文档内容
专题 24.4 圆周角（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆周角的概念】..........................................................................................................................................2
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】.................................................................................4
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】..............................................................................................................7
【题型4 直径所对的圆周角是直角】....................................................................................................................10
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】..............................................................................................................14
【题型6 圆内接四边形对角互补】........................................................................................................................18
【题型7 圆周角定理的实际应用】........................................................................................................................21
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】.......................................................................................................25
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】...........................................................................................28
知识点 1 圆周角
1. 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角定理
1
（1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，∠ABC= ∠AOC．
2
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，A´C=B´D⇒∠ABC=∠BAD．
（3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如上图，AB是直径⇒∠ACB=∠ADB =90°；∠ACB=90°⇒AB是直径．
3. 圆周角与圆心角的区别
圆心角 圆周角
顶点在圆心 顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数
的 个
联系 两边都与圆相交
知识点 2 圆内接四边形
1. 圆内接四边形的定义
如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外
接圆．
2. 圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补；
拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
【题型1 圆周角的概念】
【例1】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得
出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：∠1和∠3符合圆周角的定义，∠2顶点不在圆周上，∠4的一边和圆不想交，
故图中的圆周角有∠1和∠3，共2个，
故选：B．
【变式1-1】下列各图中，∠BAC为圆周角的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解
题的关键是理解圆周角的定义．
根据由圆周角的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、∠BAC的边AC不是与圆相交所得，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；
B、∠BAC的边AC、AB都不是与圆相交所得，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；
C、∠BAC的顶点没在圆上，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；
D、∠BAC符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点A,B,C在⊙O上，点D在⊙O外，CD与⊙O
交于点E，AC，BE于点F．下列角中，弧AE所对的圆周角是（ ）
A．∠ADE B．∠ABE C．∠AFE D．∠AOE
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断
即可.
【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE，
故选：B．
【变式1-3】如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是
．【答案】 6 ∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE
【分析】根据圆周角的定义进行判断即可.
【详解】根据题意可知图中共有6个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
【点睛】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】
