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专题1.11 《勾股定理》中考真题专练（基础篇）（专项练习）
（建议学习二次根式后再进行练习）
一、单选题
1．（2021·山东滨州·）在 中，若 ， ， ，则点C到直线AB
的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
2．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验
证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字
证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，
它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
3．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个
“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原
来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原
竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
4．（2021·湖北襄阳·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今
有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何．”（丈、
尺是长度单位，1丈 尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，
在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
5．（2021·江西中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小
亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能
拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2021·四川凉山·中考真题）如图， 中， ，将
沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2020·辽宁盘锦·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，
原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各
几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，
它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为 尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2012·山东济宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点
O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．－4和－3之间 B．3和4之间
C．－5和－4之间 D．4和5之间
9．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是
（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
10．（2020·四川乐山·）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为
），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）A． B． C． D．
11．（2019·山东东营·中考真题）如图，在 中， ，分别以点 和点 为
圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点，作直线 交 于点 ，交
于点 ，连结 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方
形的面积为_________．
13．（2021·江苏南通·）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔50海里
的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 方向上的B处，此
时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．14．（2021·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：
“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一
门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，
1尺＝10寸）如图， 设门高 为 尺，根据题意，可列方程为________．
15．（2021·湖南常德·中考真题）如图．在 中， ， 平分 ，
于E，若 ，则 的长为________．
16．（2018·湖南湘潭市·中考真题）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在
勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着
高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10，
BC=3，求AC的长，若设AC=x， 则可列方程为________________．17．（2020·黑龙江绥化·中考真题）在 中， ，若 ，则
的长是________．
18．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该
直角三角形斜边上的高的长为________．
19．（2019·西藏中考真题）若实数 满足 ，且 恰好是直角三角形
的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．
20．（2019·江苏南京·中考真题）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的
细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．
三、解答题
21．（2020·浙江温州·中考真题）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段
（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，
CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，
CD，DA上，且PQ＝ MN．22．（2019·黑龙江中考真题）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，
然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414，
≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．参考答案
1．D
【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然
后根据面积法，可以求得CD的长．
解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
∵ ，
∴ ，
解得CD=2.4，
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图
形，利用勾股定理和面积法解答．
2．C
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
【点拨】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
3．B
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-
x）尺．利用勾股定理解题即可．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，根据勾股定理得： ，
解得： ．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而
运用勾股定理解题．
4．C
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可.
解：设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故选：C.
【点拨】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应
的方程式解题的关键.
5．B
【分析】该题可以自己动手进行拼接，根据勾股定理得知①的直角边为1和1，斜边为 ，
拼接时要依据重合的边要相等，然后根据轴对称图形的概念进行判断即可．
解：在左侧构成轴对称图形如图：
在下方构成轴对称图形如图：在右侧构成轴对称图形如图:
【点拨】本题考查勾股定理，图形的拼接以及轴对称图形的判断，掌握轴对称图形的概念
是解题的关键．
6．D
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，
AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到
x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD= AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x= ，
∴CE= = ，故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也
考查了勾股定理．
7．A
【分析】首先设水深为 尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程 ．
解：设水深为 尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：,
，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方
程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
8．A
【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解．
解：由点P坐标为(－2，3)，
可知OP= ,
又因为OA=OP,
所以A的横坐标为- ，介于－4和－3之间
故选A
9．A
解：设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理
得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝ b2，x2+4y2＝ a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、
c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝ AC＝ b，BD＝ a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝ b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝ a2，③
②+③得5x2+5y2＝ （a2+b2），∴4x2+4y2＝ （a2+b2），④
①﹣④得c2﹣ （a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为
2：1． 也考查了勾股定理．
10．A
【分析】先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可
得．
解：由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为
5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为 ，选项B、C、D拼接成的正
方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5
个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为 的正方形
而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得
到边长为 的正方形故选：A．
【点拨】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，
以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．
11．A
【分析】根据平行线的性质和勾股定理进行计算，即可得到答案.
解：由作法得 垂直平分 ，
， ，
，
，
，
为斜边 上的中线，
，
．
故选 ．
【点拨】本题考查平行线的性质和勾股定理,解题的关键是掌握平行线的性质和勾股定理.
12．100．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表
的正方形的面积A=36+64=100．
解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边
的平方=36+64．
故答案为：100．
【点拨】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
13． ．
【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
解：如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴ 海里， 海里，
在Rt△PCB中，PC= 海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC= 海里，
∴ 海里，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以
转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．
14．
【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．
解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，
∴BC= 尺，
∴可列方程为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，
能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角
边，再利用勾股定理建立方程即可．15．
【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
解：由题意： 平分 ， 于 ,
， ，
又 为公共边，
，
，
在 中， ，由勾股定理得：
，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，
再利用勾股定理进行计算可得．
16．
【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由 即可列出方程．
解：∵ ，且 ，
∴ ，
在Rt△ABC中，由勾股定理有： ，
即： ，
故可列出的方程为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
17．17
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．故答案为：17．
【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形
中的表示形式．
18．2.4或
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边
为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
解：若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为 ，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴ ．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴ ．
故答案为：2.4或 ．
【点拨】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19． 或 ．
【分析】利用非负数的性质求出 ，再分情况求解即可．
解： ，
∴ ，
，
①当 是直角边时，
则该直角三角形的斜边 ，
②当 是斜边时，则斜边为 ，故答案为 或 ．
【点拨】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
20．5
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为： ＝15，
则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．
故答案为5．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据方格纸的特点,只要在AB与CD边上的点不对称就可以得到不平行,再
根据勾股定理确定长度,画法不唯一.
（2）根据勾股定理分别算出PQ和MN,使得PQ＝ MN的点即为所求的点.
解：（1）由EF=GH= ,可得图形如下图:
（2）如图所示, , .
所以 ,
得到: PQ＝ MN.【点拨】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可.
22．（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．
【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为
14.1.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，
所而确定C港在A港的什么方向.
解：（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，
∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC= = ≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【点拨】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.
