文档内容
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.2提公因式法
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•泰山区期末）多项式36a2bc﹣48ab2c+12abc的公因式是（ ）
A．24abc B．12abc C．12a2b2c2 D．6a2b2c2
【分析】根据确定公因式的方法定系数，①即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的
相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数
的最低次幂，进行计算即可得出答案．
【解析】多项式36a2bc﹣48ab2c+12abc中，系数36、﹣48、12最大公约数是12，三项的字母部分都含
有字母a、b、c，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1，c的最低次数是1，因此公因式为12abc．
故选：B．
2．（2021春•下城区期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣a＝2a（a﹣1） B．﹣a2﹣2ab＝﹣a（a﹣2b）
C．﹣3a+3b＝﹣3（a+b） D．a2+3ab＝a（a+3b）
【分析】用提公因式法逐个因式分解即可选出正确答案．
【解析】A.2a2﹣a＝a（2a﹣1），故A错误，
B．﹣a2﹣2ab＝﹣a（a+2b），故B错误，
C．﹣3a+3b＝﹣3（a﹣b），故C错误，
D．a2+3ab＝a（a+3b），故D正确．
故选：D．
1 4
3．（2021春•奉化区校级期末）已知x﹣y= ，xy= ，则xy2﹣x2y的值是（ ）
2 3
2 11 2
A．− B．1 C． D．
3 6 3
【分析】首先利用提公因式法，求得xy2﹣x2y＝﹣xy（x﹣y），把已知式子代入求得答案．1 4
【解析】∵x﹣y= ，xy= ，
2 3
4 1 2
∴xy2﹣x2y＝﹣xy（x﹣y）=− × =− ．
3 2 3
故选：A．
4．（2020春•青白江区期末）把多项式a2﹣a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．（a+1）（a﹣1）
C．a（a+1）（a﹣1） D．﹣a（a﹣1）
【分析】直接提公因式a即可．
【解析】原式＝a（a﹣1），
故选：A．
5．（2021春•罗湖区校级期末）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）
【分析】原式提取公因式即可．
【解析】原式＝a（a﹣4），
故选：A．
6．（2021秋•黄骅市期末）将多项式a2﹣16a进行因式分解的结果是（ ）
A．a（a+4）（a﹣4） B．（a﹣4）2
C．a（a﹣16） D．（a+4）（a﹣4）
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解析】a2﹣16a＝a（a﹣16）．
故选：C．
7．（2021春•秦都区期末）将12m2n+6mn用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．6m B．m2n C．6mn D．12mn
【分析】6mn就是各项公共的部分，也就是公因式．
【解析】12m²n+6mn＝6mn（2m+1）．公因式是6mn．
故选：C．
8．（2021秋•龙口市期中）已知ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【分析】通过因式分解将a2b+ab2转化为ab（a+b），再整体代入即可．
【解析】因为ab＝﹣2，a+b＝3，所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣2×3＝﹣6，
故选：B．
9．（2020春•港南区期末）计算21×3.14+79×3.14＝（ ）
A．282.6 B．289 C．354.4 D．314
【分析】首先提公因式3.14，再计算括号里面，后算乘法即可．
【解析】原式＝3.14×（21+79）＝3.14×100＝314，
故选：D．
10．（2020•崇川区校级三模）若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．
【解析】∵a＝2，a﹣2b＝3，
∴原式＝2a（a﹣2b）＝4×3＝12．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•奉贤区期末）分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝ 2 a 2 b 2 （ 2 a ﹣ 3 ） ．
【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可．
【解析】4a3b2﹣6a2b2＝2a2b2（2a﹣3）．
故答案为：2a2b2（2a﹣3）．
12．（2021春•南京期中）多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是 3 a 2 b ．
【分析】根据公因式的寻找方法：先确定系数：最大公约数，再找同底数的幂：指数最低的；即可确定
答案．
【解析】∵3a2b﹣6a3b＝3a2b（1﹣2a），
∴公因式为：3a2b．
故答案为：3a2b．
13．（2020•香坊区模拟）把a3+ab3﹣2a3b分解因式的结果是 a （ a 2 + b 3 ﹣ 2 a 2 b ） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解析】原式＝a（a2+b3﹣2a2b）
故答案为：a（a2+b3﹣2a2b）
14．（2021•成都模拟）因式分解：3x2+6x＝ 3 x （ x + 2 ） ．
【分析】提取公因式即可．
【解析】原式＝3x2+6x＝3x（x+2）．
故答案为：3x（x+2）．
15．（2019春•高淳区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则m2n+mn2的值为
64 ．