【例2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知OD⊥AB于点D，
∠BOD=70°，则∠C的度数为 ．
【答案】70°/70度
【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，连接OA，得到OA=OB，三线合一结合圆周角定理，得到
∠C=∠DOB，即可．
【详解】解：连接OA，则：OA=OB，
∵OD⊥AB，
∴∠AOB=2∠BOD，∵∠AOB=2∠C，
∴∠C=∠DOB=70°；
故答案为：70°
【变式2-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点△ABC内接于⊙O，连结OA、OC．若
∠ABC=35°，则∠OAC的大小为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，由圆周角定理可得∠AOC的度
数，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=35°，
∴∠AOC=2∠ABC=70°，
又∵OA=OC，
180°−∠AOC
∴∠OAC=∠OCA= =55°，
2
故选；B．
【变式2-2】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，
OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2❑√3，则OC的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理．
1
根据OA⊥BC可得CE= BC=❑√3，A´C=A´B，圆周角定理可得∠AOC=2∠ADB=60°，进而得到
2
1
∠C=30°，因此OE= OC，在Rt△COE中，根据勾股定理构造方程，即可求出OC的长．
2【详解】解：设OA与BC交于点E，
∵OA⊥BC，BC=2❑√3，
1
∴CE= BC=❑√3，A´C=A´B，
2
∴∠AOC=2∠ADB=2×30°=60°，
∴在Rt△COE中，∠C=90°−∠AOC=30°
1
∴OE= OC，
2
∵在Rt△COE中，OE2+CE2=OC2，
∴ (1 OC ) 2 +(❑√3) 2=OC2 ，
2
解得OC=2，
故答案为：2．
【变式2-3】（24-25九年级上·天津·期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为A´B上一点，连接PA
，PE，则∠APE的度数为（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】B
【分析】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接OA、OE，则
1 1
∠AOE= ×360°=72°，由圆周角定理得∠APE= ∠AOE=36°，于是得到问题的答案．
5 2
【详解】解：连接OA、OE，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
1
∴∠AOE= ×360°=72°，
5
∵P为A´B上一点，
1 1
∴∠APE= ∠AOE= ×72°=36°，
2 2
故选：B．
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】
【例3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在⊙O中，弦AB,CD相交于点
P，∠A=40∘，∠B=35∘，则∠APD的度数为（ ）
A．75∘ B．65∘ C．70∘ D．80∘
【答案】A
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，解题的关键是掌握圆周角定理．先
根据同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠C，再根据三角形外角等于与其不相邻的两个内角度数之和可解
得所求．
【详解】解：∵A´D=A´D，
∴∠B=∠C=35°，
∵∠A=40∘，
∴∠APD=∠A+∠C=40°+35°=75°．
故选：A．
【变式3-1】（2025·陕西西安·三模）如图，△ABC内接于⊙O，点D为劣弧A´B上一点，连接OB、OD、BD，若BC=BD，∠D=50°，则∠A的度数为 °．
【答案】40
【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识点是
解题的关键．
由∠D=50°，OB=OD可得到∠BOD=80°，再结合BC=BD，可得到劣弧B´C所对的圆心角与
1
∠BOD的度数相等，则∠A= ×80°=40°．
2
【详解】解：∵∠D=50°，OB=OD，
∴∠D=∠OBD=50°，
∴∠BOD=180°−50°−50°=80°，
∵BC=BD，
∴劣弧B´C所对的圆心角与∠BOD的度数相等，
1
则∠A= ×80°=40°．
2
故答案为：40．
【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，DE为⊙O的直径，且
DE⊥AB于点F，连接CE．若∠A=35°，∠CED=15°，则∠B的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内角和与外角定理，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．根据垂径定理得∠AFD=90°，AF=BF，得到A´E=B´E，推出∠ACB=2∠ACE，根据
三角形的外角定理求出∠CGE，再根据三角形的内角和定理求出∠ACE，即可求解．
【详解】解：∵ DE为⊙O的直径，且DE⊥AB于点F，
∴ ∠AFD=90°，AF=BF，
∴ A´E=B´E，
∴ ∠ACE=∠BCE，即∠ACB=2∠ACE，
∵ ∠A=35°，
设AC与DE交于点G，
∴ ∠CGE=∠A+∠AFD=35°+90°=125°，
∵ ∠CED=15°，
∴ ∠ACE=180°−∠CGE−∠CED=40°，
∴ ∠ACB=2∠ACE=80°，
∴ ∠B=180°−∠ACB−∠A=180°−80°−35°=65°，
故选：A．
【变式3-3】（2025·江苏南京·二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E在A´D上．若
3
∠ABC= ∠E，则C´D的度数为 ．
2
【答案】144°
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接AC，OC，OD，根据圆3
周角定理可得：∠A=∠E，∠ACB=90°，推出∠A+∠ABC=90°，结合∠ABC= ∠E，可求
2
出∠E=36°，进而得到∠BOC=2∠E=72°，最后根据垂径定理即可求解．
【详解】解：连接AC，OC，OD，
∵ B´C=B´C，
∴ ∠A=∠E，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠A+∠ABC=90°，
3
∵ ∠ABC= ∠E，
2
3
∴ ∠E+ ∠E=90°，
2
∴ ∠E=36°，
