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专题 24.4 圆周角
1. 掌握圆周角的概念，能够熟练的判断圆周角。
2. 掌握圆周角定理及其的推论，并能够在题目中熟练的进行应用。
教学目标
3. 掌握圆的内接多边形的概念与内接四边形的性质，并能够在解决相关问题时熟练应
用
1. 重点
（1）圆周角定理及其推论；
（2）圆的内接四边形的性质。
教学重难点
2. 难点
（1）圆周角定理及其推论的应用；
（2）圆的内接四边形的性质的应用。知识点01 圆周角及其圆周角定理
1. 圆周角的定义：
顶点在 圆上 ，且两边都与圆 相交 的角叫做圆周角。
2. 圆周角定理的内容：
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 一半 。
即：∠BAC＝ ∠BOC
【即学即练1】
1．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角，
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，AB 是 O 的直径，C，D 在 O 上，且在 AB 异侧，若∠AOD＝40°，则∠BCD 的度数为
（ ）
⊙ ⊙
A．40° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOD＝40°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠BOD与∠BCD是^BD所对的圆心角与圆周角，
1 1
∴∠BCD= ∠BOD= ×140°=70°，
2 2故选：C．
知识点02 圆周角定理的推论
1. 圆周角定理的推论：
（1）在 同圆 或 等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角都 相等 。相
等的圆周角所对的弧也 相等 。
⌒ ⌒
如图：若AC＝BD，则∠ABC ＝ ∠BAD；若∠ABC ＝ ∠BAD，
⌒ ⌒
则AC ＝ BD。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 。
如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝ 90 ° 。
若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的 直径 。
【即学即练1】
3．如图， O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴^AB=C^D，即^AC+^BC=^AC+^AD，
∴^AD=^BC，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
【即学即练2】
4．如图，BC是 O的直径，且AC＝AB，^AD=^BD，则∠CBD的度数为 22.5 ° ．
⊙
【答案】22.5°．【解答】解：∵^AD=^BD，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵BC是 O的直径，
∴∠CAB＝90°，
⊙
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°（等边对等角），
∴∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴∠DAB＝∠DBA＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝67.5°﹣45°＝22.5°，
则∠CBD的度数为22.5°，
故答案为：22.5°．
知识点03 圆内接四边形的性质
1. 圆的内接四边形的概念：
如图：四个顶点都在 圆上 的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的
顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。
2. 圆的内接四边形的性质：
（1）圆的内接四边形的对角 互补 。
即∠B＋∠D＝ 180 ° ，∠C＋∠BAD＝ 180 ° 。
（2）圆的内接四边形的任意一个外角等于它的 内对角 （就是和它相
邻的内角的对角）
即：∠EAD＝ ∠ C 。
【即学即练1】
5．如图，已知四边形ABCD内接于 O，连结AC，记∠BAC的度数为 ，∠CAD的度数为 ．若AB＝
AC，AB∥CD，则有（ ）
⊙ α β
A．2 +3 ＝180° B．3 +4 ＝360°
C．3 +2 ＝180° D．4 +3 ＝360°
α β α β
【答案】C
α β α β
【解答】解：∵∠BAC的度数为 ，∠CAD的度数为 ，
α β∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝ + ，
∴AB＝AC，
α β
∴∠B＝∠ACB，
由三角形内角和定理得：∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2∠ACB+ ＝180°，
1
∴∠ACB＝9 α 0°− ，
2
∵AB∥CD， α
∴∠ACD＝∠BAC＝ ，
1 1
∴∠BCD＝∠ACB+∠ α ACD＝90°− + ＝90°+ ，
2 2
∵四边形ABCD内接于 O， α α α
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
⊙
1
∴90°+ + + ＝180°，
2
α α β
整理得：3 +2 ＝180°．
故选：C．
α β
【即学即练2】
6．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，延长AB至点E，若∠ACD=40°，^AC=C^D，
则∠CBE的度数为（ ）
⊙
A．80° B．76° C．72° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵^AC=C^D，∠ACD=40°，
∴AC＝CD，
1
∴∠CDA=∠CAD= (180°−∠ACD)=70°，
2
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠CDA＝70°，
