文档内容
专题 24.4 圆周角
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.............................................................................................................1
【知识点一】圆周角定义..........................................................................................................................................1
【题型1】圆周角的辨析...........................................................................................................................................1
【知识点二】圆周角定理..........................................................................................................................................2
【题型2】圆周角定理——同弧或等弧所对的圆周角等于所于这么弧所对圆心角的一半.............2
【题型3】圆周角——同弧或等弧所对的圆周角相等...................................................................................3
【知识点三】圆周角定理的推论............................................................................................................................4
【题型4】圆周角的推论——半圆或直径所以的圆周角等于90度..........................................................4
【题型5】圆周角的推论——90度的圆周角所对的弦是直径.....................................................................5
【知识点四】圆内接四边形.....................................................................................................................................6
【题型6】利用圆内接四边形求值.........................................................................................................................7
【题型7】利用圆内接四边形进行证明...............................................................................................................8
二. 同步练习...................................................................................................................................9
【基础巩固（16题）】..............................................................................................................................................9
【能力提升（16题）】...........................................................................................................................................13
一．知识梳理与题型分类精析
【知识点一】圆周角定义
像图1中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
叫做圆周角．
图1
【题型1】圆周角的辨析
【例题1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 所对的圆周角是 ， 所对的
圆周角是 ．
【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，点 均在圆上，则图中有 个圆
周角．
【知识点二】圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
图形 条件 结论
在 中，
在 中，
【题型2】圆周角定理——同弧或等弧所对的圆周角等于所于这么弧所对圆心角的一半
【例题2】（根据人教版九上P88第3题改编）（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图， ， ，
都是 的半径， ．（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
【变式1】（根据人教版九上P89复习与巩固第5题改编）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，
是 的外接圆，作 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·湖北武汉·中考真题）如图， 都是 的半径， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
【题型3】圆周角——同弧或等弧所对的圆周角相等
【例题3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、P、B、C是 上的四个点，
．
（1）判断 的形状，并证明你的结论；
（2）判断 与 之间的关系，并证明．【变式1】（2025·广东深圳·二模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗
礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都
是有触礁危险的临界点， 就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为 ，若 ，
则船P位于安全区域时， 的大小可能为 °．（写出一个即可）
【变式2】（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，点 、 、 、 在 上， ，则
为
【知识点三】圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
图形 条件 结论
在 中， 为 的直径
在 中， 为 的直径
【特别说明】
（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.【题型4】圆周角的推论——半圆或直径所以的圆周角等于90度
【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知 中， 为半圆O的直径， 、
分别交半圆O于点E、D，且 ．
（1）求证：点 是 的中点．
（2）若点E是 的中点，判断 的形状，并说明理由．
【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图， 是 的直径，A，C在圆上，
， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图， 的顶点都在 上，已知直径 ，
，则 的长为 ．
【变式3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图， 是 的直径，C是 上一点，
于点D， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的长．【题型5】圆周角的推论——90度的圆周角所对的弦是直径
【例题5】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 经过原点且与两坐标轴分别交于点 和点
，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，解答下列各题：
（1）求线段 的长；
（2）求 的半径及圆心 的坐标．
【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三
角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径 的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图， 中， ，
是 内部的一个动点，且满足 ，则线段 的最小值为 ．
【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在 中，弦 与弦 相交于点E，， ， ，则 的半径长为 ．
【知识点四】圆内接四边形
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对
角）．
图形 条件 结论
（1）
在圆内接边边形 中
（2）
【题型6】利用圆内接四边形求值
【例题6】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图， 是 的内接四边形 的一个