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ B´C=B´D，
∴ ∠BOD=∠BOC=72°，
∴ ∠COD=∠BOC+∠BOD=144°，
即C´D的度数为144°，
故答案为：144°．
【题型4 直径所对的圆周角是直角】
【例4】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，
1
A´D+B´C=C´D，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若CE= AB，则CE:CA的值是（ ）
22 ❑√2 3 ❑√3
A． B． C． D．
3 2 4 3
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接OD,BC，证明
1
△BCE是等腰直角三角形，得到BC=CE= AB，勾股定理得到AC=❑√3CE，即可得出结论．
2
【详解】解：连接OD,BC，如下图，
∵A´D+B´C=C´D，
∴∠COD=∠AOD+∠BOC，
∵∠COD+∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠COD=90°，
1
∴∠CBD= ∠COD=45°，
2
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CEB=90°−∠CBD=45°=∠CBD，即△BCE为等腰直角三角形，
1
∴BC=CE= AB，
2
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√3BC=❑√3CE，
❑√3
∴CE:CA=CE:❑√3CE= ．
3
故选：D．
【变式4-1】（2025·四川南充·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，DC，且A´D=B´D，则∠ACD= 度．
【答案】45
【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出∠ADB=90°，再根据A´D=B´D得出
∠DAB=∠DBA，进而即可求出答案．
【详解】解：连接AD、BD，
∵ AB ⊙O
是 的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵ A´D=B´D，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
故答案为：45．
【变式4-2】（2025九年级下·北京·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D为⊙O上一
点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，交⊙O于点F，DF=AC，连接OD，BC．若DF=4 AE=8，
则BC的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，由垂径定理得到DE=4，则设，则 ，由勾股定理可得 ，解方程可求出 ，求出 ，则由
OD=r OE=r−2 42+(r−2) 2=r2 AB=10 ∠C=90°
勾股定理可得AB2−AC2=BC2，即102−82=BC2，解之即可得到答案．
【详解】解；∵DF=4AE=8，AB是⊙O的直径，DF⊥AB，
∴AE=2,DE=4，
设OD=r，则OE=r−2，
在Rt△DEO中，由勾股定理得DE2+OE2=OD2，
∴42+(r−2) 2=r2，
解得r=5，
∴AB=10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∵DF=AC=8，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得AB2−AC2=BC2，即102−82=BC2，
∴BC=6或BC=−6（舍去），
故答案为：6．
【变式4-3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角
分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理．作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到
∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，再利用勾股定
理，继而求得答案．
【详解】解：∵半径为5的⊙A，
∴AC=5，
作直径CF，连接BF，如图，则∠FBC=90°，CF=2AC=10，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴D´E=B´F，
∴DE=BF=6，
∴BC=❑√CF2−BF2=8．
故选：A．
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】
【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，
∠BAC=30°，若点D在⊙O上，且∠BAD=60°，则CD长为 ．
【答案】1或2
【分析】本题考查了圆周角定理，含30度的直角三角形的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，运用分类
讨论思想是解题的关键．分两种情况：当点D在A´C上时；当点D在AB´C上时；然后分别进行计算即可解
答．
【详解】解：分两种情况：
当点D在A´C上时，如图：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，AB=2，
1
∴BC = AB=1，
2
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠DAB−∠CAB=30°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∴DC=BC=1；
当点D在AB´C上时，如图：
∵∠DAB=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAD=∠BAD+∠CAB=90°，
∴CD是⊙O的直径，
∴CD=AB=2；
综上所述：CD=1或2，
故答案为：1或2．
【变式5-1】如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB=90°，点M为AB上任意一
点，连接CM交半圆于N点，连接BN，若∠ABC=35°，则∠BNC的度数为（ ）A．60° B．55° C．50° D．30°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键．
根据∠ACB=90°，以点O为圆心的半圆O的直径和AB重合，可知点C在以点O为圆上，由
∠ABC=35°，得∠CAB =55°，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，以点O为圆心的半圆O的直径和AB重合，
