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期中考试重难点专项练习
专项综合 (一)——勾股定理在图形折叠中的应用
抓住折叠前后的对应线段,对应角相等,构造直角三角形,将有关线段转化到直角三角形中,通常利用设
未知数运用勾股定理列方程求解.
1.如图所示,△ABC是一张纸片,∠C=90°,AC=4,BC=3,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点
E处,折痕为AD,则CE的长为 ( )
1 3
A. 1 B. C.2 D.
2 2
答案 A ∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴AB2=AC2+BC2=42+32=52, ∴AB=5.由折叠的性质可得 AE=AB=5,
∴CE=AE-AC=5-4=1,故选A.
2.如图,△ABC是一张纸片,∠C=90°,AC=6,BC=8,现将其折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为(
)
A.1.75 B.3 C.3.75 D.4
答案 C ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AB2=AC2+BC2=62+82=102, 所以AB=10.
由折叠可得 AD=BD,AE=BE=5,∠AED=∠BED=90°,
25
设AD=BD=x,则CD=8-x,在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2,即62+(8-x)2=x2,解得 x= .
4
(25) 2 (15) 2
在Rt△ADE中,DE2=AD2-AE2= -52= ,
4 4
所以 DE=3.75,故选C.
3.如图,将边长为8 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则CN
的长为 cm.答案 3
1
解析 ∵E为BC的中点,∴EC= BC=4 cm.
2
由折叠的性质可得 DN=EN.
设CN=x cm,则DN=EN=(8-x)cm,在Rt△CEN中,CN2+CE2=EN2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3 ,故答案为3.
4.如图,一张直角三角形纸片,其中AC=6 cm,BC=8 cm,∠C=90°,现将三角形沿AD对折,直角边AC落在AB上,
点C落在点E处,求△ADE的面积.
解析 因为∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,所以AB2=AC2+BC2=62+82=100=102,所以AB=10 cm,由折叠的性质可
得AE=AC=6 cm,所以BE=4 cm,
设CD=DE=x cm,在Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2,
所以x2+42=(8-x)2,解得x=3,
1
所以S = ×3×6=9(cm2).
△ADE
2
5.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,BC=15,AB=9.
求:(1)FC的长;
(2)EF的长.
解析 (1)∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BC=15,
由折叠的性质可知AF=AD=15,
在Rt△ABF中,由勾股定理得,BF2=AF2-AB2=152-92=144,∴BF=12,∴FC=BC-BF=15-12=3.
(2)由折叠的性质可知EF=DE.
设DE=EF=x,则EC=9-x,
在Rt△EFC中,由勾股定理得,EC2+FC2=EF2,
即(9-x)2+32=x2,解得x=5,即EF的长为5.
6.如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D'处,BC交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部
分的面积.解析 在△ABE和△CD'E中,∠B=∠D'=90°,∠AEB=∠CED',AB=CD',∴△ABE≌△CD'E,∴AE=EC.
设AE=x cm(x>0),则BE=(8-x)cm.
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,
25 25
∴x= ,∴EC=AE= cm.
4 4
1 1 25 75
∴S = EC·AB= × ×6= (cm2).
阴影
2 2 4 4
专项综合 (二)——二次根式中的新定义问题
新定义题型,主要是在问题中定义了没有学过的概念、新运算、新符号,解题关键是读懂新定义的规则,
弄清规则的含义,利用规则所给模型解决相应问题.
一、定义新概念题型
1.若两个代数式M与N满足M·N=-1,则称这两个代数式为“互为友好因式”,则√3+√5的“互为友好因式”
是 .
√3-√5
答案
2
√3 √5
解析 由题意可得, + 的“互为友好因式”为 .
2.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫
做复数,其中a叫做这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运
算类似.
例如:(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i;
(2-i)(3+i)=6-3i+2i-i2=6-i-(-1)=7-i;
(4+i)(4-i)=16-i2=16-(-1)=17;
(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.
根据以上信息,完成下面的计算:
(1+2i)(2-i)+(2-i)2= .
答案 7-i
解析 (1+2i)(2-i)+(2-i)2=2-i+4i-2i2+4+i2-4i=6-i-i2=6-i+1=7-i.3.若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.
(1)3与 是关于1的平衡数;5-√2与 是关于1的平衡数;
(2)已知m为整数,若(m+√3)(1-√3)=-5+3√3,判断m+√3与5-√3是不是关于1的平衡数,并说明理由.
解析 (1)-1;-3+√2.
(2)不是.理由如下:
∵(m+√3)(1-√3)=m-√3m+√3-3=-5+3√3,
∴m-√3m=-2+2√3,
∵m为整数,
∴m=-2,
∴(m+√3)+(5-√3)=(-2+√3)+(5-√3)=3,
∴m+√3与5-√3不是关于1的平衡数.
