专题24.4 弧长和扇形面积
（知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）
【解析版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：弧长公式.............................................................2
知识点梳理02：扇形的面积公式.......................................................2
优选题型 考点讲练......................................................................2
考点1 求弧长.......................................................................2
考点2 求扇形半径...................................................................4
考点3 求圆心角.....................................................................7
考点4 求某点的弧形运动路径长度....................................................10
考点5 求扇形面积..................................................................12
考点6 求图形旋转后扫过的面积......................................................14
考点7 求弓形面积..................................................................17
考点8 求其他不规则图形的面积......................................................20
考点9 求圆锥侧面积................................................................22
考点10 求圆锥底面半径.............................................................24
考点11 求圆锥的高.................................................................26
考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角...................................................27
考点13 圆锥的实际问题.............................................................30
考点14 圆锥侧面上最短路径问题.....................................................32
中考真题 实战演练.....................................................................35
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................42
基础夯实..........................................................................42
培优拔高..........................................................................48知识点梳理01：弧长公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长
2πR πR n nπR
是 ，即 ，于是n°的圆心角所对的弧长为l= ⋅2πR= ，弧长为l的弧所对的圆心角
360 180 360 180
180l
为n= 度．
πR
知识点梳理02：扇形的面积公式
1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所
πR2 nπR2
以圆心角是1°的扇形面积是 ，于是圆心角为n°的扇形面积是S = ，还可以用弧长表示扇
360 扇形 360
1
形面积S = lR，其中l为扇形的弧长．
扇形 2
考点1 求弧长
【典例精讲】（25-26九年级上·北京·月考）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为 ．
2π 2
【答案】 / π
3 3
【思路引导】本题考查了旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算
即可．
【规范解答】解：∵ ⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为
360°÷6=60°，
60π×2 2π
∴点A经过的路径长为 = ，
180 3
2π
故答案为： ．
3
【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，
∠BCD=112.5°，则弧BD的长为 ．（结果保留π）
3
【答案】 π
2
【思路引导】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四
边形的性质以及弧长公式是解题的关键．
如图：连接OD，OB，根据圆的内接四边形的性质可求得∠A=67.5°，再根据圆周角定理可得的
∠BOD的度数，再运用弧长的公式求解即可．
【规范解答】解：如图：连接OD，OB，∵∠BCD=112．5° ABCD ⊙O
，四边形 内接于 ，
∴∠A=180°−∠BCD=67.5°
∴∠BOD=2∠A=135°，
∵⊙O的半径为2，
135⋅π⋅2 3
∴弧BD的长为 = π．
180 2
3
故答案为： π．
2
考点2 求扇形半径
【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，△AOB的顶点都在边长为1的正方形组成的网
格点上，A(−1,3)，B(−2,2)，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A OB ．
1 1
(1)画出旋转后的△A OB ；
1 1
(2)求旋转过程中点B经过的路径长．
【答案】(1)图见解析
(2)❑√2π
【思路引导】本题考查旋转的性质，弧长公式，扇形的半径求解，画出旋转之后的图形是解题的关键．
（1）根据题意先分别求出旋转后的各点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案；
（2）先利用勾股定理求出半径的长，再利用弧长公式即可得到本题答案．
【规范解答】（1）解：∵A(−1,3)，B(−2,2)，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A OB ，
1 1
如图，△A OB 即为所求作：
1 1∴A (3,1) B (2,2)
1 1
， ；
（2）解：如图所示：
∵B(−2,2)
，
∴OB=❑√22+22=2❑√2，
⏜ 90π×2❑√2
由图可知：BB 的长为 =❑√2π．
1 180
【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应
用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若圆柱的
高AB为2cm，底面直径BC为8cm．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长；（结果保留根号和π）
拓展迁移：（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8，底面圆半径为
2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长为2❑√1+4π2cm；
（3）蚂蚁爬行的最短距离为4❑√2
【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的
侧面展开图及弧长公式是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
1
（2）由题意易得AB=2cm，BC= ×8π=4π(cm)，然后根据勾股定理可进行求解；
2
nπ×8
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n°，由题意易得 =4π，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角
180
为90°的扇形，如解图，线段PP′的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解．
【规范解答】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短；
故答案为两点之间线段最短；
1
（2）剪开后，AB=2cm，BC= ×8π=4π(cm)，
2
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√22+(4π) 2=2❑√1+4π2 (cm)，
∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长为2❑√1+4π2 (cm)，
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n°，
∵圆锥的底面周长为2π×2=4π，
nπ×8
∴ =4π，
180
解得：n=90，
∴该圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，
如解图，线段PP′的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt△MOM′中，M M′=❑√OM2+OM′2=❑√82+82=8❑√2，
∵点P为OM的中点，
∴PP′是△OM M′的中位线，
1
∴PP′= M M′=4❑√2，
2
∴蚂蚁爬行的最短距离为4❑√2．
考点3 求圆心角
【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋
