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专题 24.4 圆周角（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆周角的概念】..........................................................................................................................................2
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】.................................................................................3
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】..............................................................................................................4
【题型4 直径所对的圆周角是直角】......................................................................................................................5
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】................................................................................................................6
【题型6 圆内接四边形对角互补】..........................................................................................................................7
【题型7 圆周角定理的实际应用】..........................................................................................................................8
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】.........................................................................................................9
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】...........................................................................................10
知识点 1 圆周角
1. 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角定理
1
（1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，∠ABC= ∠AOC．
2
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，A´C=B´D⇒∠ABC=∠BAD．
（3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如上图，AB是直径⇒∠ACB=∠ADB =90°；∠ACB=90°⇒AB是直径．
3. 圆周角与圆心角的区别
圆心角 圆周角
顶点在圆心 顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数
的 个
联系 两边都与圆相交
知识点 2 圆内接四边形
1. 圆内接四边形的定义
如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外
接圆．
2. 圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补；
拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
【题型1 圆周角的概念】
【例1】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】下列各图中，∠BAC为圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点A,B,C在⊙O上，点D在⊙O外，CD与⊙O交于点E，AC，BE于点F．下列角中，弧AE所对的圆周角是（ ）
A．∠ADE B．∠ABE C．∠AFE D．∠AOE
【变式1-3】如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是
．
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】
【例2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知OD⊥AB于点D，
∠BOD=70°，则∠C的度数为 ．
【变式2-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点△ABC内接于⊙O，连结OA、OC．若
∠ABC=35°，则∠OAC的大小为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°【变式2-2】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，
OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2❑√3，则OC的长为 ．
【变式2-3】（24-25九年级上·天津·期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为A´B上一点，连接PA
，PE，则∠APE的度数为（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】
【例3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在⊙O中，弦AB,CD相交于点
P，∠A=40∘，∠B=35∘，则∠APD的度数为（ ）
A．75∘ B．65∘ C．70∘ D．80∘
【变式3-1】（2025·陕西西安·三模）如图，△ABC内接于⊙O，点D为劣弧A´B上一点，连接
OB、OD、BD，若BC=BD，∠D=50°，则∠A的度数为 °．
【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，DE为⊙O的直径，且
DE⊥AB于点F，连接CE．若∠A=35°，∠CED=15°，则∠B的度数为（ ）A．65° B．70° C．75° D．80°
【变式3-3】（2025·江苏南京·二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E在A´D上．若
3
∠ABC= ∠E，则C´D的度数为 ．
2
【题型4 直径所对的圆周角是直角】
【例4】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，
1
A´D+B´C=C´D，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若CE= AB，则CE:CA的值是（ ）
2
2 ❑√2 3 ❑√3
A． B． C． D．
3 2 4 3
【变式4-1】（2025·四川南充·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB两侧的
点，连接AC，DC，且A´D=B´D，则∠ACD= 度．【变式4-2】（2025九年级下·北京·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D为⊙O上一
点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，交⊙O于点F，DF=AC，连接OD，BC．若DF=4AE=8，
则BC的长为 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角
分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】
【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，
∠BAC=30°，若点D在⊙O上，且∠BAD=60°，则CD长为 ．
【变式5-1】如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB=90°，点M为AB上任意一
点，连接CM交半圆于N点，连接BN，若∠ABC=35°，则∠BNC的度数为（ ）A．60° B．55° C．50° D．30°
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P过原点，且与x轴、y
轴交于点A，B，点A的坐标为(6,0)，⊙P的直径为10．则点B的坐标为 ．
【变式5-3】（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得
到△ADE，点C的对应点E在⊙O上，连接BE．则四边形ACBE的面积（ ）
A．只与AC的长有关 B．只与AB的长有关
C．只与BC的长有关 D．只与BE的长有关
【题型6 圆内接四边形对角互补】
【例6】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，A´B=A´C，AB∥CD
，∠B=70°，连接AC，则∠CAD的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．35°
【变式6-1】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E为B´C上任意一点，连接BE，CE，则∠BEC= ．
【变式6-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接DC、
DA、OA，OA⊥BC，若∠ADC=25°，则∠CAB的度数是（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【变式6-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和
劣弧AB上，若∠C=65°，则∠D= °．
【题型7 圆周角定理的实际应用】
【例7】（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．
图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，连接PA，PB
，点M在AB的延长线上．若∠PBM=110°，则∠APC的度数为（ ）A．20° B．30° C．55° D．70°
【变式7-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P
处安装了一台监视器，它的监控角度是56°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监
视器 台．
【变式7-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的
始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将⊙O八等分（图2中的点A∼H为八个
等分点），连接AD、AH、DG，AH与DG的延长线交于点P，则∠P的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
【变式7-3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使
用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水
流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入
水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，
则接水槽距离水面的最大高度是（ ）
A． B． C．2m D．3m
(2+❑√8)m 2❑√3m【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】
【例8】如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AC重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重
合，射线BD从BC处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，BD与量角器的半圆弧交于点E，
第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
【变式8-1】如图所示，活动课中顺顺将直角三角板45°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于点
A，B．他发现量出AB的长，就可求⊙O的半径，当AB=8时，⊙O的半径为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．4 D．4❑√2
【变式8-2】如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半
圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是 ；
【变式8-3】如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若
⊙O的直径为8，则弦AB的长为 ．【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】
【例9】如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上
的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式9-1】如图，网格图中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D为格点，设经过图中格点A、
B、C三点的圆弧与AD交于E，则AE的长为 ．
【变式9-2】（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接
于圆，且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点M，使∠MCB+∠BAC=90°，并简要
说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【变式9-3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点均落在格点上．
（1）线段BC的长等于 ；
1
（2）以AB为直径作半圆，在半圆上找一点F，满足∠AFC= ∠BAC；在AB上找一点G，满足
4
❑√2
AG= AC，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点F和点G，并简要说明它们的位置是如
2
何找到的（不要求证明） ．
