因式分解得出答案；
（2）直接提取公因式 ，进而因式分解得出答案；
（3）直接提取公因式 ，进而因式分解得出答案；
（4）直接提取公因式 ，进而因式分解得出答案．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式 ．
2．（2023上·八年级课时练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式
．
（3）原式
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．题型06 判断能否用平方差公式因式分解
【例题】（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式 是解题关键．
【详解】解：由题意得：只有B选项能用平方差公式分解因式，
故选：B
【变式训练】
1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；用字母表示为
，本题利用平方差公式判断即可．
【详解】A、 ，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意；
B、不可以用平方差公式分解因式，故符合题意；
C、 ，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意；
D、 ，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意．
故选：B．
2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的因式分解，根据平方差公式的形式： 逐项判断即得答
案．
【详解】解：① 不能用平方差公式进行因式分解，
② ，能用平方差公式进行因式分解，
③ ，能用平方差公式进行因式分解，
④ 不能用平方差公式进行因式分解，
故选：D．
题型07 判断能否用完全平方公式因式分解
【例题】（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：① ；② ；③ ；④；⑤ ；⑥ ．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】略
【变式训练】
1．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式 可以用完全平方公式进行因式分解，则
的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式 是解答的关键．
【详解】解：∵多项式 可以用完全平方公式进行因式分解，
∴由 得 ，
故选：D
2．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解： ，故（1）符合题意；
不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；
，故（3）符合题意；
，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；
所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），
故选：B
题型08 综合运用公式法因式分解
【例题】（2023上·八年级课时练习）把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）两次运用平方差公式分解即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式解答即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
【点睛】本题考查了利用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先去括号，再利用完全平方公式进行分解即可；
（2）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（3）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可；
（4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查公式法分解因式，积的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行二次分解即可；
（2）先利用多项式的乘法法则将原式展开，合并后再利用完全平方公式进行分解即可；
（3）两次利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查公式法分解因式，多项式的乘法，积的乘方，幂的乘方．掌握平方差公式、完全平方公
式的结构特征是解题的关键．
题型09 综合提公因式和公式法因式分解
【例题】（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查因式分解：
（1）采用提公因式法求解；
（2）先提公因式，再采用公式法求解；
（3）先提公因式，再采用公式法求解．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式
；（3）原式
．
【变式训练】
1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因
式．
（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
（2）
2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查因式分解，
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；（2）解：
．
题型10 运用因式分解求多项式的值
【例题】（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果 ，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得 ，根据完全平方公式因式分解代数
式，进而代入即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，则 ，
∴ ，
故选：A．
【变式训练】
1．（2022上·湖南衡阳·八年级校考期中）长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为
12，则 值为 ．
【答案】
【分析】根据长方形的周长与面积公式确定出 与 的值，原式分解后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12，
∴ ， ，
整理得： ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了提公因式法，完全平方公式的变形应用，熟练掌握因式分解的方法、正确变形是解本
题的关键．
2．（2023上·湖北武汉·八年级期末）若 ，则代数式 值为 .【答案】 /
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将式子进行适当的变形；
将 变形得 ，再将所求代数式整理变形得出含 的因式，再采用整体代入求值即可．
【详解】解： ，
，
即 ，
，
；
故答案为： ．
一、单选题
1．（2023上·甘肃金昌·八年级统考期末） 分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握以上知识点是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式
的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低
的．
【详解】解：
因此 的公因式是故选：B．
2．（2024·全国·八年级竞赛）若多项式 因式分解得 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性
质分别求出m和n的值，再求解即可．
【详解】解：由已知，
故可得， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D
3．（2024上·云南昆明·八年级统考期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解，利用因式分解的定义判断即可．因式分解的定义：把一个多项式化为几个
整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【详解】解：A． 符合因式分解的定义，故A选项符合题意；
B． 是整式的乘法，不是因式分解，故B选项不符合题意；