战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，
⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动2周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．
【答案】72
【思路引导】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧
长公式是解题的关键．
【规范解答】解：∵⊙M的周长为2πcm，
∴⊙M顺时针转动2周时，点P移动的弧长为4πcm，
nπ×10
∴4π= ，
180
解得：n=72．
故答案为：72．
【变式训练】（2025·广东珠海·一模）如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成
相应的任务．
x年x月x日星期日
错题积累Rt△ABC ∠C=90° BD ∠ABC AC AB
在 中， ， 平分 交 于点D，O是 上
一点，且⊙O经过B，D两点，分别交AB，BC于点E，F．
…
[自勉]
读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确．
——培根
任务：
(1)仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：⊙O与AC相切于点D；
5
(3)若OD=2，劣弧E´D的长为 π，求∠BDC度数．
9
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
(3)65°
【思路引导】本题考查尺规作图，圆的切线判定定理，弧长公式．
（1）先作∠ABC的角平分线BD，再作BD的垂直平分线交AB于O，最后以O为圆心，OD为半径画圆
即可；
（2）连接OD，由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD，又因为OB=OD，所以∠ABD=∠ODB，
即得∠CBD=∠ODB，OD∥BC，从而∠ODA=∠C=90°，OD⊥AC，即可得出结论；
5
（3）设∠AOD=x°，根据OD=2，劣弧E´D的长为 π，求出∠AOD=50°，进而得
9
1
∠OBD=∠ODB= ×50°=25°，再根据OD⊥AC得∠BDC=90°−∠ODB=65°．
2
【规范解答】（1）解：根据题目要求补全图形如下：（2）证明：连接OD，如图：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠C=90°，
∴OD⊥AC，
又∵OD是⊙O的半径，
∴⊙O与AC相切于点D；
（3）解：设∠AOD=x°，
5
∵OD=2，劣弧E´D的长为 π，
9
xπ×2 5
∴E´D= = π，
180 9
解得x=50，
∴∠AOD=50°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=50°，∵OB=OD，
1
∴∠OBD=∠ODB= ×50°=25°，
2
由（2）得OD⊥AC，
∴∠BDC=90°−∠ODB=65°．
考点4 求某点的弧形运动路径长度
【典例精讲】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，A(−4,0)，B(0,1)，C(−2,3)．
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A B C ；
2 2 2
(3)求出点A绕O点顺时针旋转90°后到A 所经过的路径长．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2π
【思路引导】本题考查了网格作图，熟练掌握中心对称性质，旋转性质，弧长公式，是解题的关键．
（1）可得A (4,0)，B (0,−1)，C (2,−3)，顺次首尾连接各点，即得；
1 1 1
（2）A (0,4)，B (1,0)，C (3,2)，顺次首尾连接各点，即得：
2 2 2
（3）可得旋转半径为OA=OA =4，旋转角为∠AOA =90°，根据弧长公式即可计算点A绕O点顺时
2 2
针旋转90°后到A 所经过的路径长．
2
【规范解答】（1）解：∵A(−4,0)，B(0,1)，C(−2,3)关于原点O的中心对称的点为：
A (4,0)，B (0,−1)，C (2,−3)，
1 1 1
∴顺次首尾连接各点，即得△A B C ．
1 1 1（2）解：∵A(−4,0)，B(0,1)，C(−2,3)绕原点O顺时针旋转90°的点为：A (0,4)，B (1,0)，C (3,2)，
2 2 2
∴顺次首尾连接各点，即得△A B C ．
2 2 2
（3）解：∵A(−4,0)，
∴OA=OA =4，
2
∵∠AOA =90°，
2
90π×4
∴点A绕O点顺时针旋转90°后到A 所经过的路径长为 =2π．
2 180
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，
△ABC是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）(1)在图1中画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形；
(2)求出在旋转的过程中，点C所经过的路径的长．
【答案】(1)见解析
(2)2π
【思路引导】本题考查作图-旋转变换，弧长公式；
（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B ，C 即可；
1 1
（2）利用弧长公式求解．
【规范解答】（1）解：如图所示即为所求，
90π×4
（2）解：点C所经过的路径的长为 =2π．
180
考点5 求扇形面积
【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，
∠D=60°且AB=6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E．则求阴影部分的面积为
3
【答案】 π
2【思路引导】连接OC，由OE⊥AC，则A´F=C´F，∠AEF=∠CEO=90°，AE=CE，所以
∠AOE=∠COF，由圆周角定理可得∠AOC=2∠D=120°，所以∠AOE=∠COF=60°，从而可
得△AOF是等边三角形，则有∠F=∠OAF=∠COE=60°，然后证明△AFE≌△COE(AAS)，故
有S =S ，则S =S ，然后代入即可求解．
△AFE △COE 阴影 扇形OCF
【规范解答】解：连接OC，如图，
∵OE⊥AC，
∴A´F=C´F，∠AEF=∠CEO=90°，AE=CE，
∴∠AOE=∠COF，
∵∠AOC=2∠D=120°，
∴∠AOE=∠COF=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠F=∠OAF=∠COE=60°，
在△AFE和△COE中，
{∠F=∠COE=60°
)
∠AEF=∠CEO ，
AE=CE
∴△AFE≌△COE(AAS)，
∴S =S ，
△AFE △COE
60×π×32 3
∴S =S = = π，
阴影 扇形OCF 360 2
3
故答案为： π．
2
【考点剖析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等边三角
形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式训练】（25-26九年级上·吉林·月考）已知一扇形所在圆的半径为R，弧长为l，面积为S，若扇
形的周长为40cm．(1)当R=4时，则扇形弧长l=______cm，扇形面积S=______cm2．
(2)直接写出弧长l与半径R的函数关系式______；
(3)当半径R为何值时，该扇形的面积S最大？最大面积为多少？写出求解过程．
【答案】(1)32，64
(2)l=40−2R；
(3)当R=10时，S有最大值，为100
【思路引导】此题考查扇形的面积公式，二次函数的性质，
（1）由题意得，2R+l=40，代入R=4求出扇形面积S；
（2）根据2R+l=40，即可得到函数关系式；
（3）列函数解析式，根据二次函数的性质解答即可
【规范解答】（1）解：由题意得，2R+l=40，
∵R=4，
∴l=32(cm)，
1 1
∴扇形面积S= lR= ×32×4=64(cm2)，
2 2
故答案为：32，64；
（2）∵2R+l=40，
∴l=40−2R，
故答案为：l=40−2R；
1
（3）∵S= lR，l=40−2R，
2
1
∴S= (40−2R)R=−(R−10) 2+100，
2
∵a=−1<0,
∴当R=10时，S有最大值，为100
考点6 求图形旋转后扫过的面积
【典例精讲】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个
单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)均在格点上．(1)将△ABC向下平移5个单位得到△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△A B C 绕点C 逆时针旋转90°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
(3)在（2）的条件下，求△A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
1 1 1
【答案】(1)
作图见解析，点A 的坐标为(5,−3)
1
(2)作图见解析，点A 的坐标为(0,0)
2
(3)8π+6
【思路引导】本题考查了网格作图，平移作图，旋转作图，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是作
出平移或旋转后的对应点．
（1）利用平移的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C ，再顺次连接即可；
1 1 1
（2）利用旋转的性质分别作出点A ，B 绕点C 逆时针旋转90°的对应点A ，B ，再顺次连接即可；
1 1 1 2 2
（3）先利用勾股定理求出C B 的长，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求解即可．
1 1
【规范解答】（1）解：如图，△A B C 即为所求，点A 的坐标为(5,−3)；
1 1 1 1
（2）解：如图，△A B C 即为所求，点A 的坐标为(0,0)；
2 2 1 2
（3）解：∵C B =❑√42+42=4❑√2，∠B C B =90°，
1 1 1 1 290π×(4❑√2) 2 1
