期中考试重难点专项练习
专项综合 (一)——勾股定理在图形折叠中的应用
抓住折叠前后的对应线段,对应角相等,构造直角三角形,将有关线段转化到直角三角形中,通常利用设
未知数运用勾股定理列方程求解.
1.如图所示,△ABC是一张纸片,∠C=90°,AC=4,BC=3,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点
E处,折痕为AD,则CE的长为 ( )
1 3
A. 1 B. C.2 D.
2 2
2.如图,△ABC是一张纸片,∠C=90°,AC=6,BC=8,现将其折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为(
)
A.1.75 B.3 C.3.75 D.4
3.如图,将边长为8 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则CN
的长为 cm.
4.如图,一张直角三角形纸片,其中AC=6 cm,BC=8 cm,∠C=90°,现将三角形沿AD对折,直角边AC落在AB上,
点C落在点E处,求△ADE的面积.
5.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,BC=15,AB=9.
求:(1)FC的长;
(2)EF的长.6.如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D'处,BC交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部
分的面积.
专项综合 (二)——二次根式中的新定义问题
新定义题型,主要是在问题中定义了没有学过的概念、新运算、新符号,解题关键是读懂新定义的规则,
弄清规则的含义,利用规则所给模型解决相应问题.
一、定义新概念题型
1.若两个代数式M与N满足M·N=-1,则称这两个代数式为“互为友好因式”,则√3+√5的“互为友好因式”
是 .
2.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫
做复数,其中a叫做这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运
算类似.
例如:(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i;
(2-i)(3+i)=6-3i+2i-i2=6-i-(-1)=7-i;
(4+i)(4-i)=16-i2=16-(-1)=17;
(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.
根据以上信息,完成下面的计算:
(1+2i)(2-i)+(2-i)2= .
3.若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.
(1)3与 是关于1的平衡数;5-√2与 是关于1的平衡数;
(2)已知m为整数,若(m+√3)(1-√3)=-5+3√3,判断m+√3与5-√3是不是关于1的平衡数,并说明理由.4.阅读下列材料,然后解答下列问题:
5 2
在进行代数式化简时,我们有时会碰上如 , 这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
√3 √3+1
5 5×√3 5√3
(一) = = ;
√3 √3×√3 3
2 2(√3-1)
(二) = =√3-1;
√3+1 (√3+1)(√3-1)
(三) 2 = 3-1 =(√3)2-12=(√3+1)(√3-1)= -1.
√3
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
以上这种化简的方法叫分母有理化.
2
(1)请用不同的方法化简 .
√5+√3
2
①参照(二)式化简: = ;
√5+√3
2
②参照(三)式化简: = ;
√5+√3
1 1 1 1
(2)化简: + + +…+ .
√3+1 √5+√3 √7+√5 √99+√97
二、定义新符号题型
[2]
5.规定用符号[m]表示一个数m的整数部分,例如: =0,[3.14]=3.按此规定[√18+1]的值为 .
3
6.对于任意实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[√3]=1.现对72进行如下操作:[√72]=8,[√8]=2,[
√2]=1,这样对72需进行 次操作后变为1,类似地,对数字81只需进行3次操作后变为1,只需进行3
次操作后变为1的所有正整数中,最大的数是 .
三、定义新运算题型
7.对于任意的正数m、n,定义运算“※”:m※n={√m-√n(m≥n),计算(3※2)×(8※12)的结果为 ( )
√m+√n(m<n).A.2-4√6 B.2 C.2√5 D.20
8.对于任意实数a、b,规定两种运算:a※b表示a2+b2的算术平方根,a☆b表示(a+1)×(b-1)的立方根,按照上述
规则计算(5※12)+[2☆(-8)]的结果为 .
9.若规定两数a,b通过“※”运算可得到√8(a-b),即a※b=√8(a-b),例如:2※6=√8×(2-6)=-4√8=-8√2.
(1)求√12※√2的值;
(2)求(x※3)-(√2※4)=0中x的值.
专项综合 (三)——一次函数的实际应用
一、行程问题
1.如图,甲、乙两人沿湟水河滨水绿道同向而行,甲步行的速度为100米/分,乙骑公共自行车的速度为v米/分,
起初甲在乙前a米处,两人同时出发,当乙追上甲时,两人停止前行.设x分钟后甲、乙两人相距y米,y与x的函
数关系如图4-6-1b所示,有以下结论:
①图4-6-1a中a为1 000;②图4-6-1a中EF表示1 000-200x;③乙的速度为200米/分;④若两人在相距a米处
10
同时相向而行, 分钟后相遇.其中正确的结论是( )
3
A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④
2.在“加油向未来”电视节目中,王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演,王清操控的快车和李北操控的
慢车分别从A,B两地同时出发,相向而行.快车到达B地后,停留3秒卸货,然后原路返回A地,慢车到达A地即
停运休息,如图4-6-2表示的是两车之间的距离y(米)与行驶时间x(秒)的函数图象,根据图象信息,计算a,b的
值分别为 ( )A.39,26 B.39,26.4 C.38,26 D.38,26.4
二、工程问题
3.甲、乙两组工人同时加工某种零件,乙组在工作中有一次停产更换设备,更换设备后,乙组的工作效率是原
来的2倍,两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(小时)之间的函数图象如图4-6-3所示.
