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专题 6.7 平面向量、复数和解三角形
综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023春·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中）已知向量 均为任意向量，
m为任意实数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加法结合律判断A；利用数量积运算律判断B；利用数乘向量分配律判
断C；利用数量积的意义判断D作答.
【详解】对于A，由向量加法结合律知， 成立，A正确；
对于B，由数量积的分配律知， 成立，B正确；
对于C，由数乘向量的分配律知， 成立，C正确；
对于D， 表示一个与 共线的向量， 表示一个与 共线的向量，
而 是任意的，因此 与 不一定相等，D错误.
故选：D
2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知复数 ，则 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数乘法计算法则计算即可.
【详解】 ，所以 的共轭复数为
故选：C
3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 ， ，若 与 模相等，
则 =（ ）.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用坐标求出 的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于 的方程，问
题即可得到解决.【详解】因为 ，所以 ，
故 ，而又已知 ，且 ，
所以 ，解得 .
故选：C
4．（2023春·吉林·高三东北师大附中校考期中）在 中，角 的对边分别为
，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正弦定理求得 ，再利用余弦定理求得 ，即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，可得 ，
又由余弦定理，可得 ，
因为 ，所以 .
故选：B.
5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在 中， 平分 ，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】记 ，在 中， ，在 中，
，由 平分 ，得到 或 ，当 时，求得
；当 时，得 ，再由 ，结合
基本不等式求得结果．
【详解】如图，记 ，在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ,
∵ 平分 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴
∴ ，∴
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
当 时， 为等腰三角形，∴ ， ，∴
；
当 时， ，即 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∵ ，∴ 的最小值为 .
故选：C.
6．（四川省2023届名校联考高考仿真测试（四）文科数学试题）已知向量 ，
，则下列命题不正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．存在唯一的 使得 D． 的最大值为
【答案】D
【分析】由向量模的计算公式，可判定A正确；由向量共线的坐标表示，可判定B正确；
根据向量的数量积的运算公式，求得 ，得到 ，可判定C正确；根据向量的
运算法则，化简得到 ，求得 的最大值，可判定D错误.
【详解】由向量 ， ，
对于A中，由 ，所以A正确；对于B中，若 ，可得 且 ，可得 ，所以B正确；
对于C中，若 ，可得 ，整理得 ，
所以 ，可得 ，因为 ，可得 ，所以C正确；
对于D中，由 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 的最大值为 ，即 的最大值为 ，所以D错误.
故选：D.
7．（云南三校2023届高三高考备考实用性联考卷（八）数学试题）已知 ， 是方程
的两个复根，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可.
【详解】已知 ， 是方程 的两个复根，所以 ，
则设 ， ，所以 ，
故选：B.
8．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形 中，
.若 为 的中点，则 的值为（ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据余弦定理得到 ，确定 为圆的直径， 为等边三角形，建立
坐标系，确定点坐标，计算向量的数量积得到答案.【详解】连接 ，由余弦定理知 ，所以 .
由正弦定理得 ，所以 为圆的直径，
所以 ，所以 ，从而 ，
又 ，所以 为等边三角形，
以 为原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则 ，
所以 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模） ABC是边长为2的等边三角形，已知
向量 ， 满足 ， ，则下列结论△正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据平面向量的数量积的运算律一一判断求解.【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ,
所以 ，所以 ，A错误；
因为 ABC是边长为2的等边三角形，
△
所以 的夹角为 ，即 的夹角为 ，
所以 ，
所以 ，B正确；
，C正确，D错误；
故选:BC.
10．（2023·山东青岛·统考三模）关于x的方程 的复数解为 ， ，则（ ）
A．
B． 与 互为共轭复数
C．若 ，则满足 的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D．若 ，则 的最小值是3
【答案】BD
【分析】根据给定条件，求出 ，再逐项计算、判断作答.
【详解】因为 ，因此不妨令方程 的复数解 ，
对于A， ，A错误；
对于B， 与 互为共轭复数，B正确；
对于C， ，由 ，得 ，
则复数z在复平面内对应的点 在第四象限，C错误；
对于D，设 ，由 ，得 ，显然有 ，由选项A知
，
因此 ，当且仅当 ，即 时取等
号，D正确.
故选：BD11．（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角 中，角 所对的边为 ，若
，且 ，则 的可能取值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】ACD
【分析】由面积公式及余弦定理求出 ，再由正、余弦定理将角化边，即可求出 ，再由
正弦定理及三角恒等变换公式将 转化为关于 的三角函数，最后由三角函数的性质计
算可得.