∴△A B C 在旋转过程中扫过的面积为 + ×3×4=8π+6．
1 1 1
360 2
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上．
(1)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′（点B对应点B′），画出△AB′C′．
(2)请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O，并标明外心O的位置．
(3)设每个小方格的边长为1，求出线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
5
(3) π
2
【思路引导】本题考查作图−旋转变换、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题；
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）结合三角形的外接圆与外心的定义，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为
所求．
（3）利用勾股定理求出AB的长，再利用扇形的面积公式计算即可．
【规范解答】（1）解：如图，△AB′C′即为所求．
（2）解：如图，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求．
（3）解：由勾股定理得，AB=❑√32+12=❑√10，
90π×(❑√10) 2 5
∴线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为 = π．
360 2
考点7 求弓形面积
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横
截面如图所示，半径OA=12，水的最大深度CD为6cm．
(1)求水面宽AB的长；
(2)求阴影部分面积．
【答案】(1)AB=12❑√3cm
(2)(48π−36❑√3)cm2
【思路引导】（1）由题意，结合垂径定理可得OC⊥AB，DA=DB，在Rt△AOD中，由勾股定理求出
AD长即可得到答案；
1
（2）由图形可知，S =S −S ，在Rt△OAD中，OD= OA，则∠OAD=30°，从而得
阴影 扇形OAB △OAB 2
到∠AOB=120°，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案．
【规范解答】（1）解：如图所示：由题意，结合圆的对称性可知，OC⊥AB，DA=DB，
在Rt△AOD中，OA=12，OD=OC−CD=12−6=6，
由勾股定理可得AD=❑√OA2−OD2=❑√122−62=6❑√3，
∴AB=2AD=12❑√3cm；
（2）解：由（1）可知，AB=12❑√3cm，OD=6cm，
1
在Rt△OAD中，OD= OA，则∠OAD=30°，
2
∴∠AOD=60°，
则∠AOB=120°，
∴S =S −S
阴影 扇形OAB △OAB
120 1
= ×πOA2− AB⋅OD
360 2
120 1
= ×π×122− ×12❑√3×6
360 2
=(48π−36❑√3)cm2
．
【考点剖析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、
含30°直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，熟记圆的性质、勾股定理求线段长及
扇形面积公式是解决问题的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，BE是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点F
是EC的中点，连接FO并延长至点D，交⊙O于点A，连接BD，∠D=∠E．(1)证明：DB为⊙O的切线；
(2)若∠D=30°，AF=6．
①求BF的长；
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
8
(2)①2❑√7；②8❑√3− π
3
【思路引导】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定和性质
是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理得到OF∥CB，根据垂直的定义得到∠E+∠EOF=90°，于是得到
DB⊥OB，根据切线的判定得到DB为⊙O的切线；
1
（2）①设⊙O的半径为R，由∠D=30°，得到∠E=30°，根据BC= BE，由（1）知∠EFO=90°，
2
1 1 3
根据直角三角形的性质得到OF= BC= OE，AF= R=6，根据勾股定理得到BF=2❑√7；
2 2 2
②由①知，OB=4，根据直角三角形的性质得到BD=4❑√3，∠BOD=60°，根据三角形和扇形的面积公
式即可得到结论．
【规范解答】（1）证明：∵点F是EC的中点，点O是EB的中点，
∴OF∥CB，
∴OF⊥CE，
∴∠E+∠EOF=90°，
∵∠D=∠E，∠BOD=∠EOF，
∴∠D+∠BOD=90°，
∴DB⊥OB，
∴DB为⊙O的切线；
（2）解：①设⊙O的半径为R，
∵∠D=30°，
∴∠E=30°，
由（1）知∠EFO=90°，
1 1
∴OF= OE= R，
2 2
3
∴AF= R=6，
2∴R=4，EF=❑√3OF=2❑√3=CF，
1
∴BC= BE=4，
2
∴BF=❑√CF2+BC2=❑√ (2❑√3) 2+42=2❑√7；
②由①知，OB=4，
∴BD=4❑√3，∠BOD=60°，
1 60⋅π×42 8
∴阴影部分的面积=ΔBOD的面积−扇形AOB的面积= OB⋅BD− =8❑√3− π．
2 360 3
考点8 求其他不规则图形的面积
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，
点D是BC上一点，以CD为直径作⊙O交AC中点于E，连接BE．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE=❑√3，BD=1，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解
❑√3 π
(2) −
2 6
【思路引导】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的
关键．
（1）连接OE,DE，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论．
（2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
【规范解答】（1）证明：连接OE,DE，
∵∠ABC=90°,∠A=60°,E是AC的中点，1
∴BE=AE=CE= AC,∠C=30°，
2
∴∠A=∠ABE=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C=30°，
∵∠AEB=180°−60°−60°=60°，
∴∠BEO=180°−∠AEB−∠OEC=90°，
∴OE⊥BE，
∵OE是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知∠DOE=∠OEC+∠C=60°，∠BEO=90°，
∴∠OBE=30°，
∴OB=2OE，
设⊙O的半径为R，
∴1+R=2R，
∴R=1，
∵BE=❑√3，
1 60⋅π⋅12 ❑√3 π
∴阴影部分的面积=三角形OBE的面积−扇形ODE的面积= ×1×❑√3− = − ．
2 360 2 6
【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，
对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是2❑√3，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】2π
【思路引导】本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，根据四边形OABC是菱形，得BC=OC=OB，
即△COB是等边三角形，根据S =S ，所以图中阴影部分的面积=S ．
△ADB △OCD 扇形COB
【规范解答】解：∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=OB，
∴△COB是等边三角形，∴∠COB=60°，
∵ S =S ，
△ADB △OCD
60π×(2❑√3) 2
∴图中阴影部分的面积=S = =2π．
扇形COB 360
故答案为：2π．
考点9 求圆锥侧面积
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠
绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面
半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
(1)这顶锥形草帽的高为______cm，侧面积为______cm2．（结果保留π）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
【答案】(1)20，375π
(2)216°
【思路引导】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、
勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键．
1
（1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式 lr代值计算即可得到面积；
2
（2）由（1）知侧面积为375πcm2，设所需扇形卡纸的圆心角的度数n°，列方程求解即可得到答案．
【规范解答】（1）解：如图所示：
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，OC=15cm，BC=25cm，则由勾股定理可得BO=❑√BC2−OC2=❑√252−152=20(cm)；
圆锥底面圆的周长为2π×15=30π(cm)，
1
∴圆锥侧面积为
×30π×25=375π(cm2)；
2
故答案为：20，375π；
（2）解：由（1）知侧面积为375πcm2，
设所需扇形卡纸的圆心角的度数n°，
n
∴
×π×252=375π，
360
解得n=216，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216°．
