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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.10第1章三角形的证明单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2016春•盂县期中）在 中， ， 是 的中点，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出 ，求出 ，根据三角形外角性质求
出即可．
【解析】
在 中， ， 是 的中点，
，
，
，
，
，
故选： ．
2．（2021春•商河县校级期末）如图，已知 ， ，若 和 分别垂直平分 和 ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，根据
等腰三角形的性质分别求出 、 ，计算即可．
【解析】在 中， ， ，
，
和 分别垂直平分 和 ，
， ，
， ，
，
故选： ．
3．（2021春•金牛区校级期中）如图，在以 为底边的等腰 中， ， ，则 边上
的高
A．3 B．6 C． D．
【分析】求出 ，根据含 角直角三角形性质得出 ，代入求出即可．
【解析】 ， ，，
是高，
，
，
，
故选： ．
4．（2021春•碑林区校级期末）如图，已知 的面积为24， ，点 为 边上一点，过
点 分别作 于 ， 于 ，若 ，则 长为
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】连接 ，根据三角形的面积公式即可得到 ，根据等腰三角形的性质进
而求得 的值．
【解析】连接 ，
则： ，
即： ，
可得： ，，
，
故选： ．
5．（2020秋•江阴市期中）如图， 中， ，边 的垂直平分 ，交 于点 ，交 于
点 ，已知 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，得到
，结合图形计算，得到答案．
【解析】在 中， ， ，
，
是线段 的垂直平分线，
，
，
，
故选： ．
6．（2021•商河县校级模拟）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分
别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作
射线 交边 于点 ，若 ， ，则 的面积是
A．15 B．30 C．45 D．60【分析】根据角平分线的性质得到 ，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】作 于 ，
由基本尺规作图可知， 是 的角平分线，
，
，
， ，
，
的面积 ，
故选： ．
7．（2021春•鹤城区期末）如图，已知 的周长是 ， 和 的角平分线交于点 ，
于点 ，若 ，则 的面积是 ．
A．24 B．27 C．30 D．33
【分析】过 点作 于 ， 于 ，连接 ，如图，根据角平分线的性质得 ，
，由于 ，所以根据三角形的面积公式可计算出 的面积．
【解析】过 点作 于 ， 于 ，连接 ，如图，
平分 ， ， ，
，
同理可得 ，，
的周长是18，
．
故选： ．
8．（2021•罗湖区校级模拟）如图，在 中， ， 为 的中点， ， ，
垂足分别为点 ， ，且 ，则线段 的长为
A． B．2 C．3 D．
【 分 析 】 连 接 ， 如 图 ， 利 用 角 平 分 线 性 质 定 理 的 逆 定 理 可 判 断 平 分 ， 则
，然后根据含30度的直角三角形三边的关系确定 的长．
【解析】连接 ，如图，
， ， ，
平分 ，，
在 中， ．
故选： ．
9．（2020春•历下区期末）如图，已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解析】 ，
，
，
，
，
，
，
同理 ， ， ，
故选： ．
10．（2020秋•思明区校级期中）如图， 是 的三条角平分线的交点，连接 、 、 ，若
、 、 的面积分别为 、 、 ，则 ．A． B． C． D．无法确定
【分析】过 点作 于 ， 于 ， 于 ，如图，利用角平分线的性质得到
，再利用三角形面积公式得到 ， ， ，然后根
据三角形三边的关系求解．
【解析】过 点作 于 ， 于 ， 于 ，如图，
是 的三条角平分线的交点，
，
， ， ，
，
，
．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018秋•江北区期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线交 于 ，交
于 ， ，则 6 ．
【分析】先作辅助线，然后利用垂直平分线的性质求出 ，最后解直角三角形计算．【解析】连接
垂直平分
．
答案6．
12．（2021秋•饶平县校级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30度，则它的底角的度数为
或 ．
【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形
两种情况求解．
【解析】分两种情况：
①在左图中， ， ， ，
，
；
②在右图中， ， ， ，
， ，
．
故答案为： 或 ．
13．（2020秋•讷河市期末）已知等腰三角形的一个外角等于 ，则它的顶角等于 或 ．【分析】等腰三角形的一个外角等于 ，则等腰三角形的一个内角为 ，但已知没有明确此角是顶角
