文档内容
专题1.10 线段的垂直平分线（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、垂直平分线的性质
1．如图，△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC的垂直平分线交AB，AC于点D和E，则△BCD
的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为
半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD，若AC＝6，AD＝
2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定一点P，使得BP+PA＝BC，则
符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．C． D．
4．如图所示，点 为 内一点，分别作出 点关于 的对称点 ，连接
交 于 ，交 于 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
类型二、垂直平分线的判定
5．下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（
）
A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥AB
C．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB
6．如图，在 中，分别以点 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，
作直线 分别交 ， 于点 ，连接 ，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D． 平分7．如图，在 中， ，分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧分别交于点 ， ，直线 交 于点 ，交 于点 ， ， ，则
的长为( )
A．4 B． C． D．2
8．如图，点P是 ABC内的一点，若PB＝PC，则( )
△
A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上
类型三、垂直平分线的应用
9．如图，在△ABC中，AC =10，BC =8，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，
则△BDC的周长为（ ）
A．2 B．9 C．14 D．18
10．观察下列作图痕迹， 中， 为 边上的中线是（ ）A． B． C． D．
11．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两
个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
12．如图，在钝角三角形ABC中， 为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再
以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点
下列结论错误的是
A．CE垂直平分AD B．CE平分
C． 是等腰三角形 D． 是等边三角形
类型四、垂直平分线的作图
13．如图，在 中， ， ， ，用图示尺规作图的方法在边 上确
定一点 ．则 的周长为（ ）．A．12 B．14 C．16 D．21
14．如图，在 中， ，分别以点A，B为圆心，以大于 的长为半径画弧，
两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交 于点M，N，连接 ，下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D． 平分
15．下面是甲、乙两同学用尺规作线段AB的垂直平分线的过程：甲同学的作图过程为
（如图1）：
第一步：以A为圆心，a为半径在线段AB两侧作圆弧；
第二步：以B为圆心，b为半径在线段AB两侧作圆弧，分别交第一步所作弧于点M，N；
第三步：作直线MN．
乙同学的作图过程为（如图2）：
第一步：分别以A，B为圆心，a为半径在AB上方作圆弧，两弧交于点M；
第二步：分别以A，B为圆心，b为半径在AB下方作圆弧，两弧交于点N；
第三步：作直线MN．
下列说法不正确的是（ ）A．甲同学所作直线MN为AB的垂线，但不一定是平分线
B．乙同学所作直线MN一定为AB的垂直平分线
C．甲同学所作图形中，AB所在直线为线段MN的垂直平分线
D．只有当a＝b时，两人所作图形才正确，否则都不对
16． 中， ， ， ，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设
．下列作图方法中，能得到方程 的是（ ）
A． B． C．
D．
二、填空题
类型一、垂直平分线的性质
17．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E， AE=4cm，△ADC的
周长为12cm，则△ABC的周长是_______．18．如图，在△ABC中，BC＝10，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画
弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为 ___．
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝ ，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为
直线EF上一动点，则 APC周长的最小值为_____．
△
20．如图， ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC
＝_____． △
类型二、垂直平分线的判定
21．线段垂直平分线上的任意一点到_____________相等；和一条线段两个端点距离相等的
点，在__________上．
22．线段的垂直平分线（1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直
平分线．
（2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________________．
（2）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________________上．
23．平面直角坐标系中有 、 两点，且线段 被 轴垂直平分，若 坐标为 ，则
坐标为______．
24．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝BC＋AC，则C点在线段_________
的垂直平分线上．
类型三、垂直平分线的应用
25．在△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线 BC 于 D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，
则∠B 的度数是_______
26．如图， ABC中，AB = 5，AC = 6，BC = 4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则
BDC的周△长是_______．
△
27．MN是线段AB的垂直平分线，AB长为16cm，则点A到MN的距离是_____cm．
28．如图是按以下步骤作图：（1）在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于
两点；
（2）作直线 交 于点 ；
（3）连接 ．
若 ， ，则 的度数为__________．
类型四、垂直平分线的作图
29．如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以AB两点为圆心，大于 AB的长为半径画圆，
两弧相交于点M，N，连接MN与AC相较于点D，则△BDC的周长为_________．
30．如图，在 中， ， ，分别以点 、 为圆心，大于 的长为半
径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 边于点 ，连接 ，则 的周
长为__________．31．如图，分别以线段 的端点 和 为圆心大于 的长为半径作弧，连接两弧交点，
得直线 ，在直线 上取一点 ，使得 ，延长 至 ， 的度数为
__________．
32．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
三、解答题
33．如图，在 ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°．作边AC的垂直平分线交AB于点D，交
AC于点E，连接CD，已知BD=4，求∠BCD的度数及AD的长．34．嘉淇要证明命题“线段外一点到线段两端点相等的点在该线段的垂直平分线上”是正
确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知： ，点C是射线 上一点，点D是射线 上一点. ________.