【变式训练】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形AOB的半径为10，圆心角为90°，
点C是劣弧AB上的一个动点，连接AC，BC，OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，连接DE．
(1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留π）
(2)求DE的长度；
(3)直接写出△ODE的外接圆半径R的值．
【答案】(1)25π
(2)5❑√2
(3)5
【思路引导】此题考查了圆锥的侧面积、垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、三角形的外接圆等知
识，添加适当的辅助线是关键．
（1）根据圆锥的侧面积即为扇形的面积即可求出答案；
（2）利用勾股定理求出AB，再根据垂径定理得到DE是△ABC的中位线，即可求出答案；
（3）证明O,E,C,D在以OC为直径的圆上，即可求出△ODE的外接圆半径R的值．
90π×102
【规范解答】（1）解：由题意可得，圆锥的侧面积是 =25π
360
（2）连接AB，∵OA=BO=10,∠AOB=90°，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√102+102=10❑√2，
∵OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，
∴AD=CD,CE=BE，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AB=5❑√2；
2
（3）连接OC，
∵OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴O,E,C,D在以OC为直径的圆上，
1 1
∴△ODE的外接圆半径R的值为 OC= ×10=5．
2 2
考点10 求圆锥底面半径
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为8❑√3cm的等边三角形中剪一个最大的
扇形ADE，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ）
A．1cm B．❑√3cm C．2cm D．2❑√3cm
【答案】C
【思路引导】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是
解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径．
【规范解答】解：如图，连接AF，
则AF⊥BC，BF=CF=4❑√3cm，
∴AF=❑√AB2−BF2=❑√(8❑√3) 2 −(4❑√3) 2=12(cm)，
设圆锥底面半径为rcm，
60π×12
∴ =2πr，
180
∴r=2(cm)．
故选：C．
【变式训练】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个
扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心O 与圆锥顶点都在正方形的同一条对角
2
线上），测量后得知，圆锥母线长16cm，则这张正方形纸片的边长是 cm．
【答案】(10❑√2+4)
【思路引导】本题考查了弧长公式，正方形的性质，勾股定理，设圆锥底面圆O 的半径为rcm，根据弧长
2
公式求出圆锥底面圆的半径r=4，即CE=4，进而求出正方形的对角线长AC=20+4❑√2，然后通过勾股
定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【规范解答】解：如图，设圆锥底面圆O 的半径为rcm，
290π×16
由题意2πr= ，
180
∴r=4，即CE=4，
∴O C=4❑√2，
2
∴AC=20+4❑√2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°,
∴AB2+BC2=AC2，
❑√2 ❑√2
∴BC= AC= (20+4❑√2)=10❑√2+4(cm)，
2 2
故答案为：(10❑√2+4)．
考点11 求圆锥的高
【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，
已知圆锥的母线长为13cm，扇形的弧长是10πcm，那么这个圆锥的高是 ．
【答案】12cm
【思路引导】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是rcm，根据扇形的弧长可求出
圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解．
【规范解答】解：∵扇形的弧长是10πcm，
∴圆锥的底面周长是10πcm，
设圆锥底面圆的半径是rcm，
∴10π=2πr，解得：r=5cm∴圆锥的高是❑√132−52=12cm
故答案为：12cm．
【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，扇形ODE的半径为3，边长为❑√3的菱形OABC的
顶点A，C，B分别在OD，OE，D´E上．若把扇形ODE围成一个圆锥，求此圆锥的高．
❑√35
【答案】圆锥的高为
2
⏜
【思路引导】AC垂直且平分 的长度等于其所围成圆锥的底面周长，圆锥的高的平方等于母线与
OB，DE
底面半径的平方差．
【规范解答】解：如图，连接OB，AC，相交于点F．
在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠AOB．
∵扇形ODE的半径为3，菱形OABC的边长为❑√3，
∴OB=3，OC=❑√3，
3
∴FO=BF= ，
2
❑√3
∴CF=❑√OC2−FO2=
，
2
∴AC=2CF=❑√3，
∴OC=OA=AC，即△OAC为等边三角形，则∠COA=60°，
60π×3
∴D´E的长为 =π．
180
1
设圆锥的底面圆的半径为r，则底面圆的周长为2πr=π，解得r= ．
2
又∵圆锥的母线长为3，∴圆锥的高为❑
√
32−
(1) 2
=
❑√35
．
2 2
【考点剖析】本题考查了菱形的性质、扇形弧长公式、圆锥的高与母线和底面半径的关系，掌握扇形弧长
等于圆锥底面周长，圆锥的高、底面半径与母线满足勾股定理是解题的关键.
考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）圆锥的母线长为12cm，底面圆的半径为5cm．
(1)侧面展开图的圆心角度数是 ．
(2)如图①，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，A´C的长为4πcm，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路
径是多少？（结果保留根号）．
【答案】(1)150°
(2)6❑√3cm
【思路引导】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图
的弧长是解题的关键．
nπR
（1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式l= 即可求出圆心角的度数；
180
（2）如图2，连接OA,OB,AC，先证明△OAC为等边三角形，再证AB⊥OC，最后根据勾股定理求得
AB即可．
【规范解答】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为n°，
∵底面圆的半径为5cm，
∴侧面展开图的弧长=2π×5=10πcm，
∵OC=12cm，
nπ×12
∴ =10π，解得：n=150，
180
故答案为：150°；
（2）解：如图2，连接OA,AB,AC，则线段AB的长为蚂蚁爬行的最短距离，∵A´C 4πcm OC=12cm ∠AOC=m°
的长为 ， ，令 ，
mπ×12
∴4π= ，解得m=60，
180
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，即OA=AC=OC，
∵OB=BC，
∴AB⊥OC，
1
在Rt△AOB中，∠ABO=90°,OB= OC=6cm,OA=12cm，
2
∴AB=❑√OA2−OB2=❑√122−62=6❑√3cm
即蚂蚁爬行的最短距离为6❑√3cm．
【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，扇形OBC是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线
OB=l，底面圆的半径MB=r．
(1)当l=2r时，求∠BOC的度数；
(2)当l=3r，l=4r时，分别求∠BOC的度数；（直接写出结果）
(3)当l=nr（n为大于1的整数）时，猜想∠BOC的度数（直接写出结果）．
【答案】(1)180度
(2)120度；90度
360°
(3)
n
【思路引导】本题主要考查扇形弧长公式．注意对弧长公式的运用，注意区分公式中的各个量之间的关系．
（1）运用弧长公式计算即可；（2）运用弧长公式计算即可；
360°
（3）由（1）、（2）可得规律为∠BOC= ．
n
xπl
【规范解答】（1）解：设∠BOC的度数为x°，则2πr= ，
180
∵l=2r，
∴x=180°，即∠BOC=180°．
xπl
（2）解：设∠BOC的度数为x°，则2πr= ，
180
∵l=3r，
3xπr
∴2πr= ，
180
∴x=120°，
即∠BOC=120°，
4xπr
同理：当l=4r时，2πr= ，
180
∴x=90°，
∴∠BOC=90°；
nxπr
（3）解：由（2）可得：2πr= ，
180
360°
∴x= ，
n
360°
∴∠BOC= ．
n
考点13 圆锥的实际问题
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型
圆锥形帐篷，它的底面直径是6m，高是4m．
(1)按每人的活动面积是3m2计算，该帐篷估计最多可住______人．（π取3.14估算）
(2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含π，材料包含底部）
【答案】(1)9
(2)至少需要24π平方米的涤纶布
【思路引导】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键．
（1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是3m2进行计算即可；
（2）根据题意算出底面积和侧面积即可．
【规范解答】（1）解：∵底面直径为6m，
6