4.阅读下列材料,然后解答下列问题:
5 2
在进行代数式化简时,我们有时会碰上如 , 这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
√3 √3+1
5 5×√3 5√3
(一) = = ;
√3 √3×√3 3
2 2(√3-1)
(二) = =√3-1;
√3+1 (√3+1)(√3-1)
(三) 2 = 3-1 =(√3)2-12=(√3+1)(√3-1)= -1.
√3
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
以上这种化简的方法叫分母有理化.
2
(1)请用不同的方法化简 .
√5+√3
2
①参照(二)式化简: = ;
√5+√3
2
②参照(三)式化简: = ;
√5+√3
1 1 1 1
(2)化简: + + +…+ .
√3+1 √5+√3 √7+√5 √99+√97
2×(√5-√3) 2(√5-√3)
解析 (1)①原式= = =√5-√3.
(√5+√3)(√5-√3) (√5)2-(√3)2
5-3 (√5)2-(√3)2 (√5+√3)(√5-√3)
②原式= = = =√5-√3.
√5+√3 √5+√3 √5+√3
√3-1 √5-√3 √7-√5 √99-√97 √99-1 3√11-1
(2)原式= + + +…+ = = .
2 2 2 2 2 2二、定义新符号题型
[2]
5.规定用符号[m]表示一个数m的整数部分,例如: =0,[3.14]=3.按此规定[√18+1]的值为 .
3
答案 5
解析 ∵4<√18<5,
∴5<√18+1<6,
∴[√18+1]=5.
6.对于任意实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[√3]=1.现对72进行如下操作:[√72]=8,[√8]=2,[
√2]=1,这样对72需进行 次操作后变为1,类似地,对数字81只需进行3次操作后变为1,只需进行3
次操作后变为1的所有正整数中,最大的数是 .
答案 3;255
解析 易知对72需进行3次操作后变为1.设进行3次操作后变为1的整数是n,,所以n<[(22)2]2,
因为[(22)2]2=256,所以n的最大值是255.
三、定义新运算题型
7.对于任意的正数m、n,定义运算“※”:m※n={√m-√n(m≥n),计算(3※2)×(8※12)的结果为 ( )
√m+√n(m45时,金卡消费更合算.
专项综合 (四)——数学文化之九章算术中的二元一次方程组
1.《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换其
中一只,恰好一样重.问:每只雀、燕的质量各为多少?设一只雀的质量为x斤,一只燕的质量为y斤,则可列方程
组为( )
{ 5x+6 y=1 { 6x+5 y=1 { 5x+6 y=1 { 6x+5 y=1
A. B. C. D.
5x- y=6 y-x 5x+ y=6 y+x 4x+ y=5 y+x 4x- y=5 y-x
{ 5x+6 y=1,
答案 C 由题意可得
4x+ y=5 y+x,
故选C.2.《九章算术》第七卷“盈不足”中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几
何?”译为:“今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱.问人数、物价各多少?”根据所学
知识,计算出人数、物价分别是 ( )
A.1、11 B.7、53 C.7、61 D.6、50
{y=8x-3, { x=7,
答案 B 设有x人,物价为y钱,可得 解得 故选B.
y=7x+4, y=53,
3.《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交
易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同),乙袋中装有
白银11枚(每枚白银质量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不
计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得 ( )
{ 11x=9 y {10 y+x=8x+ y
A. B.
(10 y+x)-(8x+ y)=13 9x+13=11y
{ 9x=11y { 9x=11y
C. D.
(8x+ y)-(10 y+x)=13 (10 y+x)-(8x+ y)=13
{ 9x=11y,
答案 D 因为每枚黄金重x两,每枚白银重y两,所以可列方程组为
(10 y+x)-(8x+ y)=13,
故选D.
4.《九章算术》中有这样一个题:今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.
问甲、乙持钱各几何?其意思为:今有甲、乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱
2
数为50;而甲把其 的钱给乙,则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱?设甲的钱数为x,乙的钱数为y,则可建
3
立方程组为 ( )
1 1 1 1
{x+ y=50 {x+ y=50 { x+ y=50 { x+ y=50
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2 2 2 2
x+ y=50 x+ y=50 x+ y=50 x+ y=50
3 3 3 3
答案 A 因为甲的钱数为x,乙的钱数为y,
1
{x+ y=50
所以可列方程组为 2 ，故选A.
2
x+ y=50
3
5.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置
而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图5-5-1.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项.把图5-5-1①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方
{3x+2y=19,
程组形式表述出来就是 类似地,图5-5-1②所示的算筹图我们可以表述为 ( )
x+4 y=23.
{ 2x+ y=11 { 2x+ y=11 {3x+2y=19 { 2x+ y=6
A. B. C. D.
4x+3 y=27 4x+3 y=22 x+4 y=23 4x+3 y=27
{ 2x+ y=11,
答案 A 由题意分析可得题图②中的算筹图可以表述为 故选A.