⊙
故选：D．题型01 圆周角的判断
【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角．
故选：A．
【变式1】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②
【答案】D
【解答】解：①图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故①选项不符合题意；
②图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故②选项符合题意；
③图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故③选项不符合题意；
④不是圆周角，因为角的一边不和圆相交，故④选项不符合题意；
⑤不是圆周角，因为角的两边不和圆相交，故⑤选项不符合题意．
故选：D．
题型02 圆周角定理进行计算证明
【典例1】如图，已知A，B，C是圆O上的三点，∠ABC＝35°，则∠AOC的大小为（ ）
A．75° B．70° C．60° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC与∠ABC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°，
故选：B．
【变式1】如图，在 O中，∠AOB＝50°，OB⊥AC，垂足为点D，则∠OBC＝（ ）
⊙A．40° B．25° C．55° D．65°
【答案】D
【解答】解：由条件可知：
1
∠ACB= ∠AOB=25°，
2
∵OB⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，∠OBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣25°＝65°，
故选：D．
【变式2】如图，在 O中，点A是^BC的中点，点D在^BEC上，若∠BDC＝24°，则∠AOB的大小为（
）
⊙
A．12° B．24° C．32° D．48°
【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵∠BDC＝24°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝48°，
∵点A是^BC的中点，
1
∴∠AOB= ∠BOC＝24°．
2
故选：B．
【变式3】如图，AB是 O的直径，C、D是 O上的两点，^AC=^AD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为
（ ）
⊙ ⊙A．75° B．65° C．55° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵^AD=^AD，∠AOD＝50°，
1
∴∠ABD= ∠AOD=25°，
2
∵^AC=^AD，
∴∠ABC＝∠ABD＝25°，
∵AB是 O的直径，
∴∠C＝90°，
⊙
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【变式4】如图，AB，CD为 O直径，弦DE，BF分别与半径AO，CO相交，且DE＝BF．
（1）求证：∠B＝∠D；
⊙
（2）若^AE=^EF=^FC，且∠D＝40°，求∠AOC的度数．
【答案】（1）见解答
（2）120°．
【解答】（1）证明：∵AB，CD为 O直径，
∴^ACB=^DAC，
⊙
∵DE＝BF，
∴^DE=^BF，
∴^ACB−^BF=^DAC−^DE，
即^AF=C^E，
∴∠B＝∠D；
（2）解：由条件可知C^E的度数为80°，
∴^AE，^EF，^FC的度数为40°，∴^AC的度数为120°，
∴∠AOC的度数为120°．
题型03 圆周角定理的推论计算证明
【典例1】如图，AB是 O的直径，点C和点D是 O上的两点且位于直径AB的两侧．若∠D＝24°，则
∠ABC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．66° B．64° C．56° D．54°
【答案】A
【解答】解：∵∠D＝24°，
∴∠A＝24°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣24°＝66°．
故选：A．
【变式1】如图，AB为 O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝52°，则∠CBD的大小为
（ ）
⊙
A．68° B．72° C．78° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵CA＝CE，∠ACE＝52°，
1
∴∠CAE= (180°−∠ACE)=64°，
2
∵^AD=^AD，
∴∠ABD＝∠ACE＝52°，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙∴∠ABC＝90°﹣∠CAE
＝90°﹣64°
＝26°，
∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC
＝52°+26°
＝78°，
故选：C．
【变式2】如图，AC为 O的直径，点B，D在 O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．2❑√2 C．2❑√3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵AC为 O的直径，
∴∠ADC＝90°，
⊙
∵∠ABD＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∴AD=❑√AC2−CD2=❑√42−22=2❑√3．
故选：C．
【变式3】如图，AB是 O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF．
⊙
（2）若CD＝4❑√5，AC＝8❑√5，求弦BD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）16．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵CD＝CB，，
∴C^D=C^B，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：连接OC，交BD于点G，
∵BC＝CD，
∴OC⊥BD，BD＝2BG，
∵∠ACB＝90°，BC＝CD=4❑√5，AC=8❑√5，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√(8❑√5) 2+(4❑√5) 2=20，
∴ O的半径为10，
设OG＝x，则CG＝10﹣x，
⊙
由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，
即102﹣x2＝（4❑√5）2﹣（10﹣x）2，
解得x＝6，
∴BG=❑√102−62=8，
∴BD＝16．
题型04 圆的内接四边形的性质的应用
【典例 1】如图，AB是半圆O的直径，点 C，D在半圆O上，若∠BDC＝130°，则∠ABC的度数为
（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∵∠BDC＝130°，
∴∠A＝50°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝40°，
故选：A．
【变式1】如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（ ）
⊙
A．100° B．110° C．120° D．125°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴﹣∠ABC+∠D＝180°，
⊙
∵∠ABC＝125°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×55°＝110°，
故选：B．
【变式2】如图，四边形ABCD内接于 O，M为边CB延长线上一点．若∠AOC＝98°，则∠ABM的度数
是（ ）
⊙A．42° B．49° C．51° D．59°
【答案】B
1
【解答】解：∵∠D= ∠AOC，∠AOC＝98°，
2
∴∠D＝49°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠ABC+∠D＝180°，
⊙
∵∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠ABM＝∠D＝49°．
故选：B．
【变式3】如图，四边形ABCD内接于 O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，CD平分
∠BDE．
⊙
（1）求证：CA＝CB；
（2）若点B为CAD的中点，DE＝2，CE＝6时，求AD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）AD＝6．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
⊙
∵∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠EDC，
∵CD平分∠BDE，
∴∠EDC＝∠BDC，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠BAC，∴CA＝CB；
（2）解；过点C作CH⊥BD于H，DE＝2，CE＝6，
设AD＝x，则AE＝AD+DE＝x+2，
∵CD平分∠BDE，CE⊥AD，CH⊥BD，
∴CH＝CE＝6，∠CEA＝∠CHB＝90°，
在Rt△ACE和Rt△BCH中，
{CA=CB)
，
CE=CH
∴Rt△ACE≌Rt△BCH（HL），
∴BH＝AE＝x+2，
同理可证明Rt△CDE≌Rt△CDH（HL），
∴DH＝DE＝2，
∴BD＝BH+DH＝x+4，
∵点B为C^AD的中点，
∴^BC=^BD，
∴BC＝BD＝x+4，
在Rt△HBC中，由勾股定理得CH2+BH2＝BC2，
∴62+（x+2）2＝（x+4）2，
解得x＝6，
∴AD＝6．
1．如图，在圆O中∠BOC＝50°，求∠A的大小（ ）A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵∠BOC＝50°，
1
∴∠A= ∠BOC＝25°．
2
故选：B．
2．如图，AB是 O的直径，^AD=C^D，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【解答】解：∵AB是 O的直径，^AD=C^D，∠COB＝40°，
∴∠AOD＝∠DOC，
⊙
180°−∠COB
∴∠AOD= =70°，
2
∵OA＝OD，
180°−∠AOD
∴∠A=∠D= =55°．
2
故选：B．
3．如图，点A、B、C、D在 O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（ ）
⊙
A．120° B．130° C．100° D．125°
【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵∠A＝25°，
∴∠1＝2∠A＝50°，
∵BO∥CD，
∴∠2＝∠1＝50°，
∵OC＝OD，∴∠2＝∠3＝50°，
∵∠2+∠3+∠COD＝180°，
∴∠COD＝180°﹣∠2﹣∠3＝80°，
∴∠BOD＝∠1+∠COD＝130°，
故选：B．
4．如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C＝50°，则∠BAD的度数
为（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【解答】解；∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∵∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故选：B．
5．如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC交于点F．若∠A＝
40°，∠E＝55°，则∠F的度数为（ ）
⊙