∴点C在以点O为圆心的圆上，
∵∠ABC=35°，
∴∠CAB=180°−35°−90°=55°，
∵C´B=C´B，
∴∠BNC=∠BAC=55°，
故选： ．
【变式B5-2】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P过原点，且与x轴、y
轴交于点A，B，点A的坐标为(6,0)，⊙P的直径为10．则点B的坐标为 ．
【答案】(0,8)
【分析】连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径可知，AB是直径；再根据勾股定理求出OB的长，可
得出答案．
【详解】连接AB,∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴AB=10．
又∵∠AOB=90°，点A的坐标为(6,0)，
∴OA2+OB2=AB2，OA=6，
∴OB=❑√AB2−OA2=❑√102−62=8，
∴点B的坐标为(0，8)．
故答案为：(0，8)．
【点睛】本题考查的定理是90°的圆周角所对的弦是直径，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利
用勾股定理求解是解答此题的关键．
【变式5-3】（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得
到△ADE，点C的对应点E在⊙O上，连接BE．则四边形ACBE的面积（ ）
A．只与AC的长有关 B．只与AB的长有关
C．只与BC的长有关 D．只与BE的长有关
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形与圆的综合，掌握90°角所对的边为圆的直径，几何图形面积的
计算方法是关键．连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，作点B作BG⊥CE于点G，得到CE是直径，
∠ACE=∠AEC=45°，四边形ACBE的面积为S +S ，结合计算得到
△ACE △CBE
1 1 1 1
S = CE·AO= CE· CE= CE2 ，CE是直径，是定值，S 的面积与BC·BE的乘积有关，或
△ACE 2 2 2 4 △CBE
与BG的长有关，当点B的位置变换，即线段AB的长改变，则BG的长改变，随之S 改变，由此即可求
△CBE解．
【详解】解：如图所示，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，作点B作BG⊥CE于点G，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C的对应点E在⊙O上，
∴AC=AE，∠CAE=90°，
∴CE是直径，∠ACE=∠AEC=45°，
∴四边形ACBE的面积为S +S ，
△ACE △CBE
∵AF⊥CE，
∴点F,O重合，
1
∴AO=EO=CO= CE，
2
1 1 1 1
∴S = CE·AO= CE· CE= CE2 ，
△ACE 2 2 2 4
∵CE是直径，是定值，
∴S 的值是定值，
△ACE
∵CE是直径，且BG⊥CE，
∴∠CBE=90°，
1 1
∴S = CB·BE= CE·BG，
△CBE 2 2
∴S 的面积与BC·BE的乘积有关，或与BG的长有关，
△CBE
∴当点B的位置变换，即线段AB的长改变，则BG的长改变，随之S 改变，
△CBE
∴四边形ACBE的面积改变，
∴四边形ACBE的面积只与AB的长有关，
故选：B ．
【题型6 圆内接四边形对角互补】
【例6】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，A´B=A´C，AB∥CD
，∠B=70°，连接AC，则∠CAD的度数为（ ）A．25° B．28° C．30° D．35°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角
和定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据四边形ABCD内接于⊙O，得到∠B+∠D=180°；根据A´B=A´C，得到∠B=∠ACD=70°，利
用平行线的性质得到∠BAC=∠ACD=40°，再运用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B=70°，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°−70°=110°，
∵A´B=A´C，
∴∠B=∠ACD=70°，
∵∠B+∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°−70°−70°=40°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=40°，
∴∠CAD=180−∠ACD−∠D=30°；
故选：C.
【变式6-1】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E为B´C上任
意一点，连接BE，CE，则∠BEC= ．
【答案】135°【分析】此题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，连接AC，首先求出∠BAC=45°，然后得到⊙O是四边形ABEC的外接圆，然后根据圆内接
四边形的性质求解即可．
【详解】如图所示，连接AC
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°，AB=BC
∴∠BAC=45°
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E为B´C上任意一点，
∴⊙O是四边形ABEC的外接圆，
∴∠BEC=180°−∠BAC=135°．
故答案为：135°．
【变式6-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接DC、
DA、OA，OA⊥BC，若∠ADC=25°，则∠CAB的度数是（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【答案】B
【分析】本题主要利用垂径定理、圆周角定理和圆内接四边形的性质来求解∠CAB的度数．
利用垂径定理得出A´C=A´B，再利用圆周角定理计算∠E的度数，最后利用圆内接四边形的性质计算
∠CAB的度数．
【详解】解：在⊙O上取一点E，连接BE,CE，∵OA⊥BC,OA是⊙O的半径，
∴A´C=A´B，
∵∠ADC=25°，
∴∠E=2∠ADC=50°，
∴∠CAB=180°−∠E=130°，
故选：B．
【变式6-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和
劣弧AB上，若∠C=65°，则∠D= °．
【答案】115
【分析】作出弧ACB所对的圆周角∠AEB，结合根据内接四边形对角互补求出∠AEB即可．本题考查
了折叠的对称性、圆的内接四边形互补，圆周角定理等知识点．作出弧ACB所对的圆周角∠AEB是解题
关键．