∴半径r= =3m，
2
∴底面积为S=πr2
=3.14×32
=28.26m2，
28.26÷3=9.42≈9（人），
∴该帐篷估计最多可住9人，
故答案为：9；
（2）解：∵圆锥高h=4m，半径r=3m，
根据勾股定理得，母线长l=❑√r2+h2 =❑√32+42 =5(m)，
∴侧面积为S =πrl =π×3×5 =15π(m2)
1
∴底面积为S =πr2 =π×32 =9π(m2)，
2
S=S +S =15π+9π =24π(m2)，
1 2
答：至少需要24π平方米的涤纶布．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成
正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧
面和底面，则AB的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C
【思路引导】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等
于底面圆的周长．设AB的长为x cm，进而得到DE=(12−x) cm，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长
建立等式求解，即可解题．
【规范解答】解：设AB的长为x cm，
∵四边形ABFE为正方形，
则AE=x cm，∠B=90°，
∵ AD=12cm，
∴ DE=(12−x) cm，
∵扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，
90πx
∴ =π(12−x)，
180
解得x=8 cm，
故选：C．
考点14 圆锥侧面上最短路径问题
【典例精讲】（2025·广东梅州·一模）综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间
拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】8❑√5cm【思路引导】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的
关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理即可求解．
【规范解答】解：∵AB=8cm，
∴r=4cm．
1 nπl2
∵ ×2πr×l= ，
2 360
360r 360×4
∴n= = =180．
l 8
∴将圆锥侧面展开后得到圆心角为180∘的扇形，如下图所示：
1
由图可知，∠A′PC= ×180∘=90∘
．
2
∵PA′=PB=8cm，
1
∴PC= PB=4cm．
2
在Rt△A′PC中，由勾股定理，得A′C= ❑√PA'2+PC2=❑√82+42=4❑√5(cm)．
∴彩带长度的最小值为2A′C=8❑√5cm．
【变式训练】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定
时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，
∠A的对边(底边) BC
即T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC(1)T(90°)=__________，T(120°)=__________，T(A)的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈1.88，T(70°)≈1.15，T(35°)≈0.60）
【答案】(1)❑√2，❑√3，0<T(A)<2
(2)约为20.7
【思路引导】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，
掌握相关性质定理和T(A)的定义是解本题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据T(A)的定义即
可解答．
【规范解答】（1）解：如图1，
由∠A=90°，AB=AC，得BC=❑√2AB，
BC
∴T(90°)= =❑√2，
AB
如图2，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
1
∴作AD⊥BC于D，则∠BAD= ∠BAC=60°，BD=CD，
2
∴∠B=30°，则AB=2AD，
❑√3
∴BD=❑√AB2−AD2= AB
2
∴BC=2BD=❑√3AB，
BC
∴T(120°)= =❑√3；
AB∵AB−AC<BC<AB+AC=2AB，
BC
∴0< <2，
AB
∴0<T（A）<2．
故答案为：❑√2，❑√3，0<T(A)<2；
（2）解：∵圆锥的底面直径PQ=14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π，
设扇形的圆心角为n°，
n⋅π×18
则 =14π，解得n=140，
180
∵T(70°)≈1.15，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为18×1.15≈20.7．
【演练1】（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可
以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O' (5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B
两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
(1)写出A,B两点的坐标；
(2)求叶瓣①的周长；（结果保留π）
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【答案】(1)A(0,5),B(5,0)
(2)5π
(3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90°得到
【思路引导】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转：
（1）先证明四边形OAO'B是正方形即可得到坐标；1
（2）根据∠AOB=90°，算出 圆的周长即可得到叶瓣的周长；
4
（3）利用旋转即可．
【规范解答】（1）∵以原点O，O′ (5，5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点
∴OA=OB=O' A=O'B=5
∴OAO'B是正方形
∴∠AOB=OBO'=BO' A=O' AO=90°
∴A(0,5),B(5,0)
（2）∵原点O，O′ (5，5)为圆心、以5为半径作圆
∴两个圆是等圆
∵∠AOB=AO'B=90°
90°
∴叶瓣①的周长为：2π×OA× ×2=5π
360°
（3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90°得到．
【演练2】（2023·贵州黔西·中考真题）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为
AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为
．
π 1
【答案】 −
4 2
【思路引导】过点D作DM⊥BC于点M，作DN⊥AC于点N，连接CD，由题意易证矩形DMCN为正方
❑√2 90π×12 π
形，即可求出CA=CB=❑√2，AD=BD=CD=1，从而得出DN= ，S = = ．再证
2 扇形DEF 360 4
明△MDG≌△NDH(ASA)，得出S =S ，最后根据S =S 和
△MDG △NDH 四边形DHCG 正方形DMCN
S =S −S 求解即可．
阴影 扇形DEF 四边形DHCG
【规范解答】解：如图，过点D作DM⊥BC于点M，作DN⊥AC于点N，连接CD．∴∠DNC=∠DMC=∠ACB=90°，
∴四边形DMCN为矩形．
∵D为AB的中点，CA=CB，
∴CD平分∠ACB，
∴DN=DM，
∴矩形DMCN为正方形．
∵AB=2，
∴CA=CB=❑√2，AD=BD=CD=1，
❑√2 90π×12 π
∴DN= ，S = = ．
2 扇形DEF 360 4
∵∠EDF=90°=∠NDM，
∴∠EDF−∠EDM=∠NDM−∠EDM，即∠MDG=∠NDH，
∴△MDG≌△NDH(ASA)，
∴S =S ，
△MDG △NDH
(❑√2) 2 1
∴S =S +S =S +S =S = = ，
四边形DHCG 四边形DHCM △MDG 四边形DHCM △NDH 正方形DMCN 2 2
π 1
∴S =S −S = −
阴影 扇形DEF 四边形DHCG 4 2
π 1
故答案为： − ．
4 2
【考点剖析】本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的判定
和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
【演练3】（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放
在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径
均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动
的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其
边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．10
【答案】
9
【思路引导】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先
理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于2r，证明△AEF是等边三角形，同理
得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆
心移动路径长，再进行求解，即可作答．
【规范解答】解：依题意，AE=EF=AF=2r，
则△AEF是等边三角形；
则∠AEF=∠AFE=60°，
同理得△CEF、△BFG、△DFG是等边三角形，
则∠BFG=∠BGF=∠FGD=∠GFD=∠CEF=∠EFC=60°
∴∠AFB=180°−60°−60°=∠CFD
(360°−60°−60°)×π×2r 8πr (360°−60°−60°)×π×2r 8πr
∴l = = ，l = =
⏜ 180° 3 ⏜ 180° 3
AC BD
