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专题1.12 《勾股定理》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）
（建议学习二次根式后再进行练习）
一、单选题
1．（2020·陕西中考真题）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，
B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·广西中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去
阃(读 ，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1
的平面示意图)，推开双门，双门间隙 的距离为 寸，点 和点 距离门槛 都为 尺(
尺 寸)，则 的长是（ ）
A． 寸 B． 寸 C． 寸 D． 寸
3．（2019·广西桂林·中考真题）将矩形 按如图所示的方式折叠， 为折
痕，若顶点 都落在点 处，且点 在同一条直线上，同时点 在另一
条直线上，则 的值为（ ）A． B． C． D．
4．（2019·江苏南通市·中考真题）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行
练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，
使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示
的数介于( )
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在 中， ，
将边 沿 折叠，使点B落在 上的点 处，再将边 沿 折叠，使点A落在
的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点N、M，则线段 的长为（
）
A． B． C． D．
6．（2019·湖北咸宁·中考真题）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对
勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图
案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是
“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·湖北黄冈·中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点 是这段弧所在圆的圆心， ，点 是 的中点,D是AB的中点，且 ，则这段弯路所在
圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．（2015·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为 ，以
CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其
面积标记为 ，…，按照此规律继续下去，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·浙江宁波·中考真题）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书
《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较
小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一
定能求出（ ）
A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
10．（2018·湖北鄂州市·中考真题）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A
到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB= ．试在直线a上找一点M，在
直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=
A．6 B．8 C．10 D．12
11．（2018·四川绵阳·中考真题）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，
CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE= ，AD= ，则两个三角形
重叠部分的面积为（ ）
A． B．3- C． -1 D．3-
12．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为
AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF= ，则
BC的长是（ ）A． B．3 C．3 D．3
13．（2018·山东东营市·中考真题）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有
一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2021·江苏镇江·）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点
C，O，将 ABC沿l平移得到 MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，
Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
15．（2021·浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书
中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地
毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中 的长应是______．16．（2018·江苏徐州市·中考真题）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将
△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．
17．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一
丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有
一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分
BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边
的B'（示意图如图，则水深为__尺．
18．（2018·天津中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 ，
， 均在格点上.（1） 的大小为__________（度）；
（2）在如图所示的网格中， 是 边上任意一点. 为中心，取旋转角等于 ，把点
逆时针旋转，点 的对应点为 .当 最短时，请用无刻度的直尺，画出点 ，并简要
说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
19．（2019·北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则 ＝_____°
（点A，B，P是网格线交点）.
20．（2020·四川中考真题）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪
鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时
测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行
_____海里就开始有触礁的危险．
21．（2019·湖南邵阳·中考真题）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，
创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 ，弦 ，则小正方形ABCD的面积是____.
22．（2020·湖南娄底·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽
弦图”如图所示，根据大正方形的面积 等于小正方形的面积 与4个直角三角形的面积 的和证明了勾股定理 ，还可以用来证明结论：若 、 且
为定值，则当 _______ 时， 取得最大值．
23．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图，线段 ，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作 的垂线，并在垂线上取 ；
（2）连接 ，以点C为圆心， 为半径画弧，交 于点E；
（3）以点A为圆心， 为半径画弧，交 于点D．即点D为线段 的黄金分割点．
则线段 的长度约为___________ （结果保留两位小数，参考数据：
）
24．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB
＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．
若△DEB′为直角三角形，则BD的长是___．
25．（2019·贵州黔东南·中考真题）如图，点 在正方形 的边 上，若 ，
，那么正方形 的面积为_．26．（2019·黑龙江伊春·中考真题）如图，矩形 中， ， ，点 是矩形
内一动点，且 ，则 的最小值为_____．
27．（2019·湖北荆州市·中考真题）如图①，已知正方体 的棱长为 ，
， ， 分别是 ， ， 的中点，截面 将这个正方体切去一个角后得到一
