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专题 24.4 圆周角
1. 掌握圆周角的概念，能够熟练的判断圆周角。
2. 掌握圆周角定理及其的推论，并能够在题目中熟练的进行应用。
教学目标
3. 掌握圆的内接多边形的概念与内接四边形的性质，并能够在解决相关问题时熟练应
用
1. 重点
（1）圆周角定理及其推论；
（2）圆的内接四边形的性质。
教学重难点
2. 难点
（1）圆周角定理及其推论的应用；
（2）圆的内接四边形的性质的应用。知识点01 圆周角及其圆周角定理
1. 圆周角的定义：
顶点在 ，且两边都与圆 的角叫做圆周角。
2. 圆周角定理的内容：
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 。
即：∠BAC＝ ∠BOC
【即学即练1】
1．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．如图，AB 是 O 的直径，C，D 在 O 上，且在 AB 异侧，若∠AOD＝40°，则∠BCD 的度数为
（ ）
⊙ ⊙
A．40° B．65° C．70° D．75°
知识点02 圆周角定理的推论
1. 圆周角定理的推论：
（1）在 或 中，同弧或等弧所对的圆周角都 。相等的圆
周角所对的弧也 。
⌒ ⌒
如图：若AC＝BD，则∠ABC ∠BAD；若∠ABC ∠BAD，
⌒ ⌒
则AC BD。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 。如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝ 。
若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的 。
【即学即练1】
3．如图， O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE．
⊙
【即学即练2】
4．如图，BC是 O的直径，且AC＝AB，^AD=^BD，则∠CBD的度数为 ．
⊙
知识点03 圆内接四边形的性质
1. 圆的内接四边形的概念：
如图：四个顶点都在 的四边形叫做圆的内接四边形。多边形
的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。
2. 圆的内接四边形的性质：
（1）圆的内接四边形的对角 。
即∠B＋∠D＝ ，∠C＋∠BAD＝ 。
（2）圆的内接四边形的任意一个外角等于它的 （就是和它相
邻的内角的对角）
即：∠EAD＝ 。
【即学即练1】
5．如图，已知四边形ABCD内接于 O，连结AC，记∠BAC的度数为 ，∠CAD的度数为 ．若AB＝
AC，AB∥CD，则有（ ）
⊙ α β
A．2 +3 ＝180° B．3 +4 ＝360°
α β α βC．3 +2 ＝180° D．4 +3 ＝360°
【即学即练2】
α β α β
6．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，延长AB至点E，若∠ACD=40°，^AC=C^D，
则∠CBE的度数为（ ）
⊙
A．80° B．76° C．72° D．70°
题型01 圆周角的判断
【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②
题型02 圆周角定理进行计算证明
【典例1】如图，已知A，B，C是圆O上的三点，∠ABC＝35°，则∠AOC的大小为（ ）
A．75° B．70° C．60° D．55°
【变式1】如图，在 O中，∠AOB＝50°，OB⊥AC，垂足为点D，则∠OBC＝（ ）
⊙A．40° B．25° C．55° D．65°
【变式2】如图，在 O中，点A是^BC的中点，点D在^BEC上，若∠BDC＝24°，则∠AOB的大小为（
）
⊙
A．12° B．24° C．32° D．48°
【变式3】如图，AB是 O的直径，C、D是 O上的两点，^AC=^AD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为
（ ）
⊙ ⊙
A．75° B．65° C．55° D．50°
【变式4】如图，AB，CD为 O直径，弦DE，BF分别与半径AO，CO相交，且DE＝BF．
（1）求证：∠B＝∠D；
⊙
（2）若^AE=^EF=^FC，且∠D＝40°，求∠AOC的度数．
题型03 圆周角定理的推论计算证明【典例1】如图，AB是 O的直径，点C和点D是 O上的两点且位于直径AB的两侧．若∠D＝24°，则
∠ABC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．66° B．64° C．56° D．54°
【变式1】如图，AB为 O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝52°，则∠CBD的大小为
（ ）
⊙
A．68° B．72° C．78° D．80°
【变式2】如图，AC为 O的直径，点B，D在 O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．2❑√2 C．2❑√3 D．4
【变式3】如图，AB是 O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF．
⊙
（2）若CD＝4❑√5，AC＝8❑√5，求弦BD的长．
题型04 圆的内接四边形的性质的应用
【典例 1】如图，AB是半圆O的直径，点 C，D在半圆O上，若∠BDC＝130°，则∠ABC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【变式1】如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（ ）
⊙
A．100° B．110° C．120° D．125°
【变式2】如图，四边形ABCD内接于 O，M为边CB延长线上一点．若∠AOC＝98°，则∠ABM的度数
是（ ）
⊙
A．42° B．49° C．51° D．59°
【变式3】如图，四边形ABCD内接于 O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，CD平分
∠BDE．
⊙
（1）求证：CA＝CB；
（2）若点B为CAD的中点，DE＝2，CE＝6时，求AD的长．
1．如图，在圆O中∠BOC＝50°，求∠A的大小（ ）A．20° B．25° C．30° D．40°
2．如图，AB是 O的直径，^AD=C^D，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．如图，点A、B、C、D在 O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（ ）
⊙
A．120° B．130° C．100° D．125°
4．如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C＝50°，则∠BAD的度数
为（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．40° C．45° D．50°
5．如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC交于点F．若∠A＝
40°，∠E＝55°，则∠F的度数为（ ）
⊙
A．40° B．45° C．50° D．55°
6．如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，点E在 O上．若∠BEC＝15°，则∠ADC的度数
为（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．120° B．115° C．110° D．105°
7．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图 2，筒车 O与水面分别交于点A、B，筒车上
均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是 O的直径，连接PA、PB，点M在AB的延
⊙
长线上，若∠APC＝20°，则∠PBM＝（ ）
⊙
A．115° B．70° C．120° D．110°
8．如图，点A、B、C在 O上，点D为 O外一点，∠AOB=60°， BC=❑√2OA，则∠D的度数可
能是（ ）
⊙ ⊙
A．74° B．75° C．76° D．77°
9．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，
点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽
QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ．
其中所有正确结论有几个？（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，CD是 O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，
则PA+PB的最小值为（ ）
⊙
A．4 B．8 C．2❑√3 D．4❑√3
11．如图．已知AB是圆O的直径，∠BOC＝80°，则∠BDC的度数为 ．
12．如图，四边形ABCD内接于 O，延长AO交 O于点E，连接BE．若∠C＝100°，∠DAE＝50°，则
∠E＝ ．
⊙ ⊙
13．如图，AB是半圆O的直径，BC＝BD，OC＝6，∠CBA＝30°，则O到CD的距离OE＝ ．
14．如图，点A，B，C，D，E在 O上，D是^AB的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则
∠DCE＝ °，
⊙
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点
（不与A，D重合），连接AP、DP，当△ADP为锐角等腰三角形时，AP的长为 ．16．如图，点A，B，C，D在 O上，^AB=C^D．求证：AC＝BD．
⊙
17．如图，AC为 O的直径，且AC⊥BD于点E．连接AB，OB，BC．
（1）求证：∠CBO＝∠ABD；
⊙
（2）若AE＝1，CE＝4，求弦BD的长．
18．如图，A，B，C，D是 O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证：
（1）∠A＝∠D；
⊙
（2）CM＝DN．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE．
（1）求证：^DE=^BD．
⊙
（2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长．20．如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为^AC的中点；
⊙ ⊙
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若 O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
⊙