4x+3 y=27.
6.《九章算术》是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就.不仅最早提到了分数问题,也首先记录了
“盈不足”问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问
人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会
缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少?请解答上述问题.
解析 设买鸡的人数为x,鸡的价格为y,
{y=9x-11, { x=9,
根据题意,得 解得
y=6x+16, y=70.
答:买鸡的人数为9,鸡的价格为70文钱.专项综合 (五)——平行线中常用的辅助线类型
类型一 “M”型(过“凹点”作平行线)
1.如图,AB∥EF,CD⊥EF,若∠ABC=40°,则∠BCD= ( )
A.140° B.130° C.120° D.110°
答案 B 如图,过点C作CP∥AB,则CP∥EF,所以∠PCD=90°.因为CP∥AB,所以∠PCB=∠B=40°,所以
∠BCD=∠PCB+∠PCD=130°,故选B.
2.如图7-7-2,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为 ( )
A.70° B.65° C.35° D.5°
答案 B 过C作CF∥AB,∵AB∥DE,
∴AB∥DE∥CF,
∴∠1=∠BCF,∠FCE=∠2,
∵∠1=30°,∠2=35°,
∴∠BCF=30°,∠FCE=35°,
∴∠BCE=65°.
类型二 “⇒”型(过“凸点”作平行线)
3.如图,已知AB∥DE,∠ABC=60°,∠CDE=150°,求∠BCD的度数.
解析 如图,过C点作CF∥AB,∵AB∥DE,∴AB∥CF∥DE,
∴∠ABC=∠BCF,∠CDE+∠DCF=180°,
∵∠ABC=60°,∠CDE=150°,
∴∠BCF=60°,∠DCF=30°,∴∠BCD=60°-30°=30°.
类型三 变式运用
4.如图,直线l∥l,且l 和l,l 分别交于A,B两点,点P在AB上.
1 2 3 1 2
(1)如果点P在线段AB上运动,试找出∠1,∠2,∠3之间的关系;
(2)如果点P在线段AB的延长线或反向延长线上运动,试探究∠1,∠2,∠3之间的关系.(点P和A,B两点不重
合)
解析 (1)如图1,过点P作l 的平行线PQ,
1
∵l∥l,∴l∥l∥PQ,∴∠1=∠4,∠2=∠5,
1 2 1 2
∵∠4+∠5=∠3,∴∠1+∠2=∠3.
(2)当点P在l 下方时,如图2,过点P作l 的平行线PR,∵l∥l,∴l∥l∥PR,
2 1 1 2 1 2
∴∠2=∠4,∠1=∠3+∠4,
∴∠1-∠2=∠3;
当点P在l 上方时,同理可得,∠2-∠1=∠3.
1
5.如图所示,已知平面内有两条直线AB,CD,且AB∥CD,P为一动点.
(1)当点P移动到AB、CD之间时,如图①所示,∠P与∠A、∠C有怎样的关系?证明你的结论;(2)当点P移动到图②③的位置时,∠P,∠A,∠C有怎样的关系?写出你的结论.
解析 (1)当点P移动到AB、CD之间时,∠APC=∠A+∠C.
证明:如图所示,过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PE,
∴∠A=∠APE,∠C=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C.
(2)当点P移动到题图②的位置时,∠APC+∠A+∠C=360°.
证明:如图所示,过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PE,
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∴∠APC+∠A+∠C=360°.
当点P移动到题图③的位置时,∠APC=∠C-∠A.
证明:如图所示,过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PE,∴∠C=∠CPE,∠A=∠APE,
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠C-∠A.
6.(1)如图①,AB∥CD,EO和FO交于点O.试猜想∠1,∠2,∠3的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,直线l∥l,AB⊥l,垂足为O,BC与l 相交于点E.若∠1=30°,则∠B= °;
1 2 1 2
(3)如图③,AB∥CD,图中的∠1,∠2,∠3,…,∠2n-1,∠2n之间有什么关系?解析 (1)∠2=∠1+∠3.理由如下:
如图,过点O作MN∥AB.
因为AB∥CD,所以MN∥AB∥CD,
所以∠1=∠EON,∠3=∠NOF,
所以∠1+∠3=∠EON+∠NOF=∠EOF,即∠2=∠1+∠3.
(2)120.
(3)∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n.
理由:如图,过点E作EF∥AB,则∠1=∠α,
过点G作GH∥EF,则∠θ=∠β.
因为AB∥CD,所以CD∥GH,所以∠γ=∠4,
所以∠1+∠θ+∠γ=∠α+∠β+∠4,
即∠1+∠3=∠2+∠4.
以此类推,可得∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n.