【详解】在锐角 中，由余弦定理及三角形面积定理得：
，
即有 ，而 ，则 ，
又 ，
由正弦定理、余弦定理得， ，化简得： ，
由正弦定理有： ，即 ， ，
又 是锐角三角形且 ，有 ， ，解得 ，
因此
，
由 得： ， ，
所以 ，
结合选项， 的可能取值为 ， ， .
故选：ACD
12．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记 ，则（ ）
A．
B．
C．
D． 在 方向上的投影向量为
【答案】BC
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】 ，故A错误；
因为 ，故B正确；
，又 ，所以 ，
故C正确；
在 方向上的投影向量为 ，故D错误.
故选： .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山
峰的高度，先在山脚 处测得山顶 处的仰角为 ，又利用无人机在离地面高 的
处（即 ），观测到山顶 处的仰角为 ，山脚 处的俯角为 ，则山高
_________m．
【答案】【分析】确定 ， ， ，在 中，利用正弦定理
求出 ，再由锐角三角函数计算得到答案.
【详解】依题意 ，则 ， ,
，
故 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
解得 ，则 .
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）计算 ________.
【答案】
【分析】利用特殊角的三角函数值及复数的四则运算法则求解计算.
【详解】原式
故答案为： .
15．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知复数 ，若
为实数，则 ________．
【答案】2
【分析】根据复数的加法和除法运算求得 ，进而得到
，求得 ，即可求得答案.
【详解】 ，
所以 ，得 ，所以 .故答案为：2
16．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设 是平面内的两条互相垂直的直
线，线段AB，CD的长度分别为2，10，点A，C在a上，点B，D在b上，若M是AB的
中点，则 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】设直线 与直线 的交点为 ，线段 的中点为 ，由条件确定点 的轨迹，
结合数量积的运算求 的取值范围.
【详解】设直线 与直线 的交点为 ，
因为M是AB的中点， ，
所以 ，故点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
设线段 的中点为 ， ，
所以 ，故点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
因为 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数z满足 ，且z的虚部
为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限．
(1)求z；
(2)若z， 在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用复数几何意义设出 ，再结合共轭复数定义写出 ，再运用复数乘法运
算求得结果.
（2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果.
【详解】（1）由题意知，设 （ ），则 ，
所以 ，解得： ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
所以 ，
所以 ， ，如图所示，
所以 ， ，
， ，
所以 .
所以 .
18．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）已知平行四边形 中，E是 的中点，F是
边上靠近点B的三等分点， 与 交于点M， ，设 ，且
．
(1)用 表示 ；
(2)求 ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据向量的线性运算即可求得答案；
（2）求得 ， ,根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意得 ， ，
故 ；
（2） 为向量 和 的夹角，且 ,
而 ，所以 ,
同理 , ，
,而 ，
所以 .
19．（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，
且 .
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由 ，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范
围，即可应用三角函数值域求出范围
【详解】（1）由余弦定理得 ，
即 ，
由正弦定理得
，
，即 ，
.
（2）由余弦定理得： ，则 .
由正弦定理得
所以 ，
因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，
则 .
中线 长的取值范围是 .
20．（2023·广东深圳·校考二模）记 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知
.
(1)证明： ；
(2)若角B的平分线交AC于点D，且 ， ，求 的面积.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理结合条件可得 ，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.
【详解】（1）由正弦定理得：
所以 可化为 ,
因为 ,
，所以
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
（2）角B的平分线交AC于点D，且 ， ,
由角平分线定理可得 ， ,
,又 ，
由余弦定理得： ， ，
在 中，由余弦定理得：
，
所以 .所以 .
21．（2023·全国·高三专题练习）已知在等腰 中， ， ．
(1) ；
(2)若点 是 外接圆上的动点， 为圆心，求 的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意，由平面向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将 转化为 ，然后结合数量积的定义，代入计算即可
得到结果.
【详解】（1） 等腰 中， ， ，则 ，
.
（2）
等腰 中， ， ，点 是 外接圆上的动点， 为圆心，
，
设 ， ， ，
，
，
最大值为 ，最小值为 ．
故 的取值范围： .
22．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量 ，其
中 ，若函数 的最小正周期为 .
(1)求 的单调增区间；
(2)在 中，若 ，求 的值.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数 化简，再由函数周期即可求得 ，再
根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）中函数 的解析式可得 ，再由正弦定理可得 ，再
结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
的最小正周期为 .
故 ，
令 ，解得 ，
故函数 的单调增区间为
（2）设 中角 所对的边分别是 .
，即 ，解得 .
，
，
.