C． ，是整式的乘法，不是因式分解，故C选项不符合题意；
D． ，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合
题意．
故选：A．
4．（2024上·河南商丘·八年级统考期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了求代数式的值．对所求式子因式分解，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 ，故选：A．
5．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用公式进行因式分解，熟练掌握 ， 是解
答本题的关键．根据平方差公式和完全平方公式逐项分析即可．
【详解】解：A． ，故能用平方差公式分解；
B． ，故不能用平方差公式分解；
C． 中间项不是收尾两项积的2倍，不能用完全平方公式分解；
D． 的符号相同，不能用平方差公式分解；
故选：A．
二、填空题
6．（2023上·江西赣州·九年级统考期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
7．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）分解因式： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意
分解要彻底．
首先提取公因式 ，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
8．（2023下·湖南郴州·七年级校考期中）因式分解： 的公因式是 ．
【答案】 /
【分析】根据多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式即可判断．
【详解】∵多项式 中各项都含有的因式为 ，
∴ 的公因式是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查公因式的定义．掌握多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式是解题关键．
9．（2023上·福建福州·八年级统考期末）若关于 的二次三项式 含有因式 ，则实数 的
值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的意义．根据多项式乘法的法则， 中 与4相乘可得到 ，则可知：
含有因式 和 ，据此可得 的值．
【详解】解： ，
所以 的数值是 ．
故答案为： ．
10．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）已知 ，则 的值
为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了求代数式的的值，因式分解的应用，以及二次根式的性质．把 变形为
，然后把 代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为： ．
三、解答题
11．（2024上·河南洛阳·八年级统考期末）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ；(2) ；
(3) ；
【分析】（1）本题考查提取公因式法因式分解及公式法因式分解，先提取公因式，再根据公式分组分解
即可得到答案；
（2）本题考查分组分解法因式分解，直接分组构建公因式分解即可得到答案；
（3）本题考查分组分解法因式分解，直接分组构建公因式分解即可得到答案
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
12．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用
的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都
不能再分解为止．
（1）用提公因式法求解即可；
（2）用平方差公式分解即可；
（3）用完全平方公式分解即可；（4）用平方差公式分解即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
13．（2023下·全国·八年级假期作业）因式分解：
(1)（2a-1）（a＋1）-7（a＋1）；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【答案】(1)2（a＋1）（a-4）
(2)2（a＋b）（a-b）
(3)
(4)
(5)（7m-n）（7n-m）
【详解】解：（1）原式＝（a＋1）（2a-1-7）＝（a＋1）（2a-8）＝2（a＋1）（a-4）．
（2）原式＝（a＋b）[（a＋b）＋（a-3b）]＝（a＋b）（2a-2b）＝2（a＋b）（a-b）．
（3）原式 ．
（4）原式 ．
（5）原式 ＝[3（m＋n）＋4（m-n）][3（m＋n）-4（m-n）]＝（7m-n）（7n-m）．14．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）完成下面各题
(1)若二次三项式 可分解为 ，则 ______；
(2)若二次三项式 可分解为 ，则 ______； ______；
(3)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
【答案】(1)
(2)9，5
(3)另一个因式为 ， 的值为12．
【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式
乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式．
（1）将 展开，根据所给出的二次三项式即可求出 的值；
（2） 展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 的值；
（3）设另一个因式为 ，得 ，可知 ， ，继而
求出 和 的值及另一个因式．
【详解】（1）解： ，
，
解得： ；
故答案为： ；
（2）解： ，
，
；
故答案为：9，5；
（3）解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ， ，
解得： ， ，
故另一个因式为 ， 的值为12．
15．（2024上·湖北十堰·八年级统考期末）下面是某同学对多项式 因式分解的过
程．
解：设 ，
则原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）（第四步）
解答下列问题
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
．提取公因式
．平方差公式
．两数和的完全平方公式
．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)不彻底，
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方式的特点是解题的关键．
（1）根据完全平方公式的特点判断；
（2）分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止；
（3）模仿题中的形式进行分解．
【详解】（1） 写出是两个数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底， ．
故答案为：不彻底，
（3）设 ，
则原式
．
16．（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）综合与实践
特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出
最终答案的一种方法，综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式 有一个因式是 ，求m的值．
解：由题意，设 （A为整式），由于上式为恒等式，为了方便计算，取 ，
则 ，解得 __ ■ _ _．
(1)“■”处m的值为______；
(2)已知多项式 有一个因式是 ，求b的值；
(3)若多项式 有因式 和 ，求a，b的值；
【答案】(1)24
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）解方程 可得出m的值；
（2）依照示例即可求出b的值；
（3）依题意设： ，先取 ，得 ，再取 ，得 ，
由此可解出a，b的值．
【详解】（1）解： ，
，
∴ ，
故答案为：24；
（2）解：设 ，
令 ，则有： ，
解得， ；
（3）解：依题意设： ，
由于上式是恒等式，为方便计算，
取 ，得： ，即 ，
取 ，得： ，即 ，
解方程组 ，
得， ．
