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专题 6.8 平面向量、复数和解三角形
真题训练
第一部分：平面向量
1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 ，若 ，
则 __________．
3．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ．若 ，则
______________．
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量 ，若
，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 ， 满足 ， ，
则 ______．
7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，
则 （ ）
A． B．3 C． D．5
8．（2021年全国新高考I卷数学试题）（多选）已知 为坐标原点，点 ，， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 ，若 ，则
_________．
10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量 ．若
，则 ________．
11．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量 满足 ，则
_________.
12．（2022年新高考全国I卷数学真题）在 中，点D在边AB上， ．记
，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，
则 （ ）
A． B． C．1 D．2
14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，
，则 _________．
15．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ，则
（ ）
A． B． C． D．16．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）向量 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
17．（2023年新高考天津数学高考真题）在 中， ， ，点 为 的中
点，点 为 的中点，若设 ，则 可用 表示为_________；若
，则 的最大值为_________．
18．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于
点A，直线PB与 交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值
为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022年新高考北京数学高考真题）在 中， ．P为
所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第二部分：复数
20．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
21．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 ，且 ，其中a，b
为实数，则（ ）
A． B． C． D．23．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设 ，其中 为实数，则
（ ）
A． B． C． D．
24．（2022年新高考全国II卷数学真题） （ ）
A． B． C． D．
25．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题） （ ）
A． B．1 C． D．
26．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
27．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
28．（2021年全国新高考II卷数学试题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
29．（2022年新高考全国I卷数学真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
30．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
31．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
32．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）
在复平面内， 对应的点位于（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
33．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若复数 ，则
（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
34．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
35．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
第三部分：解三角形
36．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，面积为 ， ， ，则 ________．
37．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布
珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．
如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上
的投影 满足 ， ．由C点测得B点的仰角为 ， 与
的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高度差
约为（ ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
38．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在 中，已知 ， ，，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
39．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 中，点D在边BC上，
．当 取得最小值时， ________．
40．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在 中，内角 的对边分别是
，若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
41．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在 中， ，
，D为BC上一点，AD为 的平分线，则 _________．
42．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c﹐已知 ．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
43．（2021年全国新高考I卷数学试题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
.已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
44．（2021年全国新高考II卷数学试题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、
、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明
理由．
45．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
46．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记 的内角 的对边分别为 ，
已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
47．（2022年新高考全国II卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知
．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
48．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
49．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 的内角 的对边分别为 ，已
知 的面积为 ， 为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
50．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 的内角 的对边分别为 ，
已知 ．
(1)求 ；(2)若 ，求 面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得：
．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
51．在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）
