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专题 07 图形旋转之费马点最值模型全攻略
如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用
旋转变换．
秘诀： 以△ ABC 任意一边为边向外作等边三角形 ，这条边所对两顶点的距离即为最小值
类型一、基本费马点模型例题1.如图， 是边长为1的等边 内的任意一点，求 的取值范围.
【变式训练1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，求正方形
的边长．
【变式训练2】如图，ABCD为矩形，AB＝ ，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋
BE）的最小值．
【变式训练3】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则
MA+MD+ME的最小值为______．
A D
M
B E C
【变式训练4】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为
（ ）A． + B． + C．4 D．3
类型二、加权费马点模型
例：如图，在 中， ，在 内部有一点P，连接 、 、
．（加权费马点）求：
（1） 的最小值；（2） 的最小值
（3） 的最小值；（4） 的最小值
