文档内容
专题24.4 弧长和扇形面积
（知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）
【解析版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：弧长公式.............................................................2
知识点梳理02：扇形的面积公式.......................................................2
优选题型 考点讲练......................................................................2
考点1 求弧长.......................................................................2
考点2 求扇形半径...................................................................4
考点3 求圆心角.....................................................................7
考点4 求某点的弧形运动路径长度....................................................10
考点5 求扇形面积..................................................................12
考点6 求图形旋转后扫过的面积......................................................14
考点7 求弓形面积..................................................................17
考点8 求其他不规则图形的面积......................................................20
考点9 求圆锥侧面积................................................................22
考点10 求圆锥底面半径.............................................................24
考点11 求圆锥的高.................................................................26
考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角...................................................27
考点13 圆锥的实际问题.............................................................30
考点14 圆锥侧面上最短路径问题.....................................................32
中考真题 实战演练.....................................................................35
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................42
基础夯实..........................................................................42
培优拔高..........................................................................48知识点梳理01：弧长公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长
2πR πR n nπR
是 ，即 ，于是n°的圆心角所对的弧长为l= ⋅2πR= ，弧长为l的弧所对的圆心角
360 180 360 180
180l
为n= 度．
πR
知识点梳理02：扇形的面积公式
1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所
πR2 nπR2
以圆心角是1°的扇形面积是 ，于是圆心角为n°的扇形面积是S = ，还可以用弧长表示扇
360 扇形 360
1
形面积S = lR，其中l为扇形的弧长．
扇形 2
考点1 求弧长
【典例精讲】（25-26九年级上·北京·月考）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为 ．
2π 2
【答案】 / π
3 3
【思路引导】本题考查了旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算
即可．
【规范解答】解：∵ ⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为
360°÷6=60°，
60π×2 2π
∴点A经过的路径长为 = ，
180 3
2π
故答案为： ．
3
【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，
∠BCD=112.5°，则弧BD的长为 ．（结果保留π）
3
【答案】 π
2
【思路引导】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四
边形的性质以及弧长公式是解题的关键．
如图：连接OD，OB，根据圆的内接四边形的性质可求得∠A=67.5°，再根据圆周角定理可得的
∠BOD的度数，再运用弧长的公式求解即可．
【规范解答】解：如图：连接OD，OB，∵∠BCD=112．5° ABCD ⊙O
，四边形 内接于 ，
∴∠A=180°−∠BCD=67.5°
∴∠BOD=2∠A=135°，
∵⊙O的半径为2，
135⋅π⋅2 3
∴弧BD的长为 = π．
180 2
3
故答案为： π．
2
考点2 求扇形半径
【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，△AOB的顶点都在边长为1的正方形组成的网