求证：点C在线段 的_______上.
（1）在方框中补全已知和求证；
（2）请你根据嘉淇的想法写出证明过程.
我的想法是：过点C作 的垂线，利用直角三角形全等的判定定理进行
证明.
35．如图，已知 ， ， 是 上一点.
求证： .36．如图1，AD∥BC，AB ⊥BC于B，∠DCB=75°，以CD为边的等边△DCE的另一顶点
E在线段AB上．
(1)填空：∠ADE=____°；
(2)求证： AB=BC;
(3)如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求 的值．参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD= BC+AB=10，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
首先求出 ，然后根据题意可得MN是线段BC的垂直平分线，得到 ．
【详解】
解：∵ ，
由作图步骤可得，MN是线段BC的垂直平分线，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
此题考查了垂直平分线的尺规作图方法和性质，解题的关键是根据题意得出MN是线段BC
的垂直平分线．
3．B
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的尺规作图方法求解即可．
【详解】
解：由题意可得，作出AC的垂直平分线，可得AP=CP，即AP+BP=PC+BP=BC，
故选：B．
【点睛】
此题考查了垂直平分线的性质和尺规作图，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质和尺
规作图方法．
4．C
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，可得 ， ，从而得到 的周长等于
，即可求解．
【详解】
解：∵ 点关于 的对称点 ，
∴ 分别垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 的周长等于 ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直垂直平分线上的点到线段两端
的距离相等是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】根据垂直平分线的概念逐个判断即可．
【详解】
解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分
线，不符合题意；
B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，
不符合题意；
C、CA=DA，CB=DB，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，
符合题意；
D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分
线，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了垂直平分线的概念，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的概念．
6．D
【解析】
【分析】
根据题意可知DE是AB的垂直平分线，由此即可得出△AEB是等腰三角形，据此作出判
断．
【详解】
由题可知， 是 的垂直平分线，
∴ ， ，故A、C选项正确；
∵ 是等腰 的外角，
∴ ，故B选项正确；
D无法证明，
故选：D.
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线
上任意一点，到线段两端点的距离相等．
7．B
【解析】
【分析】先根据作图过程可知，DG为AC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得 ，
然后利用勾股定理、线段的和差即可得．
【详解】
由作图过程可知，DG为AC的垂直平分线
设 ，则
在 中， ，即
解得
即 的长为
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的判定与性质
是解题关键．
8．D
【解析】
【详解】
根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段
BC的垂直平分线上．
解答：解：∵PB=PC，
∴P在线段BC的垂直平分线上，
故选D．
9．D
【解析】
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质可得 ，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】
解： 垂直平分 ，，
，
的周长为 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
10．B
【解析】
【分析】
中线的定义为：对应顶点到对边中点的连线，所以需要首先找到AB的中点，利用的是线
段垂直平分线的做法．
【详解】
解：A选项：CD为AB边上的垂线，故错误；
B选项：D点为线段AB与其垂直平分线的交点，所以D点为AB边的中点，所以CD为
AB边上的中线，故正确；
C选项：CD为 的角平分线，故错误；
选项：画图错∠误AC，B不属于三角形中的三线，故错误．
D故选：B．
【点睛】
本题主要考察的是三角形中线段的画法，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
利用垂直平分线的性质即可判断．
【详解】
如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处，
故选：C．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的实际应用，理解中垂线的性质是解题关键．
12．D
【解析】【分析】
依据作图可得 ， ，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分
线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】
解：由题可得， ， ，
是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
， ，
，
即CE平分 ，故B选项正确；
，
是等腰三角形，故C选项正确；
与AC不一定相等，
不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定，解题时注意：垂直平分线
上任意一点，到线段两端点的距离相等．
13．B
【解析】
【分析】
根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是 的垂直平分线，可得 ，从而得
到 的周长为 ，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌
握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
14．B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的尺规作图、以及性质即可得．
【详解】
解：由题意得： 是线段 的垂直平分线，
则 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图
是解题关键．
15．D
【解析】
【分析】
利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】
甲同学所作的直线MN⊥AB，且AB垂直平分MN；乙同学所作的直线MN垂直平分AB．
故选：D．
【点睛】
考查了作图-基本作图，解题关键是熟练掌握5种基本作图方法，分别为：作一条线段等于
已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一
点作已知直线的垂线．
16．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理：∠C=90°，根据 ，由题意可知，BP= ，由方程可知：
需作出一个以BP的长为斜边，PC、AC为直角边的直角三角形，故需作AB的中垂线即可.