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为 O的内接四边形，∠A＝40°，∠E＝55°，
∴∠CDF＝∠A+∠E＝95°，
⊙
∵∠A＝40°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝140°，∴∠F＝∠BCD﹣∠CDF＝45°，
故选：B．
6．如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，点E在 O上．若∠BEC＝15°，则∠ADC的度数
为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．120° B．115° C．110° D．105°
【答案】D
【解答】解：连接AC，如图所示，
∵∠BEC＝15°，
∴∠CAB＝∠BEC＝15°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣15°＝75°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣75°＝105°．
⊙
故选：D．
7．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图 2，筒车 O与水面分别交于点A、B，筒车上
均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是 O的直径，连接PA、PB，点M在AB的延
⊙
长线上，若∠APC＝20°，则∠PBM＝（ ）
⊙A．115° B．70° C．120° D．110°
【答案】D
【解答】解：如图2，连接AC，
∵PC是 O的直径，
∴∠PAC＝90°，
⊙
∴∠APC+∠C＝90°，
∵∠APC＝20°，
∴∠C＝70°，
∴∠ABP＝∠C＝70°，
∴∠PBM＝180°﹣∠ABP＝110°，
故选：D．
8．如图，点A、B、C在 O上，点D为 O外一点，∠AOB=60°， BC=❑√2OA，则∠D的度数可
能是（ ）
⊙ ⊙
A．74° B．75° C．76° D．77°
【答案】A
【解答】解：如图，设CD与 O交于点E，连接OC，OE，
⊙∵BC=❑√2OA=❑√2OB，OB=OC，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝60°+90°＝150°，
1 1
∴∠AEC= ∠AOC= ×150°＝75°，
2 2
∵∠AEC＞∠D，
∴∠D的度数可以是74°．
故选：A．
9．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，
点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽
QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ．
其中所有正确结论有几个？（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则
△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确
定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一
确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确，故选：C．
10．如图，CD是 O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，
则PA+PB的最小值为（ ）
⊙
A．4 B．8 C．2❑√3 D．4❑√3
【答案】A
【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，交CD于P，此时AP+PB＝QP+PB＝QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点B为弧AD的中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝20°，
∵A、Q关于CD对称，
∴∠QCD＝∠ACD＝20°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×20°＝40°，
∴∠BOQ＝20°+40°＝60°．
∵OB＝OQ，
∴△BOQ是等边三角形，
1
∴BQ=OB= CD=4，即PA+PB的最小值为4．
2
故选：A．
11．如图．已知AB是圆O的直径，∠BOC＝80°，则∠BDC的度数为 40 ° ．【答案】40°．
1
【解答】解：∵∠BOC＝80°，∠BDC= ∠BOC，
2
∴∠BDC＝40°，
故答案为：40°．
12．如图，四边形ABCD内接于 O，延长AO交 O于点E，连接BE．若∠C＝100°，∠DAE＝50°，则
∠E＝ 60 ° ．
⊙ ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，∠C＝100°，
∴∠DAB＝80°，
⊙
∵∠DAE＝50°，
∴∠EAB＝30°，
∵AE是 O的直径，
∴∠ABE＝90°，
⊙
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60°．
13．如图，AB是半圆O的直径，BC＝BD，OC＝6，∠CBA＝30°，则O到CD的距离OE＝ 3❑√2 ．
【答案】3❑√2．
【解答】解：∵BC＝BD，∠CBA＝30°，
180°−30°
∴∠BDC=∠BCD= =75°，
2
∵OB＝OC，
∴∠CBA＝∠BCO＝30°，
∴∠OCE＝∠BCD﹣∠BCO＝45°，∵OE⊥CD，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OCE＝∠COE＝45°，
∴OE＝CE，
在Rt△OCE中，OE2+CE2＝2OE2＝OC2＝36，
∴OE=3❑√2．
故答案为：3❑√2．
14．如图，点A，B，C，D，E在 O上，D是^AB的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则