外角，如果 ，请求出 的度数．
【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 的内接四边形 的两组对边的延
长线分别交于 ， ，当 ， ，求 的度数；设 ， 要解题过程
【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图， 是四边形 的外接圆， 交于点 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图， 是半 的直径，点C，D在半 上．
（1）若 ，求 的度数．
（2）若 的半径为6， ，求圆心O到弦 的距离．
【题型7】利用圆内接四边形进行证明
【例题7】（2025·江西·二模）课本再现
（1）如图（1），四边形 内接于 ，请你写出 与 之间的关系，并给出证明；
拓展应用
（2）如图（2）， 内接于 ． ，将 弧 沿着 边对折，与 边交于点
D，连接 ．求证： ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：四边形 内接于 ．求证：
．（用两种不同方法证明）证法1：
证法2：
【变式2】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，A，P，B，C是 上的四个点，
．
（1） ______ ；
（2）判断 的形状，并证明你的结论．
（3）当点O落在 上时，直接写出四边形 的形状．
【变式3】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，在 中，弦 、 相交于点P，
， ．求证：弦 是 的直径．
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（2025·湖北十堰·三模）以 为中心点的量角器与直角三角板 按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边 重合．点 为斜边 上一点，作射线 交 于点 ，如果点 所对应的读数
为 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， ，有下列结论：① ；
② ；③ ；④ ，其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆 是矩形 的外接圆，若 ， ，则
图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图， 为 的弦，连接 ， ， ，若
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰 内接于点O，若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆
周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得 ， ，则该圆形瓷盘的半径是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图， 是 的直径，C，D是 上两点．若
，则 的度数为 ．8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是直径，点C，D在半圆 上，若
，则 的度数是 ．
9．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，四边形 是 的内接四边形，点D是弧
的中点，点E是弧 上的一点，若 ，则 的度数为
10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 的半径为4，A，B，C三点在圆上， ，
则 的长等于 ．
11．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C、D是 上的点，若 的度数为 ，则
．
12．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， 是 的弦，点P为优弧 上的一点，
的平分线交 于点 ，则在点P运动的过程中， 长的最大值为
．三、解答题
13．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）解方程：
（2）如图，已知 为 的直径， 是弦，且 于点E，连接 ， ．
求 的度数．
14．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图， 为 的直径，D是弦 延长线上一点，
， 的延长线交 于点E，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 的度数为 ，则 的度数为________．
15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图， 的内接四边形 两组对边的延长线分别相交
于点 ， ．
（1）若 ，求证： ．
（2）若 ， ，且 ．请用含 ， 的代数式表示 的大小．16．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，A、B、C是 上的三点，
．
（1）图中 所对的圆周角为______，其度数为________；
（2）求 的度数；
（3）以 为底边作 的内接等腰 ，则 的度数为________．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（25-26九年级上·天津和平·期中）如图，四边形 内接于 ， ，连接 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图， 内接于 ， ， ， 为
的直径， ，那么 的值为（ ）A． B．4 C． D．3
3．（23-24九年级上·广东江门·月考）如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴负半轴上，点
在 轴正半轴上， 经过 ， ， ， 四点， ， ，则圆心点 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
4．（江苏省徐州市2025-2026学年上学期第一次质量检测九年级数学试题）如图，等边三角形
的顶点 在 上，边 、 与 分别交于点 、 ，点 是劣弧 上一点，且与 、
不重合，连接 、 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图1， 为⊙ 的直径， ，如图2所示，按以下
步骤作图：
①在直径 上顺次截取线段 ， ，使 ；
②分别以点 ， 为圆心，以大于 长为半径作弧，两条弧交于点 ， ；③作直线 ， 与⊙ 相交于 ， 两点，连接 ．
下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点 、 分别在 轴、 轴上 ，以
为直径的圆经过原点 ， 是 的中点，连结 ， ．下列结论：① ；②
；③若 ， ，则 的面积等于5；④若 ，则点 的坐标是
．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
7．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图， 是半圆的直径， ， 是半圆上两点， 的度数
为 ，则 ．
8．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 、 切 于点 、 ，点 是 上一
点，且 ，则 度．9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 内接于 ， ，将 沿着弦
翻折后，恰好经过弦 的中点D，则弦 的长为 ．
10．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形 内接于 ，延长 交 于点 ，
连接 ，若 ， ，则 的大小为
11．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图， 内接于 ， ．分别以点A
和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交 于点D，连接
并延长交 于点E，连接 ，则 的度数是 ．
12．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图， 是 的外接圆， 是 的中点， 是弦
上一点，连接 ．若 的半径为2， ， ，则 的长为 ．三、解答题
13．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 为 的直径， ，垂足为 ，点 是
上一动点，连接 分别交 ， 于点 ， ．
（1）当 时， 与 有何关系？证明你的结论．
（2）当点 在什么位置时， ？证明你的结论．
14．（25-26九年级上·北京·期中）如图， 为 的直径， 、 为圆上的两点， ，
交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程 有两个不
相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值．
16．（22-23九年级上·福建莆田·期中）【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》
部分内容．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论： 的圆周角所对的弦是直径．
（如图）
【推论证明】如图①已知： 的三个顶点都在 上，且 ．
求证：线段 是 的直径．
请你结合图①写出推论的证明过程．
【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的 上， 为直径， ， 是
的角平分线．求线段 的长．
【拓展应用】如图③，已知矩形 ， ， ，M为边 上的点．若满足
的点M恰好有两个，求m的取值范围．