还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解析】 等腰三角形的一个外角等于 ，
与其相邻的内角为 ．
当 为顶角时，其他两角为 、 ；
当 为底角时，其他两角为 、 ．
所以等腰三角形的顶角可以是 ，也可以是 ．
故答案为： 或 ．
14．（2021秋•罗山县期中）如图，已知等边三角形 的高为 ， 为 内一点， 于点
， 于点 ， 于点 ．则 ．
【分析】连接 、 、 ，根据 、 、 的面积和等于 的面积，由等边三角形
的三边相等，即可得出结论．
【解析】连接 、 、 ，作 边上的高 ，如图所示：
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为： ；15．（2021•阿城区一模）在等边 中，点 在 边上，若 ， ，则线段 的长为
1 或 3 ．
【分析】根据等边三角形的三线合一的性质或勾股定理解答健康．
【解析】如图所示，
过点 作 于 ，
是等边三角形， ， ，
， ，
，
由勾股定理得， ，
， ，
线段 的长为1或3，
故答案为：1或3．
16．（2021•商河县校级模拟）如图， 中， ， ， 是 上一点，且 ，
过点 分别作 、 ，垂足分别是 、 ．给出以下四个结论：① ；②点
是 的中点；③ 垂直平分 ；④ ．其中正确结论的序号是 ①③④ ．（把你认
为的正确结论的序号都填上）
【分析】本题要从已知进行思考，可得两对三角形全等，许多角相等，边相等，利用这些条件对各选项进
行验证，证明．
【解析】① ， ，
，，
，
，
，
，
是 的角平分线，
，故①正确．
②因为 ，但 ，故②错误；
③ ， 垂直平分 ，③正确；
④由①②③可知， ，又 ， ，故④正确；
①③④正确．
故答案为：①③④．
17．（2019秋•万州区期末）如图，已知： 的平分线与 的垂直平分线相交于点 ， ，
，垂足分别为 、 ， ， ，则 1. 5 ．
【分析】首先连接 ， ，由 的平分线与 的垂直平分线相交于点 ， ， ，
根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得 ， ，继而可得 ，易证
得 ，则可得 ，继而求得答案．
【解析】连接 ， ，
是 的平分线， ， ，
， ， ，
，
是 的垂直平分线，
，
在 和 中，
，，
，
，
， ，
．
故答案为：1.5．
18．（2020秋•淮滨县月考）如图，已知： ，点 ， ， 在射线 上，点 、 、
在射线 上，△ 、△ 、△ 均为等边三角形，若 ，则△ 的周长
为 4 8 ．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出 ，以及 ，得出
， ， ，进而得出答案．
【解析】 △ 是等边三角形，
， ，
，
，
，又 ，
，
，
，
，
△ 、△ 是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
△ 的周长为48，
故答案为：48．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•鼓楼区月考）求证：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：
求证：证明：
【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定和性质，推出 即可．
【解析】已知：如图， 是 的平分线， 是 上任意一点， ， ，垂足分别为
、 ，
求证： ；
证明： 是 的平分线，
，
， ，
，
在 和 中
，
，
．
20．（2021秋•牡丹区月考）如图，在 中， ， ， ， 平分 交
于点 ，求 的长．
【分析】过 作 于 ，根据角平分线的性质得到 ，根据勾股定理得到
，根据全等三角形的性质得到 ， ，得到 ，设
，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】过 作 于 ，平分 ， ，
，
在 中， ， ， ，
，
， ，
，
， ，
，
设 ，
在 中， ，
，
，
．
21．（2020春•太平区期末）已知：如图，点 为线段 上一点， ， 都是等边三角形，
交 于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 为等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由 得到 ，结论得证；
（2）由（1）中的全等可得 ，进而得出 ，由 得出 ，即
，又 ，所以 为等边三角形．
【解析】证明：（1） ， 是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
．
（2） ，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
为等腰三角形，
又 ，
为等边三角形．
22．（2020秋•仪征市期中）如图， 中， ， ，点 在 边上运动 不与 、
重合），连接 ．作 ， 交 于点 ．
（1）当 时，判断 的形状并证明；（2）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出 的度数；若不可
以，请说明理由．
【分析】（1）先由等腰三角形的性质得 ，则 ，再由平行线的性质得