【分析】根据长方形周长与面积公式求出mn与m+n的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值．
【解析】∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，
∴2（m+n）＝16，mn＝8，
即m+n＝8，mn＝8，
则原式＝mn（m+n）＝64，
故答案为：64．
16．（2021春•永嘉县校级期末）若关于x的多项式x2﹣ax﹣6含有因式x﹣1，则实数a＝ ﹣ 5 ．
【分析】掌握多项式乘法的基本性质，x﹣1中﹣1与6相乘可得到﹣6，则可知：x2﹣ax﹣6含有因式x
﹣1和x+6．
【解析】（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6＝x2﹣ax﹣6，
所以a的数值是﹣5．
故答案为：﹣5．
35
17．（2021春•新都区期末）已知x﹣2y＝3，x2﹣4y2＝15，则代数式7xy+14y2的值是 ．
2
1
【分析】由x2﹣4y2＝15，得（x+2y）（x﹣2y）＝15，故x+2y＝5．又因x﹣2y＝3，得x＝4，y= ．那
2
1 35
么，7xy+14y2＝7y（x+2y）＝7× ×5= ．
2 2
【解析】∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝15，x﹣2y＝3，
∴（x+2y）•3＝15，x＝2y+3．
∴x+2y＝5，
∴（2y+3）+2y＝5．
1
∴y= ．
2
1
∴x＝2y+3＝2× +3＝4．
2
1 35
∴7xy+14y2＝7y（x+2y）＝7× ×5= ．
2 235
故答案为： ．
2
1 3
18．（2021•启东市模拟）已知xy= ，x﹣y＝﹣3，则x2y﹣xy2＝ − ．
2 2
【分析】提公因式法分解因式后，再整体代入求值即可．
1 3
【解析】x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）= ×（﹣3）=− ，
2 2
3
故答案为：− ．
2
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．说出下列多项式中各项的公因式：
（1）﹣12x2y+18xy﹣15y；
（2） r2h+ r3；
（3）π2xmyn﹣ π1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）．
【分析】根据公因式的确定方法可得答案．
【解析】（1）﹣12x2y+18xy﹣15y的公因式为：﹣3y；
（2） r2h+ r3的公因式为： r2；
π π π
（3）2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn的公因式为：2xm﹣1yn﹣1．
20．确定下列多项式的公因式，并分解因式．
（1）ax+ay．
（2）3mx﹣6nx2．
（3）4a2b+10ab﹣2ab2
【分析】确定公因式后因式分解即可．
【解析】（1）ax、ay的公因式为a，因式分解为：原式＝a（x+y）．
（2）3mx、﹣6nx2的公因式为3x，因式分解为：原式＝3x（m﹣2nx）．
（3）4a2b、10ab、﹣2ab2的公因式为2ab，因式分解为：原式＝2ab（2a+5﹣b）．
21．（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、
C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【分析】分别将多项式A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找
他们的公因式．【解析】多项式A、B、C有公因式．
∵A＝3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2），
B＝5x2y3+10xy3＝5xy3（x+2），
C＝（x+1）（x+3）+1＝x2+4x+3+1＝x2+4x+4＝（x+2）2．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
22．（2019秋•新泰市月考）已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值．
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
【解析】（x+2）（x+4）＝x2+6x+8＝x2+（m+k）x+k，
{m+k=6
，
k=8
{m=−2
解得 ．
k=8
23．（2012春•秭归县校级月考）因式分解：（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
【分析】先把﹣（b﹣a）化为（a﹣b），然后提取公因式（a﹣b），整理即可得解．
【解析】（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y），
＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y），
＝（a﹣b）（x﹣y+x+y），
＝2x（a﹣b）．
24．（2019秋•盘龙区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
{n+3=−4
∴ ．
m=3n
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是
（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是
2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是 1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解析】设另一个因式为（x+a），得：
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
{2a−5=3
∴ ．
−5a=−k
解得：a＝4，k＝20．
故另一个因式为（x+4），k的值为20．