(180°−60°−60°)×π×2r 2πr (180°−60°−60°)×π×2r 2πr
∴l = = ，l = =
⏜ 180° 3 ⏜ 180° 3
AB CD
2πr 8πr 4πr 16πr 20πr
∴ ×2+ ×2= + = ；
3 3 3 3 3
依题意，AE=EF=AF=2r，∴△AEF是等边三角形；
则∠AEF=∠AFE=∠FAE=60°，
同理得△CAB、△AEB、△DEB是等边三角形，
(360°−60°−60°−60°)×π×2r
则l = =2πr
⏜ 180°
FD
(360°−60°−60°−60°)×π×2r
l = =2πr
⏜ 180°
CD
(360°−60°−60°−60°)×π×2r
l = =2πr
⏜ 180°
CF
则2πr×3=6πr，
20πr
则20πr 3 10
÷6πr= =
3 6πr 9
10
故答案为： ．
9
【演练4】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O
在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE=2，点E，F分别在边AD，CD上，DE=DF (DE≥2)，扇
形OEF的弧交线段OB于点M，记为EM´ F．
(1)如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数；
(2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
(3)当∠EOF=150°时，求EM´ F的长．
【答案】(1)45°
(2)❑√65π 7π
(3) 或
3 3
【思路引导】（1）根据题意证明出四边形EOFD是正方形，得到∠EOF=90°，然后利用圆周角定理求
解即可；
1
（2）首先证明出△OEM是等边三角形，如图所示，连接EF交BD于点G，求出MG=OG= EM=1，
2
EG=❑√EM2−MG2=❑√3，然后得到△EGD是等腰直角三角形，进而求解即可；
（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．
【规范解答】（1）∵正方形ABCD的边长为5．
∴AD=CD=5
∵当AE=3时
∴ED=DF=2
∵OE=OF=2
∴ED=DF=OE=OF
∴四边形EOFD是菱形
∵∠EDF=90°
∴四边形EOFD是正方形
∴∠EOF=90°
1
∴∠EMF= ∠EOF=45°；
2
（2）∵四边形OEMF为菱形
∴EM=MF=OE=OF
∵扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，
∴OE=OM=EM=2
∴△OEM是等边三角形
如图所示，连接EF交BD于点G∴EF⊥BD
1
∴∠MEG= ∠MEO=30°
2
1
∴MG=OG= EM=1
2
∴EG=❑√EM2−MG2=❑√3
∵∠EDG=45°
∴△EGD是等腰直角三角形
∴EG=DG=❑√3
∴ED=❑√EG2+DG2=❑√6；
（3）如图所示，当EM´ F是劣弧时，
∵∠EOF=150°，半径OE=2
150π×2 5π
∴EM´ F= = ；
180 3
如图所示，当EM´ F是优弧时，
∵∠EOF=150°，半径OE=2
∴360°−150°=210°
210π×2 7π
∴EM´ F= = ．
180 3
5π 7π
综上所述，EM´ F的长为 或 ．
3 3【考点剖析】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形
的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【演练5】2025·山西·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B、C为
圆心、BC的长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、E．若BC=4，则图中阴影部分的面积
为（ ）
A．2π−4 B．4π−4 C．8π−8 D．4π−8
【答案】D
【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得
❑√2
∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC= BC=2❑√2，进而由S =2(S −S )解答即可求解，
2 阴影 扇形BCD △ABC
掌握以上知识点是解题的关键．
【规范解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BC=4，
❑√2
∴AB=AC= BC=2❑√2，
2
(45π×42 1 )
∴S =2(S −S )=2 − ×2❑√2×2❑√2 =4π−8，
阴影 扇形BCD △ABC 360 2
故选：D．
基础夯实
1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O,A´B=B´C，连接BD，若
∠BDC=54°,⊙O的半径为5．则A´C的长为（ ）A．2π B．3π C．4π D．6π
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接OA,OC，根据圆周角定
理可得∠ADC=∠ADB+∠BDC=108°，再根据圆内接四边形的性质可得
∠ABC=180°−∠ADC=72°，从而得到∠AOC=2∠ABC=144°，然后弧长公式计算即可．
【规范解答】解：连接OA,OC，
∵∠BDC=54°，A´B=B´C，
∴∠ADB=∠BDC=54°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°−∠ADC=72°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×72°=144°，
∵⊙O的半径为5，
144π×5
∴A´C的长为 =4π．
180
故选：C
2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧
A´B，圆弧的半径OA=40cm，圆心角∠AOB=90°，则AB=（ ）A．40π cm B．20π cm C．10π cm D．30π cm
【答案】B
nπr
【思路引导】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式l= ，代入圆心角
180
90°和半径40cm计算即可．
nπr
【规范解答】解：由弧长公式l= ，其中n=90，r=40，
180
90π×40
则A´B的长为 =20π（cm）．
180
故选：B．
3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）圆心角为120°，半径为3的扇形弧长为（ ）
3 1
A．3π B．2π C． π D． π
2 2
【答案】B
【思路引导】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；直接使用扇形弧长公式计算即可．
nπr 120×π×3
【规范解答】解：由题意得：扇形弧长为l= = =2π，
180 180
故选B．
4．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，AB为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转36°，使点A恰好
旋转到点C的位置．若AB=10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．2.5π C．5π D．10π
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形BAC的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．
【规范解答】解：如图：旋转可知，
，
则S +S =S +S ，
① ② ③ ②
所以S =S ，
① ③
所以阴影部分的面积可转化为扇形BAC的面积．
因为AB=10，∠ABC=36°，
36×π×102
所以扇形BAC的面积为： =10π，即阴影部分的面积为10π，
360
故选：D．
5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．
图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆
盘），通过测量得到AC=BD=18cm，OC=10cm，圆心角为60°，则图2中摆盘的面积是 cm2．
【答案】114π
【思路引导】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【规范解答】解：S =S −S
摆盘 大扇形 小扇形
60π×(18+10) 2 60π×102
= − =114π(cm2)，
360 360
故答案为：114π．
6．（25-26九年级上·广东广州·月考）一个扇形，半径为20cm，圆心角为90度，用它做成一个圆锥的
侧面，那么这个圆锥的底面半径为 cm．【答案】5
【思路引导】本题考查求圆锥的底面半径，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，通过弧长公式计算弧长，
再根据周长公式求底面半径即可．
90
【规范解答】解：由题意，圆锥的底面周长为： ×π×20=10πcm．
180
设圆锥的底面半径为rcm，则2πr=10π，解得r=5．
故答案为：5．
7．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，在美术活动课上，小华用圆心角为120°、半径为
27cm的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是 ．
【答案】9cm/9厘米
【思路引导】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关
键；因此此题可根据弧长公式可进行求解．
【规范解答】解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，
nπr 120×π×27
∴l= = =18πcm，
180 180
18π
∴底面半径为 =9cm；
2π
故答案为9cm．
8．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，AB是半圆的直径，请用尺规作图法找到圆心O，并在A´B
上找一点C，连接OC，使得OC平分此半圆的面积．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【思路引导】本题主要考查了确定圆的圆心，扇形面积计算，由于AB是半圆的直径，则点O是AB的中点，