个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为__________ ．
28．（2019·山东枣庄·中考真题）把两个同样大小含 角的三角尺按如图所示的方式放置，
其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 ，且另外三个锐角顶点
在同一直线上．若 ，则 ____．29．（2018·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点
A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______．
30．（2018·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A( ，1)在射线OM
上，点B( ，3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA，以BA 为直角边作第二个
1 1
Rt△BA B ，以AB 为直角边作第三个Rt△A B A， ，依此规律，得到
1 1 1 1 1 1 2
Rt△B A B ，则点B 的纵坐标为__．
2017 2018 2018 2018
31．（2018·福建中考真题）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，
其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D
在同一直线上．若AB= ，则CD=_____．32．（2018·湖北荆州·中考真题）为了比较 +1与 的大小，可以构造如图所示的图形
进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得 +1_____
．（填“＞”或“＜”或“=”）
33．（2018·黑龙江伊春·中考真题）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的
直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面
积是_____．
34．（2018·上海中考真题）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置
的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个
矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形
ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的 ，那么它的宽的值是_____．
35．（2018·天津中考真题）如图，在边长为4的等边 中， ， 分别为 ， 的
中点， 于点 ， 为 的中点，连接 ，则 的长为__________．三、解答题
36．（2019·河北中考真题）已知：整式 ，整式 ．
尝试: 化简整式 ．
发现: ，求整式 ．
联想:由上可知， ，当n＞1时 为直角三角形的三边长，如图．
填写下表中 的值：
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ / 8
勾股数组Ⅱ /
37．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在 中， ，垂足为 ， ，延
长 至 ，使得 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的周长和面积．38．（2020·浙江温州·中考真题）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝
90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
39．（2019·四川巴中·中考真题）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m
上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证： ；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
参考答案
1．D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求 的面积，由三角形的面
积法求高即可．解：由勾股定理得：AC＝ ＝ ，
∵S ＝3×3﹣ ＝ ，
△ABC
∴ ，
∴ ，
∴BD＝ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
2．C
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
解：设OA=OB=AD=BC= ，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE= CD=1，AE= ．
在Rt△ADE中，
，即 ，
解得 ．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．B
【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD=2a，AD=2b，根据Rt△BCG
中，CG2+BC2=BG2，可得即a2+（2b）2=（3a）2，进而得出 的值．解：由折叠可得， ，
∴ 分别为 的中点，
设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ 中， ，
即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 的值为 ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折
叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾
股定理列出方程求出答案．
4．C
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.
解：由作法过程可知，OA=2，AB=3，
∵∠OAB=90°，
∴OB= ，
∴P点所表示的数就是 ，
∵ ，
∴ ，
即点P所表示的数介于3和4之间，
故选C.
【点拨】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.
5．B
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝ ，从而得AN＝ ，再证明
∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
解：∵
∴AB= ，
∵S ＝ ×AB×CN＝ ×AC×BC
△ABC
∴CN＝ ，
∵AN＝ ，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝ ，
∴A'M＝AM＝AN−MN＝ - = ．
故选B．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质
是本题的关键．
6．B
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如
图所示：故选B.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼
成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定
理．
7．A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合
勾股定理可推出半径r的值．
解： ，
，
在 中， ，
设半径为 得： ，
解得： ，
这段弯路的半径为
故选A．
【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r
表示出OD、OB的长度．
8．C
解：试题分析：根据面积公式可得 解直角三角形可得以CD为斜边的等腰直角三角
形的边长为 所以 ， …以此类推
．
故选C
考点：勾股定理，正方形的面积，规律探索
9．C
【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），
较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，
则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选C．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
c，那么a2+b2=c2．
10．B
解：试题分析：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小
即可，如图，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直
线a，连接AM，
∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，
∴AA′=MN=4．∴四边形AA′NM是平行四边形．
∴AM+NB=A′N+NB=A′B．
由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．
过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，
易得AE=2+4+3=9，AB= ，A′E=2+3=5，
在Rt△AEB中， ，
在Rt△A′EB中， ．故选B．
11．D【解析】
【分析】如图设 交 于 ，连接 ，作 于 ， 于 ．想办法求
出 的面积．再求出 与 的比值即可解决问题；
解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．
,
,
，
在Rt△ADB中， ，
∴AC=BC=2，
，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM=ON，
∵ ,
.