【详解】解：作出弧ACB所对的圆周角∠AEB，
∵∠ACB+∠AEB=180°，∠C=65°
∴∠AEB=180°−65°=115°，
∵⊙O沿弦AB折叠，∴∠ADB=∠AEB=115°
故答案为：115
【题型7 圆周角定理的实际应用】
【例7】（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．
图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，连接PA，PB
，点M在AB的延长线上．若∠PBM=110°，则∠APC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．55° D．70°
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．连接AC，由邻
补角的性质求得∠PBA=70°，利用圆周角定理求得∠PBA=∠PCA=70°，∠PAC=90°，据此求解
作答即可．
【详解】解：如图，连接AC，
∵∠PBM=110°，
∴∠PBA=70°，
∵A´P=A´P，
∴∠PBA=∠PCA=70°，
∵PC是⊙O的直径，
∴∠PAC=90°，
∴∠APC=90°−∠PCA=20°，
故选：A．
【变式7-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是56°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监
视器 台．
【答案】4
【分析】本题考查了圆周角定理的应用：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟记相关结论即
可．先画图，得出∠BOC=2∠BPC=112°，再进一步求解即可．
【详解】解：如图所示：记∠P与⊙O的交点为B,C，连接OB,OC，
∴∠BOC=2∠BPC=112°
3
∵360°÷112°=3
14
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台
故答案为：4
【变式7-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的
始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将⊙O八等分（图2中的点A∼H为八个
等分点），连接AD、AH、DG，AH与DG的延长线交于点P，则∠P的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，连接OA，OH，OG，OD，由正八边形得360°
∠AOH=∠HOG= =45°，由由对称性可知DH是⊙O的直径，由圆的基本性质得∠DAP=90°
8
，即可求解；掌握正多边形与圆，圆的基本性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接OA，OH，OG，OD，
∵ A B C D E F G H ⊙O
点 、 、 、 、 、 、 、 是 的八等分点，
360°
∴∠AOH=∠HOG= =45°，
8
1
∴∠ADP= ∠AOG=45°，
2
由对称性可知，DH是⊙O的直径，
∴ ∠DAP=90°，
∴∠P=90°−45°=45°．
故选：C．
【变式7-3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使
用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水
流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入
水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，
则接水槽距离水面的最大高度是（ ）
A．(2+❑√8)m B．2❑√3m C．2m D．3m
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理的应用，勾股定理的应用．作出图形，求得△AOC是等边三角形，证明C、O、M在同一直线上，利用圆周角定理和勾股定理即可求解．
【详解】解：接水槽距离水面的最大高度是指盛水筒离开水面开始倒水的位置，如图，
直线MN表示接水槽距离水面的最大高度的位置，即盛水筒A恰好转到M的位置倒水，
直线AB表示水面，筒车的圆心为O，则OA=OB=OC=2m，
360°
由题意得∠AOB=∠BOC= =30°，
12
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，OA=AC=OC=2m，
∵每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，
∴A´M=2A´C，
∴∠AOM=2∠AOC=120°，
∵∠AOM+∠AOC=180°，
∴点C、O、M在同一直线上，
∴CM为直径且CM=4m，
∴∠CAM=90°，
∴AM=❑√CM2−AC2=2❑√3(m)，
∴接水槽距离水面的最大高度是2❑√3m，
故选：B．
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】
【例8】如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AC重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重
合，射线BD从BC处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，BD与量角器的半圆弧交于点E，
第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．【答案】52
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接OE，由题意易得
∠CBD=26°，点B在以AC为直径的圆上，然后可得∠COE=2∠CBE=52°，进而问题可求解．
【详解】解：连接OE，如图所示：
∵∠ABC=90°，
∴点B在以AC为直径的圆上，
由题意可知∠CBD=2°×13=26°，
∴∠COE=2∠CBE=52°，
∵量角器0刻度线的端点P与点C重合，
∴点E在量角器上对应的读数是52度；
故答案为：52．
【变式8-1】如图所示，活动课中顺顺将直角三角板45°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于点
A，B．他发现量出AB的长，就可求⊙O的半径，当AB=8时，⊙O的半径为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．4 D．4❑√2
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连
接OA、OB，利用圆周角定理可得∠AOB=2∠APB=90°，得出△AOB是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA2+OB2=2OA2=AB2，