格点上，A(−1,3)，B(−2,2)，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A OB ．
1 1
(1)画出旋转后的△A OB ；
1 1
(2)求旋转过程中点B经过的路径长．
【答案】(1)图见解析
(2)❑√2π
【思路引导】本题考查旋转的性质，弧长公式，扇形的半径求解，画出旋转之后的图形是解题的关键．
（1）根据题意先分别求出旋转后的各点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案；
（2）先利用勾股定理求出半径的长，再利用弧长公式即可得到本题答案．
【规范解答】（1）解：∵A(−1,3)，B(−2,2)，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A OB ，
1 1
如图，△A OB 即为所求作：
1 1∴A (3,1) B (2,2)
1 1
， ；
（2）解：如图所示：
∵B(−2,2)
，
∴OB=❑√22+22=2❑√2，
⏜ 90π×2❑√2
由图可知：BB 的长为 =❑√2π．
1 180
【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应
用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若圆柱的
高AB为2cm，底面直径BC为8cm．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长；（结果保留根号和π）
拓展迁移：（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8，底面圆半径为
2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长为2❑√1+4π2cm；
（3）蚂蚁爬行的最短距离为4❑√2
【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的
侧面展开图及弧长公式是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
1
（2）由题意易得AB=2cm，BC= ×8π=4π(cm)，然后根据勾股定理可进行求解；
2
nπ×8
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n°，由题意易得 =4π，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角
180
为90°的扇形，如解图，线段PP′的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解．
【规范解答】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短；
故答案为两点之间线段最短；
1
（2）剪开后，AB=2cm，BC= ×8π=4π(cm)，
2
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√22+(4π) 2=2❑√1+4π2 (cm)，
∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长为2❑√1+4π2 (cm)，
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n°，
∵圆锥的底面周长为2π×2=4π，
nπ×8
∴ =4π，
180
解得：n=90，
∴该圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，
如解图，线段PP′的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt△MOM′中，M M′=❑√OM2+OM′2=❑√82+82=8❑√2，
∵点P为OM的中点，
∴PP′是△OM M′的中位线，
1
∴PP′= M M′=4❑√2，
2
∴蚂蚁爬行的最短距离为4❑√2．
考点3 求圆心角
【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋
战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，
⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动2周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．
【答案】72
【思路引导】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧
长公式是解题的关键．
【规范解答】解：∵⊙M的周长为2πcm，
∴⊙M顺时针转动2周时，点P移动的弧长为4πcm，
nπ×10
∴4π= ，
180
解得：n=72．
故答案为：72．
【变式训练】（2025·广东珠海·一模）如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成
相应的任务．
x年x月x日星期日
错题积累Rt△ABC ∠C=90° BD ∠ABC AC AB
在 中， ， 平分 交 于点D，O是 上
一点，且⊙O经过B，D两点，分别交AB，BC于点E，F．
…
[自勉]
读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确．
——培根
任务：
(1)仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：⊙O与AC相切于点D；
5
(3)若OD=2，劣弧E´D的长为 π，求∠BDC度数．
9
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
(3)65°
【思路引导】本题考查尺规作图，圆的切线判定定理，弧长公式．
（1）先作∠ABC的角平分线BD，再作BD的垂直平分线交AB于O，最后以O为圆心，OD为半径画圆
即可；
（2）连接OD，由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD，又因为OB=OD，所以∠ABD=∠ODB，
