文档内容
专题24.4 弧长和扇形面积
（知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）
【原卷版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：弧长公式.............................................................2
知识点梳理02：扇形的面积公式.......................................................2
优选题型 考点讲练......................................................................2
考点1 求弧长.......................................................................2
考点2 求扇形半径...................................................................3
考点3 求圆心角.....................................................................4
考点4 求某点的弧形运动路径长度.....................................................6
考点5 求扇形面积...................................................................7
考点6 求图形旋转后扫过的面积.......................................................7
考点7 求弓形面积...................................................................9
考点8 求其他不规则图形的面积......................................................10
考点9 求圆锥侧面积................................................................10
考点10 求圆锥底面半径.............................................................11
考点11 求圆锥的高.................................................................12
考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角...................................................12
考点13 圆锥的实际问题.............................................................13
考点14 圆锥侧面上最短路径问题.....................................................14
中考真题 实战演练.....................................................................16
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................18
基础夯实..........................................................................18
培优拔高..........................................................................21知识点梳理01：弧长公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长
2πR πR n nπR
是 ，即 ，于是n°的圆心角所对的弧长为l= ⋅2πR= ，弧长为l的弧所对的圆心角
360 180 360 180
180l
为n= 度．
πR
知识点梳理02：扇形的面积公式
1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所
πR2 nπR2
以圆心角是1°的扇形面积是 ，于是圆心角为n°的扇形面积是S = ，还可以用弧长表示扇
360 扇形 360
1
形面积S = lR，其中l为扇形的弧长．
扇形 2
考点1 求弧长
【典例精讲】（25-26九年级上·北京·月考）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为 ．
【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，
∠BCD=112.5°，则弧BD的长为 ．（结果保留π）
考点2 求扇形半径
【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，△AOB的顶点都在边长为1的正方形组成的网
格点上，A(−1,3)，B(−2,2)，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A OB ．
1 1
(1)画出旋转后的△A OB ；
1 1
(2)求旋转过程中点B经过的路径长．【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应
用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若圆柱的
高AB为2cm，底面直径BC为8cm．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长；（结果保留根号和π）
拓展迁移：
（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8，底面圆半径为
2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离．
考点3 求圆心角
【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋
战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，
⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动2周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．【变式训练】（2025·广东珠海·一模）如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成
相应的任务．
x年x月x日星期日
错题积累
Rt△ABC ∠C=90° BD ∠ABC AC AB
在 中， ， 平分 交 于点D，O是 上
一点，且⊙O经过B，D两点，分别交AB，BC于点E，F．
…
[自勉]
读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确．
——培根
任务：
(1)仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：⊙O与AC相切于点D；
5
(3)若OD=2，劣弧E´D的长为 π，求∠BDC度数．
9
考点4 求某点的弧形运动路径长度
【典例精讲】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，A(−4,0)，B(0,1)，C(−2,3)．(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A B C ；
2 2 2
(3)求出点A绕O点顺时针旋转90°后到A 所经过的路径长．
2
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，
△ABC是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）
(1)在图1中画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形；
(2)求出在旋转的过程中，点C所经过的路径的长．
考点5 求扇形面积
【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，
∠D=60°且AB=6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E．则求阴影部分的面积为【变式训练】（25-26九年级上·吉林·月考）已知一扇形所在圆的半径为R，弧长为l，面积为S，若扇
形的周长为40cm．
(1)当R=4时，则扇形弧长l=______cm，扇形面积S=______cm2．
(2)直接写出弧长l与半径R的函数关系式______；
(3)当半径R为何值时，该扇形的面积S最大？最大面积为多少？写出求解过程．
考点6 求图形旋转后扫过的面积
【典例精讲】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个