故选 ．
【点拨】考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线
的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系.
12．B【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂
直平分. 由折叠的性质可知 ,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性
质可知 ,所以 ,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
解：
AB＝AC，
,
故选B.
【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求
出∠AFB=90°是解题的关键．
13．C
解：分析：要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用
勾股定理即可求解．
详解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC= ，故选C．
点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾
股定理解答．
14．
【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．
解：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝ ，
∴PQ＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解
题的关键．
15．
【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知 ， ，在 中应用勾
股定理即可求解．
解：∵地毯平均分成了3份，
∴每一份的边长为 ，∴ ，
在 中，根据勾股定理可得 ，
根据裁剪可知 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．
16．7
解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC= .
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案是：7．
17．12
【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10
尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．
解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，
因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2 ，
解之得x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
．
【点拨】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解
决问题是解题的关键．
18． ； 见解析
【解析】
分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图，取格点 ， ，连接 交 于点 ；取格点 ， ，连接 交 延长
线于点 ；取格点 ，连接 交 延长线于点 ，则点 即为所求.
详解：（1）∵每个小正方形的边长为1，
∴AC= ，BC= ，AB= ,
∵
∴
∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°
故答案为90；
（2）如图，即为所求.点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解
决问题，学会用转化的思想思考问题.
19．45.
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，
PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得
到结论．
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为45．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角
形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．4.5
【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根
据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定
理求出AC即可．解：
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝ AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝ ＝6 （海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6 ）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
【点拨】本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊
角的关系及勾股定理进行求解即可．
21．4
【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
解：∵勾 ，弦 ，
∴股b= ，
∴小正方形的边长＝ ，
∴小正方形的面积
故答案为4
【点拨】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
22．=【分析】设 为定值 ，则 ，先根据“张爽弦图”得出
，再利用平方数的非负性即可得．
解：设 为定值 ，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使 的值最大，则 需最小
又
当 时， 取得最小值，最小值为0
则当 时， 取得最大值，最大值为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
23．6.18
【分析】根据作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD,
根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
解：由作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD,
∴ cm，
∴ cm，
∴ cm．
故答案为：6.18
【点拨】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题
关键．
24．7或 ．
【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
解：在Rt△ABC中， ，
（1）当∠EDB′＝90°时，如图1，
过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
设BD＝x，则B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
，
即：x2﹣7x＝0，解得：x＝0（舍去），x＝7，
1 2
因此，BD＝7．
（2）当∠DEB′＝90°时，如图2，此时点E与点C重合，
由折叠得：AB＝AB′＝13，则B′C＝13﹣5＝8，
设BD＝x，则B′D＝x，CD＝12﹣x，
在 中，由勾股定理得： ，解得： ，
因此 ．
故答案为7或 ．【点拨】考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用
注意分类的原则是不遗漏、不重复．
25． ．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．
解：由勾股定理得， ，
正方形 的面积 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
c，那么a2+b2=c2．
26．
【分析】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分
线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
解： 为矩形，
又
点 到 的距离与到 的距离相等，即点 线段 垂直平分线 上，
连接 ，交 与点 ，此时 的值最小，
且
故答案为
【点拨】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作
辅助线
27． ．【分析】根据已知条件，求出 ，过 作 于 ，求出GH,再
利用三角形面积公式求解即可.
解： 已知正方体 的棱长为 ， ， ， 分别是 ， ， 的
中点，
，
过 作 于 ，
，
图②中阴影部分的面积 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查的是勾股定理和等边三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解题的
关键.
28． ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 ， ，再利用
勾股定理 求出 DF，即可得出结论．
解：如图，过点 作 于 ，
在 中， ，
， ，
两个同样大小的含 角的三角尺，
，
在 中，根据勾股定理得， ，，
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题
的关键．
29．（﹣1，0）
【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标．
解：∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB= =5
∴AC=5，
∴点C的横坐标为：4-5=-1，纵坐标为：0，
∴点C的坐标为(-1，0).
故答案为(-1，0).