即得∠CBD=∠ODB，OD∥BC，从而∠ODA=∠C=90°，OD⊥AC，即可得出结论；
5
（3）设∠AOD=x°，根据OD=2，劣弧E´D的长为 π，求出∠AOD=50°，进而得
9
1
∠OBD=∠ODB= ×50°=25°，再根据OD⊥AC得∠BDC=90°−∠ODB=65°．
2
【规范解答】（1）解：根据题目要求补全图形如下：（2）证明：连接OD，如图：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠C=90°，
∴OD⊥AC，
又∵OD是⊙O的半径，
∴⊙O与AC相切于点D；
（3）解：设∠AOD=x°，
5
∵OD=2，劣弧E´D的长为 π，
9
xπ×2 5
∴E´D= = π，
180 9
解得x=50，
∴∠AOD=50°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=50°，∵OB=OD，
1
∴∠OBD=∠ODB= ×50°=25°，
2
由（2）得OD⊥AC，
∴∠BDC=90°−∠ODB=65°．
考点4 求某点的弧形运动路径长度
【典例精讲】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，A(−4,0)，B(0,1)，C(−2,3)．
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A B C ；
2 2 2
(3)求出点A绕O点顺时针旋转90°后到A 所经过的路径长．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2π
【思路引导】本题考查了网格作图，熟练掌握中心对称性质，旋转性质，弧长公式，是解题的关键．
（1）可得A (4,0)，B (0,−1)，C (2,−3)，顺次首尾连接各点，即得；
1 1 1
（2）A (0,4)，B (1,0)，C (3,2)，顺次首尾连接各点，即得：
2 2 2
（3）可得旋转半径为OA=OA =4，旋转角为∠AOA =90°，根据弧长公式即可计算点A绕O点顺时
2 2
针旋转90°后到A 所经过的路径长．
2
【规范解答】（1）解：∵A(−4,0)，B(0,1)，C(−2,3)关于原点O的中心对称的点为：
A (4,0)，B (0,−1)，C (2,−3)，
1 1 1
∴顺次首尾连接各点，即得△A B C ．
1 1 1（2）解：∵A(−4,0)，B(0,1)，C(−2,3)绕原点O顺时针旋转90°的点为：A (0,4)，B (1,0)，C (3,2)，
2 2 2
∴顺次首尾连接各点，即得△A B C ．
2 2 2
（3）解：∵A(−4,0)，
∴OA=OA =4，
2
∵∠AOA =90°，
2
90π×4
∴点A绕O点顺时针旋转90°后到A 所经过的路径长为 =2π．
2 180
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，
△ABC是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）(1)在图1中画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形；
(2)求出在旋转的过程中，点C所经过的路径的长．
【答案】(1)见解析
(2)2π
【思路引导】本题考查作图-旋转变换，弧长公式；
（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B ，C 即可；
1 1
（2）利用弧长公式求解．
【规范解答】（1）解：如图所示即为所求，
90π×4
（2）解：点C所经过的路径的长为 =2π．
180
考点5 求扇形面积
【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，
∠D=60°且AB=6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E．则求阴影部分的面积为
3
【答案】 π
2【思路引导】连接OC，由OE⊥AC，则A´F=C´F，∠AEF=∠CEO=90°，AE=CE，所以
∠AOE=∠COF，由圆周角定理可得∠AOC=2∠D=120°，所以∠AOE=∠COF=60°，从而可
得△AOF是等边三角形，则有∠F=∠OAF=∠COE=60°，然后证明△AFE≌△COE(AAS)，故
有S =S ，则S =S ，然后代入即可求解．
△AFE △COE 阴影 扇形OCF
【规范解答】解：连接OC，如图，
∵OE⊥AC，
∴A´F=C´F，∠AEF=∠CEO=90°，AE=CE，
∴∠AOE=∠COF，
∵∠AOC=2∠D=120°，
∴∠AOE=∠COF=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠F=∠OAF=∠COE=60°，
在△AFE和△COE中，
{∠F=∠COE=60°
)
∠AEF=∠CEO ，
AE=CE
∴△AFE≌△COE(AAS)，
∴S =S ，
△AFE △COE
60×π×32 3
∴S =S = = π，
阴影 扇形OCF 360 2
3
故答案为： π．
2
【考点剖析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等边三角
形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式训练】（25-26九年级上·吉林·月考）已知一扇形所在圆的半径为R，弧长为l，面积为S，若扇
形的周长为40cm．(1)当R=4时，则扇形弧长l=______cm，扇形面积S=______cm2．
(2)直接写出弧长l与半径R的函数关系式______；
(3)当半径R为何值时，该扇形的面积S最大？最大面积为多少？写出求解过程．
【答案】(1)32，64
(2)l=40−2R；
(3)当R=10时，S有最大值，为100
【思路引导】此题考查扇形的面积公式，二次函数的性质，
（1）由题意得，2R+l=40，代入R=4求出扇形面积S；
（2）根据2R+l=40，即可得到函数关系式；
（3）列函数解析式，根据二次函数的性质解答即可
【规范解答】（1）解：由题意得，2R+l=40，
∵R=4，
∴l=32(cm)，
1 1
∴扇形面积S= lR= ×32×4=64(cm2)，
2 2
故答案为：32，64；
（2）∵2R+l=40，
∴l=40−2R，
故答案为：l=40−2R；
1
（3）∵S= lR，l=40−2R，