由于OC平分此半圆的面积，则∠AOC=∠BOC=90°，据此作线段AB的垂直平分线，分别交线段AB
于O，交半圆于C，则点O和点C即为所求．
【规范解答】解：如图所示，即为所求．9．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是
A(1,0),B(5,1),C(4,4)
(1)画出△ABC绕点P(0,1)逆时针旋转90°所得的△A B C ，写出点C 的坐标．
1 1 1 1
(2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长．
【答案】(1)见解析，(−3,5)
5
(2) π
2
【思路引导】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）利用弧长公式计算即可．
【规范解答】（1）解：如图，△A B C 即为所求,C (−3,5)．
1 1 1 1（2）解：PB=5,∠BPB =90°，
1
90π×5 5
∴点B的运动路径长为 = π．
180 2
10．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)写出△ABC外接圆圆心的坐标________；
(2)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90度后得到△AB′C′，画出△AB′C′并写出此时点C′的坐标；
(3)求（2）中线段BC扫过的面积（保留π）．
【答案】(1)(2,0)
(2)见解析，C′(3,7)
(3)4π
【思路引导】本题考查了求圆心，作旋转图形，扇形的面积公式，勾股定理．
（1）作AB、BC的垂直平分线，交点即为△ABC外接圆圆心；
（2）根据要求作图，进而写出此时点C′的坐标即可；
（3）根据割补法计算即可；
【规范解答】（1）解：如图：可知△ABC外接圆圆心的坐标(2,0)．
故答案为：(2,0)；
（2）解：如图，可知C′(3,7)；
（3）解：如图，
可知BC扫过的面积 =S +S −S −S =S −S ，
扇形CAC′ △ABC 扇形BAB′ △AB′C′ 扇形CAC′ 扇形BAB′
∵AB=AB′=2，AC=AC′=❑√22+42=2❑√5，
∴BC扫过的面积 =S −S
扇形CAC′ 扇形BAB′90π×(2❑√5) 2 90π×22
= −
360 360
=5π−π
=4π．
培优拔高
11．（25-26九年级上·北京·月考）如图，圆锥的底面圆半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是
（ ）
A．15π B．10π C．20π D．30π
【答案】A
【思路引导】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的
母线长，再代入侧面积公式计算．
由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（π乘以底面半径乘以母线
长）计算侧面积．
【规范解答】解：圆锥的母线长l=❑√r2+h2=❑√32+42=5，
圆锥的侧面积为πrl=π×3×5=15π．
故选：A．
12．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，⊙O是边长为6❑√3的等边三角形ABC的外接圆，D是
B´C的中点，连接BD、CD，以点D为圆心，以BD长为半径在⊙O内画弧，则图中阴影部分的面积为
（ ）A．4π B．6π C．12π D．18π
【答案】C
【思路引导】根据等边三角形的性质得出：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，再根据圆内接四边形的
性质得出：∠BDC+∠BAC=180°，进而可得∠BDC=120°．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论
可得∠ABD=90°，进而求出BD的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案．
【规范解答】解：如图所示，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵∠BDC+∠BAC=180°，
∴∠BDC=180°−∠BAC=180°−60°=120°，
∵点D为弧BC的中点，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AD经过点O，∠CAD=30°，
∴∠DBC=∠CAD=30°，
∴∠ABD=60°+30°=90°，
❑√3 ❑√3
∴DB= AB= ×6❑√3=6，
3 3
120π×62 36π
∴S = = =12π．
阴影 360 3
故选：C．
【考点剖析】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，
三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边
形的性质是解题的关键．
13．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，△AEF是等边三角形．⏜
若AB=2，则 的长度为（ ）
CE
π 2π ❑√2π ❑√2π
A． B． C． D．
3 3 3 6
【答案】C
【思路引导】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接AC，OE，OF，OB，根据圆的性质求得半径，进
而根据等边三角形的性质得出∠EOC=60°，再根据弧长公式，即可求解．
【规范解答】解：连接AC，OE，OF，OB，
∵ ABCD
四边形 是正方形，
∴∠B=90°，∠BOC=90°，
❑√2
∴AC是⊙O的直径，OB=OC= AB=❑√2，
2
∴点A，O，C三点共线，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60∘，
⏜ ⏜
∴AE=AF ，
∴AC⊥EF，
1
∴∠OGE=90°，∠EOC= ∠EOF=∠EAF=60°，
2⏜
60π×❑√2 ❑√2
的长度为 = π，
∴CE
180 3
故选：C
14．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，∠DAB=110°，
∠ABC=130°，两车轮的直径均为60cm，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇
形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（ ）
A．300πcm2 B．500πcm2 C．900πcm2 D．1200πcm2
【答案】A
【思路引导】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，需要同学们挖掘隐含的条件．根据自行车
的构造，可得四边形ABCD是梯形，AB∥DC，从而求出∠ADC与∠BCD的度数，代入扇形的面积
公式计算即可．
【规范解答】解：由题意可得，四边形ABCD是梯形，AB∥DC，
∵∠DAB=110∘，∠ABC=130∘，
∴∠ADC=70°，∠BCD=50°，
∵车轮的直径为60cm，
∴半径R=30cm，
70π×302 50π×302 120π×302
则 + = =300πcm2，
360 360 360
∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是300πcm2．
故选：A．
15．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三
“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则
这个“莱洛三角形”的周长是 ．
【答案】2π【思路引导】本题考查了弧长计算公式，根据“莱洛三角形”定义，其周长就是三条圆心角为60°，半径
为2的弧的和，据此即可求解．
60π×2
【规范解答】解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是 ×3=2π．
180
故答案为：2π
16．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，在四边形ABCD中,AB ∥ CD,AD⊥AB，以D为圆
心,AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为 E，若AB=1,BC=3，则阴影部分的面积是 ．
5π
【答案】2❑√5−
4
【思路引导】本题考查了梯形面积、圆的切线性质及扇形面积的计算，解题的关键是利用切线性质得到
DE=AD，结合勾股定理求出AD的长度，进而计算阴影部分的面积（梯形面积减去扇形面积）．
连接DE，由切线性质得DE⊥BC且DE=AD；利用梯形面积的两种表示方法求出CD的长度；通过勾股
定理求出AD；最后计算梯形与扇形的面积差得到阴影面积．
【规范解答】解：连接DE、BE．
∵BC是⊙D的切线，
∴DE⊥BC，DE=AD．
∵AB∥CD,AD⊥AB，
(AB+CD)
∴AD⊥CD，梯形ABCD的面积= ⋅AD．
2
1⋅AD 3⋅AD
又梯形面积=S +S = + =2AD，
△ABD △BCD 2 2
(1+CD)
∴ ⋅AD=2AD，解得CD=3．
2在Rt△DEC中，DE2+EC2=CD2，EC=BC−BE=3−1=2，
∴AD2+22=32，解得AD=❑√5．
90° 5π
扇形的面积= π⋅AD2= ，
360° 4
梯形面积=2❑√5，
5π
阴影面积=2❑√5− ．
4
5π
故答案为：2❑√5− ．
4
17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将P´B沿着PB翻折，与
直径AB交于点C，B´C的中点为D．若已知AB=4❑√2，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动
路径长为 ．
【答案】❑√2π
【思路引导】本题考查圆的性质、弧长公式以及动点问题，作点D关于BP的对称点D′，以OB为边向下作
正方形OEFB，连接AD′,BD′,OD′,DD′,BD,DF，先证明△OBD′ ≌△FBD(AAS)，可得当点P在
点A时，点D在点E处，当点P在点B时，点D在点B处，当点P从点A运动到点B时，点D的运动轨迹是以
F为圆心，FB为半径的B´E，再根据弧长公式计算路径长．
【规范解答】解：如图，作点D关于BP的对称点D′，以OB为边向下作正方形OEFB，连接