(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式;
(2)求乙组加工零件总量a的值及乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式;
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱,每够300件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,求经过多长时间恰
好装满第1箱.
三、方案选择问题
4.某乒乓球馆普通票价为20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价为600元/张,每次凭卡不再收费;
②银卡售价为150元/张,每次凭卡另收10元;
暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.
设打乒乓球x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图4-6-4所示,请根据函数图象,写出选择哪种消费
方式更合算.专项综合 (四)——数学文化之九章算术中的二元一次方程组
1.《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换其
中一只,恰好一样重.问:每只雀、燕的质量各为多少?设一只雀的质量为x斤,一只燕的质量为y斤,则可列方程
组为( )
{ 5x+6 y=1 { 6x+5 y=1 { 5x+6 y=1 { 6x+5 y=1
A. B. C. D.
5x- y=6 y-x 5x+ y=6 y+x 4x+ y=5 y+x 4x- y=5 y-x
2.《九章算术》第七卷“盈不足”中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几
何?”译为:“今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱.问人数、物价各多少?”根据所学
知识,计算出人数、物价分别是 ( )
A.1、11 B.7、53 C.7、61 D.6、50
3.《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交
易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同),乙袋中装有
白银11枚(每枚白银质量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不
计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得 ( )
{ 11x=9 y {10 y+x=8x+ y
A. B.
(10 y+x)-(8x+ y)=13 9x+13=11y
{ 9x=11y { 9x=11y
C. D.
(8x+ y)-(10 y+x)=13 (10 y+x)-(8x+ y)=13
4.《九章算术》中有这样一个题:今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.
问甲、乙持钱各几何?其意思为:今有甲、乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱
2
数为50;而甲把其 的钱给乙,则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱?设甲的钱数为x,乙的钱数为y,则可建
3
立方程组为 ( )
1 1 1 1
{x+ y=50 {x+ y=50 { x+ y=50 { x+ y=50
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2 2 2 2
x+ y=50 x+ y=50 x+ y=50 x+ y=50
3 3 3 3
5.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置
而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图5-5-1.图中各行从左到右列
出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项.把图5-5-1①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方
{3x+2y=19,
程组形式表述出来就是 类似地,图5-5-1②所示的算筹图我们可以表述为 ( )
x+4 y=23.{ 2x+ y=11 { 2x+ y=11 {3x+2y=19 { 2x+ y=6
A. B. C. D.
4x+3 y=27 4x+3 y=22 x+4 y=23 4x+3 y=27
6.《九章算术》是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就.不仅最早提到了分数问题,也首先记录了
“盈不足”问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问
人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会
缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少?请解答上述问题.
专项综合 (五)——平行线中常用的辅助线类型
类型一 “M”型(过“凹点”作平行线)
1.如图,AB∥EF,CD⊥EF,若∠ABC=40°,则∠BCD= ( )
A.140° B.130° C.120° D.110°
2.如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为 ( )
A.70° B.65° C.35° D.5°
类型二 “⇒”型(过“凸点”作平行线)
3.如图,已知AB∥DE,∠ABC=60°,∠CDE=150°,求∠BCD的度数.类型三 变式运用
4.如图,直线l∥l,且l 和l,l 分别交于A,B两点,点P在AB上.
1 2 3 1 2
(1)如果点P在线段AB上运动,试找出∠1,∠2,∠3之间的关系;
(2)如果点P在线段AB的延长线或反向延长线上运动,试探究∠1,∠2,∠3之间的关系.(点P和A,B两点不重
合)
5.如图所示,已知平面内有两条直线AB,CD,且AB∥CD,P为一动点.
(1)当点P移动到AB、CD之间时,如图①所示,∠P与∠A、∠C有怎样的关系?证明你的结论;
(2)当点P移动到图②③的位置时,∠P,∠A,∠C有怎样的关系?写出你的结论.
6.(1)如图①,AB∥CD,EO和FO交于点O.试猜想∠1,∠2,∠3的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,直线l∥l,AB⊥l,垂足为O,BC与l 相交于点E.若∠1=30°,则∠B= °;
1 2 1 2
(3)如图③,AB∥CD,图中的∠1,∠2,∠3,…,∠2n-1,∠2n之间有什么关系?