2
1
∴S= (40−2R)R=−(R−10) 2+100，
2
∵a=−1<0,
∴当R=10时，S有最大值，为100
考点6 求图形旋转后扫过的面积
【典例精讲】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个
单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)均在格点上．(1)将△ABC向下平移5个单位得到△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△A B C 绕点C 逆时针旋转90°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
(3)在（2）的条件下，求△A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
1 1 1
【答案】(1)
作图见解析，点A 的坐标为(5,−3)
1
(2)作图见解析，点A 的坐标为(0,0)
2
(3)8π+6
【思路引导】本题考查了网格作图，平移作图，旋转作图，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是作
出平移或旋转后的对应点．
（1）利用平移的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C ，再顺次连接即可；
1 1 1
（2）利用旋转的性质分别作出点A ，B 绕点C 逆时针旋转90°的对应点A ，B ，再顺次连接即可；
1 1 1 2 2
（3）先利用勾股定理求出C B 的长，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求解即可．
1 1
【规范解答】（1）解：如图，△A B C 即为所求，点A 的坐标为(5,−3)；
1 1 1 1
（2）解：如图，△A B C 即为所求，点A 的坐标为(0,0)；
2 2 1 2
（3）解：∵C B =❑√42+42=4❑√2，∠B C B =90°，
1 1 1 1 290π×(4❑√2) 2 1
∴△A B C 在旋转过程中扫过的面积为 + ×3×4=8π+6．
1 1 1
360 2
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上．
(1)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′（点B对应点B′），画出△AB′C′．
(2)请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O，并标明外心O的位置．
(3)设每个小方格的边长为1，求出线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
5
(3) π
2
【思路引导】本题考查作图−旋转变换、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题；
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）结合三角形的外接圆与外心的定义，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为
所求．
（3）利用勾股定理求出AB的长，再利用扇形的面积公式计算即可．
【规范解答】（1）解：如图，△AB′C′即为所求．
（2）解：如图，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求．
（3）解：由勾股定理得，AB=❑√32+12=❑√10，
90π×(❑√10) 2 5
∴线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为 = π．
360 2
考点7 求弓形面积
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横
截面如图所示，半径OA=12，水的最大深度CD为6cm．
(1)求水面宽AB的长；
(2)求阴影部分面积．
【答案】(1)AB=12❑√3cm
(2)(48π−36❑√3)cm2
【思路引导】（1）由题意，结合垂径定理可得OC⊥AB，DA=DB，在Rt△AOD中，由勾股定理求出
AD长即可得到答案；
1
（2）由图形可知，S =S −S ，在Rt△OAD中，OD= OA，则∠OAD=30°，从而得
阴影 扇形OAB △OAB 2
到∠AOB=120°，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案．
【规范解答】（1）解：如图所示：由题意，结合圆的对称性可知，OC⊥AB，DA=DB，
在Rt△AOD中，OA=12，OD=OC−CD=12−6=6，
由勾股定理可得AD=❑√OA2−OD2=❑√122−62=6❑√3，
∴AB=2AD=12❑√3cm；
（2）解：由（1）可知，AB=12❑√3cm，OD=6cm，
1
在Rt△OAD中，OD= OA，则∠OAD=30°，
2
∴∠AOD=60°，
则∠AOB=120°，
∴S =S −S
阴影 扇形OAB △OAB
120 1
= ×πOA2− AB⋅OD
360 2
120 1
= ×π×122− ×12❑√3×6
360 2
=(48π−36❑√3)cm2
．
【考点剖析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、
含30°直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，熟记圆的性质、勾股定理求线段长及
扇形面积公式是解决问题的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，BE是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点F
是EC的中点，连接FO并延长至点D，交⊙O于点A，连接BD，∠D=∠E．(1)证明：DB为⊙O的切线；
(2)若∠D=30°，AF=6．
①求BF的长；
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
8
(2)①2❑√7；②8❑√3− π
3
【思路引导】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定和性质