单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)均在格点上．(1)将△ABC向下平移5个单位得到△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△A B C 绕点C 逆时针旋转90°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
(3)在（2）的条件下，求△A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
1 1 1
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上．
(1)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′（点B对应点B′），画出△AB′C′．
(2)请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O，并标明外心O的位置．
(3)设每个小方格的边长为1，求出线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积．考点7 求弓形面积
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横
截面如图所示，半径OA=12，水的最大深度CD为6cm．
(1)求水面宽AB的长；
(2)求阴影部分面积．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，BE是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点F
是EC的中点，连接FO并延长至点D，交⊙O于点A，连接BD，∠D=∠E．
(1)证明：DB为⊙O的切线；
(2)若∠D=30°，AF=6．
①求BF的长；
②求阴影部分的面积．
考点8 求其他不规则图形的面积
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，点D是BC上一点，以CD为直径作⊙O交AC中点于E，连接BE．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE=❑√3，BD=1，求图中阴影部分的面积．
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，
对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是2❑√3，则图中阴影部分的面积是 ．
考点9 求圆锥侧面积
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠
绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面
半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
(1)这顶锥形草帽的高为______cm，侧面积为______cm2．（结果保留π）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．【变式训练】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形AOB的半径为10，圆心角为90°，
点C是劣弧AB上的一个动点，连接AC，BC，OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，连接DE．
(1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留π）
(2)求DE的长度；
(3)直接写出△ODE的外接圆半径R的值．
考点10 求圆锥底面半径
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为8❑√3cm的等边三角形中剪一个最大的
扇形ADE，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ）
A．1cm B．❑√3cm C．2cm D．2❑√3cm
【变式训练】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个
扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心O 与圆锥顶点都在正方形的同一条对角
2
线上），测量后得知，圆锥母线长16cm，则这张正方形纸片的边长是 cm．考点11 求圆锥的高
【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，
已知圆锥的母线长为13cm，扇形的弧长是10πcm，那么这个圆锥的高是 ．
【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，扇形ODE的半径为3，边长为❑√3的菱形OABC的
顶点A，C，B分别在OD，OE，D´E上．若把扇形ODE围成一个圆锥，求此圆锥的高．
考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）圆锥的母线长为12cm，底面圆的半径为5cm．
(1)侧面展开图的圆心角度数是 ．
(2)如图①，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，A´C的长为4πcm，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）．
【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，扇形OBC是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线
OB=l，底面圆的半径MB=r．
(1)当l=2r时，求∠BOC的度数；
(2)当l=3r，l=4r时，分别求∠BOC的度数；（直接写出结果）
(3)当l=nr（n为大于1的整数）时，猜想∠BOC的度数（直接写出结果）．
考点13 圆锥的实际问题
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型
圆锥形帐篷，它的底面直径是6m，高是4m．
(1)按每人的活动面积是3m2计算，该帐篷估计最多可住______人．（π取3.14估算）
(2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含π，材料包含底部）
【变式训练】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成
正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧
面和底面，则AB的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
考点14 圆锥侧面上最短路径问题
【典例精讲】（2025·广东梅州·一模）综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间
拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．【变式训练】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定
时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，
∠A的对边(底边) BC
即T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC
(1)T(90°)=__________，T(120°)=__________，T(A)的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈1.88，T(70°)≈1.15，T(35°)≈0.60）
【演练1】（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可
以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点 ， 为圆心、以 为半径作圆，两圆相交于
O O' (5,5) 5 A,B
两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．(1)写出A,B两点的坐标；
(2)求叶瓣①的周长；（结果保留π）
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【演练2】（2023·贵州黔西·中考真题）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为
AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为
．
【演练3】（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放
在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径
均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动
的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