∠DCE＝ 8 5 °，
⊙
【答案】85．
【解答】解：如图，连接OC、OD、OE．
∵CB＝CE，
∴∠BOC＝∠EOC，
∵OB＝OC＝OE，
1 1
∴∠OBC＝∠OCB= （180°﹣∠BOC），∠OCE＝∠OEC= （180°﹣∠EOC），
2 2
∴∠OBC＝∠OCB＝∠OCE＝55°，
∵D是^AB的中点，
∴^AD=^BD，
∵∠AOB＝100°，
1
∴∠BOD= ∠AOB＝50°，
2
1
∴∠BCD= ∠BOD＝25°，
2
∴∠OCD＝∠OCB﹣∠BCD＝55°﹣25°＝30°，
∴∠DCE＝∠OCD+∠OCE＝30°+55°＝85°．故答案为：85．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点
（不与 A，D重合），连接 AP、DP，当△ADP 为锐角等腰三角形时，AP的长为 6 或 3❑√10或
60❑√61
．
61
60❑√61
【答案】6或3❑√10或 ．
61
【解答】解：①当AD＝AP时，△ADP是锐角等腰三角形，此时AP＝AD＝6；
②当AD＝DP时，△ADP是等腰三角形，
此时AD、DP是 O的切线，连接OP，连接OD交AP于E．
∵AD＝DP，AO＝PO，
⊙
∴OD垂直平分线段AP，
∵AD＝6，AB＝10，
∴AO＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°，
∴OD=❑√AD2+AO2=❑√61，
AD⋅AO 30❑√61
∴AE＝EP= = ，
DO 61
60❑√61
∴AP= ，
61
∴△ADP是锐角等腰三角形；
③当DP＝AP时，作AD的垂直平分线PP′，交圆于点P和P′，作OE⊥PP′于点E，
△ADP不是锐角等腰三角形，舍去，△ADP′符合题意，
∴AH＝3，PE＝EP′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠HAO＝∠OEP＝∠AHE＝90°，
在Rt△OEP中，OE＝AH＝3，
PE=❑√PO2−OE2=❑√52−32=4，
∴EP′＝4，
∴HP′＝9，
∴AP′=❑√AH2+HP′2=❑√32+92=3❑√10，，
60❑√61
综上所述，AP的长为6或3❑√10或 ．
61
60❑√61
故答案为：6或3❑√10或 ．
61
16．如图，点A，B，C，D在 O上，^AB=C^D．求证：AC＝BD．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵^AB=C^D，
∴^AB+^BC=C^D+^BC，
即^AC=^BD，
∴AC＝BD．
17．如图，AC为 O的直径，且AC⊥BD于点E．连接AB，OB，BC．
（1）求证：∠CBO＝∠ABD；
⊙
（2）若AE＝1，CE＝4，求弦BD的长．
【答案】（1）见解答（2）4．
【解答】（1）证明：∵AC为 O的直径，
∴∠ABC＝90°，
⊙
即∠ABD+∠CBD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∴∠C＝∠ABD（同角的余角相等），
∵OB＝OC（已知），
∴∠C＝∠CBO（等边对等角），
∴∠CBO＝∠ABD（等量代换）；
（2）解：∵AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∵AE＝1，CE＝4，
∴AC＝5，
5 3
∴OB=OA= ，OE=OA−AE= ，
2 2
√ 5 2 3 2
在Rt△OBE中，BE=❑√OB2−OE2=❑( ) −( ) =2，
2 2
∴BD＝2BE＝4．
18．如图，A，B，C，D是 O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证：
（1）∠A＝∠D；
⊙
（2）CM＝DN．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE．
（1）求证：^DE=^BD．
⊙
（2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明方法一：连接AD，
∵AB为 O的直径，
∴AD⊥BC，
⊙
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∵A、E、D、B四点共圆，
∴∠CED＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠CED，
∴DE＝DC，
∴DE＝BD，
∴^DE=^BD；
方法二：如图②，连接AD，
∵AB为 O的直径，
∴AD⊥BC，
⊙
∵AB＝AC，
∴∠EAD＝∠BAD，
∴^DE=^BD；
（2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，
1
BD= BC＝3，AB＝5，
2
又勾股定理得，AD=❑√AB2−BD2=4，
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF∥AD，又OA＝OB，
1
∴OF= AD＝2，
2
1 5 1
则 × ×BH = ×3×2，
2 2 2
12
解得，BH= ，
5∵^DE=^BD，
24
∴BE＝2BH= ．
5
20．如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为^AC的中点；
⊙ ⊙
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若 O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴^AD=C^D，
即点D为^AC的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，1
∴OF= BC＝3，
2
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵^AD=C^D，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
1 5
在Rt△OHD中，OH= OD= ，
2 2
5❑√3
∴DH=❑√3OH= ，
2
∴DC′＝2DH＝5❑√3，
∴PC+PD的最小值为5❑√3．