是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理得到OF∥CB，根据垂直的定义得到∠E+∠EOF=90°，于是得到
DB⊥OB，根据切线的判定得到DB为⊙O的切线；
1
（2）①设⊙O的半径为R，由∠D=30°，得到∠E=30°，根据BC= BE，由（1）知∠EFO=90°，
2
1 1 3
根据直角三角形的性质得到OF= BC= OE，AF= R=6，根据勾股定理得到BF=2❑√7；
2 2 2
②由①知，OB=4，根据直角三角形的性质得到BD=4❑√3，∠BOD=60°，根据三角形和扇形的面积公
式即可得到结论．
【规范解答】（1）证明：∵点F是EC的中点，点O是EB的中点，
∴OF∥CB，
∴OF⊥CE，
∴∠E+∠EOF=90°，
∵∠D=∠E，∠BOD=∠EOF，
∴∠D+∠BOD=90°，
∴DB⊥OB，
∴DB为⊙O的切线；
（2）解：①设⊙O的半径为R，
∵∠D=30°，
∴∠E=30°，
由（1）知∠EFO=90°，
1 1
∴OF= OE= R，
2 2
3
∴AF= R=6，
2∴R=4，EF=❑√3OF=2❑√3=CF，
1
∴BC= BE=4，
2
∴BF=❑√CF2+BC2=❑√ (2❑√3) 2+42=2❑√7；
②由①知，OB=4，
∴BD=4❑√3，∠BOD=60°，
1 60⋅π×42 8
∴阴影部分的面积=ΔBOD的面积−扇形AOB的面积= OB⋅BD− =8❑√3− π．
2 360 3
考点8 求其他不规则图形的面积
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，
点D是BC上一点，以CD为直径作⊙O交AC中点于E，连接BE．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE=❑√3，BD=1，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解
❑√3 π
(2) −
2 6
【思路引导】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的
关键．
（1）连接OE,DE，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论．
（2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
【规范解答】（1）证明：连接OE,DE，
∵∠ABC=90°,∠A=60°,E是AC的中点，1
∴BE=AE=CE= AC,∠C=30°，
2
∴∠A=∠ABE=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C=30°，
∵∠AEB=180°−60°−60°=60°，
∴∠BEO=180°−∠AEB−∠OEC=90°，
∴OE⊥BE，
∵OE是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知∠DOE=∠OEC+∠C=60°，∠BEO=90°，
∴∠OBE=30°，
∴OB=2OE，
设⊙O的半径为R，
∴1+R=2R，
∴R=1，
∵BE=❑√3，
1 60⋅π⋅12 ❑√3 π
∴阴影部分的面积=三角形OBE的面积−扇形ODE的面积= ×1×❑√3− = − ．
2 360 2 6
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，
对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是2❑√3，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】2π
【思路引导】本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，根据四边形OABC是菱形，得BC=OC=OB，
即△COB是等边三角形，根据S =S ，所以图中阴影部分的面积=S ．
△ADB △OCD 扇形COB
【规范解答】解：∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=OB，
∴△COB是等边三角形，∴∠COB=60°，
∵ S =S ，
△ADB △OCD
60π×(2❑√3) 2
∴图中阴影部分的面积=S = =2π．
扇形COB 360
故答案为：2π．
考点9 求圆锥侧面积
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠
绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面
半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
(1)这顶锥形草帽的高为______cm，侧面积为______cm2．（结果保留π）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
【答案】(1)20，375π
(2)216°
【思路引导】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、
勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键．
1
（1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式 lr代值计算即可得到面积；
2
（2）由（1）知侧面积为375πcm2，设所需扇形卡纸的圆心角的度数n°，列方程求解即可得到答案．
【规范解答】（1）解：如图所示：
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，OC=15cm，BC=25cm，则由勾股定理可得BO=❑√BC2−OC2=❑√252−152=20(cm)；
圆锥底面圆的周长为2π×15=30π(cm)，
1
∴圆锥侧面积为
×30π×25=375π(cm2)；
2
故答案为：20，375π；
（2）解：由（1）知侧面积为375πcm2，
设所需扇形卡纸的圆心角的度数n°，
n
∴
×π×252=375π，
360
解得n=216，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216°．