【演练4】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O
在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE=2，点E，F分别在边AD，CD上，DE=DF (DE≥2)，扇
形OEF的弧交线段OB于点M，记为EM´ F．
(1)如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数；
(2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
(3)当∠EOF=150°时，求EM´ F的长．
【演练5】2025·山西·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B、C为
圆心、BC的长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、E．若BC=4，则图中阴影部分的面积
为（ ）A．2π−4 B．4π−4 C．8π−8 D．4π−8
基础夯实
1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O,A´B=B´C，连接BD，若
∠BDC=54°,⊙O的半径为5．则A´C的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧
A´B，圆弧的半径OA=40cm，圆心角∠AOB=90°，则AB=（ ）
A．40π cm B．20π cm C．10π cm D．30π cm
3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）圆心角为120°，半径为3的扇形弧长为（ ）
3 1
A．3π B．2π C． π D． π
2 2
4．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，AB为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转36°，使点A恰好
旋转到点C的位置．若AB=10，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2π B．2.5π C．5π D．10π
5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．
图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆
盘），通过测量得到AC=BD=18cm，OC=10cm，圆心角为60°，则图2中摆盘的面积是 cm2．
6．（25-26九年级上·广东广州·月考）一个扇形，半径为20cm，圆心角为90度，用它做成一个圆锥的
侧面，那么这个圆锥的底面半径为 cm．
7．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，在美术活动课上，小华用圆心角为120°、半径为
27cm的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是 ．
8．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，AB是半圆的直径，请用尺规作图法找到圆心O，并在A´B
上找一点C，连接OC，使得OC平分此半圆的面积．（不写作法，保留作图痕迹）9．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是
A(1,0),B(5,1),C(4,4)
(1)画出△ABC绕点P(0,1)逆时针旋转90°所得的△A B C ，写出点C 的坐标．
1 1 1 1
(2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长．
10．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)写出△ABC外接圆圆心的坐标________；
(2)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90度后得到△AB′C′，画出△AB′C′并写出此时点C′的坐标；
(3)求（2）中线段BC扫过的面积（保留π）．培优拔高
11．（25-26九年级上·北京·月考）如图，圆锥的底面圆半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是
（ ）
A．15π B．10π C．20π D．30π
12．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，⊙O是边长为6❑√3的等边三角形ABC的外接圆，D是
B´C的中点，连接BD、CD，以点D为圆心，以BD长为半径在⊙O内画弧，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A．4π B．6π C．12π D．18π
13．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，△AEF是等边三角形．
若 ，则 ⏜ 的长度为（ ）
AB=2
CE
π 2π ❑√2π ❑√2π
A． B． C． D．
3 3 3 6
14．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，∠DAB=110°，∠ABC=130°，两车轮的直径均为60cm，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇
形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（ ）
A．300πcm2 B．500πcm2 C．900πcm2 D．1200πcm2
15．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三
“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则
这个“莱洛三角形”的周长是 ．
16．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，在四边形ABCD中,AB ∥ CD,AD⊥AB，以D为圆
心,AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为 E，若AB=1,BC=3，则阴影部分的面积是 ．
17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将P´B沿着PB翻折，与
直径AB交于点C，B´C的中点为D．若已知AB=4❑√2，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动
路径长为 ．
18．（25-26九年级上·山东日照·期中）已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(5,4)，B(0,3)，C(2,1)．(1)画出与△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ，并写出点A 的坐标_______；
2 2 2 2 2 2 2
(3)在（2）的条件下，求旋转过程中线段CA扫过的面积（结果保留π）．
19．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，A是
⏜ 的中点，过点 作 ，与 的延长线交于点
C CE∥BD AB E．
BD
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若BD是⊙O的直径，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为______．20．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）综合与实践
学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪
扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的
圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）．
【初步探究】
（1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为90°的扇形EMN．
①请求出扇形EMN的面积．
②他打算用剪得的扇形EMN纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，
剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由．
【深入探究】
（2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：⊙O的半径仍是8，扇形EMN的圆心角∠MEN=90°．
点E在圆内，点M，N在⊙O上，⊙O与扇形EMN的公共弦MN=8❑√3．求图中点O与点E的距离，并计
算扇形EMN的面积．
【拓展探究】
（3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角∠MEN为120°的扇形EMN（点M，N在⊙O
上），请直接写出所剪扇形EMN的面积S的取值范围．