【点拨】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出 的长，
注意： 在直角三角形中， 两直角边的平方和等于斜边的平方 ．
30．32019
【分析】根据题意，分别找到AB、AB 、AB ……及BA、B A、B A……线段长度递增
1 1 2 2 1 1 2 2 3
规律即可解答.
解：由已知可知，
点A、A、A、A……A 各点在正比例数 的图象上，点B、B 、B 、B ……B
1 2 3 2018 1 2 3 2018
各点在正比例函数 的图象上，两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为 ，
由已知，Rt△A B A，……到Rt△B A B 都有一个锐角为30°，
1 1 2 2017 2018 2018
当A（B）点横坐标为 时，由①AB＝2，则BA＝ ，则点A 横坐标为 ＋ ＝
1 1
，
B 点纵坐标为9＝32，
1
当A（B ）点横坐标为 时，由
1 1
①AB ＝6，则B A＝ ，则点A 横坐标为 ＋ ＝ ，
1 1 1 2 2
B 点纵坐标为27＝33，
2
当A（B ）点横坐标为 时，由①AB ＝18，则B A＝ ，
2 2 2 2 2 3
则点A3横坐标为 ＋ ＝ ，B 点纵坐标为81＝34，
3
依此类推，点B 的纵坐标为32019.
2018
故答案为32019.
【点拨】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了含有特殊角的直角三角形各边数量关
系，解答时注意数形结合．
31．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，
即可得出结论．
解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF= =
∴CD=BF+DF-BC=1+ -2= -1，
故答案为 -1．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的
关键．
32．＞
解：【分析】依据勾股定理即可得到AD= = ，AB= = ，
BD+AD= +1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到 +1＞ ．
【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD= = ，AB= = ，
∴BD+AD= +1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴ +1＞ ，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以
及三角形三边关系是解题的关键.
33．3.6或4.32或4.8
解：【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S =6，找出所有可能的
△ABC
分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，∴AB= =5，S = AB•BC=6．
△ABC
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有
三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S = •S = ×6=3.6；
等腰△ABP △ABC
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD= ，
∴AD=DP= =1.8，
∴AP=2AD=3.6，
∴S = •S = ×6=4.32；
等腰△ABP △ABC
③当CB=CP=4时，如图3所示，
S = •S = ×6=4.8；
等腰△BCP △ABC
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8，
故答案为3.6或4.32或4.8．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有
可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
34．
解：【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF= x，根据勾股定理列方程即可
得结论．
【详解】在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，
设AF=x，则CF= x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1，
由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，
即：12=（x-1）2+（ x）2，
解得：x= 或0（舍），
即它的宽的值是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了新定义题，矩形的性质、勾股定理等，根据题意正确画出图
形，熟练应用相关的知识进行解答是关键.
35．
解：分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG
的长.
详解：连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE= AC
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4
∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2
∴∠FEC=30°，EF=
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°
∵G是EF的中点，
∴EG= .
在RtΔDEG中，DG=
故答案为 .
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和
熟练运用性质是解题的关键.
36．尝试： ；发现： ；联想：17，37.
【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入
即可解答．
解：A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．
∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2﹣1=35时，n2+1=37．
故答案为17；37．
【点拨】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．
37．（1）证明见解析；（2）周长为 ，面积为22．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得 ，再根据三角形全等的判定定
理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得 ，从而可得 ，再利用勾股定理可得
，从而可得 ，然后利用勾股定理可得 ，最后利用三
角形的周长公式和面积公式即可得．
解：（1）证明： ，，
在 和 中， ，
，
；
（2） ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则 的周长为 ，
的面积为 ．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形
全等的判定定理与性质是解题关键．
38．（1）见解析；（2）13
【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定
定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
【点拨】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以
及平行的性质是解决此类问题的关键．
39．①证明见解析；②见解析.
【分析】①通过AAS证得 ，根据全等三角形的对应边相等证得结论；
②利用等面积法证得勾股定理．
解：①证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在△AEC与△BCD中，
∴ ．
∴ ；
②解：由①知：
∴
．
又∵
．
∴ ．整理，得 ．
【点拨】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解
本题的关键是判断两三角形全等．
