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专题 4.2 相似三角形中的动点问题
【例题精讲】
【例1】如图， 中， 厘米， 厘米，点 从 出发，以每秒2厘米的速
度向 运动，点 从 同时出发，以每秒3厘米的速度向 运动，其中一个动点到端点时，
另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为 ．
（1）用含 的代数式表示： ， ．
（2）当以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求运动时间是多少？【例2】如图，在矩形 中， ， ．点 、 、 分别从点 、
三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 、 的速度均为 ，点 的
速度为 ，当点 追上点 （即点 与点 重合）时，三个点随之停止移动．设移
动开始后第 秒时， 的面积为
（1）当 秒时， 的值是多少？
（2）写出 和 之间的函数解析式，并指出自变量 的取值范围；
（3）若点 在矩形的边 上移动，当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形与以
点 、 、 为顶点的三角形相似？请说明理由．【题组训练】
2．如图，在 中， ， ， ．现在有动点 从点 出发，
沿线段 向终点 运动，动点 从点 出发，沿折线 — 向终点运动．如果点 的
速度是 ，点 的速度是 ．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停
止运动．设运动的时间为 秒．
（1）如图1， 在 上，当 为多少秒时，以点 、 、 为顶点的三角形与 相
似？
（2）如图2， 在 上，是否存着某时刻，使得以点 、 、 为顶点的三角形与
相似？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在 中， ， ，点 从点 出发，沿 以
的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以 的速度向点 运动，当
其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 ．
（1）当 时，求 的值．
（2） 与 能否相似？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．4．在 中， ， ， ，现有动点 从点 出发，沿
向点 方向运动，动点 从点 出发，沿线段 也向点 方向运动，如果点 的速度是
，点 的速度是 ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止
运动．设运动时间为 秒．求：
（1）当 时，这时， ， 两点之间的距离是多少？
（2）若 的面积为 ，求 关于 的函数关系式．
（3）当 为多少时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？5．如图，在 中， ， ，动点 从点 开始沿 边运动，速度为
；动点 从点 开始沿 边运动，速度为 ；如果 、 两动点同时运动，
那么何时 与 相似？6．如图，在等腰 中， ， ．点 由点 出发沿 方向向
点 匀速运动，同时点 由点 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 ．
连接 ，设运动时间为 ，解答下列问题：
（1）当 为何值时， 的面积为 ；
（2）在点 ， 的运动中，是否存在时间 ，使得 与 相似？若存在，请求出
对应的时间 ；若不存在，请说明理由．7．如图， ， ， ， ．点 从点 出发，以 的
速度沿 向点 匀速运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速运
动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后， 的面积等于 面积的 ？
（2）经过几秒， 与 相似？8．如图，在 中， ， ， ， 于点 ．点 从点
出发，沿线段 向点 运动，点 从点 出发，沿线段 向点 运动．两点同时出
发．速度都为每秒1个单位长度，当点 运动到 时，两点都停止．设运动时间为 秒．
（1）求线段 的长；
（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某
一时刻 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．9．如图， ， ，动点 、 分别以每秒 和 的速度同时开始运
动，其中点 从点 出发，沿 边一直移到点 为止，点 从点 出发沿 边一直移
到点 为止，（点 到达点 后，点 继续运动）
（1）请直接用含 的代数式表示 的长和 的长，并写出自变量的取值范围．
（2）当 等于何值时， 与 相似？10．如图所示，在矩形 中， ， ．点 沿 边从点 开始向点
以 秒的速度移动，点 沿 边从点 开始向点 以 秒的速度移动，如果 、
同时出发，用 （秒 表示移动的时间 ，那么：
（1）点 运动多少秒时， 的面积为 ；
（2）当 为何值时， 与 相似？11．如图，在 中， ， ．动点 从点 出发，沿 向终点 匀
速运动，速度是 ；同时，动点 从点 出发，沿 向终点 匀速运动，速度是
．当 与 相似时，求运动的时间．12．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，
在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每
秒 的速度向点 匀速运动，设运动时间为 秒 ，连接 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 与 相似，求 的值．13．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的
线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，
另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在 中， 为角平分线， ， ，求证： 是
的完美分割线；
（2）如图②，在 中， ， ， 是 的完美分割线，且 是
以 为底边的等腰三角形，求完美分割线 的长．14．如图，在平面直角坐标系中，已知 厘米， 厘米，点 从点 开始沿
边向点 以1厘米 秒的速度移动．点 从点 开始沿 边向点 以1厘米 秒的速度移
动．如果 、 同时出发，用 （秒 表示移动的时间 ，那么，当 为何值时，
与 相似？15．如图，矩形 中， ， ，点 为 边上一动点， 交 于点
．
（1）求证： ；
（2） 点从 点出发沿 边以每秒1个单位长度的速度向 点移动，移动时间为 秒，
为何值时， ．16．如图，在 中， ， ， ，点 从 开始沿 边
向点 以 （厘米 秒）的速度移动；点 从点 开始沿 边向点 以 的
速度移动，如果 ， 同时出发，用 （秒 表示时间 ，那么：
（1）点 运动多少秒时， 的面积为 ；
（2）当 为何值时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似？17．如图、在 中， ， ， ，点 在线段 上以每秒1个单
位的速度从点 向点 运动，同时点 在线段 上以同样的速度从点 向点 运动，
运动的时间用 （单位：秒）表示．
（1）求线段 的长；
（2）求当 为何值时， 与 相似？18．如图，正方形 的边长为4， 是 边的中点，点 在射线 上，过 作
于 ．
（1）求证： ；
（2）当点 在射线 上运动时，设 ，是否存在实数 ，使以 ， ， 为顶点
的三角形也与 相似？若存在，请求出 的值；若不存在，说明理由．20．如图，在 中， ， ，
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；
（2）已知 ， ，请你求出 的长；
（3）在（2）的情况下，如果以 为 轴， 为 轴，点 为坐标原点 ，建立直角坐
标系（如图 ，若点 从 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段 运动，点 出 点
出发，以每秒1个单位的速度沿线段 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻
同时停止运动；设运动时间为 秒，是否存在点 ，使以点 、 、 为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