【详解】
∵AC2+BC2=AB2
∴∠C=90°∵ ，BC=8
∴BP=
∵
∴需作出一个以BP的长为斜边，PC、AC为直角边的直角三角形，
∴需作AB的中垂线，根据中垂线的性质得BP=AP
而AP、PC和AC恰构成以AP为斜边的直角三角形，满足题意
故选B
【点睛】
此题考查的是尺规作图，解决此题的关键是掌握中垂线的作图方法和中垂线的性质.
17．20cm
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质定理，可得AD=BD，BE=AE=4cm，从而得到AD+CD = BC，再由
△ADC的周长为12cm，可得到BC+AC=12cm，即可求解．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，BE=AE=4cm，
∴AD+CD =BD+CD= BC，AB=8cm，
∵△ADC的周长为12cm，
∴AD+CD+AC=12cm，
∴BC+AC=12cm，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=12+8=20cm．
故答案为：20cm
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端
的距离相等是解题的关键．
18．14
【解析】
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质可得 ，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：由作图可知， 垂直平分 ，
，
，
的周长为 ，
故答案为：14．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
19．14
【解析】
【分析】
由图形可得：△APC周长 ，因为AC＝3，所以求出 的最小值即可
求出△APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E
重合时， 的值最小，即可得到结论．
【详解】
解：如图所示，连接AE，BP，
∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
∴ ， ，
在 中，
，
∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，
此时， 的值最小，最小值等于BC的长，
∴ 周长的最小值 ，
故答案为：14．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．
20．12
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质进行求解即可
【详解】
EF是AB的垂直平分线，
，
,
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，熟记基本性质是解题关键．
21． 线段两个端点的距离 线段的垂直平分线上
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质解题即可．
【详解】
线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；和一条线段两个端点距离相等
的点，在线段的垂直平分线上．
故答案为：线段两个端点的距离；线段的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的定义及性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关
键．
22． 相等 垂直平分线
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质与判定定理得出即可．
【详解】
线段的垂直平分线的性质定理与判定定理如下：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
故答案为：相等；垂直平分线．【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质与判定的应用，解题的关键是熟知定理的内容．
23．
【解析】
【分析】
根据垂直平分的性质知P、Q关于y轴对称，利用轴对称的特点即可求得点Q的坐标．
【详解】
∵线段PQ被 轴垂直平分，
∴点P(2，3)与点Q关于y轴对称，
∵关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点Q的坐标为： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及关于y轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是
掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y
轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互
为相反数．
24．AD
【解析】
【分析】
由 ， ，得到 ，根据到线段两端点的距离相等的点在
线段的垂直平分线上即可结论.
【详解】
，
而 ，
，
点 在 的垂直平分线上.
故答案为 .
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线
上.
25．37.5°或 67.5°．
【解析】
【分析】
求出AD=BD,推出∠B=∠DAB，∠B+∠BAC=90°， 分为两种情况并画出图形后，根据三角
形内角和定理求出即可.
【详解】
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD= BD,
∴∠B=∠DAB,
∵∠ACB= 90°，
∴∠B+∠BAC= 90°,
分为两种情况:①如图1,∵∠B+∠BAC= 90,∠BAD-∠DAC= 22.5°，
∴∠B=∠DAB=∠DAC+ 22.5°
∴∠DAC+ 22.5°+∠DAC+ 22.5° +∠DAC= 90°,∠DAC= 15°
∴∠B= 15°+ 22.5°= 37.5°
②如图2，∵∠B+∠BAC= 90° ,∠BAD-∠DAC= 22.5°
∴∠B=∠DAB=∠DAC+ 22.5°，
∴∠DAC+ 22.5° +∠DAC+ 22.5°- ∠DAC= 90° ，
∴∠DAC= 45° ,
∴∠B=45°+ 22.5°= 67.5°
【点睛】
本题考查中垂线性质和三角形内角和定理，中等难度，分类讨论是解题关键.
26．10
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质可知：BD=AD，则所求周长即为AC+BC即可.
【详解】
因为AB的垂直平分线交AC于D，由垂直平分线上的点到两端点的距离相等可知
AD=BD，所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+4=10.
【点睛】熟练掌握垂直平分线的性质，应用化归的思想.