∴OA=4❑√2，
∴⊙O的半径为4❑√2．
故选：D．
【变式8-2】如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半
圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是 ；
【答案】35°/35度
【分析】连接OC,OD，由题意可知∠BAC=60°，∠BOD=50°，由圆周角定理得到
∠BOC=2∠CAB=120°，得到∠DOC=70°，即可得到答案．
【详解】解：连接OC,OD，由题意可知∠BAC=60°，∠BOD=50°，
∴∠BOC=2∠CAB=120°，
∴∠DOC=∠BOC−∠BOD=70°，
1
∴∠CAD= ∠DOC=35°
2
故答案为：35°
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．
【变式8-3】如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若
⊙O的直径为8，则弦AB的长为 ．
【答案】4
【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠P=30°，
∠ABD=90°，再由含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠P=30°，
∴∠D=∠P=30°．
∵AD是⊙O的直径，AD =8，
∴∠ABD=90°，
1
∴AB= AD=4．
2
故答案为：4．【点睛】本题考查的是同弧所对的圆周角相等，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关
键．
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】
【例9】如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上
的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于45°，构造出一个P点，再画出△P MN的外接圆，这个
1
外接圆与网格交点为格点的都符合题意．
【详解】解：如图，在BC边上取点P ，使BP =AN=2，连接N P ，M P ，
1 1 1 1
∴NB=AM=4，
∵∠MAN=∠NBP =90°，
1
∴△MAN≌△NBP (SAS)，
1
∴MN=N P ，∠AMN=∠BN P ，
1 1
∵∠ANM+∠AMN=90°，
∴∠ANM+∠BN P =90°，
1
∴△P MN是等腰直角三角形，
1
∴∠M P N=45°，
1作△P MN的外接圆交网格于P 、P 、P 、P ，
1 2 3 4 5
根据圆周角定理，得∠M P N=∠M P N=∠M P N=∠M P N=∠M P N=45°，
1 2 3 4 5
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想
象能力，模型意识．
【变式9-1】如图，网格图中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D为格点，设经过图中格点A、
B、C三点的圆弧与AD交于E，则AE的长为 ．
5❑√2
【答案】
2
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理和，灵活运用所学
知识求解是解决本题的关键．连接EB，BD，AB，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得
△ABD是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可．
【详解】如图，连接EB，BD，AB，
∵BD=AB=❑√42+32=5，AD=❑√12+72=5❑√2，
∴BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵∠ACB=90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠AEB=90°，
1 5❑√2
∴AE= AD= ．
2 2【变式9-2】（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接
于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点M，使∠MCB+∠BAC=90°，并简要
说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 5 图见解析 ，理由见解析
【分析】本题主要考查网格与勾股定理，直径或半圆所对圆周角为直角，等圆或同圆中，等弧所对圆周角
相等，掌握勾股定理，圆的基础知识是解题的关键．
（1）根据网格与勾股定理即可求解；
（2）根据直径或半圆所对圆周角为直角，等圆或同圆中，等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余
的方法作图即可．
【详解】解：（1）AB=❑√32+42=5，
故答案为：5；
（2）如图所示，作直径EF,PQ交于点O，连接CO并延长交⊙O于点M，连接BM，∵直径EF,PQ交于点O，
∴点O为圆心，
∴CM为直径，
∴∠CBM=90°，
∴∠CMB+∠MCB=90°，
∵C´B=C´B，
∴∠CAB=∠CMB，
∴∠MCB+∠CAB=90°，
∴点M即为所求点的位置．
【变式9-3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点均落在格点上．
（1）线段BC的长等于 ；
1
（2）以AB为直径作半圆，在半圆上找一点F，满足∠AFC= ∠BAC；在AB上找一点G，满足
4
❑√2
AG= AC，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点F和点G，并简要说明它们的位置是如
2
何找到的（不要求证明） ．
【答案】 2❑√5 见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，
（1）利用勾股定理可得答案；（2）取格点O，连接CO并延长交半圆于点F；取格点D，连接AD并延长，与BF的延长线交于点E，连接
BD,AF交于点H，连接EH，并延长交AB于点G，即可得图．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，BC=❑√AB2+AC2=❑√42+22=❑√20=2❑√5；
故答案为：2❑√5．
（2）解：如图所示，
如图，取格点O，即半圆的圆心，连接CO并延长交半圆于点F，
1 1 1
∵∠AOC= ∠BAC,∠AFC= ∠AOC，∴∠AFC= ∠BAC，点F即为所作点；
2 2 4
取格点D，连接AD并延长，与BF的延长线交于点E，连接BD,AF交于点H，连接EH，并延长交AB于
❑√2
点G，∵ △AEG≌△ABD，∴AD=AG，∵AC=2，∴ AC=❑√2，∵AD=❑√12+12=❑√2，
2
❑√2
∴AG=AD=❑√2= AC，点G即为所求．
2