【变式训练】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形AOB的半径为10，圆心角为90°，
点C是劣弧AB上的一个动点，连接AC，BC，OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，连接DE．
(1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留π）
(2)求DE的长度；
(3)直接写出△ODE的外接圆半径R的值．
【答案】(1)25π
(2)5❑√2
(3)5
【思路引导】此题考查了圆锥的侧面积、垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、三角形的外接圆等知
识，添加适当的辅助线是关键．
（1）根据圆锥的侧面积即为扇形的面积即可求出答案；
（2）利用勾股定理求出AB，再根据垂径定理得到DE是△ABC的中位线，即可求出答案；
（3）证明O,E,C,D在以OC为直径的圆上，即可求出△ODE的外接圆半径R的值．
90π×102
【规范解答】（1）解：由题意可得，圆锥的侧面积是 =25π
360
（2）连接AB，∵OA=BO=10,∠AOB=90°，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√102+102=10❑√2，
∵OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，
∴AD=CD,CE=BE，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AB=5❑√2；
2
（3）连接OC，
∵OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴O,E,C,D在以OC为直径的圆上，
1 1
∴△ODE的外接圆半径R的值为 OC= ×10=5．
2 2
考点10 求圆锥底面半径
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为8❑√3cm的等边三角形中剪一个最大的
扇形ADE，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ）
A．1cm B．❑√3cm C．2cm D．2❑√3cm
【答案】C
【思路引导】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是
解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径．
【规范解答】解：如图，连接AF，
则AF⊥BC，BF=CF=4❑√3cm，
∴AF=❑√AB2−BF2=❑√(8❑√3) 2 −(4❑√3) 2=12(cm)，
设圆锥底面半径为rcm，
60π×12
∴ =2πr，
180
∴r=2(cm)．
故选：C．
【变式训练】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个
扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心O 与圆锥顶点都在正方形的同一条对角
2
线上），测量后得知，圆锥母线长16cm，则这张正方形纸片的边长是 cm．
【答案】(10❑√2+4)
【思路引导】本题考查了弧长公式，正方形的性质，勾股定理，设圆锥底面圆O 的半径为rcm，根据弧长
2
公式求出圆锥底面圆的半径r=4，即CE=4，进而求出正方形的对角线长AC=20+4❑√2，然后通过勾股
定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【规范解答】解：如图，设圆锥底面圆O 的半径为rcm，
290π×16
由题意2πr= ，
180
∴r=4，即CE=4，
∴O C=4❑√2，
2
∴AC=20+4❑√2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°,
∴AB2+BC2=AC2，
❑√2 ❑√2
∴BC= AC= (20+4❑√2)=10❑√2+4(cm)，
2 2
故答案为：(10❑√2+4)．
考点11 求圆锥的高
【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，
已知圆锥的母线长为13cm，扇形的弧长是10πcm，那么这个圆锥的高是 ．
【答案】12cm
【思路引导】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是rcm，根据扇形的弧长可求出
圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解．
【规范解答】解：∵扇形的弧长是10πcm，
∴圆锥的底面周长是10πcm，
设圆锥底面圆的半径是rcm，
∴10π=2πr，解得：r=5cm∴圆锥的高是❑√132−52=12cm
故答案为：12cm．
【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，扇形ODE的半径为3，边长为❑√3的菱形OABC的
顶点A，C，B分别在OD，OE，D´E上．若把扇形ODE围成一个圆锥，求此圆锥的高．
❑√35
【答案】圆锥的高为
2
⏜
【思路引导】AC垂直且平分 的长度等于其所围成圆锥的底面周长，圆锥的高的平方等于母线与
OB，DE
底面半径的平方差．
【规范解答】解：如图，连接OB，AC，相交于点F．
在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠AOB．
∵扇形ODE的半径为3，菱形OABC的边长为❑√3，
∴OB=3，OC=❑√3，
3
∴FO=BF= ，
2
❑√3
∴CF=❑√OC2−FO2=
，
2
∴AC=2CF=❑√3，
∴OC=OA=AC，即△OAC为等边三角形，则∠COA=60°，
60π×3
∴D´E的长为 =π．
180
1
设圆锥的底面圆的半径为r，则底面圆的周长为2πr=π，解得r= ．
2
又∵圆锥的母线长为3，∴圆锥的高为❑
√
32−
(1) 2
=
❑√35
．
2 2
【考点剖析】本题考查了菱形的性质、扇形弧长公式、圆锥的高与母线和底面半径的关系，掌握扇形弧长
等于圆锥底面周长，圆锥的高、底面半径与母线满足勾股定理是解题的关键.