AD′,BD′,OD′,DD′,BD,DF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AD′B=90°，由对称性可得B´D=B ´ D′，
⏜ ⏜
∵ BD=CD ，
∴C´D=B ´ D′，
∴∠D′ AB=∠CBD，
∴AD′ ∥BD，
∴∠AD′B=∠DBD′=90°，
∵四边形OEFB是正方形，
∴∠OBF=90°，
∴∠OBF=∠DBD′=90°，
∴∠OBD′=∠FBD，
又∵BD′=BD,OB=FB，
∴△OBD′ ≌△FBD(SAS)，
∴FD=OD′，
∴FD=OB=FB，
当点P在点A时，点D在点E处，当点P在点B时，点D在点B处，
当点P从点A运动到点B时，点D的运动轨迹是以F为圆心，FB为半径的B´E，
1
已知AB=4❑√2，则半圆的半径EF=OB= AB=2❑√2，
2
1
点D运动路径是以F为圆心， AB=2❑√2为半径的B´E，
2
90π×2❑√2
所以点D的运动路径长为 =❑√2π．
180
故答案为：❑√2π．
18．（25-26九年级上·山东日照·期中）已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(5,4)，B(0,3)，C(2,1)．(1)画出与△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ，并写出点A 的坐标_______；
2 2 2 2 2 2 2
(3)在（2）的条件下，求旋转过程中线段CA扫过的面积（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，(5,−2)
9
(3) π
2
【思路引导】本题主要考查了坐标与图形——旋转变换以及中心对称变换，扇形面积公式的应用，正确得
出对应点的位置是解题关键．
（1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可；
（3）先计算出CA的长，然后根据扇形面积公式计算旋转过程中线段CA扫过的面积即可．
【规范解答】（1）解：如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1（2）解：如图，△A B C 即为所求．点A 的坐标为(5,−2)；
2 2 2 2
（3）解：由勾股定理得，CA=❑√32+32=3❑√2，
90π×(3❑√2) 2 9
∴旋转过程中线段CA扫过的面积 = π．
360 2
19．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，A是
⏜
的中点，过点C作CE∥BD，与AB的延长线交于点E．
BD(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若BD是⊙O的直径，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)6−π
⏜
【思路引导】（1）设AC交BD于点F，由AC是⊙O的直径，A是 的中点，得
BD
⏜ ⏜
∠ABC=∠ADC=90°，
AB=AD
，所以AB=AD，∠ACB=∠ACD，推导出∠BAC=∠DAC，
则AC⊥BD，由CE∥BD，得∠ACE=∠AFB=90°，即可证明CE是⊙O的切线；
（2）根据题意先证明四边形ABCD是正方形，再根据S =S +S −S 计算即可求解．
阴影 △EBC △COB 扇形COB
【规范解答】（1）证明：如图1，设AC交BD于点F，
⏜
∵AC ⊙O A
BD
是 的直径， 是 的中点，
⏜ ⏜
∴∠ABC=∠ADC=90°， AB=AD ，
∴AB=AD，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAC+∠ACB=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∵CE∥BD，
∴∠ACE=∠AFB=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：如图2，∵BD ⊙O ⊙O
是 的直径，且 的半径为2，
∴∠BAD=90°，OC=OB=OA=OD=2，AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
又∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形
1
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=45°，AC=2OC=4，
2
∵∠ACE=90°，
∴∠E=∠BAC=45°，
∴EC=AC=4，
∵BC⊥AB，AC⊥BD，
∴AB=EB，∠BOC=90°，
1 1
∵S = EC⋅AC= ×4×4=8，
△ACE 2 2
1
∴S =S = S =4，
△EBC △ABC 2 △ACE
1
∴S =S = S =2，
△COB △AOB 2 △ABC
90π×22
∵S = =π，
扇形COB 360
∴S =S +S −S =4+2−π=6−π，
阴影 △EBC △COB 扇形COB
故答案为：6−π
【考点剖析】本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、
扇形的面积公式等知识，推导出AC⊥BD是解题的关键．
20．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）综合与实践
学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪
扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的
圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）．【初步探究】
（1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为90°的扇形EMN．
①请求出扇形EMN的面积．
②他打算用剪得的扇形EMN纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，
剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由．
【深入探究】
（2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：⊙O的半径仍是8，扇形EMN的圆心角∠MEN=90°．
点E在圆内，点M，N在⊙O上，⊙O与扇形EMN的公共弦MN=8❑√3．求图中点O与点E的距离，并计
算扇形EMN的面积．
【拓展探究】
（3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角∠MEN为120°的扇形EMN（点M，N在⊙O
上），请直接写出所剪扇形EMN的面积S的取值范围．
【答案】（1）①扇形EMN的面积为32π；②能，理由见详解
（2）点O与点E的距离为(4❑√3−4)，扇形EMN的面积为24π
64π 256π
（3）扇形EMN的面积S的取值范围 ≤S≤
3 9
【思路引导】本题主要考查扇形面积、弧长公式的计算，垂径定理，圆周角定理等知识的综合，掌握其计
算公式，数形结合分析是关键．
（1）①根据题意得到线段MN是过圆心的直径，则OM=ON=8，MN=16，△MEN是等腰直角三角形，
由勾股定理得到ME=8❑√2，结合扇形面积公式即可求解；
②根据题意得到剪后剩余的面积，再算出扇形底面圆的面积，由此即可求解；
（2）如图所示，过点O作OF⊥MN，连接OE，得到EF⊥MN，即点E,O,F共线，
1
MF=EF=NF= MN=4❑√3，ME=❑√2MF=4❑√6，由扇形面积公式得到面积，在Rt△MOF中，由
2
勾股定理得到OF=4，由此得到点O与点E的距离；（3）根据（1）（2）的提示分类讨论即可求解．
【规范解答】解：（1）①如图所示，连接MN，
∵∠MEN=90°，
∴线段MN是过圆心的直径，则OM=ON=8，MN=16，
∵是扇形，
∴ME=NE，即△MEN是等腰直角三角形，
∴M E2+EN2=M N2，则2M E2=162，
解得，ME=MN=8❑√2（负值舍去），
90×π×(8❑√2) 2
∴扇形EMN的面积= =32π；
360
②能，理由如下，
已知扇形EMN的面积=32π，S =π×82=64π，
⊙O
∴剪下后剩余的面积为64π−32π=32π，
∵扇形EMN的半径为8❑√2，
90×π×8❑√2
∴扇形EMN的弧长= =4❑√2π，
180
∴底面圆的周长=4❑√2π，
4❑√2π
∴底面圆的半径= =2❑√2，底面圆的面积=π×(2❑√2) 2=8π，
2π
∵8π<32π，
∴能从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面；
（2）如图所示，过点O作OF⊥MN，连接OE，1 1
∴MF=NF= MN= ×8❑√3=4❑√3，即点F是MN的中点，
2 2
∵△MEN是等腰直角三角形，
∴EF⊥MN，即点E,O,F共线，
1
∴MF=EF=NF= MN=4❑√3，ME=❑√2MF=4❑√3×❑√2=4❑√6，
2
90×π×(4❑√6) 2
∴扇形EMN的面积= =24π，
360
在Rt△MOF中，OM2=OF2+M F2，
∴OF=❑√OA2−M F2=❑√82−(4❑√3) 2=4，
∴OE=EF−OF=4❑√3−4；
（3）∵剪出一个圆心角∠MEN为120°的扇形EMN（点M，N在⊙O上），△MEN是等腰三角形，
1
∴∠EMN=∠ENM= (180°−120°)=30°，
2
⏜
∴∠MEN的圆心角为2×120°=240°，劣弧 所对的圆心角为360°−240°=120°=∠MEN，
MN
由（1）得到当剪出一个圆心角为90°的扇形EMN时，∠EMN=∠ENM=45°，
∴当扇形EMN的弦MN在直径外时，如图所示，连接OM,ON,OE，
1
∴∠OMN=∠ONM= (180°−∠MON)=30°，
2
∴∠EMO=60°，且OM=OE，∴△OEM是等边三角形，
∴ME=OM=8，
120×π×82 64π
∴扇形EMN的面积= = ；
360 3
当扇形EMN的弦MN在直径上时，如图所示，连接OE，且点O是MN的中点，
∴OM=ON=8，∠OME=∠ONE=30°，OE⊥MN，
∴ME=2OE，
在Rt△OEM中，M E2=OE2+OM2，即(2OE) 2+OE2=82，
8❑√3
解得，OE= ，
3
16❑√3
∴ME= ，
3
(16❑√3) 2
120×π×
∴扇形EMN的面积 3 256π；
= =
360 9
64π 256π
综上所述，扇形EMN的面积S的取值范围 ≤S≤ ．
3 9