，求出 即可；
（2）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出 的度数即可．
【解析】（1） 为直角三角形，理由如下：
， ，
，
，
， ，
，
，
是直角三角形；
（2） 的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
① 时， ，
；
② 时， ，
；
③ 时， ，
，点 与 重合，不合题意；
综上所述， 的度数为 或 ．
23．（2021春•红谷滩区校级期中）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂
直平分线 交 于点 ， 与 相交于点 ，连接 ， ．若 的周长为 ， 的周长为
．（1）求线段 的长；
（2）连接 ，求线段 的长；
（3）若 ，直接写出 的度数 ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【解析】（1） 是 边的垂直平分线，
，
是 边的垂直平分线，
，
；
（2） 是 边的垂直平分线，
，
是 边的垂直平分线，
，
，
；
（3） ，
，
， ，
， ，．
故答案为： ．
24．（2020秋•洮北区期末）如图，已知 是等腰直角三角形， ， 是 的平分线，
，垂足为 ．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断 与 垂直吗？并说明理由．
（3）如果 ，求 的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义判断， 等腰直角三角形，而 为角平分线，而 ，
， 故 ， 故 均 为 等 腰 三 角 形 ； 而 ， ， 故
，则 ，故 和 均为等腰三角形；而 ， ，故
也符合题意，进而求解；
（2） 是 的平分线， ，根据角平分线定理可知 关于 与 对称．可得出
．
（3）根据（2），可知 关于 与 对称，且 为等腰直角三角形，可推出
．
【解析】（1）根据等腰三角形的定义判断， 等腰直角三角形；
为角平分线，而 ， ，故 ，故 均为等腰三角形；
， ，
，，
和 均为等腰三角形；
， ，
也符合题意，
综上所述符合题意的三角形为有 ， ， ， ；
（2） 与 垂直．
证明： ，
， ，
垂直平分相等 ，即 ．
（3） 是 的平分线， ， ，
，
在 和 中
，
，
又 是等腰直角三角形， ，
，又 ，
为等腰直角三角形，
，
即 ．
25．（2021春•罗湖区校级期末）在 中， ， ， 是 的角平分线，
于点 ．
（1）如图1，连接 ，求证： 是等边三角形；
（2）点 是线段 上的一点（不与点 ， 重合），以 为一边，在 的下方作 ，
交 延长线于点 ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出 ， 与 之间的数量关系；
（3）如图3，点 是线段 上的一点，以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点 ．试探究 ， 与 数量之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得 是等边三角形；
（2）延长 使得 ，连接 ，即可得出 是等边三角形，利用 即可得
出 ，再利用 ，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出 ，进而得出 ，再求出 即可得出
答案．
【解析】（1）证明：如图1所示：
在 中， ， ，
， ．
平分 ，
．
．
于点 ．
．
．
是等边三角形；
（2）结论： ．
证明：
如图2所示：延长 使得 ，连接 ，
， ， 是 的角平分线， 于点 ，
， ，
又 ，是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
．
（3）结论： ．
证明：延长 至 ，使得 ．
由（1）得 ， ．
于点 ．
．
．
是等边三角形．
， ．
．
，
．
即 ．在 和 中，
．
．
，
．
．
26．（2020秋•硚口区校级月考）已知：在 中， ，点 在 上，以 为底边作等腰
，取 的中点为 ，连接 、 ．
（1）如图1，若 ， ， ，求证 ；
（2）如图2，若 ， ，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，利用 证明 可得
， ，再利用 证明 可得 ，根据等腰三角形的性质可
证明结论；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，利用 证明 可得
， ，再利用 证明 可得 ，根据等腰三角形的性质可
求解．【解析】（1）证明：延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，如图1，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
为等边三角形，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2）解：（1）中结论仍然成立．
理由：延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，如图2，
为 的中点，，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