27．8
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线得出AD=BD,AD⊥MN,求出AD长即可
【详解】
如下图
∵MN是线段AB的垂直平分线,AB=16
∴AD=BD= AB=8cm. AD⊥MN，即点A到MN的距离是8cm,
故答案为:8
【点睛】
本题考查了对线段垂直平分线性质和点到直线的距离的理解和运用，熟悉垂直平分线概念
是解题关键．
28．42°
【解析】
【分析】
由作图步骤可知MD是线段AB的垂直平分线，易得 ，利用三角形内角和定理
可得 的度数.
【详解】
解：由作图步骤可知MD是线段AB的垂直平分线，在 中，
故答案为：42°
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，正确理解题中所给的作图步骤是
解题的关键.
29．8
【解析】
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利
用等线段代换得到△BDC的周长=AB+BC．
【详解】
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC
=DA+DC+BC
=AC+BC
=AB+BC
=5+3
=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查
了线段垂直平分线的性质．熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答
此题的关键．
30．18
【解析】
【分析】
由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出△ACD的周长.
【详解】解：∵在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于M，N，
作直线MN，交BC边于D，连接AD；
∴MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=11+7=18.
故答案为：18.
【点睛】
本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握垂直平分线的定义和性质是解题的关键.
31．50°
【解析】
【分析】
根据作法可知直线 是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质
即可得出结论．
【详解】
∵由作法可知直线 是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图以及三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的作法是解答此
题的关键．
32．56．
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF
的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出
∠AFE的度数，进而可得出结论．
【详解】
如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF= ∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56.
33．30°，8
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠ACB＝180°-∠B-∠A＝60°，再根据线段垂直平分线的性质得
到DA＝DC，则∠DCA＝∠A＝30°，然后计算∠ACB-∠DCA即可求∠BCD的度数，再根据
直角三角形的性质即可解答．
【详解】
解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝180°-∠B-∠A＝60°．
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∵∠DCA＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB-∠DCA＝60°-30°＝30°．
∵∠B＝90°，
∴CD=2BD，
∴AD＝CD=2BD=8．【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直
角三角形，掌握上述知识点是解题关键．
34．（1） ；垂直平分线；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据命题直接可得出答案；
（2）过点C作 的垂线，垂足为点E，根据条件可得出 ，继而
结论得以证明.
【详解】
解：（1）根据已知命题“线段外一点到线段两端点相等的点在该线段的垂直平分线上”可
得
出已知和求证：
已知： ，点C是射线 上一点，点D是射线 上一点. CD.
求证：点C在线段 的垂直平分线上.
答案为：CD；垂直平分线.
（2）证明：如图，过点C作 的垂线，垂足为点E，则 .
在 和 中，
∴ .
∴ .
∴ 是线段 的垂直平分线.
∴点C在线段 的垂直平分线上.
【点睛】本题考查的知识点是利用全等三角形的性质求证线段外一点到线段两端点相等的点在该线
段的垂直平分线上，属于容易题. 失分原因：1.没有掌握垂直平分线的性质；2.不能正确的
作出辅助线，通过证明直角三角形全等求证.
35．证明见解析.
【解析】
【分析】
连接BC，根据线段垂直平分线性质得出AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分
线性质得出PB=PC，再利用SSS证明 ABP与 ACP全等，进而得出．
【详解】 △ △
证明：连接
点 在 的垂直平分线上，
同理，点 也在 的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
直线 是线段 的垂直平分线，
是 上一点，
又 ， ，
.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线
上的点到线段两个端点的距离相等．
36．（1）45;（2）证明见解析（3）1．【解析】
【详解】
解：（1）∵∠DCB=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°
∵△DCE为等边三角形，
∴∠EDC=60°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45°．
（2）证明：连接AC
由（1）知∠ADE =45º，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAB=90º ，
∴∠AED=45º，
∴AD=AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∵△DCE为等边三角形，
∴CD=CE，
∴点C也在线段DE的垂直平分线上 ，
∴AC就是线段DE的垂直平分线，
即AC⊥DE，
∴AC平分∠EAD，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形
∴BA=BC
（3）解：连接AF，延长BF交AD的延长线于点G∵∠FBC=30º，∠ABC=90º，
∴∠ABF=60º，
∵∠DCB=75º，
∴∠BFC=75º，
故BC=BF，
由(2)知：BA=BC，
∴BA=BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF=FA，
∴∠BAC=60 º，
∴∠DAF=30º，
又∵AD∥BC，
∴∠FAG=∠G=30º，
∴FG =FA= FB，
又∠DFG=∠CFB，
∴△BCF≌△GDF（ASA），
∴DF=CF，
∴ =1．