考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）圆锥的母线长为12cm，底面圆的半径为5cm．
(1)侧面展开图的圆心角度数是 ．
(2)如图①，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，A´C的长为4πcm，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路
径是多少？（结果保留根号）．
【答案】(1)150°
(2)6❑√3cm
【思路引导】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图
的弧长是解题的关键．
nπR
（1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式l= 即可求出圆心角的度数；
180
（2）如图2，连接OA,OB,AC，先证明△OAC为等边三角形，再证AB⊥OC，最后根据勾股定理求得
AB即可．
【规范解答】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为n°，
∵底面圆的半径为5cm，
∴侧面展开图的弧长=2π×5=10πcm，
∵OC=12cm，
nπ×12
∴ =10π，解得：n=150，
180
故答案为：150°；
（2）解：如图2，连接OA,AB,AC，则线段AB的长为蚂蚁爬行的最短距离，∵A´C 4πcm OC=12cm ∠AOC=m°
的长为 ， ，令 ，
mπ×12
∴4π= ，解得m=60，
180
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，即OA=AC=OC，
∵OB=BC，
∴AB⊥OC，
1
在Rt△AOB中，∠ABO=90°,OB= OC=6cm,OA=12cm，
2
∴AB=❑√OA2−OB2=❑√122−62=6❑√3cm
即蚂蚁爬行的最短距离为6❑√3cm．
【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，扇形OBC是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线
OB=l，底面圆的半径MB=r．
(1)当l=2r时，求∠BOC的度数；
(2)当l=3r，l=4r时，分别求∠BOC的度数；（直接写出结果）
(3)当l=nr（n为大于1的整数）时，猜想∠BOC的度数（直接写出结果）．
【答案】(1)180度
(2)120度；90度
360°
(3)
n
【思路引导】本题主要考查扇形弧长公式．注意对弧长公式的运用，注意区分公式中的各个量之间的关系．
（1）运用弧长公式计算即可；（2）运用弧长公式计算即可；
360°
（3）由（1）、（2）可得规律为∠BOC= ．
n
xπl
【规范解答】（1）解：设∠BOC的度数为x°，则2πr= ，
180
∵l=2r，
∴x=180°，即∠BOC=180°．
xπl
（2）解：设∠BOC的度数为x°，则2πr= ，
180
∵l=3r，
3xπr
∴2πr= ，
180
∴x=120°，
即∠BOC=120°，
4xπr
同理：当l=4r时，2πr= ，
180
∴x=90°，
∴∠BOC=90°；
nxπr
（3）解：由（2）可得：2πr= ，
180
360°
∴x= ，
n
360°
∴∠BOC= ．
n
考点13 圆锥的实际问题
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型
圆锥形帐篷，它的底面直径是6m，高是4m．
(1)按每人的活动面积是3m2计算，该帐篷估计最多可住______人．（π取3.14估算）
(2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含π，材料包含底部）
【答案】(1)9
(2)至少需要24π平方米的涤纶布
【思路引导】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键．
（1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是3m2进行计算即可；
（2）根据题意算出底面积和侧面积即可．
【规范解答】（1）解：∵底面直径为6m，
6
∴半径r= =3m，
2
∴底面积为S=πr2
=3.14×32
=28.26m2，
28.26÷3=9.42≈9（人），
∴该帐篷估计最多可住9人，
故答案为：9；
（2）解：∵圆锥高h=4m，半径r=3m，
根据勾股定理得，母线长l=❑√r2+h2 =❑√32+42 =5(m)，
∴侧面积为S =πrl =π×3×5 =15π(m2)
1
∴底面积为S =πr2 =π×32 =9π(m2)，
2
S=S +S =15π+9π =24π(m2)，
1 2
答：至少需要24π平方米的涤纶布．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成
正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧
面和底面，则AB的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C
【思路引导】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等
于底面圆的周长．设AB的长为x cm，进而得到DE=(12−x) cm，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长
建立等式求解，即可解题．
【规范解答】解：设AB的长为x cm，
∵四边形ABFE为正方形，
则AE=x cm，∠B=90°，
∵ AD=12cm，
∴ DE=(12−x) cm，
∵扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，
90πx
∴ =π(12−x)，
180
解得x=8 cm，
故选：C．
考点14 圆锥侧面上最短路径问题
【典例精讲】（2025·广东梅州·一模）综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间
拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】8❑√5cm【思路引导】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的
关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理即可求解．
【规范解答】解：∵AB=8cm，
∴r=4cm．
1 nπl2
∵ ×2πr×l= ，
2 360
360r 360×4
∴n= = =180．
l 8
∴将圆锥侧面展开后得到圆心角为180∘的扇形，如下图所示：
1
由图可知，∠A′PC= ×180∘=90∘
．
2
∵PA′=PB=8cm，
1
∴PC= PB=4cm．
2
在Rt△A′PC中，由勾股定理，得A′C= ❑√PA'2+PC2=❑√82+42=4❑√5(cm)．
∴彩带长度的最小值为2A′C=8❑√5cm．
【变式训练】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定
时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，
∠A的对边(底边) BC
即T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC(1)T(90°)=__________，T(120°)=__________，T(A)的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈1.88，T(70°)≈1.15，T(35°)≈0.60）
【答案】(1)❑√2，❑√3，0
