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专题 07 图形旋转之费马点最值模型全攻略
如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用
旋转变换．
秘诀： 以△ ABC 任意一边为边向外作等边三角形 ，这条边所对两顶点的距离即为最小值
类型一、基本费马点模型例题1.如图， 是边长为1的等边 内的任意一点，求 的取值范围.
解：将 绕点 顺时针旋转60°得到 ，易知 为等边三角形.
从而 ，（两点之间线段最短），从而 .
过 作 的平行线分别交 于点 ，易知 .
因为在 和 中，
①， ②。
又 ，所以 ③.
①+②+③可得 ，
即 .综上， 的取值范围为 .
【变式训练1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，求正方形
的边长．
【解析】 如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，
可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．
∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．
∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．设正方形的边长为 ，那么BO=CO= ，GC= , GO= ．∴ BG=BO+GO = + ．
∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ．∴ + = ，解得 =2．
【变式训练2】如图，ABCD为矩形，AB＝ ，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋
BE）的最小值．
【详解】解：如图所示，将 绕点A逆时针旋转60°于 ，将 绕点B顺时针旋转60°
于 ，连接 ， ，作 交BA的延长线于点G，作 交AB的延长线于点
H，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
又∵旋转角等于60°，∴ ， ，
∴ 和 都是等边三角形，∴ ， ，∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE ，
∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值为 的长度．
∵ ， ，∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
又∵ ，∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，∴四边形 是矩形，∴ ，
∴ ， ，
∴ ．∴ ．
∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值为 ．
【变式训练3】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则
MA+MD+ME的最小值为______．
F F
A D
G
G
M A D A D
M M
B C
E B E C B E H C
【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF，∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值 ．【变式训练4】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为
（ ）
A． + B． + C．4 D．3
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，
当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．
理由：∵AP＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等边三角形，
∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，
∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，
作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，
在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，
∴ME＝1，AM＝BN＝ ，MN＝AB＝2，EN＝1，
∴EC＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
+ ．∴PA+PB+PC的最小值为 + ．故选：B．
类型二、加权费马点模型
例：如图，在 中， ，在 内部有一点P，连接 、 、
．（加权费马点）求：
（1） 的最小值；（2） 的最小值
（3） 的最小值；（4） 的最小值【详解】解：（1）如图3-2，将 绕点B顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∴ ，
∴A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为
同理可证 为等边三角形，∴ ， ，∴ ，
∴ ；∴ 的最小值为 ；
（2）如图3-4，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴当A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为
∵∠ACB=30°，∴
∴ ，
过点A再作 的垂线，垂足为E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴
∴ ， ，∴ ，∴ 的最小值为 ；
（3）如图3-6，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
过点C作 于E，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当A、P、 、 四点共线时， 最小，最小值为
∵∠ACB=30°，∴
∴ ，
过点A再作 的垂线，垂足为E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴ ，∴ ，
∴∴ ，
∴ 的最小值为 ；
